2026年云南省高中数学一轮复习函数性质专题练习

2026年云南省高中数学一轮复习函数性质专题练习一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)在区间(-1,0)上的单调性为（）A.单调递增且无界B.单调递减且无界C.单调递增且有界D.单调递减且有界解析：函数f(x)=ln(x+1)的定义域为(-1,+∞)，在(-1,0)上，其导数f′(x)=1/(x+1)始终大于0，故该区间上函数单调递增。由于x+1的取值范围在(0,1)，ln(x+1)的值域为(-∞,0)，因此函数单调递增且有界。正确答案为C。2.函数g(x)=x^3-3x+1的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：函数g(x)的导数为g′(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，令g′(x)=0得x=-1或x=1。进一步分析导数符号变化：当x∈(-∞,-1)时g′(x)>0，当x∈(-1,1)时g′(x)<0，当x∈(1,+∞)时g′(x)>0，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。正确答案为C。3.函数h(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A.eB.1/eC.2eD.e^2解析：函数h(x)的导数为h′(x)=e^x-a，在x=1处取得极值，则h′(1)=e-a=0，解得a=e。进一步验证：当x∈(-∞,1)时h′(x)<0，当x∈(1,+∞)时h′(x)>0，故x=1为极小值点。正确答案为A。4.函数m(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为（）A.πB.2πC.3πD.4π解析：函数m(x)的周期T需满足sin(x+T)+cos(2x+2T)=sin(x)+cos(2x)，即sin(x+T)=sin(x)，cos(2x+2T)=cos(2x)。由此得T=2kπ，2T=2kπ，解得T=2π。正确答案为B。5.函数n(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：函数n(x)可分段表示为：n(x)={3-x,x<-2{x+3,-2≤x≤1{x-1,x>1观察可得，当x=1时n(x)取得最小值2。正确答案为B。6.函数p(x)=x/(x^2+1)在区间(0,+∞)上的最大值为（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5解析：函数p(x)的导数为p′(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令p′(x)=0得x=1。当x∈(0,1)时p′(x)>0，当x∈(1,+∞)时p′(x)<0，故x=1为极大值点，p(1)=1/2。正确答案为A。7.函数q(x)=2cos^2(x)-sin(2x)的最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：函数q(x)=2cos^2(x)-sin(2x)=1+cos(2x)-sin(2x)=1+√2sin(2x-π/4)，其周期由sin(2x-π/4)决定，周期为π。正确答案为B。8.函数r(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为（）A.1B.2C.3D.4解析：函数r(x)的导数为r′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令r′(x)=0得x=0或x=2。计算端点和极值点函数值：r(-1)=-4，r(0)=2，r(2)=-2，r(3)=2，故最大值为2。正确答案为B。9.函数s(x)=ln(x)-x在区间(0,1)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：函数s(x)的导数为s′(x)=1/x-1，在(0,1)上1/x>1，故s′(x)<0，函数单调递减。正确答案为B。10.函数t(x)=x^2e^(-x)在区间[0,2]上的最大值为（）A.0B.1C.eD.2e解析：函数t(x)的导数为t′(x)=2xe^(-x)-x^2e^(-x)=x(2-x)e^(-x)，令t′(x)=0得x=0或x=2。计算端点和极值点函数值：t(0)=0，t(2)=4e^(-2)=2/e^2≈0.27，故最大值为0。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值为______，最小值为______。参考答案：5，-2解析：f′(x)=3x^2-3，令f′(x)=0得x=-1或x=1。计算端点和极值点函数值：f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=5，故最大值为5，最小值为-2。