北师大九年级数学图形的相似总复习课件

北师大九年级数学图形的相似总复习课件北师大九年级数学图形的相似总复习课件北师大九年级数学图形的相似总复习课件一.比例线段知识要点11.成比例的数（线段）：2020/11/292北师大九年级数学图形的相似总复习课件北师大九年级数学图形的相一.比例线段知识要点11.成比例的数（线段）：叫做四个数成比例。那么或若,::cbaddcbadcba==,,,若a、b、c、d

为四条线段，如果（或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、c、d

叫做成比例的线段，简称比例线段.acbd

=2020/11/292一.比例线段知识要点11.成比例的数（线段）：叫做四个数成其中：a、b、c、d

叫做组成比例的项，a、d

叫做比例外项，b、c

叫做比例内项，比例的性质：bcaddcba=Û=;a∶b=c∶d2020/11/293其中：a、b、c、d叫做组成比例的项，a、d叫做比例1.若a,b,c,d成比例,且a=2,b=3,c=4,那么d=

62、下列各组线段的长度成比例的是（）A.2,3,4,1B.1.5,2.5,6.5,4.5C.1.1,2.2,3.3,4.4D.1,2,2,4练习:D3、四个正数a、b、c、d能构成比例式，其中b=3,c=2,d=6，则a=

。4或9或12020/11/2941.若a,b,c,d成比例,且a=2,b=3,c=一、比例的性质？★比例的基本性质─★比例的合比性质─★比例的等比性质─★比例的更比性质—

2020/11/295一、比例的性质？★比例的基本性质─★比例的合比性质─★比例的做一做1、若2020/11/296做一做1、若2020/11/296mnm=n56已知,求的值.解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：mn65=方法(2)因为,所以5m=6n

m6n5=6mn=所以52、3、已知(1)若，求。(2)若，求，=-2x3y+yx12yxa+bb=65aba-bb2020/11/297mnm=n56解:方法(1)由对调比例式的42020/11/29842020/11/298★点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACB★那么称线段AB被点C★点C叫做线段AB的★AC与AB（或BC与AC）的比叫做★黄金比≈0.618二、黄金分割黄金分割。黄金分割点。黄金比。2020/11/299★点C把线段AB分成两条线段AC和BC，ACB★那么称线段A练习：2020/11/2910练习：2020/11/2910两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。符号语言：如图，若a∥b∥c，则mnabcA1A2A3B1B2B3平行线分线段成比例2020/11/2911符号语言：如图，若a∥b∥c，则mnabcA1A2A3B练习已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，求x的值.2020/11/2912练习已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，求1.如图，AB∥CD∥EF，AD：DF=3：2，BE=10，则CE的长为

.变式练习41.如图，AB∥CD∥EF，AD：DF=3：2，BE=10定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。∽

ABCA’B’C’,如果BC=3,B’C’=1.5,那么A’B’C’与

ABC的相似比为_________.二、相似三角形知识要点22020/11/2914定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似比相似三角形判定定理1：三边对应成比例的两个三角形相似.ABCDEF△ABC∽△DEF二、相似三角形2020/11/2915相似三角形判定定理1：三边对应成比例的两个三角形相似.ABC相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.△ABC∽△DEFABCDEF二、相似三角形2020/11/2916相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相相似三角形判定定理3：两个角对应相等的两个三角形相似ABCDEF二、相似三角形2020/11/2917相似三角形判定定理3：两个角对应相等的两个三角形相似ABCDADEBACBABCD△ADE绕点A旋转DCADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合∠ACB=90°CD⊥AB相似三角形基本图形的回顾：2020/11/2918ADEBACBABCD△ADE绕点A旋转DCADEBCABC1∠ACP=∠BACBP2或∠APC=∠ACB或AP:AC=AC:AB13、如图点P是△ABC的AB边上的一点,要使△APC∽△ACB,则需补上哪一个条件?2020/11/29191∠ACP=∠BACBP2或∠APC=∠ACB或AP:AC=如图，在△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是（）A. B.∠B=∠D C.AD∥BC D.∠BAC=∠D范例B如图，在△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；②AB2=AD•AC；③AD•BC=AB•BD；④AB•BC=AC•BD.其中单独能够判定△ABC∽△ADB的个数是（）A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④变式练习A如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连BD，给出下列条件：EABC.如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,

