第章 试题解析

PAGEPAGE10学案20万有引力定律及其应用一、概念规律题组1．对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)，下列说法中正确的是()A．公式中的G是引力常量，它不是由实验得出的，而是人为规定的B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大C．m1和m2所受引力大小总是相等的D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力2．已知万有引力常量为G，现在给出下列各组数据，不可以计算出地球质量的是()A．地球绕太阳运行的周期T和地球离太阳中心的距离RB．月球绕地球运行的周期T和月球离地球中心的距离RC．人造地球卫星在地面附近运行的速度v和运动周期TD．地球的自转周期T、地球的自转线速度和地球的平均密度ρ图13．如图1所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等且小于c的质量，则下列说法错误的是()A．b所需向心力最小B．b、c的周期相同且大于a的周期C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度二、思想方法题组4．如图2所示，同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是()图2A.eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)B.eq\f(a1,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))2C.eq\f(v1,v2)＝eq\f(r,R)D.eq\f(v1,v2)＝5．宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动，若飞船想与前面的空间站对接，飞船为了追上轨道空间站，可采取的方法是()A．飞船加速直到追上空间站，完成对接B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接C．飞船加速至一个较高轨道再减速追上空间站完成对接D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接一、万有引力定律及其应用重力与重力加速度1．关于重力(1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零．各处位置均有mg＝eq\f(GMm,R2)(2)由于Fn＝mRω2非常小，所以对一般问题的研究认为Fn＝0，mg＝eq\f(GMm,R2)2．重力加速度(1)任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，Geq\f(Mm,R2)＝mg，g＝eq\f(GM,R2).(R为星球半径，M为星球质量)(2)星球上空某一高度h处的重力加速度：Geq\f(Mm,R＋h2)＝mg′，g′＝eq\f(GM,R＋h2)随着高度的增加，重力加速度逐渐减小．【例1】英国《新科学家(NewScientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约为45km，质量M和半径R的关系满足eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为()A．108m/s2B．10C．1012m/s2D．10[规范思维]二、天体质量和密度的估算1．解决天体圆周运动问题的一般思路利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤(1)两条线索①万有引力提供向心力F＝Fn.②重力近似等于万有引力提供向心力．(2)两组公式①Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r②mgr＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r(gr为轨道所在处重力加速度)2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天体质量M＝eq\f(gR2,G)，天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r进行计算．①由万有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天体质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2).可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．【例2】已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由Geq\f(Mm,h2)＝m(eq\f(2π,T2))2h得M＝eq\f(4π2h3,GT\o\al(2,2)).(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．三、对人造卫星的认识及变轨问题1．人造卫星的动力学特征万有引力提供向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝m(eq\f(2π,T))2r2．人造卫星的运动学特征(1)线速度v：由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小．(2)角速度ω：由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小．(3)周期：由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期增大．3．卫星的稳定运行与变轨运行分析(1)什么情况下卫星稳定运行？卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动．满足的公式：Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(mv2,r).(2)变轨运行分析：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行．①当v增大时，所需向心力eq\f(mv2,r)增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝eq\r(\f(GM,r))知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．②当卫星的速度突然减小时，向心力eq\f(mv2,r)减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝eq\r(\f(GM,r))知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)．图3【例3】2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图3所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有()A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度[规范思维]四、环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星1．