2.函数g(x)=e^x+e^(-x)在区间[0,1]上的最小值为______。参考答案：2解析：g(x)在[0,1]上单调递增，最小值为g(0)=2。3.函数h(x)=sin(x)+cos(2x)在区间[0,π/2]上的最大值为______。参考答案：√3解析：h′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令h′(x)=0得x=π/6。计算端点和极值点函数值：h(0)=1，h(π/6)=√3/2+3/2=√3，h(π/2)=0，故最大值为√3。4.函数m(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为______。参考答案：3解析：函数在x=-2处取得最小值3。5.函数n(x)=x/(x^2+1)在区间[0,2]上的最大值为______。参考答案：1/2解析：函数在x=1处取得最大值1/2。6.函数p(x)=ln(x)-x在区间[1,2]上的最大值为______。参考答案：ln(1)-1=-1解析：函数在区间[1,2]上单调递减，最大值为-1。7.函数q(x)=2cos^2(x)-sin(2x)在区间[0,π]上的最大值为______。参考答案：3解析：函数在x=0处取得最大值3。8.函数r(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为______。参考答案：2解析：函数在x=0和x=3处取得最大值2。9.函数s(x)=x^2e^(-x)在区间[0,3]上的最大值为______。参考答案：2e^(-1)解析：函数在x=2处取得最大值2/e。10.函数t(x)=x/(x^2+1)在区间[-2,2]上的最大值为______。参考答案：1/2解析：函数在x=1处取得最大值1/2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为6和-2。（）解析：f′(x)=3x^2-3，令f′(x)=0得x=-1或x=1。计算端点和极值点函数值：f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2，故最大值为2，最小值为-2。该命题错误。2.函数g(x)=e^x+e^(-x)在区间[0,1]上单调递减。（）解析：g′(x)=e^x-e^(-x)，在[0,1]上e^x>e^(-x)，故g′(x)>0，函数单调递增。该命题错误。3.函数h(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为π。（）解析：函数周期由sin(x)和cos(2x)共同决定，最小正周期为π。该命题正确。4.函数m(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为0。（）解析：函数在x=-2处取得最小值3。该命题错误。5.函数n(x)=x/(x^2+1)在区间[0,2]上单调递增。（）解析：函数在x=1处取得最大值1/2，在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减。该命题错误。6.函数p(x)=ln(x)-x在区间[1,2]上单调递减。（）解析：p′(x)=1/x-1，在[1,2]上1/x<1，故p′(x)<0，函数单调递减。该命题正确。7.函数q(x)=2cos^2(x)-sin(2x)的最小正周期为2π。（）解析：函数周期由cos(2x)决定，最小正周期为π。该命题错误。8.函数r(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为5。（）解析：函数在x=-2处取得最大值-1。该命题错误。9.函数s(x)=x^2e^(-x)在区间[0,3]上单调递增。（）解析：函数在x=2处取得最大值2/e，在[0,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减。该命题错误。10.函数t(x)=x/(x^2+1)在区间[-2,2]上单调递减。（）解析：函数在x=1处取得最大值1/2，在[-2,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增。该命题错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点及极值。解：f′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0或x=2。当x∈(-∞,0)时f′(x)>0，当x∈(0,2)时f′(x)<0，当x∈(2,+∞)时f′(x)>0，故x=0为极大值点，f(0)=2；x=2为极小值点，f(2)=-2。2.求函数g(x)=e^x+e^(-x)在区间[0,1]上的最大值和最小值。解：g′(x)=e^x-e^(-x)，在[0,1]上g′(x)>0，函数单调递增，最大值为g(1)=e+1/e，最小值为g(0)=2。