陕西省商洛市2024届高三一模数学（文）试题（含答案解析）

陕西省商洛市2024届高三一模数学(文)试题

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一、单选题

1.已知集合A={-2,0,l,3},B={0,2,3},则AB=()

A.{-2,1}B.{-2,1,2}C.{0,3}D.{-2,0,1,2,3}

2・鲁一

25.

A.——+—iB.-+-i

7755

_2_5.n2L

C.1

7755

2

3.在.ASC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=4,Z?=3,sinA=—,则

3

B=()

71-兀_,兀_45兀71_42兀

A.-B.-C.二或二D.;或二

636633

4.己知a=09」,6=logi：,c=log|2,则(

)

533

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

5.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增

速如图所示，则下列说法错误的是()

30t社会消费品零售总额同比增速7%

A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为184%

B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为6.55%

C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为14.9%

D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为8.125%

6.已知sin[tz+吾)=3sin(a-?r),贝!|tan2a=()

7.已知抛物线C:y2=6x,过点A（4,2）的直线/与抛物线C交于M,N两点，若M4=AN，

则直线/的斜率是（）

2343

A.—B.—C.—D.一

3432

_丫2।oax丫<1

8.已知函数〃x）=二、；"，是定义在R上的增函数，则。的取值范围是（）

（3—Q）X+2,X>1

A.[1,3）B.[1,2]C.[2,3）D.（0,3）

9.己知函数/（"=2（了-1卜'-/一依在R上单调递增，贝q”的最大值是（）

A.0B.-C.eD.3

e

10.已知某比赛在A,B,C,Q这4支队伍之间进行，且。队伍有一名主力队员缺席，导

致。队伍无缘前2名，假设剩下的3支队伍的水平相当，则A,2这2支队伍都进入前3

名的概率是（）

A.-B.1C.-D.-

3234

11.已知A3是直线y=#与函数/（x）=sin（s+力（。>0）图象的两个相邻交点，若

|AZ?|=—,则0=£）

6

A.4B.4或8C.2D.2或10

12.在正四棱台ABC。-A46A中，AB=2A4=4"的=痴，点尸在底面A3CD内，

且AP=4,则尸的轨迹长度是（）

A.B.C.671D.1271

63

二、填空题

13.已知单位向量°、b满足|。+20=夕，则q与％的夹角为.

2x—y+2..0,

14.已知实数x，y满足约束条件x+y+l..。，.，贝|z=-x+y的最大值为.

3,2,

15.在正四面体ABCD中，是棱8C,AB的中点，则异面直线OE与CP所成角的余

弦值是.

试卷第2页，共4页

22

16.过双曲线弓-3=9。吠。)的右焦点上作C的一条渐近线的垂线，垂足为A,

且C的左顶点为周AB|=G2+方,则C的离心率为.

三、解答题

17.在等差数列｛%｝中，％+“5=12,。6=11.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)若a=2。”，求数列｛2｝的前〃项和S”.

18.镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰

富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重(单位：克)，将得到的数据

按[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.

(1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数；

(2)现采用分层抽样的方法从质量在[30,40)和[70,80]内的板栗中抽取5颗，再从这5颗

板栗中随机抽取2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在[30,40)内的概率.

19.如图，在三棱柱ABC-A]8[G中，，平面ABC,ABC是等边三角形，且。为

棱A3的中点.

(1)证明：平面CG。；

⑵若2A4,=3A8=6,求点耳到平面ABC1的距离.

20.已知点耳(-L。),月(1,。)，动点M满足|上阴|+|咋|=4,动点M的轨迹记为E.

⑴求E的方程；

⑵过点尸?的直线/与E交于48两点，。为坐标原点，求面积的最大值.

21.已知函数/(x)=sinx+x\

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程，

⑵证明：

10

x=l+v3coscr

22.在平面直角坐标系xOx中，曲线C的参数方程为厂为参数)，以

y=，3sina

坐标原点。为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程是

pcos0+V3psin-8=0.

⑴求曲线。的极坐标方程；

1T

(2)已知直线4：。=5，在第一象限内，直线4与曲线C交于点A,与直线/交于点8,求

|的的值.

23.已知函数/(x)=|x-2].

(1)求不等式/(x)>2x-5的解集；

⑵若“同23-归+4恒成立，求。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.c

【分析】运用交集性质即可得.

【详解】由4={-2,0,1,3},3={0,2,3},则Ac3={0,3}.

故选：C.

2.B

【分析】运用复数除法计算即可得.

【详解】l±ji=（l+2i）5=4-3i+8ii2=2+J_i

1+K+14+3i（4+3i）（4-3i）16-9i255'

故选：B.

