2023年高考冲刺模拟数学试卷数学试题（七）（解析版）

2023年高考冲刺模拟试卷数学试题(七)

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.设全集U=R,集合A={y|y=Jk&x-lbB=<x..()*,则A电8等于

()

A.[0,5]B.[0,5)C.[2,5]D.[2,5)

Q-8i

2.己知z=：-%(aeR),|z|=75,则实数。的值为()

(l-i)

A.±8B.8C.±16D.16

3.在边长为2的菱形43co中，NA=60°,点E满足AE=AO+2A8,则=

()

A.4百B.8C.86D.12

4.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中随机取两个数，这两个数一个比m大，一个比m小

的概率为2,已知m为上述数据中的x%分位数，则无的取值可能为()

12

A.50B.60C.70D.80

5.如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等

腰直角三角形边上再连接正方形…如此继续.若共得到511个正方形，设初始正方形的边

/(x+l),x<4,

长为2,记最小正方形的边长为。，设/W=।,1、彳，则/3)=()

log8(x4,

o

2]_

A.B.C.D.

432

6.己知a=lnl25,Z>=(ln5)2+2,c=3ln5-贝U()

A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

7.在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为。，Z?,c,若

asinAsin5+ccosA=(acosA+y/2b)cosB,则(tan2A-3)sin2c的最小值为

()

A.-2B.—6C.2D.2及-6

8.已知正三棱柱的侧棱长为〃?，底面边长为〃，若该正三棱柱的外接球体积为12兀，当

机+〃最大时，该正三棱柱的体积为()

A81V21R243后「81x/7n243s

-----------JL/.--------------

494977

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

92

9.己知P是椭圆C：器+方=1上一点，椭圆C的左、右焦点分别为耳,工，且

tan/.FyPF2-25/2,则()

A.怎的周长为14B.SaF岛=7叵

C.点P到x轴的距离为乎D.P耳，玛=7及

10.已知函数"x)=Acos(2x+9)-l(A>0,0<9<7r),若函数y=1/(x)|的部分图象如图

所示，则关于函数g(x)=Asin(—+。-兀)，下列结论正确的是()

7T

A.函数g(x)的图象关于点(二,0)对称

3

Sjr1lir

B.函数g(x)的单调递减区间为方+E,五+E(ZeZ)

C.函数g(x)在区间K上的值域为J,2]

_42.2

D.若g(七一g)=墨［手,兀］，则sin2x()=_5+12后

613426

11.正方体A3CO-AgG4的棱长为3,M、N为底面ABC。内的动点(包括边

界)，且BN=26AM=44,+/l(A4+AQ)(/1w［()/D，下列说法正确的是()

A.动点N的轨迹长度为且兀B.CM±BD

2

C.线段MN的长度最小值为T及-石D.三棱锥3-AMN的体积可以取值为3

12.设函数/(X)的定义域为R,g(x)=(x-l)―/(x),若/(2—x)是奇函数，/(l-2x)是

偶函数，则()

A./&)的周期为4B.7(x)关于x=l对称

30

C.g(6)=5D.若Zg(幻=7,则g(7)=—3

*=1

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

4

13.x(-~-2^)"的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第4项，则展开式中的系数

x

为.

14.写出斜率存在，且与圆f+2x+y2=。和过点⑶一26)的抛物线=2px(p>0)

都相切的一条直线的方程为.

TT

15.已知函数/(x)=xcosx,若对任意xe(0,-|,函数/(x)=xcosx的图象恒在函数

2

g(x)=x+a的图象的下方，则实数4的取值范围为.

16.过抛物线E：f=4)，焦点尸作互相垂直的两条直线4，4，4与抛物线E相交于

P，。两点，4与抛物线E相交于M,N两点，若C,。分别是线段PQ,MN的中

点，求|FC『+1FD|2的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在ZkABC中，内角A,B,C的对边长分别为“，b,c,且

GtanAtan8+tan(B+C)+tan(A+C)=-tan120°.

（1）求角c；

2

（2）点。在边至上，且满足N4cD=N3CD,CD=~,从s。的面积为6,

求c的值.

18.（12分）已知数列｛七｝的前〃项和为S“，满足S2=2,$4=16,｛（+1｝是公比小于

0的等比数列.

