圆中的相交弦模型-2024年中考数学核心几何模型重点突破（解析版）

专题25圆中的相交弦模型

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【理论基础】相交弦定理

如图25-1，已知在。0中，弦48与弦CD交于点尸，点P在0O内nK4•必=尸。・尸£）。

【证明】

如图25-2,连接/C,BD,

AAPC=ZDPB

.二《，

ZA=ND

AAPCsADPB

PAPC

"PD~PB

PA・PB=PC♦PD

图25-2

【模型变式】如图25-3,已知在。。中，48为直径，CD为弦，45与CD相交于点P,

点P在0O内n弘・PB=PC・PD。

【例1】如图是以点。为圆心，为直径的圆形纸片，点C在。。上，将该圆形纸片沿直

线C。对折，点8落在。。上的点。处（不与点N重合），连接C8,CD,AD.设CD与直

心BC士立〒

径48交于点E.若AD=ED,则.度；布的值等于

【答案】36也6

2

【分析】由等腰三角形的性质得出/。/£=/。瓦4,证出/8EC=/8CE,由折叠的性质得出

ZECO=ZBCO,设NECO=NOCB=NB=x,证出/8CE=/KC0+N3co=2x,ZCEB=2x,

CFRF

由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEOS^BEC,由相似三角形的性质得出为=方

设EC=OC=OB=a,得出/=%(x+a),求出。--af证明△5C£s/\/x4£,由

2

相似三角形的性质得出=则可得出答案•

【解析】解：9：AD=DE,

：.NDAE=NDEA,

VZDEA=ZBECfZDAE=ZBCE,

：./BEC=/BCE,

・・•将该圆形纸片沿直线CO对折，

・•・ZECO=ZBCO,

又・：OB=OC,

：,/OCB=/B,

设ZECO=ZOCB=ZB=x,

・•・ZBCE=ZECO+ZBCO=2x,

JZCEB=2x,

ZBEC+ZBCE+ZB=180°,

x+2x+2x=180°,

.,.x=36°,

・•・/B=36。；

■:/ECO=/B,/CEO=/CEB,

・••△CEOs^BEC,

.CE_BE

・・茄一乐‘

・・・CE2=EO・BE,

设EO=x,EC=OC=OB=a,

a2=x(x+a),

解得，x=――-a(负值舍去)，

2

：.OE=^^~a,

2

・•・AE=OA-OE=a-如匚a=三必a,

22

■:/AED=NBEC,ZDAE=ZBCE,

：.△BCEsXDAE,

,BCEC

••而一商’

BC_a_3+V5

*'*AD~3-V5-2•

---------a

2

故答案为：36,小巡

2

【例2】如图，在△4BC中，AB=AC,。是△45C的外接圆，连接2。并延长交边/C于

点D.

（1）如图1,求证：NBAC=2NABD；

（2）如图2,过点3作38L/C于点X,延长交。。于点G,连接OC,CG,。。交

BG于点,F,求证：BF=2HG；

（3）如图3,在（2）的条件下，若40=2,0）=3,求线段3尸的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）BF=^~

14

【分析】（1）连接。/并延长N。交于£,证明NA4c=2N34E■和//瓦”/8/£即可得

结论,

（2）利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角，得出△MCG和△尸CG是等腰三角

形，BM=MC=FG=CG,MH=HG,进而由2尸三8"+必/-尸/7=尸6-尸/，+水?，得出结论;

,，八1SARC4BBO5

（3）过。点作。尸，/C,由垂径定理得出尸。=彳，再由于%=—=-=3和平行线t分

2ADUD2

77

线段成比例定理求出。〃二彳刀尸二:，由勾股定理进而可求8",再利用相似三角形对应边

24

成比例求出"G,即可得8厂长.

