2022年四川省高考数学诊断性试卷(文科)(2月份) 答案解析(附后)

2022年四川省高考数学诊断性试卷(文科)(2月份)

1.已知集合4={Z|一3＜工＜4},B=3|./+51＞()}.则4nB=()

A.(-5.4)B.((),[)C.(-3.0)D.(-5,(1)

2.复数z满足(l+i)z=2i,则z在复平面上对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.青少年视力是社会普遍关心的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用小数记录法和

五分记录法记录视力数据.小数记录法的数据E和五分记录法的数据F满足£10r5,已

知某同学视力的小数记录法记录的数据为(〃)，则其视力的五分记录法的数据约为

(lg3=0.4771)()

A.1.6B.1.7C.4.8D.1.9

4-函数片/等N的大致图象是()

①分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关;

第1.页，共16页

②散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段;

③在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和为1.

其中为真命题的是（)

A.(1X2)B.①③C.②③D.@@③

6.已知等比数列｛““｝满足且=小3-1），则）

A.8B.16C.32D.64

工—沙+220

7.设x,y满足＜r+VW0,则z=/-2?/的最小值是（）

U2一1

A.-B.1C.2D.3

2

8.已知非零向量才，了满足v旬才|=2|了|,且了1（万-了），则才与胃的夹角为（）

Kc方^-57r

A.-B.7C.zD.—

6436

9.已知双曲线c：4_/=i的离心率为2,则双曲线C与双曲线E：Y_4=1有（）

4m124

A.相等的离心率B.相同的焦点C.相等的焦距D.不同的渐近线

10.设S“为等差数列｛"“｝的前。项和，若3〃=7h1,且田＞（）.则使S”〈。的。的最小

值为（）

A.30B.31C.32D.33

11.已知函数/（工）=241（3+》-1,下列结论错误的是（）

A./（工）的值域为13,1）

B./"）的图象关于直线1=一1对称

4

C./"）的图象关于点（7.（））对称

D./"）的图象可由函数"=2疝1"+勺-1图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来

O

的2倍得到

12.设函数/"）的定义域为R,且/（1―1）=/（工）-1,当TW[-1.0）时，

/"）=一工（1+1）+1,若存在7€k，+8）时，使〃上）=V，则k的最大值为（）

45

A.1B.2C,；D.-

33

13.命题p：m.r什€n»+14（），则一〃是•

14.函数"=yj—|g（3—4T）的定义域为-

15.某几何体三视图如图所示，则在该几何体内的球的最大体积为.

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16.已知抛物线。：上2=2?!/(〃>0)的焦点为尸(().1),点下关于直线2lly1=()的对

称点为M,过点F的直线/与抛物线C交于P,Q两点，当NPA/Qn!")时，直线PQ的斜

率为.

17.已知a,b,c分别是△/I3C的内角A,8,C的对边，〃—惇c=acosC，幅.而=4.

⑴求4

(2)求的面积.

18.某汽车品牌4s店为了解车主对其售后服务的满意度做了一次随机调查，按40岁以下

和40岁以上(含40岁)两个年龄段各抽取了m个车主，调查显示40岁以下车主满意的占

Q4

其车主数的：，40岁以上车主满意的占其车主数的.,且经以下2x2列联表计算可得K?的

55

观测值卜々1.762.

40岁以下车主数40岁以上车主数合计

满意

不满意

合计

(1)根据已知条件，求m的值，完成上述表格并判断是否有95%的把握认为车主对该4s店

的售后服务评价与车主年龄有关？

(2)为了进一步征集车主对4s店售后服务的意见，4s店又采用分层抽样的方法从上述表示

不满意的车主中抽取了6名，再从这6名中抽取3人进行面对面交流，求事件“至多抽到两

名40岁以下车主”的概率.

附表

2

P(A->岛)0.100.051)心0.01()

如270(!3.8415.0216.63510.828

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附./1=______MM______

(«+6)(e+</)(«+c)(6+</)'

19.如图，在三棱柱ABC—小BQ中，AC=AB=AA\,/小月。=60°,

ABAC-90°,平面.4/11cleJ.平面ABC.