（1）求｛4｝的通项公式；

1_9

（2）设瓦=2+log2|a〃+l|,c„=——,数列｛%｝的前“项和为T"，若弩

，,0”上124X

对一切〃eN*恒成立，求实数加的取值范围.

19.(12分)如图，四棱锥P-A8CD中，AB//CD,AB1AD,平面PA8,平面

ABCD，已知AB=1,A£)=C£>=3,PA=3叵，PB=A，点、E,M分别在PO和

PC上，且满足PE=gp£>,PM=APC(0^iU1).

（1）求证：AE〃平面PBC；

（2）若点用到平面ABC。的距离为3,求平面E4。与平面M4O夹角的余弦值.

2

20.（12分）教育是民族振兴、社会进步的重要基石，是功在当代、利在千秋的德育工程，教育

能够促进人的全面发展、增强中华民族的创新能力、对实现中华民族伟大复兴具有决定性意义.为

响应国家号召，为教育事业奉献微薄之力，某师范院校演讲与口才协会

决定每年度举办两次下乡支教活动，现已知第一次支教活动共有〃名男志愿者4,4,

A,4，，4,和4名女志愿者4,B"鸟，4报名参加，若该协会决定从中随

机选派3名志愿者参与希望小学支教活动，已知抽取的志愿者中包含4但不包含片

7

的概率为30.

（1）求〃的值；

（2）根据希望小学的需求，该协会决定第二次选派5名志愿者去该校支教，已知第二次

报名的男、女人数分别与第一次报名的男、女人数一样，若用X表示第二次支教的

女志愿者人数，求X的分布列及数学期望E（X）.

21.（12分）已知双曲线C：=一与=1（〃>0力>0）的右焦点为F,离心率为3,且过

ab

点（衣-20.

（1）求证：双曲线c上一动点七（%,为）到两条渐近线4，4的距离之积为定值；

（2）经过/的直线/与双曲线。交于M,N两点，线段MN的垂直平分线交x轴于点

P，是否存在实常数％,使得|MN|=/l|P8|,若存在，求出4的值；若不存在，

请说明理由.

22.(12分)己知函数/(x)=e*(l+lnx)-ox2.

(1)若/(x)>l+x+e”nx恒成立，求实数。的取值范围;

(2)证明:当％>1时，/(x)>(e-a)x2.

★参考答案★

一、单项选择题

1.A

K解析』因为A={y|y..O},8={尤归，-1,或x>5},所以A&B)=[0,5],故选

A.

2.C

K解析2z=伫包=一1一^i,所以|z|=Jl+±=后，解得a=±16,故选C.

818V64

3.D

K解析H如图，

1)C/;

H

ABF

EB•ED=(EF+FB)♦ED=EF♦ED+FB-ED

=|EF|•||•cos60°+1FB|-|E£>|-cos0°

=2x4x—+2x4x1=12,故选D.

2

4.B

K解析》从1，2,3,4,5,6,7,8,9中随机取两个数有C：=36种，设比m小的有/

个，

则比〃z大的有8T个，则有®即”_8+15=0,解得f=3或f=5,所以

3612

相=4或m=6,当m=4时，数据中的x%分位数是第4个数，则3vx%・9v4,解得

14

33—<工<44-；当m=6时，数据中的x%分位数是第6个数，则5vx%.9v6,解得

39

52

55—<x<66—,故选B.

93

5.C

1

K解析』由题意得l+2+22+..+2"T=511，即二三=5u，解得〃=9,正方形的

1-2

边

长构成数列2,及，1,圣…,其中第9项为2X(¥)8=",即

|1332

所以/(三)=/(三+1+1+1+1)=/(干)=1。884=胃，故选C.

ooo3

6.A

K解析D因为。=31n5,^/(X)=X2+2-3X=(X-1)(X-2),所以xe(l,2)时，

/(x)<0,

因为Ine<ln5<lne2,即l<ln5<2,所以/(ln5)=(皿5>+2-31n5<0,

故(In5)2+2<31n5,即b<a,令g(x)=3"-3x,则g'(x)=3'ln3-3,令g'(x)>0,

用,3

得》＞1呜而,因为l<ln3<3,故

1<—<3

In3

3

则0<k>g3——<1,故g(x)在(L+°o)上单调递增，则g(ln5)>g⑴=0,

In3

即3M5—31n5>0，即3m5>31n5，故综上c>a>从故选A.

