2024届福建省泉州市高三上学期质量监测数学试题（二）及答案

泉州市2024届高中毕业班质量监测（二）高三数学本试卷共22题，满分150分，共8页.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸､试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的，黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠､不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A{∣x2B{xxx23x∣AB1.设集合，则（）A.2,52,3D.B.C.ππzisin,zizz，则在复平面内对应点位于（）122.已知复数的1255A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限3.已知A.2π,sinsin（），则121B.C.D.224.已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（）π2πC.4πA.B.D.8π5.函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）fxx-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1fx第1页/共5页fxbxA.B.C.D.fxexbfxkxbfxk(xb2x22y2y24x与椭圆E:1的交点在x轴上的射影恰好是E的焦点，则E的离心率为6.若抛物线aa21（）2131A.B.C.21D.31227.某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（）A.70B.140C.252D.504414xfx1x3ya.若函数存在零点，则的取值范围为（）fxa8.已知函数x9743713339139,,,,A.B.C.D.434分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.､4520.二多选题：本题共小题，每小题分，共9.抛掷一枚股子，设事件A“出现的点数为偶数”，事件A.A与B是互斥事件B“出现的点数为3的倍数”，则（）B.AB不是必然事件1PC.D323PAB110.已知定义在R上的函数满足fxfx1fx，当xfx2x，当,0时，21xfxsinx，则（）时，2第2页/共5页13232ff4fff000A.B.332325fff0C.D.232511.已知抛物线C:x24y的准线为l，焦点为F，过F的直线m与C交于,B两点，则（）y1A.l的方程为B.l与以线段AB为直径的圆相切C.当线段AB中点的纵坐标为2时，3mAB8D.当的倾斜角等于45时，，D，在球的2,1Ex,2,1F12.在空间直角坐标系中，A0,0,0，B0，C2,02球面上，则（）A.//平面B.球F的表面积等于100π35C.点D到平面ACE的距离等于45D.平面与平面ACE的夹角的正弦值等于､三填空题：本题共小题，每小题分，共4520.，则分AB1,2,AD2|AC||BD|13.在平行四边形ABCD中，__________.中，a1an1an2，则a4n14.数列__________.n15.已知直线l:xy2，圆被l所截得到的两段弧的长度之比为__________.（只需写出一个满足条件的方程即可）2xax0，则a的取值范围为__________.16.若2x70C1:3C，则圆的方程可以为2､6分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤..四解答题：本题共小题，共和等比数列中，b133520.ab117.等差数列nn（1）求的公差；adn（2）记数列的前项和为，若a0，求S.nabnSnnn第3页/共5页18..某中学为提高学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在5,10的男生有4人.高二男生成绩（单位：）如下：10.212.86.46.614.38.316.815.99.717.518.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5（1）估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数；（2“坐位体前屈”成绩良好等级线为，高二男生为.已知该校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列列联表，依据小概率值220.005的独立性检验，能否认为该校男生坐位体前屈成绩优良等级与年级有关？“”等级年级良好及以上良好以下合计高一高二合计n(adbc)2附：2nabcd，其中abcdacbd0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828PABCDQ19.如图，两个棱长均等于2的正四棱锥拼接得到多面体.第4页/共5页（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的正弦值.20.