【解析】解：（1）连接CU并延长/O交BC于E,

'：AB=AC,

二淞=Q

・・Z£过圆心。，

AELBC,BE=EC,

：.ZBAC=2ZBAE,

•：OA=OB,

・•・NABD=/BAE,

：.ZBAC=2ZABD；

(2)如解图(2),连接04并延长40交8C于E,AE交BF于M,连接MG

设/"C=2a,则/ABD=NB4E=NE4C=a

■;AE=EC,AELBC,

：.BM=MC,

：./MBC=/MCB,

*：BGLAC,AELBC,

：.ZEAC+ZACE=90°,ZHBC+ZACE=90°f

：.ZEAC=ZHBC=ZMCB=a,

・・・ZCMG=ZMBC+ZMCB=2a,

■:前=前，

：.ZG=ZBAC=2a,

：.ZG=ZCMGf

：.CG=CM=BM,

,CACLBG,

:・MH=HG,

9：OA=OC,

：.ZACO=ZEAC=a

：.ZCFG=90°-ZACO=90°-af

ZFCG=180°-ZCFG-ZG,BPZFCG=180°-(90°-a)-2a=90°-a,

ZFCG=ZCFG,

：.FG=CG,

：.BM=MC=FG=CG,

又,：MH=HG,

：.BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG,

：.BF=2HG.

(3)过。点作。尸_L4C,如解图(3)

9：AO是/R4c的角平分线，

・,•点。到45、4。的距离相等，

.JB=BO

9

"S^0~ADOD

•：4D=2,CD=3,

：.AB=AC=5,

.BO5口门OD2

..——=一，即：——=一，

OD2BD7

u：OPLAC,

：.AP=PC=-PD=-

2f2f

•：BH工AC,

J.OP//BH,

.DPOPOD_2

•・而一而一访―7'

77

DH=-DP=-,

24

AAH=AD+DH=—HC=DC-DH=-,

44f

・・•在比△45〃中，BH=AB2-AH2=52-(—)2=-77,

■:/BAH=/G,ZAHB=ZGHC,

：.AAHB〜△GHC,

:•短制AH,HC=BH、HG,

:.迎HG=，^

444

28

由（2）得BF=2HG,

；.BF且

14

一、单选题

1.如图，四边形/BCD内接于圆，已知/C=3C,延长/。到尸使得。尸=3。=3,已知

/AEB=90。,且4E：ED=3：1,则8E的长为（）

A.2.5B.272C.—D.3

2

【答案】C

【分析】根据同弧所对的圆周角相等推NC4D=NCB。，结合图的条件证明△ZCE'sAg"；,

ApCFAC_____72

推出喘=W=左，再根据勾股定理求出BE=师J，结合比例线段表示出CE=r^=，

BEEDBDV9+x2

?r2+9

BC=BE+EC=—j==,再根据4C・BE=9x,列方程解出x即可.

V9+x2

【解析】解：・.•丽=丽，

；・NCAD=/CBD,

•・•ZAEB=ZAEC=90°,

：.△ACEs^BDE,

,AECEAC

BE~ED~~BD'

•；AE：皮）=3：1,

设DE=x,AE=3x,

在RtABED中,根据勾股定理得，BE=y/9+x2，

?r2+Q

BC=BE+EC=.

V9+x2

•：AC=BC,

2x2+9c2-八

/•，9+x=9x

V9+x2

整理得：2--9x+9=0，

3

解得x/=3（舍去），X2=—,

2

故选：C.

2.如图，已知。。的半径为3,弦。。=4,A为O。上一动点（点A与点。、。不重合），

连接力。并延长交于点交。。于点3,尸为上一点，当//尸3=120。时，则4P/尸

的最大值为（）

A.4B.6D.12

【答案】C

【分析】如图（见解析），先利用解直角三角形可得尸再根据圆周角定理可得

CPFP

NC=NPBD,然后根据相似三角形的判定与性质可得%=而，从而可得FP-BP=CP-DP,

设CP=x,从而可得DP=4-x,最后利用二次函数的性质求解即可得.