3.A

【分析】根据正弦定理，结合三角形的性质进行求解即可.

325

【详解】由题意可得A6sinA1,则8=7或2=?.

sinD=----------=-------=—66

a42

因为6<a,所以3<A,所以B=1.

o

故选：A

4.D

【分析】根据指数函数的单调性判断a的范围，根据对数的运算性质以及对数函数性质判断

》,c的范围，即可得答案.

【详解】因为>=0.9*为R上的单调减函数，，=1。82项》=1。83苫为（0,+划上的单调增函数，

故0<0.93<0.9°=l,log1-=log23>l,log12=-log32<0,

533

所以6>a>c,

故选:D

5.C

【分析】通过分析折线图，结合中位数、极差、平均数的概念和公式解答即可.

【详解】对A,我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为

2.5%,3.1%,4.6%,5.5%,7.6%,10.6%,12.7%,18.4%.我国今年3月份至10月份社会消费品零

售总额同比增速最高为18.4%,A正确.

对B,我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为

答案第1页，共13页

5.5%+7.6%=6.55%,B正确.

2

对C,我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为15.9%,C错误.

对D,我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为

-x（2.5%+3.1%+4.6%+5.5%+7.6%+10.6%+12.7%+18.4%）=8.125%,D正确.

8

故选：C.

6.B

【分析】利用诱导公式和同角三角函数的商数关系求得tana,再由二倍角的正切公式求解.

【详解】因为sin[a+，[=sin[27r+]+a[=sin[^+tz）=cosa,

sin（cr-7T）=sin[一（兀一a）]=-sin（7i-a）=-sina,

r-Lt、rc.Lr-t、]11-t,i—2tana3

所以cosa=-3sma,所以tana二一一,贝I]tan2a=-------^―=——.

31—tana4

故选：B.

7.D

【分析】设M（HM）,N（X2，%），由题意可得A为肱V的中点，然后利用中点坐标公式和斜

率公式可求得结果.

【详解】设/（石,乂）3（马,%），则犬=6占,£=6%,

因为M4=AN，所以A（4,2）为MN的中点，

所以％+%=4,

/XT_6_3

故直线/的斜率占-9yL_y^%+%2.

石一石

故选：D

答案第2页，共13页

8.B

【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在x=l时，一次函数的值不小于二次函

数的值，然后解不等式组可求得结果.

【详解】因为/(尤)=]二0+2融："1是定义在R上的增函数，

[(3—a)x+2,x>1

[-^>1

-2

所以<3-〃〉0,解得l<a<2.

—1+2〃<3—〃+2

故选：B

9.A

【分析】结合导数，将/(x)在R上单调递增转化为尸(x)=2xe'-2x-aN0恒成立，再参变

分离，转化为q42xe，-2x恒成立，即求出2元/-2x的最小值即可得.

【详解】由题意可得了'(x)=2xe'-2x-a,

因为在R上单调递增，所以尸(x)=2xe*-2x-aN0恒成立，

即。42xe*—2无'恒成立，

设g(x)=2xe"_2x,贝！]g<x)=(2x+2)e*_2,

当尤<0时，g'(x)<0,当尤>0时，g'(x)>0,

则g⑴在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增,

故g(X)min=g(0)=。,即

故选：A.

10.C

【分析】根据题意列出所有符合题意的排名情况，再选出A,B这2支队伍都进入前3名的所

有情况，即可得出结果.

【详解】根据题意，由于。队伍无缘前2名，

所以这4支队伍按排名先后的情况有：

ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,CABD,CADB,CBAD,CBDA，共12

种，

答案第3页，共13页

其中AB这2支队伍排在前3位的情况有：

ABCD,ABDC,ACBD,BACD,BADC,BCAD,CABD,CBAD,共8种，

故所求概率尸吟=|.

故选：C

11.D

【分析】因为y=sinx的图象与直线丫=且的相邻交点的距离为g或存，占周期的比例为，

-2336

或，，由此结合周期公式列式求解即可.

6

【详解】设/（X）的最小正周期为T,贝1]向|=，7或|明=>,

66

口12兀7110K71

即——=—或——=—,

6G66co6

解得0=2或口=10.

故选：D

12.B

【分析】如图1,连接AC,作垂足为“，结合正四棱台的性质可证4”，平

面A5CD,根据已知条件求出再结合AP=4可求得PH=2退，而//为定点，从而可

得点尸的轨迹是以“为圆心，26为半径的弧，再分别作尸_LAN,可求出

ZMHN,再利用弧长公式可求得结果.