3.求函数h(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期。解：函数周期由sin(x)和cos(2x)共同决定，sin(x)周期为2π，cos(2x)周期为π，最小正周期为π。4.求函数m(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值。解：函数可分段表示为：m(x)={3-x,x<-2{x+3,-2≤x≤1{x-1,x>1观察可得，当x=-2时m(x)取得最小值3。5.求函数n(x)=x/(x^2+1)在区间[0,2]上的最大值。解：n′(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令n′(x)=0得x=1。计算端点和极值点函数值：n(0)=0，n(1)=1/2，n(2)=2/5，故最大值为1/2。6.求函数p(x)=ln(x)-x在区间[1,2]上的最大值。解：p′(x)=1/x-1，在[1,2]上p′(x)<0，函数单调递减，最大值为p(1)=ln(1)-1=-1。7.求函数q(x)=2cos^2(x)-sin(2x)在区间[0,π]上的最大值。解：q(x)=1+cos(2x)-sin(2x)=1+√2sin(2x-π/4)，在[0,π]上2x-π/4∈[-π/4,7π/4]，sin(2x-π/4)取值范围为[-√2/2,1]，故最大值为1+√2。8.求函数s(x)=x^2e^(-x)在区间[0,3]上的最大值。解：s′(x)=2xe^(-x)-x^2e^(-x)=x(2-x)e^(-x)，令s′(x)=0得x=0或x=2。计算端点和极值点函数值：s(0)=0，s(2)=4/e≈1.47，s(3)=9/e^3≈0.49，故最大值为4/e。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x^2+10x+100（万元），其中x为产量（件）。求产量为多少时，平均成本最低？解：平均成本函数为C(x)/x=x+10+100/x，C′(x)=1-100/x^2，令C′(x)=0得x=10。当x∈(0,10)时C′(x)<0，当x∈(10,+∞)时C′(x)>0，故x=10时平均成本最低，最低平均成本为120万元。2.某商品的需求函数为p=100-0.01x（元），其中x为需求量（件）。求需求量为多少时，总收益最大？解：总收益函数为R(x)=px=100x-0.01x^2，R′(x)=100-0.02x，令R′(x)=0得x=5000。当x∈(0,5000)时R′(x)>0，当x∈(5000,+∞)时R′(x)<0，故x=5000时总收益最大，最大收益为250000元。3.某物体做直线运动，速度函数为v(t)=t^2-4t+3（米/秒），求物体在0到4秒内的最大位移。解：位移函数为s(t)=∫(t^2-4t+3)dt=t^3/3-2t^2+3t，s(0)=0，s(4)=64/3-32+12=4/3，s′(t)=t^2-4t+3=(t-1)(t-3)，令s′(t)=0得t=1或t=3。计算端点和极值点函数值：s(1)=2/3，s(3)=-6，故最大位移为4/3米。4.某公司生产某种产品，固定成本为10万元，可变成本为每件10元，售价与销售量x（件）的关系为p=50-0.01x（元）。求销售量为多少时，利润最大？解：利润函数为L(x)=px-(10x+10)=40x-0.01x^2-10，L′(x)=40-0.02x，令L′(x)=0得x=2000。当x∈(0,2000)时L′(x)>0，当x∈(2000,+∞)时L′(x)<0，故x=2000时利润最大，最大利润为90000元。5.某矩形花园的周长为20米，求花园面积的最大值。解：设矩形长为x米，宽为y米，则2x+2y=20，y=10-x，面积函数为S(x)=xy=x(10-x)=10x-x^2，S′(x)=10-2x，令S′(x)=0得x=5。当x∈(0,5)时S′(x)>0，当x∈(5,10)时S′(x)<0，故x=5时面积最大，最大面积为25平方米。6.某工厂生产某种产品，总成本函数为C(x)=x^3-6x^2+15x+10（元），求产量为多少时，边际成本最低？解：边际成本函数为C′(x)=3x^2-12x+15，C′′(x)=6x-12，令C′′(x)=0得x=2。当x∈(0,2)时C′′(x)<0，当x∈(2,+∞)时C′′(x)>0，故x=2时边际成本最低，最低边际成本为3元。7.某公司生产某种产品，固定成本为5万元，可变成本为每件20元，售价与销售量x（件）的关系为p=100-0.02x（元）。求销售量为多少时，总利润最大？解：利润函数为L(x)=px-(20x+5)=80x-0.02x^2-5，L′(x)=80-0.04x，令L′(x)=0得x=2000。当x∈(0,2000)时L′(x)>0，当x∈(2000,+∞)时L′(x)<0，故x=2000时利润最大，最大利润为159995元。8.某物体做直线运动