【解析】解：如图，延长BP交。。于点尸，连接NRCRB。,

Q为。。的半径,

/.ZAFB=90°,

'：ZAPB=120°,

ZAPF=180。一AAPB=60°,

在放△/F尸中，FP=AP-cosZAPF=-AP,BPAP=2FP,

2

/.APBP=2FPBP,

由圆周角定理得：/C=/PBD,

NC=/PBD

在△CFP和△5。尸中,

/CPF=/BPD

:./FP~BDP,

：.—=—,即FPBP=CPDP,

BPDP

^FPBP=y,CP=x,贝［j尸=4一x,且0<x<4,

/.y—x(4—x)——(x—2)2+4,

由二次函数的性质可知，在0<x<4内，当％=2时，>取最大值，最大值为4,

即尸尸尸的最大值为4,

则尸的最大值为2x4=8,

故选：C.

3.如图，已知弦Z5与弦CO交于点尸，且尸为45的中点，延长交于点石，若

AC=2,BD=3,则+()

D

E

A

A.9B.3+4收C.10D.6石

【答案】c

【分析】根据题意，由两角相等证明△ABES/SDCE,APBD^APAC,再由相似三角形性

质，得到对应边成比例，设EC=x,EB=y,列出方程组，解出X,y,然后求得.

【解析】VZA=ZD（同弧所对的圆周角相等）

ZE=ZE

AAABE^ADCE

同理△PBDs/iPAC

・ACPC2AP

9BD~BP~PD

TP为AB中点

・・・PA=PB,

393

・・.PB=-PC,PD=-PC,AP=-PC

242

913

CD=PC+PD=PC+-PC=—PC

44

33

AB=AP+BP=-PC+-PC=3PC

22

：,CD^PC.B

~AB~3PC-12

设EC=x,EB=y，贝I」

xECy+3CDr1/日

一=——=而，则可信:

yEB2+x

x2+2x=y2+3y

<x_B

J-12

26

X=5一

解得

24

y-5一

-

2

2624

——+——=10

55

故选：C.

二、填空题

4.如图，△/BC内接于OO,ZB为。。的直径，。为上一点（位于下方），CD交

AB于点、E,若N&)C=45。，BC=6及，CE=2DE,则CE的长为.

c

【答案】4百

【分析】直接证明△3C£SZ\DCB,得至1」8。2=霞.8，设D£=X,则CE=2X,列出方程即

可解决.

【解析】为。。的直径

ZACB=90°

；ZCDB=ZA=45°,

：.ZABC=ZA=45°,

'：/BCE=NDCB,

:.△BCEs^DCB,

.BCCE

"a5~^c'

BC?=CECD，

设DE=x,则CE=2x,CD=3x,

(6^2)2=2X><3X,

Vx>0,

；.x=2C，

:.CE=4下,

故答案为：473.

5.如图，。。的直径N3过丽的中点H若/C=30。，AB、CD交于点、E,连接NC、BD,

D

【答案】I

【分析】根据已知条件得出/。。1=//次4=30。，设DE=EC=x,由在直角三角形中，30。所

对的直角边等于斜边的一半可以得出AE和BE的长，然后代入要求的式子进行计算即可得

出答案.

【解析】解：：。。的直径N8过函的中点4

・•・/=诟，

：.DE=EC,

・・・45是。。的直径，

・•・/BED=NCEA=90。,

VZC=30°,

・•・ZDCA=ZDBA=30°,

设DE=EC=x,

VZC=30°,

：.AE=—X,

3

NDBA=30。,

；・BE=6x,

.艾=旦」

"~BE~

V3x

故答案为：

6.如图，A、B、C、。是OO上的四个点，AB=AC,AD交BC于点、E,若AE=2,ED=4,

则48=.

【答案】2也

【分析】根据圆周角定理可得=根据=可得//BC=乙4C8,再利用三角

形相似AA8Z)~A4E2,即可得出答案.

【解析】解：,・・Z5=/C,

・•./ABC=/ACB,

ZACB=ZD,

:./ABC=/D,

•・•ZBAE=ZDAB,

:.AABE〜AADB.

