数学（文科）-宁夏银川市银川一中2024届高三上学期第五次月考试题和答案

第1页/共5页银川一中2024届高三年级第五次月考文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给D.A.-1+2iB.1+2i3.关于椭圆+=1，以下说法正确的是()A.长轴长为2B.焦距为2C.离心率为D.左顶点的坐标为(-,0)4.把物体放在冷空气中冷却，如果物体初始温度为θ1，空气的温度为θ0，那么t小时后物体的温度θ可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数.现有A、B两个物体放在空气中冷却，已知两物体的初始温度相同，冷却2小时后，A、B两个物体的温度分别为4θ0、7θ0，假设A、B两个物体的冷却系数分别为kA、kB，则()A.kA-kB=ln2B.kB-kA=ln25.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点也是双曲线x2-y2=p的一个焦点，则此抛物线的方程为()A.y2=32xB.y2=16xCy2=8xD.y2=4x.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()第2页/共5页A.π2B.2D.4π7.已知函数f(x)的部分图象如图，则函数f(x)的解析式可能为.A.f(x)=(2x+2-x)sinxB.f(x)=(2x-2-x)sinxC.f(x)=(2x+2-x)cosxD.f(x)=(2x-2-x)cosx8.已知不等式sinxcosx-cos2x++m>0(meR)对vxe-,恒成立，则m的最小值为()A.B.C.-D.9.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AC=AA1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值等于()第3页/共5页 A.B.C.D.2210.抛物线C：y2=2px（p>0）的顶点为O，斜率为1的直线l过点(2p,0)，且与抛物线C交于A，B两点，若ΔOAB的面积为8，则该抛物线的准线方程为()A.x=-1B.x=-C.x=-2积为()A.B.C.D.14212.已知P为双曲线22xy -a2b2交双曲线的一条渐近线于点Q，直线AP、AQ的斜率为k1、k2，若以AB为直径的圆经过点Q，且=0，则双曲线的离心率为()3A.2B.2C. D.2(π)(π)1(π)(π)116.三棱锥D-ABC的外接球的表面积为20π,AD是该球的直径，ΔABC是边长为2的正三角形，则三棱锥D-ABC的体积为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每第4页/共5页17.求符合下列条件的曲线方程：（1）求过A(1,2)，B(2,3)，C(3,2)三点的圆的标准方程；（2）求与双曲线C:一y2=1有共同渐近线且过点(2,)的双曲线方程；（3）顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(一2,3)的抛物线的标准方程.（1）求{an}的通项公式；（2）记Sn为{an}的前n项和，若S11+Sk=Sk+2，求k的值.19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，ΔABC是边长为2的等边三角形，A1C」BC，平面AA1C1C」平面ABC,E,F分别为棱A1C1,BC的中点.（1）证明：EF//平面ABB1A1；（2）若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为2，求点C到平面ABB1A1的距离.20.已知函数f(x)=blnx.（1）当b>0时，求函数的单调区间和极值（2）若f(x)在区间(1,e2内恰好有两个零点，求b的取值范围.21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:+=1(a>b>0)的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆右焦点F且斜率不为零的动直线l与椭圆交于M、N两点，试问x轴上是否存在异于点F的第5页/共5页定点T，使|MF|.|NT|=|NF|.|MT|恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由.22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为〈c(t为参数),c为l的倾斜角，且ce(0,π)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2=.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A,B两点，点P(0,1)恰为线段AB的三等分点，求sinc.23.已知不等式2x-a<a的解集为[0,4（1）求实数a的值；第1页/共20页银川一中2024届高三年级第五次月考文科数学D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的结果列式可得结果.故选：B.A.-1+2iB.1+2i【答案】C【解析】【分析】由虚数单位的乘方的性质结合除法运算可得z=-1+2i，进而可得共轭复数.【详解】因为i2023=(i4)505.i3=-i，所以i2023(2+z)=2-i可化为z=-2故选：C.3.关于椭圆+=1，以下说法正确的是()A.长轴长为2B.焦距为2C.离心率为D.左顶点的坐标为(-,0)【答案】B第2页/共20页【解析】【分析】根据椭圆的性质判断.故选：B=，左顶点的坐标为(-2,0)，故只有B正确.4.把物体放在冷空气中冷却，如果物体初始温度为θ1，空气的温度为θ0，那么t小时后物体的温度θ可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数.