(一轮)拉美复习

第七章应力状态和强度理论材料力学第七章应力状态和强度理论材料力学§7–１应力状态的概念应力状态与应变状态一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭实验现象是怎样的？M低碳钢扭转铸铁扭转PP铸铁拉伸P铸铁压缩§7–１应力状态的概念应力状态与应变状态一、引言1、铸铁与低碳钢拉伸试验铸铁拉伸试验问题?塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？低碳钢拉伸试验铸铁拉伸试验问题?塑性材低碳钢扭转试验铸铁扭转试验问题?为什么脆性材料扭转时沿45º斜截面断开？低碳钢扭转试验铸铁扭转试验问题?为什么脆应力状态与应变状态2、复杂应力状态怎样建立强度条件？MPtsFstsssMt强度条件如何建立？弯扭组合变形强度条件如何建立？简单应力状态的强度条件：应力状态与应变状态2、复杂应力状态怎样建立强度条件？MPts材料力学FF同一点在斜截面上时：

表明：同一点在不同方位截面上，它的应力是各不相同的，此即应力的面的概念。材料力学FF同一点在斜截面上时：表明：同一点在不同方材料力学

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。材料力学横截面上正应力分析和切应力分析的应力指明哪一个面上

哪一点？

哪一点哪个方向面？应力指明哪一个面上

哪一点？哪一点

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。

就是研究一点处沿各个不同方位的截面上的应力及其变化规律。二、一点的应力状态

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态三、单元体：单元体——围绕被研究点截取一尺寸为无限小的正六面体。单元体的性质——a、各表面上应力均匀分布；

b、平行平面上应力相等。应力状态与应变状态xyz0三、单元体：单元体——围绕被研究点截取一尺寸为无限小应力状σσττ轴向拉伸σσττ扭转σσττ轴向拉伸σσττ扭转弯曲变形ττσστσσ弯曲变形ττσστσσ例FPlaS例FPlaSFlaS13S平面zMzT4321yxtt2FlaS13S平面zMzT4321yxtt2四、主单元体、主平面、主应力：

主单元体各平面上切应力均为零的单元体。

主平面切应力为零的平面。

主应力主平面上的正应力。应力状态与应变状态s1s2s3xyzsxsysz四、主单元体、主平面、主应力：主单元体主平面主应力应力

主应力排列规定：应力状态与应变状态s1s2s3xyzsxsysz

在受力构件中任意一点，必定存在三个相互垂直的主平面，因此在每一点处必有三个主应力，以s1，s2

和

s3表示，且规定s1

s2

s3主应力排列规定：应力状态与应变状态s1s2s3xyzsxs

单向应力状态一个主应力不为零的应力状态。

二向应力状态一个主应力为零的应力状态。应力状态与应变状态

三向应力状态三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxtzxsxsxBtxzs1s2s3单向应力状态二向应力状态应力状态与应变状态三向应力状态材料力学三向（空间）应力状态材料力学三向（空间）应力状态材料力学二向（平面）应力状态材料力学二向（平面）应力状态材料力学xyxy单向应力状态纯剪应力状态材料力学xyxy单向应力状态纯剪应力状态材料力学三向应力状态二向应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例材料力学三向应力状态二向应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例二向和三向应力状态实例二向和三向应力状态实例s

A=s

pDt=Ps

=pD4ts

=?sA=spDt=Ps=pD4ts=?2N=pDlN=s

tls

=pD2t2N=pDlN=stls=pD2ts

s

s

s

二向应力状态ssss二向应力状态三向压缩三向压缩§7–2

平面应力状态分析——解析法应力状态与应变状态sxtxysyxyzxysxtxysyO§7–2平面应力状态分析——解析法应力状态与应变状态sxtxyα1.斜截面上的应力dAαntxyα1.斜截面上的应力dAαnt列平衡方程dAαnt列平衡方程dAαnt利用三角函数公式并注意到化简得利用三角函数公式并注意到化简得xyα2.正负号规则正应力：拉应力为正；压应力为负。切应力：绕微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。αntxxyα2.正负号规则正应力：拉应力为正；切应力：绕微元顺时针确定正应力极值设α＝α0

时，上式值为零，即3.

正应力极值和方向即α＝α0

时，切应力为零确定正应力极值设α＝α0时，上式值为零，即3.正应力极值

由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。

所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：σ1

σ2

σ3由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力应力状态与应变状态222xyyxminmaxtsstt+-±=îíì

）（4.