7.B

K解析X由题意可得一QCOS(A+8)+CCOSA=V^Z?COSB,所以4cosc+ccosA=J^cosB，

由正弦定理得sinAcosC+sinCeosA=0sin8cos3，整理得sin(A+C)=&sin8cosB，

因为8e(0,7r),则sinBwO,所以cosB=也，3=45°,贝U

2

n3cO

(tan2A-3)sin2C=-(tan2A-3)sin(2A+3=--lA7-^cos2A

2cos2Ax

2(1+2cos2A)•cos2A4小3兀、小

=-------------------①，令1=l+cos2A,因为Aw(0,—),所以，w(0,2),

1+cos2A4

①=2]+2(r-|)](fl)=2(2「-3r+l)=布+2-6..2,^^-6=46—6,当且仅当

4/=2,即.=也时取等号，故选B.

t2

8.B

K解析》因为正三棱柱外接球的体积为±成2=12兀，所以尺=3,所以左_+止=9.

343

/7/2〃2

设机+〃二九当直线加+〃=/与曲线丝+幺=9相切时，/最大.联立方程组

43

m+n=t,

<m2n2得7m2一8〃〃+4产一108=0,由△=()，得「=±3«，要使加+〃=£最大,

一+—=9,

I43

则取f=3j7，此时m=12币,〃=9』,所以正三棱柱的体积丫=2^.“2加=至”,

77449

故选B.

二、多项选择题

9.AC

K解析X由椭圆方程知a=4,b=J7,所以c=3,所以忸制+归周=8,

于是△PGK的周长为2a+2c=14,故A正确；在△「/=；外中，由余弦定理可得

2

懈国z^\PFf+|^|-2\PFt\\PF2\cosZFlPF2,所以36=

2

64一2阀卜|尸图-§阀||「用，

解得归用归周■，故S△叱=:阳||尸用$皿/的尸玛=91^半=g及，故B错误；

设点尸到x轴的距离为"，则％^=g恒用M=；x6d=g&，所以［=”!,

2117

故C正确；防・2鸟=|月月|・|巴第85/［程=耳乂］=5，故D错误.故选AC.

10.BD

K解析11因为,A]_]所以A=2,所以/（x）=2cos（2x+o）-1.

Q1

又因为2cos0-1卜2,得COS0=3（舍）或=

因为OV0V7T,可得9=/,所以g（力=2sin（2x-g）,故A错误，B正确;

JT7TITTT27r7T

因为X€,所以」=2x亨,所以当f时，g(x)M=2x1=2,

当1=1时,=2x1=1,故C错误；因为g(x°一今=称，所以

o2613

.-2兀、5

sin(2/----)=—,

°313

।r37r■,日2兀「5兀4兀i.i,c2兀、12

由七£[二-，兀]，得Zrt2%——^[―,—]，所以cos(2xo--)=-—，

4363313

所以sin2…n[(2x。号卜母喂卜*-殁鲁故口正确•

故选BD.

11.ABC

[解析]由府=抬+4(4瓦+4。；)得4府=4(4瓦+4口)=44。；(调儿1)，

所以点M的轨迹是线段AC，因为BN=2百，所以点N的轨迹是用为圆心，以6为

半径的圆在正方形内的圆弧，其弧长为乌.石=@兀，故A正确；因为

22

BDLAC,BDVAA,,ACA41=A,所以8。，面ACGA,因为CMu平面

ACQA,,所以故B正确；4到AG的距离为|夜，所以MN的最小值为

3及-G，故C正确；点N到4G的距离的最大值为也(3-6),所以以MMN的最大

22

值为:x；x3啦x[(3—6)x3=T(3—百)<3，故D错误.故选ABC.

