（人教A版2019必修第一册）高一数学《考点题型 技巧》精讲与精练高分突破 5.4.1-5.4.2 正弦函数、余弦函数的图象与性质【附答案解析】

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第一册)5.4三角函数的图象与性质5.4.1-5.4.2正弦函数、余弦函数的图象与正弦函数、余弦函数的性质【考点梳理】考点一正弦函数的图象1．正弦曲线的定义正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫正弦曲线．2．正弦函数图象的画法(1)几何法：①利用单位圆上点T(x0，sinx0)画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．(2)五点法：①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．考点二余弦函数的图象1．余弦曲线的定义余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫余弦曲线．2．余弦函数图象的画法(1)要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度即可，这是由于cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))).(2)用“五点法”：画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．考点三：周期性1．函数的周期性(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．2．正弦、余弦函数的周期性正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.考点四：正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．考点五：正弦函数、余弦函数的单调性与最值正弦函数余弦函数图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]单调性在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上单调递增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)上单调递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减最值x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1【题型归纳】题型一：正弦函数、余弦函数图象的初步认识1．（2023·全国·高一课前预习）用五点法作函数y＝2sinx－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（）A．0，，π，，2π B．0，，，，πC．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，2．（2023·上海·高一课时练习）实数x属于下列哪个区间时，不等式恒成立？（）A． B． C． D．3．（2023·全国·高一课时练习）从函数的图象来看，当时，对于的x有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型二：用“五点法”作简图4．（2023·陕西省洛南中学高一月考）已知函数．（1）利用“五点法”画出该函数在长度为一个周期上的简图．列表作图：（2）说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到．5．（2023·北京市昌平区第二中学高一期中）已知函数（1）用“五点法”画出在一个周期内的闭区间上的简图必须列表.（2）写出的对称中心.题型三：正弦(余弦)函数图象的应用6．（2023·广西·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））函数在上的零点个数为（）A．2 B．4 C．5 D．67．（2023·全国·高一课时练习）不等式的解集为（）A． B． C． D．8．（2020·广东广州·高一期末）已知函数的零点为，则所在的区间是（）A． B． C． D．题型四：正弦三角函数的周期和奇偶性问题9．（2023·全国·高一课时练习）下列函数具有奇偶性的是（）A． B．C． D．10．（2023·全国·高一课时练习）已知函数是奇函数，当时的值为（）A． B． C． D．11．（2023·河南洛阳·高一期中（理））已知函数，下列结论正确的是（）．A．函数的最小正周期为，最小值为1B．函数的最小正周期为，最小值为0C．函数的最小正周期为，最大值为2D．函数的最小正周期为，最大值为题型五：余弦三角函数的周期和奇偶性问题12．（2023·全国·高一课时练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值是（）A． B． C． D．