现有A、B两个物体放在空气中冷却，已知两物体的初始温度相同，冷却2小时后，A、B两个物体的温度分别为4θ0、7θ0，假设A、B两个物体的冷却系数分别为kA、kB，则()A.kA-kB=ln2B.kB-kA=ln2【答案】A【解析】(|θ+(θ-θ)e-2kA=4θ(|(θ-θ)e-2kA=3θ(|θ+(θ-θ)e-2kA=4θ(|(θ-θ)e-2kA=3θ合适的选项.0-θ0)e-2kA=4θ0(|(θ1-θ0)e-2kA=3θ0-θ0)e-2kB=6θ0，两式相除可得e-2(kB-kA)=2，所以，2(kA-kB)=ln2，即kA-kB=ln2.故选：A.5.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点也是双曲线x2-y2=p的一个焦点，则此抛物线的方程为()A.y2=32xB.y2=16xC.y2=8xD.y2=4x【答案】B【解析】第3页/共20页【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标，再将双曲线方程化为标准式，即可得到其焦点坐标，从而得到方程，解得即可.【详解】抛物线y2=2px(p>0)的焦点为,0，则此抛物线的方程为y2=16x.故选：B.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()Aπ【答案】B【解析】B.2D.4π【分析】由三视图还原几何体可知，该几何体为一个大圆柱减去半个小圆柱，根据数据可计算出几何体体积.【详解】由三视图还原几何体可知，该几何体为一个大圆柱减去半个小圆柱，如图：第4页/共20页故选：B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，考查了圆柱的体积公式，考查了学生的直观想象能力.属于基础题.7.已知函数f(x)的部分图象如图，则函数f(x)的解析式可能为.A.f(x)=(2x+2一x)C.f(x)=(2x+2一x)cosx【答案】A【解析】【分析】由奇偶性可排除BC，由特殊点可排除D，即可求解【详解】由于图像关于原点对称，所以f(x)为奇函数，2x2x)sinx=f(x)，f(x)为偶函数，故可排除B；2xxcosx=f(x)，为偶函数，故可排除C；由图知图象不经过点(,0)，第5页/共20页-cos=0，故可排除D；故选：A8.已知不等式sinxcosx-cos2x++m>0(m=R)对vx=-,恒成立，则m的最小值为()A.B.C.-D.【答案】D【解析】【分析】将问题转化为不等式-m<sin(|（2x-对vx=-,恒成立，令 【详解】解：因为不等式sinxcosx-cos2x++m>0(m=R)对vx=-,恒成立， 因为x=-,，所以2x-=-,，min所以f(x)min=-，所以-m<-，解得m>，所以m的最小值为，故选：D第6页/共20页9.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AC=AA1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值等于() A.B.C.D.22【答案】D【解析】【分析】将该几何体补成一个直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接DC1,BD，则经BC1D（或其补角）是异面直线AB1与BC1所成的角，然后在‘BC1D中利用余弦定理求解即可.【详解】如图，将该几何体补成一个直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，由题易得底面ABCD为菱形，且‘ABC为等边三角形.连接DC1,BD，易得AB1∥DC1，所以经BC1D（或其补角）是异面直线AB1与BC1所成的角.11所以cos经BC1D=故选：D.2(2)22-(3)21 24.10.抛物线C：y2=2px（p>0）的顶点为O，斜率为1的直线l过点(2p,0)，且与抛物线C交于A，第7页/共20页B两点，若‘OAB的面积为8，则该抛物线的准线方程为()【答案】A【解析】【分析】直线l方程为y=x一2p，联立y2=2px，得到两根之和，两根之积，表达出AB=2p和点O到直线l的距离，从而表达出S‘OAB=2p2，列出方程，求出p=2，得到准线方程.【详解】由题意得，直线l方程为y=x一2p，联立y2=2px得，x2一6px+4p2=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=6p,x1x故AB 24x1x2.3636p216p2点O到直线l的距离为d==p，故S‘OAB=AB.d=x2p.p=2p2，故选：A积为()第8页/共20页1A.4【答案】A【解析】B. 23C.2D.1【分析】根据题意利用三角恒等变换并由正弦定理即可求得ac=1，再由面积公式即可求得结果.tanAtanCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinAsinC故选：A12.已知P为双曲线22xy -a2b2交双曲线的一条渐近线于点Q，直线AP、AQ的斜率为k1、k2，若以AB为直径的圆经过点Q，且2k+k=0，则双曲线的离心率为(A.B.2C.D.【答案】D【解析】2k12=0牵-=，即可得出的值，由此可求得双曲线的离心率.由A(-a,0)、B(a,0)以及以AB为直径的圆经过点Q可知AQ」PB，第9页/共20页所以k2kPB=-1牵kPB=-，nm+aPBnm-anm-a1k22a2由①和②得故选：D.b2a22=a22得e=32 2【答案】0【解析】【分析】根据向量的坐标运算求解即可.，故答案为：0.c-=，则cosc=.【答案】【解析】【分析】根据两角差的正切公式，化简求得tanc=3，再利用三角函数的基本关系式，联立方程组，即可求解.【详解】由两角差的正切公式，可得tan(c-)==可得=3，即sinc=3cosc，解得tanc=3，(sinc=3cosc又由sin2c+cos2c=1，联立方程组〈lsin2c+cos2c=1，解得(sinc=3cosc ,第10页/共20页因为ae(0,)，所以cosa=.故答案为：.【答案】14【解析】【分析】首先画出可行域，将目标函数变形根据其几何意义即可求得当z=3x一2y过点(2,一4)时，取得最大值为14.