环绕速度与发射速度的比较近地卫星的环绕速度v＝eq\r(G\f(M,R))＝eq\r(gR)＝7.9km/s，通常称为第一宇宙速度，它是地球周围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度．不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v＝eq\r(G\f(M,r))，其大小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大．2．地球同步卫星特点(1)地球同步卫星只能在赤道上空．(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期．(3)地球同步卫星相对地面静止．(4)同步卫星的高度是一定的．【例4】我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的运行轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的eq\f(1,81)，月球的半径约为地球半径的eq\f(1,4)，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为()A．0.4km/sB．1.8km/sC．11km/s五、双星问题【例5】月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为()A．1∶6400B．1∶80C．80∶1D．6400∶1[规范思维]六、万有引力定律与抛体运动的结合【例6】在太阳系中有一颗行星的半径为R，若在该星球表面以初速度v0竖直上抛一物体，则该物体上升的最大高度为H.已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计(万有引力常量G未知)．则根据这些条件，可以求出的物理量是()A.该行星的密度B.该行星的自转周期C.该星球的第一宇宙速度D.该行星附近运行的卫星的最小周期【基础演练】1．2008年9月25日至28日，我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是()A．飞船变轨前后的机械能相等B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C．飞船在此圆轨道上运动的角速度小于同步卫星运动的角速度D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度2．某同学通过Internet查询到“神舟”六号飞船在圆形轨道上运行一周的时间约为90分钟，他将这一信息与地球同步卫星进行比较，由此可知()A．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的向心加速度比地球同步卫星小B．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的速率比地球同步卫星小C．“神舟”六号在圆形轨道上运行时离地面的高度比地球同步卫星低D．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的角速度比地球同步卫星小3．“嫦娥一号”探月飞船绕月球做“近月”匀速圆周运动，周期为T，则月球的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)()A．ρ＝eq\f(k,T)B．ρ＝kTC．ρ＝eq\f(k,T2)D．ρ＝kT2图44．如图4所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．则()A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为eq\r(g0R)B．飞船在A点处点火时，动能增加C．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过A点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过A点的加速度D．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2πeq\r(\f(R,g0))5．随着“神七”飞船发射的圆满成功，中国航天事业下一步的进展备受关注．“神八”发射前，将首先发射试验性质的小型空间站“天宫一号”，然后才发射“神八”飞船，两个航天器将在太空实现空间交会对接．空间交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接．所谓交会是指两个或两个以上的航天器在轨道上按预定位置和时间相会，而对接则为两个航天器相会后在结构上连成一个整体．关于“天宫一号”和“神八”交会时的情景，以下判断正确的是()A．“神八”加速可追上在同一轨道的“天宫一号”B．“神八”减速方可与在同一轨道的“天宫一号”交会C．“天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心加速度D．“天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心力6．1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．如图5所示，“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439km和2384图5A．卫星在M点的势能大于N点的势能B．卫星在M点的角速度大于N点的角速度C．卫星在M点的加速度小于N点的加速度D．卫星在N点的速度大于7.9km7．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出()A．火星的密度和火星表面的重力加速度B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C．火星的半径和“萤火一号”的质量D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力【能力提升】8．2009年6月19日凌晨5点32分(美国东部时间2009年6月18日下午5点32分)，美国航空航天局在佛罗里达州卡纳维拉尔角空军基地41号发射场用“宇宙神­5”运载火箭将月球勘测轨道飞行器(LRO)送入一条距离月表31英里(约合50km)的圆形极地轨道，LRO每天在50km的高度穿越月球两极上空10次．若以T表示LRO在离月球表面高度h处的轨道上做匀速圆周运动的周期A.LRO运行的向心加速度为eq\f(4π2R,T2)B.LRO运行的向心加速度为eq\f(4π2R＋h,T2)C.月球表面的重力加速度为eq\f(4π2R,T2)D.月球表面的重力加速度为eq\f(4π2R＋h3,T2R2)题号12345678答案9.已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T的表达式．10．图6如图6所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G.(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg.求T2学案20万有引力定律及其应用【课前双基回扣】1．AC2.BC3.ABD4.AD5.B思维提升1．如果对万有引力定律只适用于质点这一条件缺乏深刻理解(或根本不注意适用条件)，往往不能认识到当两物体间的距离r趋于零时，这两个物体不能看做质点，万有引力定律不适用于此种情况．2．要弄清楚公式F＝Geq\f(m1m2,r2)的各物理量的含义．当两物体可以看成质点时，r是指两质点间距离；对质量分布均匀的球体，r是指两球心间距离．3．