切应力极值和方向

由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大切应力和最小切应力所在平面。应力状态与应变状态222xyyxminmaxtsstt+-试求（1）斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题：一点处的平面应力状态如图所示。

已知试求（1）斜面上的应力；例题：一点处的平面应力状态如图所解：（1）斜面上的应力

解：（1）斜面上的应力（2）主应力、主平面

（2）主应力、主平面主平面的方位：

代入表达式可知主应力方向：主应力方向：主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主（3）主应力单元体：

（3）主应力单元体：

某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。例题

在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其正应力σ的和为一常数。某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上例题

分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。

低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现滑移线，是由最大切应力引起的。例题分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面例题

分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。

铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。例题分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸材料力学一、应力圆方程(1)(2)§7–2

平面应力状态分析——图解法材料力学一、应力圆方程(1)(2)§7–2平面应力状态分材料力学Rc应力圆（Mohr莫尔圆）材料力学Rc应力圆（Mohr莫尔圆）

建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法

在坐标系内画出点A(

x，

xy)和点B(

y，

yx)

AB线与s

轴的交点C便是圆心。

以C为圆心，以AC为半径画圆

——应力圆；应力状态与应变状态sxtxysyxyOOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)建立应力坐标系，如下图所示，二、应力圆的画法在坐标系内画应力状态与应变状态sxtxysyxyOOstCD(sx,txy)D'(sy,tyx)AB应力状态与应变状态sxtxysyxyOOstCD(sx,t应力状态与应变状态sxtxysyxyOnsataaOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2an

D(sa,

ta)三、单元体与应力圆的对应关系

点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力；

转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。应力状态与应变状态sxtxysyxyOnsataaOstCA应力状态与应变状态sxtxysyxyOnsataaOstCD(sx,txy)D'(sy,tyx)x2an

E(sa,

ta)

2a0ABFE点的坐标是因CE和CD为圆周的半径，有代入，可求得：应力状态与应变状态sxtxysyxyOnsataaOstC四、在应力圆上标出极值应力应力状态与应变状态OCstA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3四、在应力圆上标出极值应力应力状态与应变状态OCstA(sx材料力学

主应力排序：

s1

s2

s3tsocadtsotso材料力学主应力排序：s1s2s3tsocad例3用应力圆求主应力，

并确定主平面的位置例3用应力圆求主应力，

并确定主平面的位置802060-4060802060-4060例4求斜截面de上的正应力及切应力例4求斜截面de上的正应力及切应力-2020-30-40-2020-30-40s3例5

求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB

1

2解：

应力坐标系如图

AB的垂直平分线与s

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆

0应力状态与应变状态s1s2BAC2

0st(MPa)(MPa)O20MPa

在坐标系内画出点s3例5求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPas3应力状态与应变状态s1s2BAC2

0st(MPa)(MPa)O20MPa

主应力及主平面如图

1

0

2ABs3应力状态与应变状态s1s2BAC20st(MPa)(M解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°应力状态与应变状态xyOx解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°应力状态与应变状

梁的主应力及其主应力迹线应力状态与应变状态12345P1P2q如图，已知梁发生横力弯曲，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。梁的主应力及其主应力迹线应力状态与应变状态12345P1应力状态与应变状态21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2A2CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1OA1应力状态与应变状态21s1s3s33s1s34s1s1s35qxy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd

1

3应力状态与应变状态

3

1qxy主应力迹线的画法：11223344iinnbacd1主应力迹线：主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都表示该点的主拉应力方位（或主压应力方位）。实线表示主拉应力迹线；虚线表示主压应力迹线。应力状态与应变状态q主应力迹线：实线表示主拉应力迹线；应力状态与应变状态q

图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。

（1）从梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。

（2）定性地绘出A、B、C三点的应力圆。

（3）在各点的单元体上，大致地画出主平面的位置和主应力的方向。

（4）画图表示梁破坏时裂缝在B、C两点处的走向。例题

图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作§7–3

三向应力状态应力状态与应变状态s1s2xyzs31、空间应力状态yxz§7–3三向应力状态应力状态与应变状态s1s2xyzs31应力状态与应变状态s1s2xyzs3应力状态与应变状态s1s2xyzs3s3s1s2s2s1s3s3s1s2s2s1s3tsIIIIIIs3s2s1I平行于σ1的方向面－其上之应力与σ1无关，于是由σ2