(1)求证：BCiLCAi；

(2)若M是线段小G的中点，/V是线段8G上一点，且八/N〃平面.4884,求四棱锥

N-ABBiAi与三棱柱A4C-A\B\C\的体积之比.

It]J,

20.已知函数〃])=-^+cosj-.fl(j-)4-sin.r.

(1)求g(『)在点(l,g(1))处的切线方程;

(2)求证：当工€(7T.+8)时，/")有且仅有1个零点.

22

已知椭圆E:=+《=lb/>b>0)的离心率e=-,且过点

(1)求椭圆E的方程;

(2)设C点关于y轴的对称点为。，点M在直线OD上，过点M的直线/与E交于A、B两

点，线段八8的中点为N,若|/1切=2|CN],求点M的坐标.

+冬

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为〈厂-«为参数1以O为

IT

极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线G，的极坐标方程为p=2(cos"+siu。).

(1)求G的极坐标方程和的直角坐标方程；

⑵设。与g交于P,Q两点，求。/平QQI的值.

23.已知函数/(工)=K一"|+|工+1.

(1)若“=1,求不等式/(工)WJ的解集；

(2)若存在打，使得/"0)W2成立，求a的取值范围.

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答案和解析

L【答案】B

【解析】解：集合A={z|-3<]<4},

B=+5.r>（）}={T|.F<一5或r>（）},

：,Ar\B={x|0<i<4}.

故选：B.

求出集合A,B,由此能求出Ana

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

2.【答案】A

【解析】解：•.•复数Z满足（1+i）z=2i,2=".\=1+，它在复平面内对

1十，^14-1）（1-I;

应点的坐标为（1,1）,

故选：A.

利用两个复数代数形式的乘除法法则计算复数z,求得它在复平面内对应点的坐标，从而得出结

论.

本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位，的军运算性质，复数与复平面内对应点之

间的关系，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由题意可知EE=0.9,

0.9=IO1,

F-5=1g0.9=lg9-1=21g3-1,

F-21g3+4=4.9,

即其视力的五分记录法的数据约为1.9,

故选：D.

由题意可知0.9=10~5,化为对数式，结合对数的运算性质即可求解.

本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：根据题意，设〃工）=蚂岑：为,其定义域为R,

有/（一工）=一/（1），则/（"为奇函数，排除CO,

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/(1)=――I—<0,排除8,

2+2

故选：4

根据题意，先分析函数的奇偶性排除CD,计算/(I)的值排除8,即可得答案.

本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值的计算，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由分层抽样的性质可得，每个个体被抽到的可能性与层数及分层无关，故命题①为

假，

由散点图的定义可知，它是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段，故命题②为真，

在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和为1,故命题③为真.

故选：C.

根据已知条件，结合分层抽样的性质，散点图的定义，以及频率分布直方图的特点，即可依次判

断求解.

本题主要考查命题真假判断与应用，考查定义法，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：等比数列｛““｝满足4=：,且a2al=4(由-1),

则;xgx)xg3=4(：xg2-1),

解得炉=4,

as=a"=x42=8,

故选：A.

先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式公式即可求出的值

本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题

7.【答案】D

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【解析】解：画出可行域，即阴影部分,

可以看出当目标函数过点8(-1,1)时，z=.r-2”取得最小值，此时：“加=-1-2=-3.

故选：D.

画出可行域及目标函数，用几何意义求出目标函数的最小值.

本题考查了简单的线性规划问题，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：非零向量才，了满足，5|才|=2|了且方，(才一了)，

:.b-(«*—6)=a*-b—b'=|a*|«|b\cos<7T,l>>—|6|2=0,

/.¥|N『COS<a>,T>=口力/»cos<7i,~b>=毕，

242

~a,~b>€[O,TT],

7T

则d与了的夹角为1

故选：A.

由向量垂直的性质推导出了.(才一了)=才•了一了？=|a*|.|T|cos<下，了〉-|T|2=0,从

而cos<7r,1>=g,由此能求出亍与了的夹角.

