5.3.2 命题、定理、证明 课件2023-2024学年人教版七年级数学

5.3.2命题、定理、证明

（第1课时）问题1

请同学读出下列语句（1）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）对顶角相等；像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）.一、观察发现，认识命题

下列哪些是命题。（1）两点之间，线段最短；（）（2）请画出两条互相平行的直线；（）（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（）（4）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余．（）

√

√三、火眼金睛，辨别真伪问题4

下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；（3）互为相反数的两个数相加得0；（4）同旁内角互补；（5）对顶角相等．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等．问题5

哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；（3）互为相反数的两个数相加得0；（4）同旁内角互补；（5）对顶角相等．

√

√

√问题8

请同学们举例说出一些真命题和假命题．命题的真假真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，

这样的命题叫做真命题．

假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，

这样的命题叫做假命题．归纳小结问题6请同学们判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行

线中的一条，那么也垂直于另一条；（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；（3）如果

，那么a=b；（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（5）两点确定一条直线．真假假真真一个命题中的正确性需要经过推理证实，才能得出判断，这个推理的过程叫做证明（proof）命题：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么他也垂直于另外一条．是真命题还是假命题？你是判断的？我们把这个推理过程叫做证明质疑探究，学习证明命题1在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.已知：b∥c，

a⊥b．求证：a⊥c．证明：∵

a⊥b（已知），∴∠1=90º

（垂直的定义）．又∵

b∥c（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.∴∠2=∠1=90º（等量代换）．

∴

a⊥c（垂直的定义）．1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。1.公理:人们在长期实践中总结出来的，并作为判定其他命题真假的根据.2.定理:用推理的方法得到的真命题.3.证明:除公理外，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理的过程叫做证明.1.公理:两点之间线段最短两点确定一条直线同位角相等，两直线平行公理是经过大量的实践证实的真理，是无需证明的如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补等式两边都加同一个数，结果仍是等式．定理是可以证明的，由公理推出2.定理:题设（条件）结论（条件）推理方法以已知、定义、公理、定理为依据证明总结判断一句话是不是命题，关键看能否找到题设和结论判断一个命题是假命题，只要举出一个反例（符合命题的题设，但是不满足结论）就可以了题设

结论真命题

假命题真命题练习下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？1、猪有四只脚；2、内错角相等；3、画一条直线；4、四边形是正方形；5、你的作业做完了吗？

6、同位角相等，两直线平行；7、对顶角相等；8、同垂直于一直线的两直线平行；9、过点P画线段MN的垂线；10、x＞2是真命题否是假命题是假命题否是真命题是真命题是假命题否练习否ADEF内错角相等，两直线平行BC同旁内角互补，两直线平行ADBC平行于同一条直线的两条直线互相平行3、完成下列推理，并在括号中写出相应的根据.∴

∥.（1）如图甲所示∵∠ADE＝∠DEF（已知）∴AD∥

（）又∵∠EFC+∠C=180°∴EF∥

（）（）补角的性质定理：同角或等角的补角相等.两直线平行的判定定理：同位角相等，两直线平行.对顶角的性质定理：对顶角相等.新知定理与证明1.定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.合作探究数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如直线公理：两点确定一条直线.拓展2.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.1.证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.2.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.证明命题：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.已知：b∥c，

a⊥b．求证：a⊥c．题设结论abc12例2如图，已知直线b∥c，

a⊥b．求证a⊥c．证明：∵

a⊥b(已知)，∴∠1=90°(垂直的定义).

∵b∥c

(已知)，∴∠2=∠1=90°(等量代换).∴a⊥c

(垂直的定义).∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).abc12证明的一般步骤：1.分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号；2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；3.经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程.如何判定一个命题是假命题呢？只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论即可.例如，判定命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：如图，OC是∠AOB的角平分线，

∠1=∠2，但它们不是对顶角.12AOCB如图，已知AD//BC，∠A=∠C.求证：AB//CD.证明：∵AD//BC(已知)，∴∠A=∠ABF(两直线平行，内错角相等).∵∠A=∠C(已知)，∴∠ABF=∠C(等量代换)，∴AB//CD(同位角相等，两直线平行).还有其他解法吗？巩固新知证明：∵AD//BC(已知)，∴∠A+∠ABC=180°(两直线平行，同旁内角互补).∵∠A=∠C(已知)，∴∠C+∠ABC=180°(等量代换)，∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行).如图，已知AD//BC，∠A=∠C.求证：AB//CD.

(-2)2-1=3>0A课堂练习2.下列命题：①两个锐角之和一定是钝角；②内错角相等；③若x=y，则x2=y2；④若x2=y2，则x=y；⑤两点之间，线段最短.其中，真命题有()A.1个

B.2个

C.3个

D.4个20°+40°=60°两直线不平行时不成立x=2，y=-2时，不成立B3.已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：EG∥FH．证明：∵∠1=∠2（已知），∠AEF=∠1（对顶角相等），∴∠AEF=∠2（等量代换）．∴AB∥CD

（同位角相等，两直线平行）．∴∠BEF=∠CFE（两直线平行，内错角相等）．

∵∠3=∠4（已知），∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3．即∠GEF=∠HFE（等式性质）．∴EG∥FH（内错角相等，两直线平行）．命题真命题假命题反证法定理证明归纳新知1．下列命题中，是真命题的是()A．同位角相等B．相等的角是直角C．若|y|＝2，则y＝±2D．若ab＝0，则a＝0C课后练习2．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是()A．∠1＝∠3B．∠4＝∠5C．∠2＋∠4＝180°D．∠2＝∠3D3．如图，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是()A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角B4.已知，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC，∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是()A．∠BAO与∠CAO相等B．∠BAC与∠ABD互补C．∠BAO与∠ABO互余D．∠ABO与∠DBO不等D5．(2017·潍坊)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足()A．∠α＋∠β＝180°B．∠β－∠α＝90°C．∠β＝3∠αD．∠α＋∠β＝90°B6如图，请完成下列各题．(1)如果∠1＝_________，那么DE∥AC；(2)如果∠1＝_____________，那么EF∥BC；(3)如果∠FED＋_____________＝180°，那么AC∥ED；(4)如果∠2＋______________＝180°，那么AB∥DF.∠C∠FED∠EFC∠AED7．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1＝∠2，则图中互相平行的直线是___________________________．EF∥CD，BC∥DE8．如图，给出下面的推理，其中正确的是________________．①因为∠B＝∠BEF，所以AB∥EF；②因为∠B＝∠CDE，所以AB∥CD；③因为∠B＋∠BEC＝180°，所以AB∥EF；④因为AB∥CD，CD∥EF，所以AB∥EF.①②④9．如图，AC⊥BC，垂足为点C，∠BCD是∠B的余角．求证：∠ACD＝∠B.证明：∵AC⊥BC(已知)，∴∠ACB＝90°(______________________)，∴∠BCD是∠ACD的余角．∵∠BCD是∠B的余角(已知)，∴∠ACD＝∠B(______________________)．垂直的定义同角的余角相等10．在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．解：小明的猜想不对．∵n2－6n＝n(n－6)，当n≤0或n≥6时，n2－6≥0，∴小明的说法不对．①BC平分∠ABE；②∠BCE＋∠D＝90°；③AC∥BE；④∠DBF＝2∠ABC.其中正确的有()A．1个B．2