2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第32讲复数学生版

第32讲复数思维导图知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up7(→)).3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．题型归纳题型1复数的有关概念【例1-1】复数的虚部是A． B． C． D．【例1-2】已知复数满足，且为纯虚数，则A． B． C． D．【例1-3】已知复数，则的共轭复数等于A．0 B． C． D．【跟踪训练1-1】若的实部为，的虚部为，则A．6 B．8 C．7 D．4【跟踪训练1-2】已知复数是纯虚数，则实数A． B． C．0 D．1【跟踪训练1-3】已知复数为虚数单位），则的虚部为A． B． C． D．【跟踪训练1-4】若复数是纯虚数，其中是实数，则．【名师指导】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．题型2复数的几何意义【例2-1】已知复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例2-2】在复平面内，是坐标原点，向量对应的复数是，若点关于实轴的对称点为点，则向量对应的复数的模为．【跟踪训练2-1】若复数，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【跟踪训练2-2】复数，则的共轭复数在复平面内所对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【跟踪训练2-3】复数满足，则在复平面表示的点所在的象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【跟踪训练2-4】已知复数，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【跟踪训练2-5】已知复数是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【跟踪训练2-6】已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第象限．【名师指导】1．准确理解复数的几何意义(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up7(→)).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．2．与复数的几何意义相关问题的一般步骤(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．题型3复数的运算【例3-1】若，则A．0 B．1 C． D．2【例3-2】若，则A． B． C． D．【例3-3】A． B．4 C． D．【跟踪训练3-1】A．1 B． C． D．【跟踪训练3-2】A． B． C． D．【跟踪训练3-3】已知复数，则A．2 B．5 C．10 D．18【跟踪训练3-4】已知，则A． B． C． D．【名师指导】复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部