2

本题考查向量的夹角的求法，考查向量垂直的性质、向量夹角余弦等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

9.【答案】C

【解析】解：双曲线1的离心率为2,

4m

可得，”>0,\/1+7=2,解得小=12,

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则双曲线C：二一2=1的离心率为2,焦点为(一4.()),“，()),焦距为8,渐近线方程为

</—±瓜';

双曲线1的焦点为(()，』)，(().-4),焦距为8,离心率为竺，渐近线方程为

1243

y=±\/3J';

故选：C.

由双曲线的离心率公式求得m,再分别讨论双曲线C和E的离心率、焦点和焦距、渐近线方程,

可得结论.

本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

10.【答案】B

【解析】【分析】根据题意，设等差数列｛"“｝的公差为d,由等差数列的通项公式分析可得

29

ai=~d,结合等差数列的前。项和公式可得

29,n(ti-\)d(I,,“八比-r.环由

S“=natd---------=-•—ndd---------=-(n2-30n),由此分析可行答案.

本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的通项公式，属于基础题.

【解答】

解：根据题意，设等差数列的公差为d,

若加$=7«n,且“I〉0,则3(oi+4rf)=7(ai4-10d),

29

变形可得：4aj+58d=0,则加=一"—d,

_n(n—l)d29,n(n—l)dd.2、，、

S〃=na｛+-------=-ynrf+--------=-(ir-3()〃),

29

«1=--—d>0,则d<(),

若S”<(),必有〃2一很加>0,又由"€N+,则“〉30,故使s“<()的n的最小值为31；

故选：B.

11.【答案】C

【解析】解：4当sin&r+》=1时，/")最大，最大为2-1—1,

当£山4工+$=-1时，/(1)最小，最小为一2-1=-3,即/")的值域为［-3.1),故人正确,

LO

8.当工=-健时，&+1=(—")+1=-1，此时/")取得最小值，即/")的图象关于直

42o24o2

线上=一号对称，故8正确，

4

C.当工=7时，［+［=：x7+J=Tr,此时〃工)=-1,即〃J)的图象关于(7.一1)对称,

42o24o4

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故C错误，

。・函数V-2sinCr+§-l图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到

O

"=2sin(；.r+()-I,此时可以得到/"),

故。正确，

故选：C.

根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可.

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用最值性，对称性以及图象变换关系分别进行判断是解

决本题的关键，是中档题.

12.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了分段函数的最值问题，属于较难题.

先根据-1)=/(x)-1得到从工€[-1.0)开始，/(X)每右移1个单位，图象就会向上移1个

29

单位，然后确定函数/")的X由小到大,y第一次取到二)时X的范围，进而可得该范围内函数/")

29

的解析式，令〃上)=%，求出X,进而可得k的最大值.

【解答】

解：当rW[-1.0)时，/(工)=-r(r+1)+1,

由-1)=得/(x)=/(z-l)+l,

即从丁€41,0)开始，/")每右移1个单位，图象就会向上移1个单位，

।55

当/€[-1.0)时，/")=一/(1+1)4-1=一./一.r+1=-(.r+5尸+；4

-5.295c29

29

故当函数/")的x由小到大，y第一次取到g时，J-e[1.2),

又当J6(1.2)时，/(r)=/"_l)+1=/(T-2)+2=-(z-2)(.r-1)+3=-.r2+3.r+1,

令一/+3r+l=",解得才=£或工=：,

on5

若存在黑+8)时，使〃工)=看，则必有

故k的最大值为1

故选D

13.【答案】言€R,7—/+1＞。

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【解析】解：,命题P：1-r(»€/?,二：-］；+1W0是一个特称命题

,命题p：Iroe/?,温-.4+1W0,的否定是“WreR,工3一公+1>0”

故答案为：Hre/?,13—/+1>0

所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可.

本题主要考查命题的否定，解题的关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题

特称命题与全称命题的否定，注意变换量词，属于基础题.

14.【答案】

Z4

【解析】解：由函数//='_馆(3_40,可得电(3-4工)WO=lgl,

13

「.。V3—4NW1,「・3WnV7,

l3、

故答案为：f

由题意，利用对数的性质，得出结论.

本题主要考查对数的性质，属于基础题.

15.【答案】叵

3

【解析】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥,

设主视图的内切圆半径为r,OC=1,OA=2\/2,AC=^/l24-(2\/2)2=3,

.­.^x2x2v/2=ix(2+3+3)xr,可得,.=乎.