对于绕地球运行的卫星，应利用Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mreq\f(4π2,T2)来分析卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期的大小比较及变化，其中r是卫星的轨道半径．4．赤道上的物体的向心加速度a＝ω2R0≈0.034m/s2，远小于地面上物体的重力加速度g＝9.8m/s2，故近似计算中忽略自转影响，而认为地面上物体的重力和该物体受到的万有引力相等，卫星上的物体处于完全失重状态，故F引＝mg′＝ma.卫星的向心加速度a等于卫星所在处的重力加速度g′，对近地卫星来讲g′＝g＝9.85．赤道上的物体与地球同步卫星的相同之处是：二者具有与地球自转相同的运转周期和运转角速度，始终与地球保持相对静止状态，共同绕地轴做匀速圆周运动．【核心考点突破】例1C[可认为黑洞表面物体的重力等于万有引力，即mg＝eq\f(GMm,R2)，即g＝eq\f(GM,R2)，将eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)代入上式得g＝eq\f(c2,2R)＝eq\f(3×1082,2×45×103)m/s2＝1×1012m/s2.][规范思维]在星球表面，由mg＝Geq\f(Mm,R2)，得①GM＝gR2，若知星球表面重力加速度g和星球半径R，可替换GM，称为黄金代换；②g＝eq\f(GM,R2)，由重力加速度g可将万有引力定律和其它规律相联系，如运动学公式，机械能守恒定律等，实现综合解题．例2见解析解析(1)上面的结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略．正确的解法和结果：Geq\f(Mm,R＋h2)＝m(eq\f(2π,T2))2(R＋h)得M＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2,2)).(2)解法一在地面上的物体所受的万有引力近似等于重力，由eq\f(GMm,R2)＝mg，解得M＝eq\f(gR2,G).解法二对月球绕地球做圆周运动，由Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T1))2r，得M＝eq\f(4π2r3,GT\o\al(2,1)).[规范思维]本题给出了两种常用的求星球质量的方法：(1)已知卫星的轨道半径r和周期T求质量(注意r为卫星到天体球心的距离)；(2)已知星球表面重力加速度g、星球半径R和引力常量G，由M＝eq\f(gR2,G)，求星球质量．例3ABC[在椭圆轨道上运动，近地点的速度最大，远地点的速度最小，A选项正确．由万有引力定律可知飞机在A点受到的引力是个定值，由此结合牛顿第二定律可知飞机在A点的加速度是个定值，故D项错误．飞机从A点进入轨道Ⅱ相对于轨道Ⅰ可看成向心运动，则可知飞机在轨道Ⅱ上A点速度小于轨道Ⅰ上A点速度，再结合动能定义式可知B选项正确．根据低轨道卫星的周期小，高轨道卫星周期大可知C选项正确．综上知正确答案为A、B、C.][规范思维]卫星的变轨问题注意区分这两种情况(1)制动变轨：卫星的速率减小，卫星做向心运动，轨道半径变小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动；(2)加速变轨：卫星的速率增大，卫星做离心运动，轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动．例4B[设地球的质量、半径分别为M、R，月球的质量、半径分别为M′、r，则M′＝eq\f(M,81)，r＝eq\f(1,4)R.在星体表面，物体的重力近似等于万有引力，若物体质量为m0，则：eq\f(GMm0,R2)＝m0g，即GM＝gR2；在月球表面，满足GM′＝g′r2，由此可得：g′＝eq\f(M′R2,Mr2)g＝eq\f(16,81)g，地球表面的第一宇宙速度v1＝eq\r(gR)＝7.9km/s，在月球表面，有v′＝eq\r(g′r)＝eq\r(\f(16,81)g×\f(1,4)R)＝eq\f(2,9)eq\r(gR)＝eq\f(2,9)×7.9km/s≈1.8km/s.][规范思维](1)解决此类题的关键：要明确卫星的第一宇宙速度等于最大环绕速度．(2)解决万有引力定律的应用问题，尽管题目很多，但基本方法是不变的，即把天体的运动看成圆周运动，万有引力提供向心力．例5C[设地球和月球的质量分别为M、m，地月球心间距为r，地球和月球的转动半径分别为r1、r2，由题意知ω1＝ω2＝ω，则Geq\f(Mm,r2)＝Mω2r1，Geq\f(Mm,r2)＝mω2r2，所以eq\f(r1,r2)＝eq\f(m,M)＝eq\f(1,80).二者转动角速度相同，可知地球和月球绕O点运动的线速度大小之比为eq\f(v1,v2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(m,M)＝eq\f(1,80)，即月球与地球绕O点运动的线速度大小之比为80∶1，本题只有选项C正确．][规范思维]本题就是经典的双星模型．所谓双星模型，就是有一些天体的运动并非是一颗星以另一颗星为中心做圆周运动，而是两颗星都不是运动的中心，它们绕二者连线上的某一点做圆周运动，好像“被穿在一根杆上的两个小球”，以两个小球之间杆上的某一点为中心做圆周运动．解决这类问题的关键是挖掘出双星问题的根本特点——角速度相同，并以此列向心力方程．例6CD[由竖直上抛运动规律得g＝eq\f(v\o\al(2,0),2H)Geq\f(Mm,R2)＝mgM＝eq\f(gR2,G)ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3v\o\al(2,0),8πGRH)，G未知，故A错；根据已知条件不能分析行星的自转情况，B错；根据Geq\f(Mm,R2)＝mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)＝eq\r(\f(v\o\al(2,0)R,2H))＝v0eq\r(\f(R,2H))，C正确；由Geq\f(Mm,R2)＝m(eq\f(2π,T))2R＝mg得T＝2πeq\r(\f(R,g))＝2πeq\r(\f(R·2H,v\o\al(2,0)))＝eq\f(2π,v0)eq\r(2RH)，D正确．][规范思维]天体表面的抛体运动经常与万有引力定律结合来求解围绕天体做匀速圆周运动的物体的有关物理量，解决问题的办法是通过抛体运动求天体表面的重力加速度，再根据万有引力定律求T、ω、天体质量或密度．也可以先根据万有引力定律求重力加速度，再分析抛体运动．【课时效果检测】1．BC2.C3.C4.AD5.C6.BC7.A8.BD9．(1)v1＝eq\r(gR)(2)T＝eq\f(2π,R)eq\r(\f(R＋h3,g))解析(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M，地球表面处的某物体质量为m′不考虑地球自转的影响，在地球表面附近满足Geq\f(Mm′,R2)＝m′g则GM＝R2g①卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力则meq\f(v\o\al(2,1),R)＝Geq\f(Mm,R2)②将①式代入②式，得到v1＝eq\r(Rg)(2)由①式可知，卫星受到的万有引力为F＝Geq\f(Mm,R＋h2)＝eq\f(mgR2,R＋h2)③由牛顿第二定律得F＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)④③④式联立解得T＝eq\f(2π,R)eq\r(\f(R＋h3,g))10．(1)2πeq\r(\f(L3,GM＋m))(2)1.012解析(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，