在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似,那么AF=________F2F12020/11/2922EABC.如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高、对应角平分线，对应中线的比都等于相似比3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。二、相似三角形2020/11/2923相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例2已知△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，则△ABC与△DEF的对应高之比为()A．2∶3B．3∶2C．4∶9D．9∶4范例A2020/11/2924已知△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，则△ABC与△DE已知△ABC∽△DEF，且AB＝2DE，h1，h2分别为AB，DE边上的高，则

＝()变式练习A2020/11/2925已知△ABC∽△DEF，且AB＝2DE，h1，h2分别为AB巩固提高已知△ABC∽△DEF，且相似比为4∶3，若△ABC中∠A的平分线AM＝8，则△DEF中∠D的平分线DN＝________.62020/11/2926巩固提高已知△ABC∽△DEF，且相似比为4∶3如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE∶S△COB为()A．1∶4B．2∶3C．1∶3D．1∶2范例A如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DO巩固提高如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则

＝____________.巩固提高如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成知识要点3定义：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.三、相似多边形相似多边形的判定：对应角相等、对应边的比相等2020/11/2929知识要点3定义：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做做一做

如图，在长8cm、宽6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积为多少？8cm6cm解：由题意得x48

=

68

（（2设留下矩形的面积为xcm，2解得：x=27cm2答：留下矩形的面积为27cm22020/11/2930做一做如图，在长8cm、宽6cm的矩形中，截去一个矩1、两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的相似叫做位似,点O叫做位似中心．2、利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小知识要点4四、位似2020/11/29311、两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是()A．点PB．点OC．点MD．点N范例A如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是()范3.如何作位似图形(放大).5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.4.如何作位似图形(缩小).OPABGCEDF●PB′A′C′D′E′F′G′A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P2020/11/29333.如何作位似图形(放大).5.体会位似图形何时为正像何时为位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.2020/11/2934位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（）

A.（2，2），（3，2） B.（2，4），（3，1） C.（2，2），（3，1）D.（3，1），（2，2）范例C如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）A.（﹣2，1） B.（﹣8，4）C.（﹣2，1）或（2，﹣1）D.（﹣8，4）或（8，﹣4）C在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是（）A.（4，2） B.（4，1） C.（5，2） D.（5，1）变式练习C如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点1.若如图所示，△ABC∽△ADB，那么下列关系成立的是

()A.∠ADB=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC.∠CDB=∠CABD.∠ABD=∠BDC2.△ABC中，AC=6，BC=4，CA=9，△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′最短为12，则它的最长边的长度为()

A.16B.18C.27D.24BC五、知识运用2020/11/29381.若如图所示，△ABC∽△ADB，那么下列关系成立的是A.3.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则当CN=_________时，△CMN与△ADE相似。EABCDMN1或42020/11/29393.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中点，点M，N4.在平面直角坐标系，B（1，0）,A（3，－3）,C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标是__________________.y·ABCx··O·P（0，1.5）或（0，2/3）2020/11/29404.在平面直角坐标系，B（1，0）,A（3，－3）,C（APBC5、若△ACP∽△ABC，AP=4，BP=5，则AC=_______，△ACP与△ABC的相似比是_______，周长之比是_______，面积之比是_______。62:32:34:96、如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，BC=3cm，当BD取多少cm时△ABC和△BDC相似？4DABC532020/11/2941APBC5、若△ACP∽△ABC，AP=4，BP=5，则A7、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2.ABCDEF若S△AEF=6cm2,则S△CDF=

cm254S△ADF=____cm218练一练2020/11/29427、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2.ABCDEF8、已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，若△AOD的面积为4cm2,△BOC的面积为9cm2,则梯形ABCD的面积为_________cm2ABCDO解:∴△AOD∽△COBS△AOD:S△COB=4:9∴OD:OB=2:3∴S△AOD:S△AOB=2:3∴S△AOB=6cm2∴梯形ＡＢＣＤ的面积为25cm2∵AD∥BC252020/11/29438、已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点例1、如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC=BC.求证:AE⊥EF证明:∵四边形ABCD是正方形∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90°∵E是BC中点，FC=BC∴∴∴△ADE∽△ECFABCDEF123∴∠1=∠2∵∠D=90°∴∠1+∠3=90°∴∠2+∠3=90°∴AE⊥EF六、例题讲解2020/11/2944例1、如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC=BC.例2、如图,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△CEF=36.求△ABC的面积.ABCDEF2536解：∵DE∥BC，EF∥AB∴∠A=∠CEF，∠AED=∠C∴△ADE∽△EFC∴∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵S△ADE=25∴S△ABC=121∴∴∴2020/11/2945例2、如图,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△例3.过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G.

