教学设计5.1变化率问题

5.1导数的概念及其几何意义第一课时变化率问题导数的产生摘要:以瞬时变化率的概念为例，从选择恰到好处的情境、提出促进思维的问题、遵循数学抽象的过程三个方面设计课堂教学，促进学生数学抽象素养生成，提升学生运算素养。教学内容平均速度的极限瞬时速度割线斜率切线斜率平均变化率瞬时变化率（二）教学目标1.通过实例分析，经历由平均速度过度到瞬时速度的过程，理解平均速度与瞬时速度的概念及关系.（数学运算）2.通过几何观察，经历用割线位置逼近切线位置的过程，认识切线的本质是割线位置的极限.（直观想象）3.体会用“运动变化的观点”研究问题,逼近（极限）等微积分的重要思想方法.（数学抽象）（三）教学重点与难点重点：瞬时速度、切线斜率和极限思想.难点：在求瞬时速度、切线斜率的具体案例中体会极限思想.（四）、学生学情分析学生学习过瞬时速度（切线斜率），对瞬时速度（切线斜率）有初步的描述性理解，但对于瞬时速度的算法比较模糊;同时在高一年级的函数零点的学习过程中，体会过利用二分法逼近函数的零点，现行的高中数学教科书在给出导数概念之前并没有介绍严格的极限概念及其运算．另一个认知障碍是对极限符号及其意义的理解，原因在于极限符号的=具有高度抽象性．教学过程设计【预备导学】匀变速直线运动的位移公式：.2、过两点的直线的斜率公式：.教学过程：引导语：请同学们欣赏一段视频,这是我国运动员全红婵在2020年东京奥运会10米台跳水夺冠的精彩瞬间,看见后你的感受是什么?（学生的感性认知动作优美，水花小······）.伟大的英国物理学家牛顿他思考的是运动员的运动变化规律之美！伟大的德同数学家莱布尼茨观察到的是身体划过的曲线之美！他们都是微积分的缔造者。微积分是17世纪数学史上最重大的研究成果，它改变了物理和数学的发展,微积分分为微分学和积分学,本节课让我们跟随两个科学家的脚步,探索微分中最重要的内容导数的探索之旅吧!【情境创设】在一次高台跳水运动中，已知某运动员初始速度为向2.8m/s,重心距离水面高度为11m，求在运动过程中的重心相对于水面的高度

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m)与起跳后的时间t

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s)存在的函数关系式.问题1:如何描述运动员从起跳到入水的过程中运功的快慢变化程度呢?师生活动：（1）引导学生感性认知:先上升,速度越来越慢，后下降,速度越来越快.（2）建立物理模型:根据所学物理知识知道,运动员近似看成是匀变速直线运动，其位移公式为，推得运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：m）与起跳后时间t

(单位:

s)存在函数关系.（3）启发学生可以用平均速度近似刻画运动员的运动状况.（4）复习平均速度概念及运算方法，学生分组计算以下时间段内的平均速度，并描述运动员的运动状况：0≤t≤0.5，0.5≤t≤1，师生共同给出t1≤t≤t2任意区间内平均速度的计算公式：追问：你认为用运动员在这段时间内的平均速度，近似描述这段时间内运动员的运动状态有什么问题？师生活动：引导学生得出，运动员几乎一直处于运动状态，从而引起认知冲突，进而引入瞬时速度概念，更能准确刻画物体运动状态.【新知生成】瞬时速度：物体在某一时刻的速度，称为瞬时速度设计意图：让学生发现用平均速度不能准确的反映自由落体运动物体的运动状态，仅用一个时间段内的平均速度难以准确的描述在刻时间段内变速运动的过程，如何精确的对整个过程进行描述，可以调整逐步缩小时间段，调整时间间隔，越来越小，以至于在某一时刻时的速度，引出研究瞬时速度的必要性。问题2:平均速度与瞬时速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在s时的瞬时速度吗?师生活动：（1）引导学生认识平均速度与瞬时速度的关系:设运动员在时刻附近某一段时间内的平均速度是，不断缩短这一时间段的长度，那么平均速度会越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度。给出探究方向让学生尝试利用这种关系求运动员在s时的瞬时速度：对应给定的时间间隔，利用问题1中的运算结果（节约运算时间），计算运动员在和之间的平均速度为利用信息技术工具演示平均速度逼近瞬时速度的计算过程，得出以下表格:让学生观察上面两个表格给出发现的结论，总结后，得出结论，随着时间间隔的不断缩小，平均速度越来越接近于常数。进一步思考的意义，在此基础上点评总结，并解释“”的意义。追问：你认为通过上述列表计算得出瞬时速度的过程可靠吗？可否用数学的计算与推理证实我们的判断．师生活动：教师引导学生根据平均速度表达式得出:随着时间间隔的不断缩小，即越来越接近于0，平均速度越来越接近于常数。记作：结论：运动员在t=1s处平均速度的极限值就是她在t=1s处瞬时速度.设计意图：（1）通过问题引导学生思考，从学生已知的平均速度出发，去探究未知的瞬时速度，通过缩短时间区间，用平均速度逼近瞬时速度的方法，理解瞬时速度就是平均速度的极限，培养学生分析问题解决问题的能力．并由此体会极限思想.（2）学生从表格直观感受逼近过程后，教师再引导学生利用运算来发现代数规律，渗透数学运算素养，数学是培养理性思维的重要载体，学习数学离不开运算推理和演绎证明．数学实验的结果需要用数学的运算推理加以验证，体现了理论与实践的统一，更让人信服．同时，培养学生崇尚数学的理性精神和审慎的思维习惯．如何从数学角度对以上解决问题的方法进行更一般的描述？【新知深化】问题3：观察抛物线的几何性质有哪些？以下式子代表的含义是什么？师生活动：师生一起回顾作为二次函数，图象为抛物线所具有的一些性质，教师引导学生发现左边表达式的几何意义，即点两点连线的斜率。通过斜率的大小反应图象弯曲程度和增长速度的变化.一般的，对，我们记作，表示过两点x1，x2的曲线割线的斜率，又称为函数的平均变化率.问题4：代表的含义又是什么？师生活动：通过ggb动画演示，学生从观察割线P1P0，当P1沿曲线无限靠近P0时直线的变化，又从方程的角度观察割线P1P0的方程的变化，从左右两个方向和数形两个方面得出结论。结论：当点P无限接近于P0,割线PP0无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线f(x)在x=1处的切线.【新知应用】试求f(x)=x2在点P设计意图：通过本题学生尝试求切线方程，熟悉公式的基本应用.教师指导学生求曲线切线斜率的四个步骤.求变化量:算比值:取极限:写结论:所求直线方程为【课堂小结】设计意图：让学生回顾整节课的探索过程，从运动的角度和几何的角度得到了平均速度、瞬时速度、割线斜率和切线斜率四个概念，从中抽象出了函数的平均变化率，并指出瞬时变化率就是我们下一节将研究的导数的概念，整个过程利用了运动变化的观点和逼近的极限思想，体现了数形结合、化归与转化的数学思想。【课后巩固作业】A层：课本第61页练习1、2题，课本第64页练习2题.B层：课本第70页第2题.文献阅读与写作：阅读相关文献，了解我国数学家在微积分思想方面的贡献.设计意图：分层设计两组作业，供不同层次的学生选用。并布置了文献搜集和写作作业，引导学生发现中国数学家早在魏晋时期，刘徽在所著的《九章算术》中就有了微积分思想的应用。培养学生爱国主义思想。过程性评价表评价内容权重等级自评互评师评1、平均速度的正确计算。10分A（810）B（57）C（04）2、极限、瞬时速度概念的理解。10分A（810）B（57）C（04）3、割线斜率和切线定义的理解。10分A（810）B（57）C（04）4、会求曲线切线的方程。10分A（810）B（57）C（04）5、在交流活动中积极主动发表自己的观点。10分A（810）B（57）C（04）6、能通过本节课的学习，感悟其中蕴含的思想方法。10分A（810）B（57）C（04）总分设计意图：体现教学评一体化的思想，采取自评和他评的形式，教师通过作业再对学生进行二次评价，让评价真实发生。（六）板书设计（七）教学反思本节课以物理运动模型和数学几何斜率模型为两大主线，串联课堂，以微积分的独立创造人物理牛顿和数学家莱布尼茨的两个视角展开，这样的引入即增加了微积分历史的了解，又培养学生像科学家一样来思考问题，来探究整个导数产生的过程。在实际的优质课评选过程中，由于安排的学生是生政史班级，物理知识基础和思维能力较差，学生对匀加速直线运动、平均速度、斜率等公式理解不到位，造成了课堂上对学生的误判，让学生进行平均速度的计算时，学生没有发应，不能很快的计