【详解】如图1,连接AC,作4HLAC,垂足为

因为四棱台ABC。-AAG。为正四棱台，

所以平面AACC]_L平面ABCD,

因为平面AACGc平面ABCD=AC,A"u平面AACC一

所以A8，平面ABCD

因为AB=2A4=4g，所以=

因为朋=&5,所以=窗―"=2.

因为点尸在底面ABC。内，且4尸=4,所以PH={AP2-AH2=J16_4=2石.

答案第4页，共13页

以H为圆心，2石为半径画圆，如图2,则是尸的轨迹.

分别作叱V,垂足分别为E1.

由题意可得HE=HF=区HM=HN=2若，

HE1HF1

在及HEM和RtAHFN中,cosNEHM=——=-,cos/FHN=——=-

HM2HN2

TT

所以NMHE=NNHF=—,

3

所以NMHN=2TI_F_2义巴=次，

236

故P的轨迹长度是2X2石=阻.

63

【点睛】关键点点睛：此题考查立体几何中的轨迹问题，解题的关键是根据题意9=26，

从而可得点尸的轨迹是以H为圆心，2石为半径的MV，考查空间想象能力和计算能力，属

于较难题.

13.-

3

【分析】在等式W+26卜近两边平方，求出cos<a,6>的值，结合向量夹角的取值范围可

求得结果.

【详解】由|a+24=S■可得J+4a.z,+4/=7,得a-b=g,所以，。°$<°，％>=血=；,

JI

0<<a,b><7i,因止匕，<a,b>=—.

7T

故答案为：

14.4

【分析】首先画出可行域，然后通过平移直线,=无即可确定z取最大值时经过的点，进而

答案第5页，共13页

可得答案.

因为z=-x+y,所以y=x+z,将y=x向上平移，经过点4(2,6)时，z有最大值；

即当直线2=一工+》经过点4(2,6)时，z取得最大值，且最大值为-2+6=4.

故答案为：4.

15.-

6

【分析】作辅助线，作出异面直线DE与CE所成角或其补角，求出相关线段的长，解三角

形即可求得答案.

【详解】如图，取线段M的中点G,连接£>G,EG,OP.

答案第6页，共13页

A

因为E是棱3C的中点，则GE为△5CV的中位线，故EG〃CV,

则/DEG是异面直线DE与CF所成的角或其补角.

正四面体ABCD中，设AB=4,由于尸是棱AB的中点，故Db_LAB,

贝lj£>E=CT=r>P=4xsin60=2>f3,GF=-BF=-AB=1,

24

从而EG=-CF=y/3,DG=yjGF2+DF2=屈.

2

在△DEG中'由余弦定理可得cos/OEG二号慝狞=导2"=

由于异面直线所成角范围为大于等于0小于90,

故异面直线DE与CF所成角的余弦值是，

6

故答案为：

0

16.2

【分析】利用数形结合的方法，找出”,4c之间的等量关系式，利用解方程的方法即可求出

双曲线的离心率.

【详解】设。为坐标原点，C的焦距为2c.过点A作AH垂直于x轴，垂足为目.

答案第7页，共13页

易得|A周=’11'=反|0A|=^|O7^|2-|A/^|2=y/c2-b2=a,

所以|AH||OK|=|AO||AK|n|AH|=?,

2

EfeOAH024可得|以『=|。研也闾,即|0叫=幺，

所以怛*=a+幺=JAB『-1AW『="曲,得c+a=6b，

所以(c+a)2=3〃=3(，—/)，故e=?=2.

故答案为：2.

17.(1)。“=2〃-1

⑵S.\

【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程组，求得首项和公差，即得答案.

（2）由（1）可得2=2%的表达式，确定数列也,｝为等比数列，即可求得答案.

【详解】（1）设等差数列｛4｝的公差为d,

[a,+4=2勾+5d=12.,-

由题意可得,解得ayl,d=2.

[%=%+5d=11

故4+(n-l)J=2n-1.

b

（2）由（1）可得勿=221,贝I」2M=223,从而肃=4

b

因为4=2,所以｛〃｝是首项为2,公比为4的等比数歹!J.

^(1-g")_2x(l-4")22n+1-2

由等比数列的前〃项和公式可得S“

\-q-1-4~3

18.(1)57.5

⑵〉

【分析】（1）根据频率分布直方图可求判断板栗质量的中位数在[50,60）内，然后设该板栗

园的板栗质量的中位数为列方程可求得结果；

答案第8页，共13页

(2)根据分层抽样的定义结频率分布直方图可求出从质量在［30,40)和［70,80］内的板栗中

所抽取的数量，然后利用列举法可求得答案.