ABAD口口，

.■—=—,BPAB2=AE-AD=2x6=12,

AEAB

AB=2超,

故答案为：2VL

7.如图，已知四边形48co内接于OO,半径/O=6,对角线交于£点，且=

EC=2,则ND=.

【答案】3岳

【分析】连接8。并延长交ND于点尸，连接。£>,然后根据三角形的相似可以求得CD的

长，然后根据勾股定理可以求得的长.

【解析】解：连接30交/。于点R连接OD,

,:BA=BD,04=0D,

，2尸是线段/。的垂直平分线，

C.BFLAD,

是。。的直径，

ZADC^90°,

即ADLDC,

J.BF//CD,

:.ABOEsADCE,

.OBEO

,•五一三,

'：AO=6,EC=2,

：.OB=6,OC=6,

.'.O£=4,

••一，

CD2

解得，CD=3,

在RtZX/OC中，ZADC^9Q°,NC=12,CD=3,

•­AD=NAC?-CD?=m厅=3而，

故答案为：

8.如图，点/、B、C、。在。。上，是。。的直径，且40=30，若/ABC=/CAD,

BC交AD于点E,则CE>BC为.

【答案】9

【分析】由圆周角定理可知乙48。=/。，乂443c=/。。，则可得从而可

得出CN=C。；由直径所对的圆周角为直角可得乙4CD=90。；由勾股定理求得C4的值；由

ZABC=NCAD,ZACB=NECA,可判定MC3sA£C4,由相似三角形的性质可得比例式，

变形即可得出答案.

【解析】解：••,4BC=NC/D,ZABC=ZD,

ZD=ZCAD,

CA=CD,

•.•40是。。的直径，

ZACD=90°,

在RtAACD中，由勾股定理得：CA2+CD-=AD2,

-：AD=3V2,CA=CD,

2G42=18,

解得：CA=3.

VZABC=ZCAD,ZACB=ZECA,

AACB^AECA,

:.BC:AC=AC:CE,

:.CEBC=ACAC=9.

故答案为：9.

9.如图，点A、。在以8C为直径的。。上，且。是NC的中点，AC与BD交于点、E.若AE=3,

C£>=2V5,则CE的长为.

【答案】5

【分析】延长8/、C。交于点G,根据圆周角定理得到/NCD=/A8Z)=NCBD,得到

△BCD”ABGD,求得CG=2CD=4A/L再证明△CDES^C/G,即可求解.

【解析】解：延长A4、CD交于点G,

:。是弧NC的中点，

AD=CD-

...//CD=NABD=ZCBD,

又「BC为直径，

/BDC=/BAC=9Q°,

：.ZBDC=ZBDG=90°,

,:BD=BD,

:ABCD沿ABGD,

：.CD=GD,

：.CG=2CD=4y/5,

在RtZ\CDE和RtaCNG中，由于N/CD是公共角，

ZCDE=ZCAG=90°,

：./\CDE^/\CAG,

.CECDanCE2V5

••=,即产—,

CGCA4V5C£+3

解得CE=5或C£=-8,

经检验，都是方程的根据，其中CK=-8不合题意，舍去,

故CE的长为5.

故答案为：5

三、解答题

10.我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的

一条弦叫做另一条弦的“十字弦如图1,已知。。的两条弦则/8、CD互为“十

字弦”，43是CO的“十字弦”，CD也是的“十字弦”.

【概念理解】

(1)若。。的半径为5,一条弦48=8,则弦48的“十字弦”CO的最大值为，最小值为.

图1

(2)如图2,若。。的弦CD恰好是。。的直径，弦AB与CD相交于H,连接/C,若AC=12,

DH=1,CH=9,求证：A8、CD互为“十字弦”;

【问题解决】

(3)如图3,在。。中，半径为弦与CD相交于H,AB,CD互为“十字弦”且4B=CD,

—=5,则CD的长度.

图3

【答案】(1)10,6；(2)证明见解析；(3)6.

