2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第10讲对数与对数函数学生版

第10讲对数与对数函数思维导图知识梳理1．对数概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数核心素养分析幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本讲的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。题型归纳题型1对数式的化简与求值【例1-1】已知，若，，则A． B．2 C． D．4【例1-2】计算：A．1 B．4 C．5 D．7【跟踪训练2-1】计算：．【跟踪训练2-2】著实数，满足，则，．【名师指导】对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型2对数函数的图象及应用【例2-1】函数的图象是A． B． C． D．【例2-2】如图所示，正方形的四个顶点在函数，，的图象上，则．【跟踪训练2-1】函数的图象是A． B． C． D．【跟踪训练2-2】如图，已知过原点的直线与函数的图象交于，两点，分别过，作轴的平行线与函数图象交于，两点，若轴，则四边形的面积为．【名师指导】对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．题型3对数函数的性质及应用【例3-1】已知，．设，，，则A． B． C． D．【例3-2】已知函数，则使得的的取值范围是A． B． C． D．【例3-3】已知函数．（1）若的定义域为，求的取值范围；（2）若，求单调区间；（3）是否存在实数，使在上为增函数？若存在，求出的范围？若不存在，说明理由．【跟踪训练3-1】已知，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【跟踪训练3-2】已知，，，则A． B． C． D．【跟踪训练3-3】已知函数且，满足，则的解集是A．， B． C． D．，【跟踪训练3-4】已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【名师指导】1.比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1，0等中间量进行比较2.求解对数不等式的两种类型及方法类型方法logax>logab借助y＝logax的单调性求解，如果a