12.ABD

K解析工因为/(2—x)是奇函数，所以/(2+x)=—/(2—x),令x=0得/(2)=0,且

/(x)

关于(2,0)对称；又因为f(l-2x)是偶函数，所以/(I—2幻=/(l+2x),所以/(X)关于

%=1对称，所以/(x)的周期T=4,所以g(6)=5/(6)=5/(2)=0,

30

因为Zg(k)=oX/⑴+1X/⑵+2X/⑶+3X八4)

k=\

+4-24x/(I)+25x/(2)+26x/(3)+27x/(4)+28x/(I)+29x/(2)

=(0+4++28)X/(1)+0+(2+6++26)x,[(3)+(3+7++27)x/(4)

=112xf⑴+98xf(3)+105x/(4)=-112x/(3)+98x〃3)+105x/(0)

=-14x/(3)+105x/(2)=-14x/(3)=7,所以/(3)=_g,

所以g(7)=6x/(7)=6x/(3)=-3,故选ABD.

三、填空题

13.-160

4_97

K解析》由题意得〃=6,(r土二)6=(d—的展开式的通项公式(M=C;(_2)38-4，，

XX

令18—4r=6,解得r=3,所以展开式中一的系数为c；(-2)3=-160.

14.x+6y+3=0或x-J^y+3=()(填其中一条即可)

,\-k+m\\y=kx+m,

K解析1设切线方程为>=丘+机，则有E-=1①,由2得

v^2+l=4x,

k2x2+(2km-4)x+m2=0,因为直线与抛物线)?=4%相切,

所以八=(2加一4尸一4公加2=。②,由①②联立可得"=-'3

tn=—A/3,m=5

则切线方程为x+gy+3=0或x-Gy+3=0.

15.[0,+oo)

jr

K解析》若对任意xe(O,-|,函数/(X)=xcosx的图象恒在函数g(x)=x+a的图象的

2

TT

下方，即对于任意xe(0,-],a>xcosx-x恒成立，令g(x)=xcosx-x,贝ij

2

兀

gr(x)=cosX-xsinx-\=(cosx-l)~xsinx,xe(0,—1,.-.cosx-1<0,

2

TV

又,xsin尤>0,，g'(x)<0,，g(x)在(0,—]上单调递减，，g(x)<g(0)=0,

2

a.O,

即实数a的取值范围为[0,侄).

16.16

K解析》由题意得显然直线小4的斜率都存在且不为0,设直线4斜率为人，

则4的斜率为-；，直线4的方程为>=依+1,由，“消去y并整理得

k[x=4y

彳2—4代一4=0，△=165+16>O，设P(X|,y),。(电，％)，则西+々=4左，

所以线段PQ中点C(2幺2^+1),|FC|2=4(公+女〉同理可得|五。|2=4(2++),

所以IFCF+I尸02=4(公+(+/+《),令』2K)2,

所以r=/+j+2,且/G[2,+OO),

所以|FC|2+|ED|2=4(f+产—2)=4(r+1)2-9..16,当且仅当f=2时取等号，

所以+|的最小值为16.

四、解答题

17.解：(1)由题意可得tanA+tan8+百=GtanAtan8，

即tanA+tan8=—G+tanAtanB，即tanA+tan3=->/3(1-tanAtanB),

所以-------------=73,即tan(A+8)=-j3,(3分)

1-tanAtanB'7

所以tan(7i—C)=-&,即tanC=JL因为Cw(0,兀)，所以C=；.(5分)

（2）由面积公式得C==G，解得"=4,（6分）

222

iIT1IT

又ZACD=NBCD,则S4.-iA/ICV4DZ+S4.-iHOC.£Dz--26-2CA-6CD■sin-+--CB-CD-sin--SA.„r,

=>a+b=6\[3,(8分)

所以c?=。2+/一。。=（。+切2-3〃。=108-12=96,则c=4«.（10分）

18.解：（1）设等比数列｛6,+1｝的公比为4,前〃项和为（，因为S2=2,S4=16,

所以（=4,7；=20,易知qxl,

所以=4,―一尸-心=20,（2分）

\—q1-g

两式相除得1+/=5,解得“=±2,又q<0,所以“=-2,弓=一5,（4分）

所以4+1=—4x(—2)i,即4=—(—2严-1.(5分)

(2)由(1)得a=21<%|%+1|=2(〃+1),

_]_]_j_1____1_

"〃，也+14(”+1)(〃+2)4n+1〃+2'(6，)

T1/11111,1J1、八

h=—(-----1------1---1-----------)=—(--------),(8分)