、σ3可作出应力圆I平行于σ2的方向面－其上之应力与σ2无关，于是由σ1

、σ3可作出应力圆

II平行于σ3的方向面－其上之应力与σ3无关，于是由σ1

、σ2可作出应力圆IIIIIs2s1

s3s3IIIs2s1tsIIIIIIs3s2s1I平行于σ1的方向面－其上之应力材料力学s1s2s3IIIIIIs1s2s3ts

代表与三个主平面斜交的任意斜截面的应力的点位于三个应力圆所围成的阴影区域内。材料力学s1s2s3IIIIIIs1s2s3ts2、三向应力分析

弹性理论证明，图a任意一点单元体内任意截面上的应力对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b

单元体内的极值应力tmax应力状态与应变状态s1s2xyzs32、三向应力分析弹性理论证明，图a任意一点单元体内任意截面例6

求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：

由单元体图知：yz面为主平面，主应力为

建立应力坐标系如图，画应力圆得:应力状态与应变状态5040xyz3010(M

Pa)s（M

Pa）tABCABs1s2s3tmax例6求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：由单1.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律xyzsx§7–4广义胡克定律xyz

x

y1.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形22、复杂状态下的应力---应变关系(广义胡克定律)依叠加原理,得:应力状态与应变状态yxz2、复杂状态下的应力---应变关系(广义胡克定律)依叠加3、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法3、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法(一轮)拉美复习材料力学★分析：(1)即(2)当时，即为二向应力状态：(3)当时，即为单向应力状态；即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。材料力学★分析：(1)即(2)当时，即为二向应力4.各向同性材料的体应变体应变单位体积的体积变化。s1s2s3平面纯剪切应力状态

小变形条件下，切应力不引起各向同性材料的体积改变sxsysz4.各向同性材料的体应变体应变单位体积的体积变化。s1s2s§7－5复杂应力状态下的应变能密度

1

3

2图a图

c

3-

m

2-

m

1-

m应力状态与应变状态

m图b

m

m体积改变能密度形状改变能密度§7－5复杂应力状态下的应变能密度132图a图应力状态与应变状态图

c

3-

m

2-

m

1-

m

m图b

m

m图b单元体的体积改变能密度为：其中得应力状态与应变状态图c3-m2-m1-m§7－6、强度理论一、基本变形下的强度条件（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强度条件）§7－6、强度理论一、基本变形下的强度条件（拉压）（弯曲）式中失效正应力失效切应力（通过试验测定）基本变形下危险点的应力状态：单向应力状态纯剪切应力状态式中失效正应力失效切应力（通过试验测定）基本变形下危险点的应二、怎样建立复杂应力状态下强度条件？难点：如何用实验确定复杂应力状态下的失效应力?

试验的复杂性

应力状态的多样性

二、怎样建立复杂应力状态下强度条件？难点：如何用实验确定复杂

两种强度失效形式塑性屈服（流动）材料产生显著的塑性变形。(1)脆性断裂

材料在没有明显的塑性变形情况下发生突然断裂。两种强度失效形式塑性屈服（流动）(1)脆性断裂即强度理论：关于材料破坏或失效原因的假设。材料不论处于什么应力状态下，引起失效的因素是相同的，也就是，造成失效的原因与应力状态无关，便可由拉伸试验的结果建立复杂应力状态下的强度条件。即强度理论：关于材料破坏或失效原因的假设。材料不论处于什三、常用的强度理论

关于脆性断裂的强度理论

最大拉应力理论

最大伸长线应变理论

关于塑性屈服的强度理论

最大切应力理论

形状改变能密度理论

莫尔强度准则

三、常用的强度理论关于脆性断裂的强度理论

—最大拉应力理论（第一强度理论）

无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大拉应力达到了材料的极限应力σu。

关于脆性断裂的强度理论—最大拉应力理论（第一强度理论）无论材料

1

2

3

u=b

最大拉应力理论123u=b最大拉应力理论

最大拉应力理论断裂条件强度条件最大拉应力理论断裂条件强度条件

局限性：1、未考虑另外二个主应力影响，2、对没有拉应力的应力状态无法应用，如：单向压缩、三向压缩。实验表明：此理论对于大部分脆性材料受拉应力作用时，结果与实验相符合，如铸铁拉伸、扭转。铸铁拉伸铸铁扭转局限性：1、未考虑另外二个主应力影响，2、对没有拉应力的

—最大伸长线应变理论（第二强度理论）

无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大伸长线应变达到了极限值εu。—最大伸长线应变理论（第二强度理论）无论