【分析】(1)根据“十字弦”定义可得弦N3的“十字弦”CD为直径时最大，当8过/点或2

点时最小；

(2)根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△/。8/△力。，由其性质得出

对应角相等，结合90。的圆周角证出CO,根据“十字弦”定义可得；

(3)过。作于点E,作CD于点R设。〃=x,由题意可得其它线段的长，

在用中，根据勾股定理列方程得出x的值，从而可求CZ)的长.

【解析】解：(1)当CD为直径时，CD最大,此时CD=10,

...弦A8的“十字弦”CD的最大值为10；

当CD过/点时，CD长最小，即的长度，过。点作垂足为N,作。G_L4£

垂足为G,则四边形NGON为矩形，

：.AN=OG,

VOGLAB,AB=8,

，/G=4,

\'OA=5,

二由勾股定理得OG=3,

:•AN=3,

•：ON1AM,

•\AM=6,

即弦AB的“十字弦”CD的最小值是6.

(2)证明：如图，连接NQ,

u：AC=n,DH=1,CH=9,

：.CD=CH+DH=\6

.AC_12_3

"CD~16~4,

CH_9

~AC~12~4

.AC_CH

•・五一就

vzc=zc,

・・・△ACHsLDCA,

：.ZAHC=ZCAD

・・・CQ是直径，

：.ZCAD=90°,

：.ZAHC=90°,

:・AH_LCD,

：.AB.CQ互为“十字弦”.

(3)如图，过。作。及LZ5于点作OELCD于点尸，连接04,OD,则四边形

是矩形，：.OE=FH,OF=EH,

设。

••丝—5AB-CD

DH

贝！jCH=5x,CD=AB=6x,

：.FD=AE=3x,

OE=FH=3x-x=2x,

..•半径为旧，

在RtAOEA中，由勾股定理得，OA2=OE2+AE2，

解得，x=l,

/.CZ)=6xl=6

11.如图，已知N3为。。的直径，弦C£>_L/8,垂足为〃

（1）求证：AH-AB=AC2；

⑵若过/的直线与弦CD（不含端点）相交于点E,与。。相交于点尸，求证：AE'AF=AC\

（3）若过/的直线与直线CO相交于点尸，与。。相交于点。,判断4P是否成立（不

必证明）.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）成立.

【分析】（1）连接CB,证明△CAHS/KBAC即可；

（2）连接CF,证△AECs^ACF,根据射影定理即可证得；

（3）由（1）（2）的结论可知，AP・AQ=AC2成立.

【解析】（1）连结CB,-：AB是。。的直径，；.ZACB=90°.

而:.△CAHsLBAC.

ACAH

,BPAH^AB=AC2.

ABAC

(2)连结抄，易证△ZHEs^AFB,

:・AE/AF=AH・AB,

：.AE'AF=AC2.

(也可连结CR证△ZECs^ZCF)

(3)结论AP^AQ=AC2成立.

12.如图，48是。。的直径，弦C£>_L4B于点E,尸为石上一点，DF=BD'连接C尸分

别交于点G,H.

（1）求证：FH=GH；

（2）若4H:CH=3:4,且“尸=15,求G8的长.

【答案】（1）见详解；（2）10

【分析】（1）连接NC,由是。。的直径，弦。，于点£,根据垂径定理得石=就，

BD=BC>所以因为而=而，所以方=前,则NDCF=/A4C,ZD=

ZACD,即可推导出/P=N/G尸，得/尸=/G,而NE4D=/BAD,根据等腰三角形的“三

线合一”性质得切=G8；

Ap4H34

（2）连接8C,设BE=m,先证明△///?-△CHD,则而=市=］，求得。。=§乂15=

20,所以C£=D£=gcD=10,再证明/XGCE,WGE=BE=m,再证明

BFCF

ACEB-AAEC,得二=一，列出关于根的方程，求出机的值，即可求得G3的长.

CEAE

【解析】（1）证明：如图，连接NC,

F

・・75是。。的直径，弦CZ)