2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第28讲平面向量的概念及线性运算教师版

第28讲平面向量的概念及线性运算思维导图知识梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作eq\o(AB,\s\up7(→))，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．(2)向量的长度(模)：向量eq\o(AB,\s\up7(→))的大小即向量eq\o(AB,\s\up7(→))的长度(模)，记为eq\o(|AB|,\s\up7(→)).2．几种特殊向量名称定义备注零向量长度为0的向量零向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量单位向量记作a0，a0＝eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量)0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a，b为相反向量，则a＝－b3．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则eq\a\vs4\al(平行四边形,法则)(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.题型归纳题型1平面向量的有关概念【例1-1】下列说法正确的是（）A．零向量没有方向 B．向量就是有向线段 C．只有零向量的模长等于0 D．单位向量都相等【分析】根据零向量，单位向量、有向线段的定义即可判断出结论．【解答】解：零向量的方向是任意的，故A选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；只有零向量的模长等0，故C选项正确；单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误．故选：C．【例1-2】有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；②若|a→|=|③若|AB→|=|④若m→=n→，⑤若a→∥b→，⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题判断真假性即可．【解答】解：对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若|a→|=|b→|，则对于③，若|AB→|=|DC→∴四边形ABCD不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m→=n→，n→对于⑤，若a→∥b当b→=0→时，对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个．故选：C．【跟踪训练1-1】给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若a→，b→都是单位向量，则a→=b→；A．① B．③ C．①③ D．①②【分析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误．【解答】解：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；AB→与向量BA→互为相反向量，故故选：A．【跟踪训练1-2】下列命题中，正确的个数是（）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a→，b→满足|a→|＞|b→|且a→④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若a→∥b→，b→∥c→，则A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于①，单位向量的大小相等相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，b→=0→时，a→∥b→，b→综上，以上正确的命题个数是0．故选：A．【跟踪训练1-3】下列关于向量的叙述不正确的是（）A．向量AB→的相反向量是BAB．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的 C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则AB→D．若向量a→与b→满足关系a→+b【分析】根据相反向量、单位向量的定义即可判断出选项A，B的叙述是正确的，根据共线向量基本定理即可判断选项D的叙述是正确的，从而叙述不正确的只能选C．【解答】解：根据相反向量的定义即可判断选项A的叙述正确；根据单位向量的定义即可判断选项B的叙述正确；AB→与CD→的方向不一定相同，从而得出AB→=CD→是错误的；a→故选：C．【跟踪训练1-4】下列关于向量的结论：（1）若|a→|＝|b→|，则a→（2）向量a→与b→平行，则a→（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量a→与b→同向，且|a→|＞|b→其中正确的序号为（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）【分析】根据向量的定义，平行向量和相等向量的定义判断即可．【解答】解：根据向量的定义可判断（1）（4）错误，向量a→，b→都是零向量时，由向量a→故选：D．【名师指导】向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．题型2向量的线性运算【例2-1】在△ABC中，D是AB边上的中点，则CB→A．2CD→+CA→ B．CD→-2CA→ C．2【分析】利用向量加法法则直接求解．【解答】解：在△ABC中，D是AB边上的中点，则CB=CD＝2CD→故选：C．【例2-2】已知点D在△ABC的边AC上，CD＝2DA，点E是BD中点，则EC→A．13AB→+23AC→ B．1【分析】根据条件可画出图形，可得出EC→=-【解答】解：如图，根据题意，EC→故选：D．【例2-3】在正方形ABCD中，点M，N分别满足DM→=MC→，CN→A．2 B．1 C．12 D．【分析】可画出图形，根据条件即可得出M为CD的中点，而根据AD→-AB→=2NM→可得出BD→=2【解答】解：如图，∵DM→=MC→，∴∵AD→∴N为BC的中点，∴CN→∴λ＝1．故选：B．【跟踪训练2-1】如图，△ABC中，已知CD→=2DB→A．13AB→+23AC→ B．3【分析】根据条件可得出AD→-AC【解答】解：∵CD→∴AD→∴AD→故选：D．【跟踪训练2-2】已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OAA．OA→=12AB→+3C．OA→=12AB→【分析】把已知条件整理即可求解结论．【解答】解：因为点O满足16OA→-12OB→故OA→+12OA→-12OB→即：OA→+12BA→+3CA→=0故选：A．【跟踪训练2-3】△ABC中，点D为BC的中点，AB→=3AE→，M为AD与CE的交点，若A．14 B．13 C．25 【分析】根据D为BC的中点可得出AD→=12AB→+12AC→，再根据AB→=3【解答】解：如图，D为BC的中点，∴AD→又∵AM→=λ∴AM→=λ2AB→+∴3λ2+λ故选：D．【名师指导】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．题型3共线向量定理的应用【例3-1】已知两个非零向量e1→，e2→不共线，若AB→=λe1→+3e2→，BC→=6e1→+23e2【分析】可求出BD→=10e1→+15e2→，根据A【解答】解：BD→∵A，B，D三点共线，∴设AB→=k∴λ=10k15k=3，解得λ＝2故答案为：2．【例3-2】向量OA→=（k，12），OB→=（4，5），OC→=（10，k），当k为何值时，【分析】由条件和向量的坐标运算求出AB→、BC→的坐标，再代入向量共线的坐标条件求出【解答】解：由题意得，AB→=（4﹣k，﹣7），BC→=（6，∵A、B、C三点共线，∴AB→∴（4﹣k）（k﹣5）+42＝0，即k2﹣9k﹣22＝0，解得k＝﹣2或k＝11．综上知，当k＝﹣2或k＝11时，A、B、C三点共线【跟踪训练3-1】在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记AB→=a→，AC→=b→，若DE【分析】可画出图形，根据AD＝DB，BE＝2EC即可得出DB→=12AB→，BE→=2【解答】解：如图，∵AD＝DB，BE＝2EC；∴DB→=12AB∴DE→又DE→∴根据平面向量基本定理得，x=∴x+故答案为：12【跟踪训练3-2】设a→，b→是不共线的两个平面向量，已知AB→=a→-2b→，A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6【分析】根据题意，分析可得AB→∥BC→，进而可得【解答】解：根据题意，若A，B，C三点共线，则AB→又由AB→=a→-解可得k＝﹣6；故选：D．【跟踪训练3-3】设a→，b→不共线，AB→=a→+3b→，BC→=A．23 B．15 C．72 【分析】根据A，C，D三点共线，得到AC→=λ【解答