一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到红球的概率；（2）设第2,3次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，PP21PP第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求34P,P,P,P；4123时，写出的等量关系式，PA,P∣A,P∣AB,PABC（3）对于事件,B,C，当PAB0并加以证明.sinBCbc21.的内角,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b3,.sinBsinCacπ（1）若Ca，求；6232（2）点D是外一点，AC平分，求△BCD的面积的取值范围.π，且ADC22.动圆C与圆的轨迹为E.C:(x5)2y24和圆C2:(x5)2y4中的一个内切，另一个外切，记点C1（1）求E的方程；3432（2）已知点Mtt,x,B两点，直线AM与交于另一点P，直线与E轴与交于EE49ABM,的S,S面积分别为.若12Q交于另一点，记S2S，求直线的方程.115第5页/共5页泉州市2024届高中毕业班质量监测（二）高三数学本试卷共22题，满分150分，共8页.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸､试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的，黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠､不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A{∣x2B{xxx23x∣AB1.设集合，则（）A.2,52,3D.B.C.【答案】D【解析】【分析】求出集合,B，再由交集的定义求解即可.xx23x6【详解】因为2x3，，所以x25x60，解得：所以A{∣xB{2x，AB3所以.故选：D.ππzisin,zizz在复平面内对应的点位于（122.已知复数，则）1255A.第一象限C.第三象限【答案】B【解析】B.第二象限D.第四象限第1页/共21页【分析】根据复数乘法运算和坐标对应方式即可做出选择.ππ5ππzzisinisinicos【详解】，12555ππsin,对应复平面内对应的点，55ππ因为sincos0，55ππ5sin,所以位于第二象限.5故选：B3.已知A.2π,sinsin（，则）121B.C.D.22【答案】C【解析】2【分析】根据同角三角函数关系和范围即可解出sin，则得到答案.2ππ,sin，则，结合sincos1，【详解】因为222212解得sinsin，则，22故选：C.4.已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（）π2πC.4πA.B.D.8π【答案】B【解析】【分析】根据已知条件知当截面的周长最大时，截面为圆柱的轴截面，结合已知条件求出圆柱的半径，利用圆柱的体积公式即可求解.【详解】当过母线作截面，截面的周长最大时，此时截面为轴截面.设圆柱的底面半径为r，则因为过母线作截面，截面的最大周长等于8，第2页/共21页222r8，解得r1.所以所以该圆柱的体积为π122π.2故选：B.5.函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）fxx-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1fxfxbxA.fxexbB.C.D.fxkxbfxk(xb2【答案】A【解析】【分析】由函数的数据即可得出答案.fx【详解】由函数的数据可知，函数，2f2,f1f1fxf偶函数满足此性质，可排除B，D；当x0时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，可排除.fxfxC故选：A.x22y2y24x与椭圆E:1的交点在x轴上的射影恰好是E的焦点，则E的离心率为6.若抛物线aa21（）2131A.B.C.21D.3122【答案】C【解析】【分析】求出椭圆与抛物线交点坐标，代入椭圆方程并结合离心率定义即可.第3页/共21页【详解】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为A，椭圆E右焦点为F，则根据题意得AFx轴，c2a2a211，则c1，则F0，当x1时，y241，则yA2，1222则，代入椭圆方程得A1,21，结合a2a0；10，不妨令a2a21c1解得a21，则其离心率e故选：C.21，a217.某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（）A.70B.140C.252D.504【答案】B【解析】【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有C155种选法，他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有A244312种选法，所以此时满足题意的选法有C15A2451260，由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有C144种选法，第4页/共21页他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有A所以此时满足题意的选法有C455420种选法，14A542080，2综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于种.