13．（2023·全国·高一课时练习）函数是（）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的非奇非偶函数 D．最小正周期为的非奇非偶函数14．（2023·安徽·合肥百花中学高一期末）函数的部分图像如图所示，则的最小正周期为（）A． B． C． D．题型六：求正弦、余弦函数的单调区间15．（2023·全国·高一课时练习）已知函数．（1）当时，求函数的减区间；（2）当时，的值域为，求实数a，b的值．16．（2023·甘肃·静宁县第一中学高一月考（文））已知函数.（1）求出该函数的单调递减区间；（2）当时，的最小值是，最大值是，求实数a，b的值.17．（2023·安徽宿州·高一期中）设函数，.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值.题型七：三角函数值的大小比较18．（2023·江苏·高一课时练习）利用函数的性质，比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与；（5）与；（6）与.19．（2023·江苏·高一课时练习）不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与.题型八：正弦、余弦函数的最值(值域)20．（2023·江苏·高一课时练习）求函数，的最值，并求出相应的x的值．21．（2023·江苏·高一课时练习）设a，b为实数，已知定义在区间上的函数的最大值为1，最小值为-5，求a，b的值.22．（2023·江西·九江一中高一期中）已知函数的部分图象如下图所示．（1）解不等式；（2）若存在，对任意，不等式恒成立，求的取值范围．题型九：正弦、余弦函数的对称性23．（2023·陕西·绥德中学高一月考（文））函数，则下列选项正确的是（）A．当时，取最大值 B．在区间单调递增C．在区间单调递减 D．的一个对称轴为24．（2023·甘肃·庆阳第六中学高一期末）若将函数的图像向右平移个单位长度，则平移后新函数图象的对称中心为（）A． B． C． D．25．（2023·河南·高一月考）设函数的一条对称轴是，则（）A．可能是偶函数 B．可能是奇函数C．的一个可能取值是 D．的一个对称中心可以是【双基达标】一、单选题26．（2023·全国·高一课时练习）给出下列函数：①；②；③；④.其中最小正周期为的有（）A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．①③27．（2023·全国·高一课时练习）函数（）A．在上是增函数 B．在上是增函数，在上是减函数C．在上是减函数 D．在上是减函数，在）上是增函数28．（2023·江苏·高一课时练习）函数的值域是（）.A． B． C． D．29．（2023·西藏日喀则区南木林高级中学高一期末）已知函数，下列结论错误的是（）A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数C．函数的图象关于轴对称 D．函数是奇函数30．（2023·陕西省洛南中学高一月考）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（）A． B．C． D．31．（2023·江西·九江一中高一月考）关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．32．（2023·全国·高一课时练习）设函数的定义域为，值域为，令，则t的最大值与最小值的和为（）A． B． C． D．33．（2023·河北·正定中学高一月考）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），当x∈[3，5]时，f（x）＝1-|x-4|，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．34．（2023·黑龙江·哈尔滨市教育局高一月考）函数定义域为（）A． B．C． D．35．（2023·贵州省瓮安第二中学高一月考）已知函数(，)的部分图象如图所示，则（）A． B．点是图象的一个对称中心C． D．直线是图象的一条对称轴【高分突破】一：单选题36．（2023·河南·原阳县第三高级中学高一月考）下列函数中，最小正周期为的是（）A． B．C． D．37．（2023·全国·高一课时练习）函数对于，都有，则的最小值为（）A． B． C． D．38．（2023·河南·信阳市浉河区新时代学校高一月考）函数的部分图象如图所示，则关于函数的下列说法正确的是（）A．图象关于点中心对称B．图象关于直线对称C．最小正周期为D．在区间上单调递减39．（2023·江西省修水县英才高级中学高一月考）对于函数，有下列4个结论：①为偶函数；②的值域为；③是以为最小正周期的周期函数；④不等式的解集为.其中所有正确结论的编号为（）A．②④ B．③④ C．①③ D．④40．（2023·云南·昆明二十三中高一期中）若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（）A．