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TPM设备管理培训TPM设备管理培训1．直线与平面平行(1)定义：直线a与平面α

，称直线a平行于平面α，记为

.(2)判定定理：若

一条直线与此

的一条直线

，则该

．即⇒

.没有公共点a∥α平面外平面内平行直线与此平面平行1．直线与平面平行没有公共点a∥α平面外平面内平行直线与此平(3)性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．即

.

2．平面与平面平行(1)定义：平面α与平面β

，则称平面α与平面β平行．记为

.没有公共点α∥β(3)性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的(2)判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．即：

.(3)两平面平行的一个判定结论：如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．(4)性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：

.a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥βα∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b(2)判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平3．证明空间平行关系的常用思想方法3．证明空间平行关系的常用思想方法1．(2010·山东，4)在空间，下列命题正确的是(

)A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行TPM设备管理培训[解析]

选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D，正确．[答案]

DTPM设备管理培训2．(2009·福建，10)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件是(

)A．m∥β且l1∥α

B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β

D．m∥β且n∥l2[答案]

B2．(2009·福建，10)设m，n是平面α内的两条不同直线3．设α、β、γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．[答案]

②④3．设α、β、γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命TPM设备管理培训

如图，在四棱锥P

ABCD中，底面ABCD为正方形，E为PC中点．证明：PA∥面EDB.TPM设备管理培训[证明]

由ABCD为正方形AC、BD相交于O.∴O为AC中点，E为PC中点∴OE为△PAC的中位线∴OE∥PA，OE⊂面EDBPA⊄面EDB∴PA∥面EDB[点评与警示]

判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；③利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．[证明]由ABCD为正方形AC、BD相交于O.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.TPM设备管理培训TPM设备管理培训

如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC边上的一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1DTPM设备管理培训[证明]

连接A1C交AC1于点E∵四边形A1ACC1是平行四边形∴E为A1C的中点，连接ED∵A1B∥面AC1D，面A1BC∩面AC1D＝ED∴A1B∥ED，又E为A1C的中点∴D为BC的中点又∵D1是B1C1的中点∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，又A1D1∩BD1＝D1∴平面A1BD1∥平面AC1D.[证明]连接A1C交AC1于点E[点评与警示]

证明面面平行的方法有：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”“面面平行”的相互转化．[点评与警示]证明面面平行的方法有：(2010·广州一模)如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE＝3，AB＝6.(1)求证：AB⊥平面ADE；(2)求凸多面体ABCDE的体积．[分析]

本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．TPM设备管理培训(1)[证明]

∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD.在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE.∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.(1)[证明]∵AE⊥平面CDE，TPM设备管理培训TPM设备管理培训

如图，已知点P是三角形ABC所在平面外一点，且PA＝BC＝1，截面EFGH分别平行于PA、BC(点E、F、G、H分别在棱AB、AC、PC、PB上)．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形且周长为定值；(2)设PA与BC所成的角为θ，求四边形EFGH的面积的最大值．TPM设备管理培训TPM设备管理培训TPM设备管理培训[点评与警示]

(1)欲证线面平行，先证线线平行，欲证线线平行，可先证线面平行，反复用直线与平面平行的判定、性质，在同一题中也经常用到；(2)立体几何中的最值问题往往要借助函数来求解．TPM设备管理培训如下图所示，设a，b是异面直线，AB是a，b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a，b分别平行，M，N分别是a，b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点．TPM设备管理培训[证明]

连接AN，交平面α与点Q，连接PQ，∵b∥α，b⊂平面ABN，平面ABN∩α＝OQ，∴b∥OQ，又O为AB的中点，∴Q为AN的中点．∵a∥α，a⊂平面AMN且平面AMN∩α＝PQ，∴a∥PQ.∴P为MN的中点．TPM设备管理培训TPM设备管理培训TPM设备管理培训TPM设备管理培训(2009·广州调研)如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝2AD.(1)求证：AB⊥PD；(2)在线段PB上是否存在一点E，使AE∥平面PCD，若存在，指出点E的位置并加以证明；若不存在，请说明理由．TPM设备管理培训(1)[证明]

∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.TPM设备管理培训TPM设备管理培训TPM设备管理培训∵AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AF∥平面PDC.∵AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面PCD.∵AE⊂平面AEF，AE∥平面PCD.∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．TPM设备管理培训TPM设备管理培训1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法(2)判定定理(线∥线⇒线∥面)，即想方设法在平面内找出一条与已知直线平行的直线．(3)面面平行性质定理(面∥面⇒