故选：B41fx1x3ya.若函数存在零点，则的取值范围为（fxa8.已知函数）x4x9743713339134394,,,,A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】对求导，求出的单调性和最值，函数存在零点，即与yafxfxfxyayfxa的图象有交点，即可求出的取值范围.413x2232x643x8x8fx【详解】，x24x24x222xx4x883令0，解得：；令，fx1xfx0，解得：x338，83所以在fx,3上单调递减，在上单调递增，38，348319411334173ff1f383，4，1413434991343所以的最大值为，最小值为，故fx，fx,34yfxa，fxa0函数存在零点，即91343yfx与ya的图象有交点，所以a,即故选：C,､二多选题：本题共小题，每小题分，共4520分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.B9.抛掷一枚股子，设事件A“出现的点数为偶数”，事件“出现的点数为3的倍数”，则（）第5页/共21页A.A与B是互斥事件B.AB不是必然事件1PC.D.323PAB【答案】BD【解析】【分析】利用事件的关系，互斥事件与对立事件的定义结合古典概型的概率公式，即可判断求解.【详解】掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果，事件A=“出现的点数为偶数”包含2，4，6三种结果，事件B=“出现的点数为3的倍数”包含3，6两种结果，对于A，事件A，B有可能同时发生，故事件A，B不是互斥事件，故A错误；对于B，事件AB包含2,3,4,6四种结果，所以AB不是必然事件，故B正确；1P对于C，事件AB包含6一种结果，所以，故C错误；632123PAPAPBPABB对于D，故选：BD.，故D正确.666110.已知定义在R上的函数满足fxfx2x，当fx1fx，当x,0时，21xfxsinx，则（）时，213232ff4fff000A.B.332325fff0C.D.2325【答案】BD【解析】【分析】求出函数的周期，根据周期性计算函数值再判断即可.的周期为2，fxfx1fxfx2fx1fx【详解】因为，则，所以13131fx1fx，令x=-，因为sin对A，f，则323第6页/共21页2131323132ff2ff0，3，显然32f432ff4f0，故正确；对B，因为fxfx2，则，则3B3332121222332331ff1fff0对C，，，则2，故C错误；23252521π255fsinπ0ffsin1ff0，故D正确.对D，，2，则252故选：BD.11.已知抛物线C:x24y的准线为l，焦点为F，过F的直线m与C交于,B两点，则（）y1A.l的方程为B.l与以线段AB为直径的圆相切C.当线段AB中点的纵坐标为2时，3D.当的倾斜角等于时，AB8m【答案】ABD【解析】AB的定义求弦长可判断CD.p【详解】由抛物线C:x4y的方程可知21，所以准线方程为y1，故A正确；2设AB中点为M，过B,M,A分别作准线的垂线，垂足分别为B,M,A，第7页/共21页BBAA则由梯形中位线可得，再由抛物线定义可得，,，2BFAFAB所以，即圆心到准线的距离等于半径，22所以l与以线段AB为直径的圆相切，故B正确；设，因为AB中点的纵坐标为2，所以Ax,y,Bx,yyy4，121122y1y16由抛物线的定义可知，故C错误；12当m的倾斜角等于时，由于F，所以直线m的方程为yx1，yx1y26y10，所以1y26，x，消去，得联立x4y2ABAFBFy1y18由抛物线定义可得故选：ABD，故D正确.12，，C2,0，，2在球D2,1Ex,2,112.在空间直角坐标系中，A0,0,0B0F的球面上，则（）A.//平面B.球F的表面积等于100π35C.点D到平面ACE的距离等于4D.平面与平面ACE的夹角的正弦值等于5【答案】AC【解析】【分析】由球心F在平面ABC上的投影位置及D点求球心F的坐标和球半径，可得E点坐标，利用空间向量计算点D到平面ACE的距离和平面与平面ACE的夹角的正弦值.【详解】平面ABC的一个法向量n(0,，DE(x0)，2则n0，又因为DE平面ABC，所以//平面ABC，正确；A因为，，C2,0，则，球心F在平面上的投影点即外接圆A0,0,0B0F0)圆心，第8页/共21页设Fz)，因为FCFD，则2)2z2(022)2(z2，得z5，即F，球半径RFC26，球F表面积S4π26104π，B错误；R，(x0)(226，得x23，E，2222由m(a,b,c)2,0)，，设平面ACE的一个法向量，AEm0abc0，所以，取，mb0ACm0ADm333105AD(，点D到平面ACE的距离等于，C正确；m(122同理可得平面的一个法向量s，sm1945平面与平面ACE的夹角的余弦值等于，sm1010正弦值等于3，D错误.5故选：AC.【点睛】关键点点睛：注意到A，B，C三点共面，且平面ABC即为平面ABC上的投影，将空间问题平面化.