B．的图象的一个对称中心为C．的单调递增区间是，D．把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象41．（2023·广东潮阳·高一期末）关于，，下列叙述正确的是（）A．若，则是的整数倍B．函数的图象关于点对称C．函数的图象关于直线对称D．函数在区间上为增函数.42．（2023·上海市建青实验学校高一期中）下列函数中，既在上为增函数，又是以为最小正周期的偶函数的是（）A． B． C． D．43．（2023·河南商丘·高一月考）已知函数，下列说法正确的是（）A．在区间上单调递增 B．图象的一个对称中心为C．的值域为 D．的对称轴方程为44．（2023·江苏吴江·高一期中）已知函数，为其图像的对称中心，，是该图像上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是（）A．， B．，C．， D．，45．（2023·安徽省太和中学高一月考）已知函数在上的值域为，则实数m的最小值为（）A． B． C． D．46．（2023·陕西富平·高一期末）已知函数（），若的图像在上与x轴恰有两个交点，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题47．（2023·福建·福州三中高一期中）已知函数，则下列命题中正确的是（）A．是函数的一个周期B．的最小值是2C．在区间单调递增D．的图象关于直线对称48．（2023·全国·高一课时练习）已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数在上是增函数 B．函数在上是增函数C．函数在上是增函数 D．函数在上是增函数49．（2023·广东高州·高一期末）对于函数下列说法中正确的是（）A．是以为最小正周期的周期函数B．的对称轴方程为，C．的最大值为1，最小值为D．当且仅当时，50．（2023·全国·高一课时练习）同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数，这样的一个函数不可能为（）A． B． C． D．51．（2023·全国·高一单元测试）已知函数（其中）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则下列判断正确的是（）A．函数中B．直线是函数图象的一条对称轴C．点是函数的一个对称中心D．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为52．（2023·河北·正定中学高一月考）有以下四个命题，正确命题是（）A．函数的一个增区间是B．若函数为奇函数，则为的整数倍C．对于函数，若，则必是的整数倍D．函数的图像关于点对称三、填空题53．（2023·全国·高一课时练习）已知，，则的最大值和最小值分别为______．54．（2023·全国·高一单元测试）关于有如下说法：①若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1x2是π的整数倍，②函数解析式可改为，③函数图象关于对称，④函数图象关于点对称．其中正确的是____（填正确的序号）55．（2023·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）函数的图象与轴相交于点，如图是它的部分图象，若函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为，则_________.56．（2023·安徽·合肥百花中学高一期末）在内不等式的解集为__________．57．（2023·浙江·学军中学高一竞赛）若不等式，对恒成立，则和分别等于_______．58．（2023·江西上饶·高一月考（理））对于函数给出下列四个命题：①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当时，该函数取得最小值-1；③该函数的图象关于对称；④当且仅当时，.其中正确命题的序号是___________.（请将所有正确命题的序号都填入）四、解答题59．（2023·甘肃·静宁县第一中学高一月考（理））已知函数.（1）试用“五点法”画出它的图象；列表：xy作图：

（2）求它的振幅､周期和初相；（3）根据图象写出它的单调递减区间.60．（2023·全国·高一课时练习）已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）若，且，求的值．61．（2023·甘肃·静宁县第一中学高一月考（理））函数的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）设，，求的值.62．（2020·浙江·高一单元测试）已知（1）化简；（2）若且求的值；（3）求满足的的取值集合.63．（2019·湖南株洲·高一期中）已知函数关系式：的部分图象如图所示：（1）求，，的值；（2）设函数，求在上的单调递减区间．64．（2023·四川省大竹中学高一月考）已知函数，，是方程的两个不相等的实根，且的最小值为.