求证：EA2=EF·EG.分析：要证明EA2=EF·EG，即证明成立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：△AED∽△FEB，△AEB∽△GED.证明：∵AD∥BFAB∥BC∴△AED∽△FEB△AEB∽△GED∴∴2020/11/2946例3.过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边

D

E

F

A

BC

G例4、如图,在△ABC中,∠ACB=900，四边形BEDC为正方形,AE交BC于F,FG∥AC交AB于G.求证:FC=FG.证明:∵四边形BEDC为正方形∴CF∥DE∴△ACF∽△ADE∴①又∵FG∥AC∥BE∴△AGF∽△ABE∴②由①②可得：又∵DE=BE∴FC=FG2020/11/2947DEFABCG例4、如图,在△AB

D

EA

B

C例5、如图,AB/AD=BC/DE=AC/AE.(1)求证:∠BAD=∠CAE;(2)若已知AB=6,BD=3,AC=4,求CE的长.(1)∵得∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE(2)由∴∵∠BAD=∠CAE∴ΔABD∽ΔACE∴∴证明：2020/11/2948DEABC例5、如图,AB/AD=BC/DE1、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.七、相似三角形的应用2020/11/29491、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米2、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?解:设高楼的高度为X米，则答:楼高36米.2020/11/29502、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻,有人

3、皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线上时，其他人测出AB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛离地面1.6m.请你帮他算出楼房的高度。ABCDEF2020/11/29513、皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当楼房顶部、4、已知左、右两棵并排的大树的高分别是AB=8m和CD=12m,两树的根部的距离BD=5,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进,当他与走边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端C?ABCDEFGHFG=8米2020/11/29524、已知左、右两棵并排的大树的高分别是AB=8m和CD=15、如图，教学楼旁边有一棵树，数学小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹杆的影长是0.9米，当他们马上测量树的影子长时，发现树的影子不全落在地面上，于是他们测得落在地面上的影子长2.7米，落在墙壁上的影长1.2米,求树的高度.1.2m2.7m2020/11/29535、如图，教学楼旁边有一棵树，数学小组的同学们想利用树影测量

D

QABCP1.如图,边长为4的正方形ABCD中,P是边BC上的一点,QP⊥AP

交DC于Q,设

BP=x,△ADQ的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围;(2)问P点在何位置时,△ADQ的面积最小?最小面积是多少?八、相似与函数的相关习题2020/11/2954DQABCP1.如图,边长为4的正方形ABCD中,

HP

D

E

F

GABC2.如图,AD⊥BC,D为垂足,AD=8,BC=10,EFGH是△ABC内接矩形,(H、G是BC上的两个动点,但H不到达点B,G不到达点C)设EH=x,EF=y(1)求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围;(2)当EF+EH=9时,求矩形EFGH的周长和面积.相似三角形性质应用2020/11/2955HPDEFGABC2.如图,AD⊥BC,APBCMDN相似三角形性质应用,的面积最大。何处时，在的函数解析式，且点与，求面积为高中，如图，PMNMxyyPMNxBCBMACPMABMNADBCABCDD===D,//,//,10,123、2020/11/2956APBCMDN相似三角形性质应用,的面积最大。何处时，在的函

4、如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°ABCDE（1）求证：△ABD∽△DCE（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式与自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长拓展提高12020/11/29574、如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=A如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE∵∠ADC是△ABD的外角∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1）21证明：∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠B=∠C=45°又∵∠ADE=45°∴∠ADE=∠B∴∠1=∠2∴△ABD∽△DCEABCDE2020/11/2958如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式与自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值解：∵△ABD