，所以易得球心F在平面､三填空题：本题共小题，每小题分，共4520.分13.在平行四边形ABCD中，AB1,2,AD2，则|AC||BD__________.【答案】10【解析】【分析】根据向量加减的坐标运算和向量模的坐标运算即可得到答案.0，【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，则BDADAB45202210，2，则|AC||BD|4故答案为：10.中，a1an1an2，则a4n14.数列__________.n【答案】15【解析】【分析】根据递推关系求解即可.第9页/共21页aaan2n【详解】由，1n1aa23aa2347，2可得，3212aa27815.343故答案为：1515.已知直线l:xy2，圆C被l所截得到的两段弧的长度之比为1:3，则圆C的方程可以为__________.（只需写出一个满足条件的方程即可）【答案】x2y4（答案不唯一）2【解析】【分析】求出圆心到直线的距离与半径的关系，再假设圆心位于原点，代入计算即可.【详解】若圆Cl1:3，被所截得到的两段弧的长度之比为1，设圆C则劣弧所对圆心角为的半径为r，422则圆心到直线l的距离为rsinr，42不妨使得圆心为坐标原点，设圆C的方程为x2y2r2，22r，解得r2，则此时圆C的方程为x2y4，2则22故答案为：x2y24（答案不唯一.）2xax0，则a的取值范围为__________.16.若2x2【答案】【解析】f(x)2x222xaxf0f(x)ff0求出a检验即可得解.【详解】令f(x)2x2xax，则定义域为(0,)，且f0，由题意，x0，f(x)0f，f(x)minf，又f(x)在(0,)上可导，第10页/共21页所以x1为函数的极值点，f(x)axf(x)4x2a2，即，f42a0，24x2x22(2xx2当a2时，f(x)4x2，xxxf(x)0，x当时，f(x)单调递减；当x)时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)f0，f(x)0成立.所以.2xax0时的取值范围为综上，2x2a故答案为：､四解答题：本题共小题，共670分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.等差数列和等比数列中，b10.ab13352nn（1）求的公差ad；n（2）记数列的前项和为Sa0，求S，若.nabnnnn152【答案】（1）d或d2（2）【解析】1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式即可求解；n（2）根据（1）的结论及等差等比数列的通项公式，利用分组求和及等差数列的前项和公式即可求解.【小问1详解】设等比数列的公比为，qbn22q22d322d2q5由题意得，整理，得，24d4q02q2d101或d5.q8d50，解得d消去，得4d222【小问2详解】q1q2由（1）得1或5.2dd2第11页/共21页a0n因为，所以d0，q112.故dn3从而a,n21n1，n2nnSabababababababab2020n31n120112233445566191945678922234682257923104221052310.2218..某中学为提高学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在5,10的男生有人.4高二男生成绩（单位：）如下：10212.86.46.614.38.316.815.99.717.518.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5（1）估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数；（2“坐位体前屈”成绩良好等级线为，高二男生为.已知该校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列列联表，依据小概率值220.005的独立性检验，能否认为该校男生坐位体前屈成绩优良等级与年级有关？“”第12页/共21页等级年级良好及以上良好以下合计高一高二合计n(adbc)2附：2nabcd.，其中abcdacbd0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）15，16.35（2）详见解析【解析】1）完善频率分布直方图，根据频率分布直方图求高一男生成绩平均值，根据所给数据按百分位数定义求高二男生成绩第40百分位数；（2）列出列联表，计算【小问1详解】2，根据所给小概率值表判断即可.依题意得，抽取高二男生20人，所以抽取高一男生40人.4因为高一男生成绩在[5,10)的男生有4人，所以a50.1，解得a.40由(0.01a0.07b0.04)51，解得b0.06.由样本估计总体，可估计高一男生成绩的平均数12.50.017.50.0212.50.0717.50.0622.50.04512.5(100.0550.100.3550.3100.2)15.由200.48，可知样本数据的第40百分位数是第8项和第9项数据的均值，高二男生“坐位体前屈”成绩在[5,15)有7人，[15,20)有8人,15.916.8所以第40百分位数m在[15,20)中，故m16.35.2第13页/共21页由样本估计总体，可估计高二男生成绩的第40百分位数为16.35.