（1）求函数的解析式；（2）若，的值域是，求m的取值范围65．（2023·上海·高一课时练习）函数（）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数的解析式；（2）设，则，求的值【答案详解】1．A【详解】由五点作图法可知，首先描出的五个点的横坐标为：，，，，.故选：A.2．D【详解】在同一坐标系中，作出与，如图：由图可知，当时，，当时，，又因为.故选：D3．C【详解】先画出，的图象，即A与D之间的部分，再画出的图象，如下图：由图象可知它们有2个交点B、C，所以当时，的x的值有2个.故选：C4．【详解】（1）列表0020-20作图（2）将图象向左平移个长度单位，可得，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得，纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，可得.5．【详解】（1）在坐标系中画出图象如图所示：（2）令可得：，所以的对称中心为.6．C【详解】函数在上的零点个数，等价于与的图象在上的交点个数，如图所示：由图可知，函数与在上有5个交点，故选：C．7．B【详解】解：函数图象如下所示：，不等式的解集为：．故选：．8．B【详解】，函数的零点等价于与的图像交点，作出两函数图像如图所示：由图知，两函数只有1个交点，且，即故选：B9．C【详解】解：对A，函数的定义域为，不关于原点对称，无奇偶性，故A错误；对B，函数的定义域为，不关于原点对称，无奇偶性；故B错误；对C，函数的定义域为，且，故为奇函数，故C正确；对D，函数的定义域为，不关于原点对称，无奇偶性，故D错误．故选：C．10．B【详解】函数是奇函数，故，对照选项只有k=0时，选项B符合题意故选：B11．A【详解】由，得，，所以的最小正周期为，故排除B、D；当时，，由得，所以，所以，所以一个周期内，的最小值为1，最大值为，故排除C.故选：A12．A【详解】由题意，知．因为为奇函数，所以，所以．又，所以当时，取得最小值．故选：A13．D【详解】由题意可得，∴，故的最小正周期，由函数奇偶性的定义易知，为非奇非偶函数.故选：D.14．B【详解】由图可知，,则,故选：B15．（1），；（2），．解：当时．∵的减区间为，∴当，即，时，是减函数，∴的减区间是，．（2）解：，∵，∴，，解得，．16．（1），（2），（1）结合已知条件和正弦函数性质，由，，解得，，故函数的单调递减区间为，.（2）令，∵，∴，∴由正弦函数性质得，，故，，由，解得.17．（1）最小正周期，单调递增区间是；（2）当时，函数取最小值；时，函数取最大值.【详解】（1）函数的最小正周期 .令，得，所以函数的单调递增区间是；（2）令，则由可得，所以当，即时，，当时，即时，.即当时，函数取最小值；当时，函数取最大值.18．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）因为函数在区间上单调递减，，所以.（2）因为，，函数在区间单调递减，，所以，即；（3）因为，函数在区间上单调递减，，所以，即.（4）因为，，函数在区间单调递减，，所以，即.（5）因为函数在区间上单调递增，，所以.（6），所以19．（1）；（2）；（3）；（4）（1），故；（2）因为则，即；（3），因为，则，即（4），故.20．最大值为1，相应的x的值为；最小值为，相应的x的值为.【详解】由，可得，当时，即，函数取得最小值，最小值为；当时，即，函数取得最大值，最大值为.21．或【详解】因为，则，所以，因为函数的最大值为1，最小值为-5，当时，有，解得；当时，有，解得.22．（1）；（2），，．解：（1）由题意可得，，即，将代入，可得，所以，，因为，所以，所以．则,即,即.（2）因为，所以，因为，所以，，由题意可知，所以，上式可视为以为自变量的一元一次不等式，所以，解得，解得或，则的取值范围为，，．23．C【详解】因为函数，A.当时，，故A错误；B.因为，则，所以在区间不单调，故B错误；C.因为，则，所以在区间单调递减，故C正确；D.因为，故D错误；故选：C24．B【详解】将函数的图像向右平移个单位长度，得，由2xkπ，得x，k∈Z，即对称中心为（，0），k∈Z，故选：B．25．D【详解】，既不为，也不为0，故排除AB；的一条对称轴是，则，解得，因为，故C错误；由，当时，，故D正确.故选：D26．A【详解】①，其最小正周期为；②的图象，如图所示：，由图象知的最小正周期为；的最小正周期；的图象如图所示：，由图象知最小正周期.故选：A.27．D【详解】因为．由函数在上是增函数，知函数在上是减函数，在上是增函数，故选：D．28．B【详解】在上单调递增，在上单调递减在上单调递增，在上单调递减当时取最大值且当时取最大值函数的值域是故选：B29．D【详解】由题意，，由余弦函数可知，函数的最小正周期为，故A正确；函数在区间上为减函数，则在区间上为增函数，故B正确；函数为偶函数，且图象关于轴对称，则为偶函数，且图象关于轴对称，故C正确，D错误.故选：D30．A【详解】由图象可得，解得A=2，k=1，由正弦型图象性质可得，所以，解得，又，且，所以，所以.