1

2

3

—最大伸长线应变理论=b123—最大伸长线应变理论=b

最大伸长线应变理论断裂条件强度条件即最大伸长线应变理论断裂条件强度条件即

局限性：

材料在二向或三向受拉时，应比单向拉伸更安全，但实验结果并非如此。

实验表明：此理论适用于以压应力为主的情况。如，石料或混凝土受轴向压缩，铸铁受拉－压二向应力，且压应力较大时。局限性：材料在二向或三向受拉时，应比单向拉伸更安全，

关于塑性屈服的强度理论最大切应力理论（第三强度理论）

无论材料处于什么应力状态,只要发生塑性屈服,都是由于最大切应力达到了材料的极限值τu。关于塑性屈服的强度理论最大切应力理论（第三强度理论）

1

2

3=s屈服条件强度条件123=s屈服条件强度条件实验表明：此理论对于塑性材料的屈服现象能够得到较为满意的解释。

局限性：

2、不能解释三向均匀受拉下可能发生断裂的现象。1、未考虑的影响，试验证实最大影响达15%。低碳钢拉伸低碳钢扭转实验表明：此理论对于塑性材料的屈服现象能够得到较为满意的解释

无论材料处于什么应力状态,只要发生塑性屈服,都是由于形状改变能密度达到了材料的极限值vdu。

形状改变能密度理论（第四强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生塑性屈服,都是由=s屈服条件强度条件

1

2

3=s屈服条件强度条件123强度条件实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。第三强度理论偏于安全,第四强度理论偏于经济.强度条件实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理第三强度理论强度理论的统一表达式：相当应力σr强度理论的统一表达式：相当应力σr§7–7

莫尔强度理论

莫尔认为：假设单由外圆就足以决定极限应力状态，以各种应力状态下材料的破坏试验结果为依据，建立带有一定经验性的强度理论。强度理论§7–7莫尔强度理论莫尔认为：假设单由外圆就足以近似包络线极限应力圆的包络线O

极限应力圆一、两个概念：1、极限应力圆：2、极限应力圆的包络线。强度理论近似包络线极限应力圆的包络线O极限应力圆一、两个概念：[

c]st[

t]O1O2莫尔强度理论的推导2、强度准则：1、破坏判据：O3

1

3MLTFN二、莫尔强度理论：任意一点的极限应力圆与包络线相切，则材料开始屈服或发生脆断。强度理论O[c]st[t]O1O2莫尔强度理论的推导2、强度准则1、选用强度理论时要注意：第一、第二强度理论，通常适用于脆性材料（脆断）第三、第四强度理论，通常适用于塑性材料（屈服）2、材料的破坏形式与应力状态有关，也与加载速度、温度等有关。同一种材料在不同情况下，破坏形式不同,强度理论也相应不同。§7–8强度理论的应用常温、静载、匀质、连续、各向同性材料1、选用强度理论时要注意：第一、第二强度理论，通常适用于脆性铸铁：单向受拉时，产生脆性断裂第一、第二强度理论三向均匀受压时，产生屈服失效第三、第四强度理论3、如果考虑材料存在内在缺陷如初始裂纹，须利用断裂力学中的断裂准则进行计算。低碳钢：单向受拉时，产生塑性屈服第一、第二强度理论三向均匀受拉时，产生脆性断裂第三、第四强度理论铸铁：单向受拉时，产生脆性断裂第一、第二三向均匀受压时，产生4、强度计算的步骤：（1）、外力分析：确定未知外力值，判断变形形式。（2）、内力分析：画内力图，确定可能的危险截面及最大内力值。（3）、应力分析：画危险截面的应力分布图，确定危险点并画出危险点的单元体。（4）、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。强度理论4、强度计算的步骤：（1）、外力分析：确定未知外力值，判断变例已知：铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应力

[

t]=30MPa。试校核该点的强度。例已知：铸铁构件上

解：首先根据材料和应力状态确定破坏形式，选择强度理论。

r1=1

[

t]其次确定主应力脆性断裂，最大拉应力准则解：首先根据材料和应力

1＝29.28MPa,2＝3.72MPa,3＝0结论：强度是安全的。1＝29.28MPa,2＝3.72MPa,3解：危险点A的应力状态如图：例

直径为d=0.1m的圆杆受力如图,M=7kNm,P=50kN,材料为低碳钢，[

]=170MPa,试用第三强度理论校核杆的强度。安全。强度理论PPMMAAst解：危险点A的应力状态如图：例直径为d=0.1m的圆杆受力AB2m2mFCFq1m1mDE例题300126