【详解】(1)因为(0.008+0.018)xl0=0.26<0.5,0.26+0.032xl0=0.58>0.5,

所以该板栗园的板栗质量的中位数在［50,60)内.

设该板栗园的板栗质量的中位数为加，贝1(m-50)x0.032+0.26=0.5,

解得〃z=57.5,即该板栗园的板栗质量的中位数约为575

(2)由题意可知采用分层抽样的方法从质量在［30,40)内的板栗中抽取5x而黑索卫=2

颗,分别记为6；

从质量在［70,80］内的板栗中抽取5x00黑;Qi2=3颗，分别记为3.

从这5颗板栗中随机抽取2颗的情况有ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,共10种，

其中符合条件的情况有ab,ac,ad,ae,be,bd,be,共7种，

7

故所求概率尸=而.

19.(1)证明见解析

【分析】(1)借助三棱柱的性质与线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判断定理即可得;

(2)借助等体积法求点面距.

【详解】(1)由三棱柱的性质可知CG//AA，

因为44,，平面ABC,所以CG，平面ABC,

因为Mu平面A3C,所以CG^AB,

因为。为A3的中点，且ABC是等边三角形，所以

因为8、CGu平面CCQ,且CCjCD=C,所以AB2平面CCQ；

(2)因为2A4j=3AB=6,所以A\=3,AB=2,

贝IJ84cl的面积S=；x2x3=3,

作AE_LBC,垂足为E,有AEu平面ABC,

答案第9页，共13页

所以CqiAE,又因为CG、3Cu平面BBC，CC「cBC=C,

所以AEL平面3与G，

因为ASC是等边三角形，所以AE=6，

则匕如G=：S-AE=gx3x白=石，

因为CG_L平面ABC,AC、3Cu平面ABC,

所以C£，AC,CQ1BC,则AC；=3G=而，

故，Ag的面积S1=gx2xJ13-l=2。

设点纥到平面ABC,的距离为d,

则三棱锥片一A8G的体积/Me=-Sxd=^d,

£>|-/ADV]313

因为七一人即=%-期G，所以d=6，所以d=j.

32

20.(1)—+=1

43

吗

【分析】（1）根据椭圆定义可确定椭圆的长轴长以及焦距，进而求得〃，即得答案.

（2）首先设直线方程，联立椭圆方程，可得根与系数关系式，由此求得弦长，结合原点到

直线的距离，即可求得面积表达式，然后换元，利用函数的单调性，即可求得答案.

【详解】（1）因为|町|+|叫|=4>|耳阊=2,所以E是以序耳为焦点，且长轴长为4的椭

圆.

22

设E的方程为。+2=1（〃>匕〉0）,贝!J2〃=4,可得a=2.

ab

又椭圆焦距为2c=l二c=l,所以/=/—，=3,

答案第10页，共13页

22

所以E的方程为三+匕=1；

43

(2)由题意可知直线/的斜率不为0,设直线/:x=〃w+l,A(%,另),5a2，%)，

x=my+1

联立/丁整理得(3川+4)9+6加/一9二0,

—+—=1

[43

则A=(6m)23-4(3m2+4)x(-9)=144(m2+l)>0,

6m9

%+为=一，%％=一

3m2+43m2+4

由弦长公式可得|=J疗+1J%一%|=府石.

12(m2+l)

3m2+4

点。到直线/的距离贝UOAB的面积S=3A8|.d=W1*I,

2113m2+4

6t_6/_6

设t=jw+l,后1，则一3«2_1)+4-3产+1137+1，

t

因为此1,y=3r+1在［1,+s)上单调递增，此时t=l,即m=0时取等号，

t

133

所以3f+-N4,所以SV；；,当且仅当口=0时，5=-,

t22

3

即.OAB面积的最大值为；.

【点睛】方法点睛：求解一Q4B面积的最大值，一般方法是要结合直线和椭圆方程，求出面

积的表达式，进而利用基本不等式或者是结合函数单调性，求解最值.

21.(1»=*

(2)证明见解析

【分析】(1)求导解得『(0)=1,然后求得切线方程；

(2)结合函数导数研究函数的单调性，从而求得函数的最小值;

答案第11页，共13页

【详解】(1)f(x)=cosx+2x,/(0)=1,/(0)=0.

故曲线y=/(x)在点(0"(0))处的切线方程为y=匕

(2)由(1)得/'(%)=cosx+2x.

令函数"(%)=/'(%),贝!]/(%)=—sin%+2>0,所以"(%)=/'(%)是增函数.

八。)=1，fU=cos[-1