故选：A31．A【详解】时，，，所以时，不等式对恒成立，当时，若，则，不合题意，时，设，原不等式化为，时不等式为恒成立，时，不等式化为，易知在是增函数，因此时，取得最大值，所以，综上，或．故选：A．32．A【详解】解：函数的定义域为，，值域为，结合正弦函数的图象与性质，不妨取，，此时取得最大值为取，，取得最小值为，则的最大值与最小值的和为，故选：．33．C【详解】∵当x∈[3，5]时，，f（x＋2）＝f（x），∴当x∈[-1，1]时，，当x∈[0，1]时，，∴函数f（x）在上为减函数，又，∴，A错，，∴，B错，由已知，，∴，，，又，∴，，∴，D错，故选：C.34．C【详解】由题意，函数有意义，则满足，即.解得，所以函数的定义域.故选：C.35．D【详解】因为，所以，解得，故A错误；，则．又，所以，故C错误；令，，解得，，且，故图象的对称中心为，故B错误；，令，，解得，，所以图象对称轴的方程为，，令，则，故D正确.故选：D36．B【详解】对于A，最小正周期，故错误；对于B，最小正周期，故正确；对于C，最小正周期，故错误；对于D，最小正周期，故错误.故选：B37．C解：函数对于，都有，所以是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值就是函数的半周期，所以，所以的最小值为：；故选：．38．D【详解】解：由函数图象可得：，，即．再根据五点法作图可得，求得，故．关于函数，即：函数，由于，故函数的图象不关于点，中心对称，故错误；由于不是函数的最值，故函数的图象不关于对称，故错误；最小正周期为，故错误；在区间，上，，，单调递减，故正确，故选：．39．D【详解】，，，，所以函数是非奇非偶函数，故①错误；当时，，此时，当时，，此时，所以函数的值域是，故②错误；，所以不是以为最小正周期的周期函数，故③错误；和的函数值都小于0的集合是,故④正确.故选：D40．B【详解】由题图可知，函数的最小正周期，故，解得，所以，又函数的图象经过点，所以，即，因为，所以，所以，解得，所以，故A不正确；因为，所以的图象的一个对称中心为，故B正确；令，，解得，，所以的单调递增区间是，，故C错误；把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到的图象，故D错误．故选：B．41．B【详解】对于A，的周期为,若，则是的整数倍,故A错误；对于B,当时，，则函数的图象关于点中心对称，B正确；对于C,当时，，不是函数最值，函数的图象不关于直线对称，C错误；对于D，，，则不单调，D错误故选：B.42．C对于选项A，为奇函数，故A错误；对于选项B，，当时，，根据余弦函数性质知单调递减，故B错误；对于选项C，，当时，单调递增，且是的偶函数，故C正确；对于选项D，的周期，故D错误.故选：C.43．D依题意，对于A选项来说，当时，此时在上不单调，因此A选项不正确;对于B选项来说，由于而和关于对称，但因此，B选项不正确;对于C选项来说，当时，当时，因此的值域为，C选项不正确;对于D选项来说，由于，因此的图象关于直线对称，因此D选项正确.故选：D44．D因为为图象的对称中心，所以，因为，是该图象上相邻的最高点和最低点，，所以，∴，，因此，∵，∴，∴，令，，得，.故选：D.45．C因为，所以，因为函数在上的值域为，所以，解得．故选：C46．A【详解】，时，，由正弦函数性质知，，解得．故选：A．47．ACD【详解】解：函数，，故是函数的一个周期，故A正确；当时，，故B错误；，设，，则，随着增大而减小，当，是单调减小的，由复合函数的单调性可得，再区间上单调递增，故C正确，，，，的图象关于直线对称，故D正确，故选：ACD.48．BC解：由正弦型函数的单调性得，，即，令，得，则A和D错误，B和C正确．故选：BC.49．ABD【详解】由可知即为和较大者，所以，作出函数的图象如图所示：由图可知，是以为最小正周期的周期函数，故选项A正确；的对称轴方程为，故选项B正确；当或时，的最大值是1，当时，取得最小值，故选项C错误；当时，，故选项D正确；故选：ABD.50．ABD【详解】由于的最小正周期为，不满足①，故不可能．由于，在上，，，故在上单调递减，不满足③，故不可能．对于的最小正周期为；当时，函数取得最大值为1，故图象关于直线对称；在上，，，故在上是增函数，故满足题中的三个条件．由于的最小正周期为，不满足①，故不可能，故选：．51．ACD【详解】解：函数（其中，，的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则，，进一步解得，，故A正确．由于函数（其中，，的图象关于点成中心对称，，解得，由于，当时，．．对于B：当时，，故B不正确；对于C：由，，解得，，当时，对称中心为：，故C正确；对于D：由于：，则：，函数的图象与有6个交点．根据函数的交点设横坐标从左到右分别为、、、、、，由，，解得，，所以，，，所以所以函数的图象的所有交点的横坐标之和为，故D正确．正确的判断是ACD．故选：ACD．52．ABD【详解】对选项A，，因为，，所以在为减函数，即在为增函数，故A正确.对选项B，为奇函数，则，，即为的整数倍，故B正确.对选项C，因为在定义域范围内为