,该几何体内的球的最大体积V=$X(¥)3=¥不

故答案为：Y21r.

3

由题意画出图形，求出主视图内切圆的半径，再由球的体积公式求解.

本题考查空间几何体的三视图，考查圆锥内切球体积的求法，考查运算求解能力，是中档题.

16.【答案】；

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【解析】解：由题意知抛物线的焦点F为（04），，〃=2,

二.抛物线方程为M=Ay,

设口（）」）关于直线2l-功―1=0的对称点为八/（“〃”）,

则直线MF与直线21一打一1=（）垂直，

k'lF=­―,卜=；,

对2

f'W/F-A-=—~~-x=-1,得加=-21（）+1,…①

雹）2

•.•线段MF和中点（学野3在直线"一如一1=0,

2X£-4X"；1-1=（）,即-2//（）=3,…②

由①②，解得圆=1,如=-I,，卜（1,-1）,

设直线/的方程为“=由1+1,

则以=卜闺1+1,!/•小/.，+1,

u=kix+1

,消去y,得/—4A-/T—4=0,

x'=的

2

A=(-4A-/)+16>0,+/?=%,JIX2=-4,

•.A/PL1/Q,..m.而=(),

,/Af?=(T1-1.1/1+1),A/。=(22-1.i/2+1),

M户,AfQ=(xi-1,j/i+—l,j/a+l)=(l+卜；)工1工2+(2Av—l)(ii+工2)+5

=-4(1+硝+4ki(2ki-1)+5=*-此+1=0,

解得舟=：.

故答案为：；

根据抛物线的焦点坐标求出抛物线的方程，利用点关于直线对称的点求出点M的坐标，设直线/

的方程为“A-br4-1,。（力，必），Q"%!用,联立抛物线方程，进而利用韦达定理表示出n+12,

hQ,结合垂直向量的数量积为0,列出关于用的方程，由此能求出直线PQ的斜率.

本题考查直线的斜率的求法，考查直线的对称点，直线与直线垂直、中点坐标公式、直线与抛物

线的位置关系、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】（1）解：由b-=acosC可得sinB-sinC=sinAcosC>

22

即siu（4+C）—等sin。=sin4cosC»cosAsinC=-^sinC）

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即COS,4=YE,而所以“=

24

⑵由彳月.4^=4可得becos/I=4,

由（1）4=彳，则儿,二4四，所以Saiw=.1=2.

qL

【解析】（1）利用正弦定理整理b—Y2c=acosC,再结合两角和的正弦函数即可求得cos.4,进

2

而解出人；

（2）由福•玄=4可得力ccos/l-4,结合（1）中结论可得6r—4g,再由面积公式即可求得答

案.

本题考查平面向量数量积的运算，涉及正弦定理的应用，三角形面积公式的求解，属于中档题.

-笳/尸

18.【答案】解：（1）由题设K2=y—羯_25__=4.762,得m=50.

-inx-mxmxm

完成2x2列联表如下:

40岁以下车主数40岁以上车主数合计

满意304070

不满意201030

合计5050100

而I.7G2>3.8-11,

所以有95%的把握认为车主对该4S店的售后服务评价与车主年龄有关.

（2）由（1）知，表示不满意的车主40岁以下有20人，40岁以上有10人,

按分层抽样抽取6人，应从40岁以下的20人中抽取2（）x；=4人，

从40岁以上的10人中抽取10x?=2人，

设4表示事件“至少抽到两名40岁以下车主”，

则口…

【解析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解.

（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解.

本题主要考查独立性检验公式，考查分层抽样的定义，属于中档题.

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19.【答案】解：（1）证明：连接AG与八。交于点D

由已知平面44GC，平面A8C,平面44GCC平面ABC=4C,BA1AC,

又BA。平面A8C,BAL平面.443。

而141c平面，」.S4LC4.又由已知四边形为菱形,

CAiLACx,则CA1平面AHQ.又6Gc平面A8G,故8Gle4.

恸士赫叫£平面ABB内,MNu面AGB,平面工BBiAn面AGB=4出,

MN//B.M是线段4G的中点，N是线段BC\的中点,

,12〃1,.