【详解】根据题意画出满足约束条件的可行域如下图中着色部分所示：将目标函数z=3x2y变形可得y=xz 3z x2若z=3x x22在y轴上的截距取得最小值，将y=x平移到过点A(2,一4)时，直线y=x一在y轴上的截距最小，此时目标函数z=3x2y有最大值为14.故答案为：1416.三棱锥D一ABC的外接球的表面积为20π,AD是该球的直径，‘ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥D一ABC的体积为.【答案】2【解析】【分析】先根据球的表面积公式求球的半径，再根据正弦定理求‘ABC的外接圆半径，根据球的性质求O1O，进而可得三棱锥的体积.【详解】设三棱锥D一ABC的外接球的球心为O,半径为R，则4πR2=20π,解得R=，设‘ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，则r=sinAC=2，连接O1A,O1O，则点D到平面ABC的距离为2，故答案为：2.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题17.求符合下列条件的曲线方程：（1）求过A(1,2)，B(2,3)，C(3,2)三点的圆的标准方程；（2）求与双曲线C:一y2=1有共同渐近线且过点(2,)的双曲线方程；（3）顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(一2,3)的抛物线的标准方程.【解析】【分析】（1）根据待定系数求圆的方程即可；第11页/共20页第12页/共20页（2）根据共渐近线方程的特点设方程为-y2=λ,代入点求解；（3）设出抛物线方程，代入点求解.【小问1详解】设所求圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2-4F>0，22则所求圆的方程为：x2+y2-4x-4y+7=0，所以圆的标准方程为：(x-2)2+(y-2)2=1.【小问2详解】双曲线与-y2=1有共同双曲线，可设为-y2=λ,如图，由所求双曲线-y2=λ过点(2,)，则λ=-5=-4，故双曲线方程为-y2=-4，即-=1；【小问3详解】因为点P(-2,3)在第二象限，如图，第13页/共20页所以设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=2p(p,>0).94又点P(-2,3)在抛物线上，所以94即抛物线的标准方程为y=-2x或x（1）求{an}的通项公式；2343（2）记Sn为{an}的前n项和，若S11+Sk=Sk+2，求k的值.【解析】【分析】（1）设公差为d，根据题意列方程组，即可求解；（2)由（1）得出Sn=，然后由S11+Sk=Sk+2，即可求解.【小问1详解】【小问2详解】n22故：k的值为30.第14页/共20页19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，‘ABC是边长为2的等边三角形，A1CBC，平面AA1C1C平面ABC,E,F分别为棱A1C1,BC的中点.（1）证明：EF//平面ABB1A1；（2）若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为2，求点C到平面ABB1A1的距离.【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）利用中位线得线线平行，进而可证平行四边形，由线面平行的判断定理即可求证.（2）根据面面垂直可得线面垂直，利用体积公式可求解A1C,进而根据等体积法即可求解.【小问1详解】如图，取AB的中点G，连接A1G,GF，则GF//AC,GF=AC,A1E//AC,A1E=AC，所以A1E//GF,A1E=GF，所以四边形A1EFG为平行四边形，所以EF//A1G.因为EF平面ABB1A1,A1G平面ABB1A1，所以EF//平面ABB1A1.第15页/共20页【小问2详解】取AC的中点D，连接BD,A1B.因为‘ABC是等边三角形，所以BD」AC.又平面AA1C1C」平面ABC，且平面AA1C1Cn平面ABC=AC，因为A1C平面AA1C1C，所以BD」A1C.因为A1C」BC,BD（BC=B，BD,BC一平面ABC,所以A1C」平面ABC.因为AC一平面ABC，所以A1C」AC.在Rt△AA1C和Rt‘BA1C中，由勾股定理可得A1A=A1B=2,A1G」AB,A1G=，设点C到平面AA1B的距离为d，2所以点C到平面ABB1A1的距离为.20.已知函数f(x)=-blnx.（1）当b>0时，求函数的单调区间和极值第16页/共20页（2）若f(x)在区间(1,e2内恰好有两个零点，求b的取值范围.大【解析】【分析】（1）根据题意，求导得f,(x)，即可得到结果；（2）根据题意，分b<0与b>0讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由f(x)=-blnx得f,(x)=x-=，且定义域为(0,+伪)∵b>0，令f¢(x)>0，即x2-b>0，解得x>，则f(x)的单调递增区间为,+伪)，单调递减区间为f(x)在x=处的极小值为f()=，无极大值.【小问2详解】故f(x)在区间(1,e2内至多只有一个零点；f(e2)21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:+=1(a>b>0)的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆第17页/共20页（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆右焦点F且斜率不为零的动直线l与椭圆交于M、N两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使|MF|.|NT|=|NF|.|MT|恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由.（2）存在，T(4,0)【解析】【分析】