042334n+1n+242n+2

因为GF=4（"+；〃+2）>°，所以忆｝单调递增，

所以却也=（，”<］，（10分）

m-2-m..m-21m1

因为-----<T<一对一切〃eN恒成乂，所eri以>1-----<—且一…一，

248242488

解得L,m<3.（12分）

PF1pp1

19.（1）证明：在棱PC上取一点尸，使——=-,又==上，所以E尸〃8,

PC3PD3

EF=-CD,

3

又AB〃CD,AB=^CD,所以石尸〃AB,EF=AB,（2分）

所以四边形A8£E是平行四边形，所以AE〃6厂,

又3户u平面P3C,AEu平面。3C,所以AE〃平面P3C.（4分）

（2）因为平面PABJ_平面4BCQ，所以可在平面PA8内过点A作4B的垂线，同时垂

直于平面ABCQ,以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，（5分）

在中，AB=\,PA=3近，心=旧，由余弦定理得，cosNPAB=号,

jr3

所以NPAB=二，可得尸(0,3,3),因为点M到平面A8C。的距离为二，所以M是PC的

42

中点，则4(0,0,0),0(3,0,0),C(3,3,0),M(-,3,-),A。=(3,0,0),AP=(0,3,3).

22

CP=(-3,0,3),AA7=(|,3,1),(6分)设平面PA。，平面M4O的法向量分别为

AP-m=3yl+3z[=0,

/n=(E，y,z1)，n=(^2，y2,z2),由<,可得加=(0,1,-1),(8分)

AD-m=3%j=0,

33

AMn=-x2+3y2+—z2=0,

由，,可得n=(0,-l,2),(10分)

AD-n=3X2=0,

rrHI।..fnn—1-23A/10八、

所以|cos<m,〃>|=|；--1=1-7=一尸l=F-，（11分）

Im||n|y/2x\l510

又平面EAD与平面PAD是同一平面，

所以平面EAO与平面MA。夹角的余弦值为史迈.（12分）

10

20.解：（1）记“抽取的志愿者中包含A但不包含片”为事件A,

C27

贝ijP（A）=^±l=（3分）

C“+4

解得〃=6,或〃=—,（舍去），所以〃的值为6.（5分）

7

（2）由题意知X可能的值为0，1，2,3,4,则股=0）=导=占,

C；o42

尸（X=D=詈等（7分）

jo21

C3c210c2c35c'c4I

P（X=2）=谭=了，P（X=3）=或=五，2乂=4）=高=应，（10分）

所以X的分布列为

X01234

151051

P

4221212142

E（X）=0x—

+1XA+2X—+3XA+4X—2.（12分）

',4221212142

21.解：（1）因为£=3,所以。2=9/="+62,即加=8。2,

a

又双曲线C过点（02尤），

2Q2

可得二一三=1,解得〃=1，从=8,所以双曲线C的方程为£一v乙=1.（2分）

a2b28

双曲线C的渐近线方程为2&+y=0和2&x-y=0.则动点E（x0,y0）到两条渐近线

I,的距离之积为।5」.।2%?二2以|」也；一％I,又因为2—支.=］,

-339°8

所以［8芯］,|=8所以双曲线。上一动点P（xo,%）到两条渐近线4,12的距离之积

Q

为定值1.（5分）

x-my+3,

（2）由题意知直线/的斜率不为0,设/:x=my+3,联立＜22消去无得

8%-^=8,

（8疗-1）/+4Smy+64=0,于是△=（48加/一4x64（8疗-1）=256（＞+1）＞0,

—48加64

设M（%，x）,N（x,y）,则有、+%=:丁,，（6分）

228"-18根-1

.—48/?7-+48J%2—66

故％+9=加/+3+my2+3=加（y]+%）+6=-----。2i-----=一。21，

8/n"-18"-1

—3—24加

所以线段MN的中点为（一^―,；）,由题意知mwO,从而线段MN的中垂线

8〃厂-18〃厂-1

的方程为y+#24L/zz=-m。+一3一），（8分）

8"-18m~-1

令^^。得工二卢丁，所以|PBR3一（#|=|3+|=*+?，（9分）

8m—18m~-18m-118m-11

又|MN|=Jl+W+%）2_”|必