V\DI3iA,=3k-AB0.4|=Zx3匕4BC-W'l=Q匕40。-.4必/1,

//J*5

l

11八的,=/v…所=1,

^ABC'-AiBiC,^ABC-AyBtCx3

四棱锥登一4584与三棱柱ABC-481G的体积之比为1：3.

【解析】（1）连接AG与4c交于点D,推导出3AL4C,从而BAJ■平面AAQQ,推导出

BAlCAi,CAtlACi,从而C41平面4BG,由此能证明国:」（’1「

（2）推导出A/N〃/?,N是线段8G的中点，由此能求出四棱锥与三棱柱

A3C-小31G的体积之比.

本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥和三棱柱的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面

面间的位置关系等基础知识，才查运算激解能力，是中档题.

20.【答案】解：（I）由/（1）=竽+cos_r,知/'"）=\-siu.r,

〃"）=/'（r）+sinr==,<7（1）=|,。'（工）=一=，9‘（1）=一］，

.,.g（.r）在点（1.；）处的切线方程为“一:=-：（T-1）,

即上+2〃-2=0；

证明：（2）记6.r）=r（.r）,则J（r）=一5一cos）,

当工€（万,2万）时,f（x）>0,/（上）在（兀2万）上单调递增，

又〃力=一1+警<0,八2公=1+竽>0,娜褊曜拆孙使得/"。）=（）,

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当工€(2小')时，d(h)<(),r(T)在(2小不上单调递减，

57r115

又/'(k)=。-1<0,r(2")=}>0,则3a€整雷,詈7r),使得/'(c)=o,

〃工)在(2k«)上递增，在(0片)上递减，故当工€(24)时，/(x)>0,

57r5TT

当'€(亍+°°)时，/")>7+COST>1+COSH》(T

综上，/")有且仅有1个零点.

【解析】(1)由已知求得/'")=(-疝可，可得9")的解析式，求得！/(I)与g'(i),利用直线方

程的点斜式可得。")在点(L：)处的切线方程；

(2)记6])=/'(1)，求其导函数，然后把(TT,+X)分段，利用导数分析单调性，结合函数零点的

判定求解.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定，训练了利用导数研究

函数的单调性，属难题.

2L【答案】解：2)由已知"=得，=:①

又《+得=L②

由①@解得"2=4,接=3,

故椭圆E的方程为：[+1=1.

4J

(2)由题设及|.，18|=2|CN|得4c13C.

设过点M的直线/的方程为"=k.r+m(斜率存在I,

将其代入《+叱=1并整理得(3+4k2)i2+8knu-+bn2-12=0,

43

当△=(Skin)2-4(3+-lA-Xhzr-12)>0时，

设,n(J'j.<J2),.ri+=一，丁1/2=

J考+工4A43；二+产

继而可得Ui+如=双力+4)+2，〃=

3+-1A-)

3m2-12*2

y©=(履i+m)(k12+m)=k%i12+km(x\+的)+nr=

3+状2

又=3-i.j/i-j),cd—(«2—i,ya-$.

Ci?­ClJ=(11—l)(l2-1)+(yi-g)(!/2—g)

第14页，共16页

3137m2-12k2+8km-9m-12+f=。，

=皿12—(11+12)+1/11/2—5(i/l+的)+丁二

3+4k24

g

整理得上，+7〃厂’♦、卜/〃!)/z/--=(),(*)

4

设A/亿一。)，将其代入"=k.r+"I得m=-At-,

3

又将m=-kt--/代入(*)式整理得：

(7产-&+I)*-2+(21*-3f)k+。(7产+6f-1)=0,

4

即：(/-1)(7-l)/+3f(7f-1)A-+驯+1)(7/-1)=0,

对任意k恒成立的充要条件为1=0,即f=：,

•・一）=-；］,故点M的坐标为6用・

13

【解析】（1）由椭的离心率，=2,且过点C（l1）,列方程组，求出/=4,〃=3,由此能求出

椭圆E的方程.

（2）由题设及\AB\=2|CN|得4CC,设过点M的直线/的方程为“=+