【小问2详解】根据样本，知高一男生成绩良好及以上占，良好以下占，高二男生成绩良好12208及以上占60%，良好以下占，由样本估计总体，可得22列联表如下：良好及以上良好以下合计高一高二合计3003006003002005006005001100零假设为H：该校男生“坐位体前屈”成绩等级与年级之间无关.021100300200300300根据列联表中的数据，得2117.8790.005600500600500根据小概率值0.005的独立性检验，我们推断H关，此推断犯错误的概率不大于0.005.不成立，即认为“坐位体前屈”成绩等级与年级有0PABCDQ19.如图，两个棱长均等于2的正四棱锥拼接得到多面体.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析22（2）3【解析】1）建立空间直角坐标系，利用向量共线可得PA//，再由线面平行的判定定理得证；第14页/共21页（2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角求出平面夹角的余弦，再转化为正弦即可.【小问1详解】连结AC,BD，交于点O，连结PO,，由正四棱锥性质可知平面ABCD，QO平面ABCD，所以P,O,Q三点共线，又四边形ABCD是正方形，可得PO,AC,两两垂直，且交于点O.以O为原点，分别以OB,OC,OPxy的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标z系，如图，由AO2,PA2，在AORt△PAO中，POPA22=2，2,0,0,Q0,0,2P2,A2,0,D2,0,0,C2,0,B则，2,2,2,2，从而，故又AQC，所以PA//，又PA平面，平面，所以平面.【小问2详解】2,2PC2,2,PD2,0,2,2,2,由（1）可得设平面z1，n2y2z0n(x,y,z)，则111的法向量，1111n2x2z0111令，得n(，11第15页/共21页nQB2x2z0n(x,y,z)，则222设平面的法向量，2222nQC2y2z0222z12n(令，得，2n,nnn11113，12所以1233nn1213的夹角为，则n,n2，设平面与平面1223所以sin12.20.一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到红球的概率；（2）设第2,3次都摸到红球的概率为1；第1次摸到红球的概率为P；在第1次摸到红球的条件下，2第2次摸到红球的概率为3；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P.求4P,P,P,P；4123时，写出的等量关系式，PA,P∣A,P∣AB,PABC（3）对于事件,B,C，当PAB0并加以证明.7【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析【解析】1）根据全概率公式求解即可；（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；，由条件概率公式证明即可.PABCPAPBAPCAB（3）根据（2）猜想【小问1详解】记事件“第i次摸到红球”为iAi,10，则第2次摸到红球的事件为A，2于是由全概率公式，723771PAPAPA|APAPA|A得.21211210310910【小问2详解】第16页/共21页A3737PPAAA由已知得，1123A24107P2PA，110PAAA272107102312P3PA|A，21PAA7157110PAAA7155P4PA|AA312123.PAA247812【小问3详解】PPPPPAAA，PAPA|APA|AA2由（2）可得，即123412312131可猜想：PABCPAPBAPCAB,证明如下：由条件概率及P()P(AB)0，PABCPPAPB|APC|AB得，，PABPABCPABPAP()P(B)PCAB)PAPABC.所以PABsinBCbc21.的内角,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b3,.sinBsinCacπ（1）若Ca，求；623（2）点D是外一点，AC平分ADC，求△BCD的面积的取值范围.π，且【答案】（1）233（2）0<SBCD<4【解析】1）由正弦定理和余弦定理求出即可；1（2）由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式S【小问1详解】=BCCDsinBCD结合导数求出范围.2abc由正弦定理可知，sinAsinBsinC第17页/共21页所以sin(B+C)sin(π-)，sinAab-c====sinB+sinCsinB+sinCsinB+sinCb+ca-c所以a2-ac=b2-c2Þa2+cb2-b2=ac，a2c221由余弦定理B，2ac2π的内角,B,C，所以，B因为3πb3πA,a2又C，所以.π23662【小问2详解】ACBC33===2ÞBC=2sinBAC，由正弦定理sinBsinBAC2ACCD33===2ÞCD=2sinDAC，sinADCsinDAC2又AC平分，所以，因为四边形ABCD的内角和为2π，且BADCπ，易知π-BAC=ÐBCD，第18页/共21页11所以S=BCCDsin