旧教材适用2023高考数学一轮总复习 第二章函数与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值

□知识梳理

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地.设函数/1)的定义域为1,如果对于

定义域/内某个区间D上的任意两个自变量

的值才1,丁2

定

义

当孙时，都有当X1<τ2时，都有

F(Zl)Vf(巧)，那么/(电)>/(72)，那么就

就说函数/(外在区间说函数/Cr)在区间D

D上是回增函数上是幽减函数

图

象

描

述

自左向右看图象是自左向右看图象是

网上升的画下降的

(2)单调性与单调区间

如果函数尸Hx)在区间〃上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有

(严格的)画单调性,区间〃叫做y=f(x)的/单调区间.

2.函数的最值

前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数步满足

(1)对于任意x∈∕,都有F(X)WM(1)对于任意XG/,都有F(X)

条件

(2)存在扬G/,使得『(8)=〃(2)存在为∈/,使得£(%)==

结论"为函数y=F(X)的画最大值"为函数y=f{χ)的画最小值

知识拓展

1.对勾函数尸x+2Q〉。)的增区间为(一8,—g］和［、0，+∞)；减区间为［―Λ∕Z,

0)和(0,√Z],且对勾函数为奇函数∙

2.设∀Xι,XzGD(X\手X。,则

(l)ɪɪ-Λ2>0(<0),f(x)—F(x2)>O(<O)=f(x)在〃上单调递增；汨一X2>0(<0),F(X1)一

F(X2)<0(>0)=F(X)在〃上单调递减；

⑵/⑷，(,”>0(或(为一用)[Λ%1)-]>0)=f(x)在〃上单调递增；

f(E)—f(照)

<0(或(乂-X2)"(xι)—F(X2)"O)=F(X)在〃上单调递减.

X∖-Xι

□双基自测

1.下列函数F(X)中，满足“VXl,X2∈(0,+8)且X]≠如(为一心)"(X1)—f(X2)"0"

的是()

A.F(X)=2xB.F(X)=IX—11

C./(Λ)=~—XD.f(x)=In(%+1)

X

答案C

解析由(矛L就"(矛1)—F(X2)]<0可知，F(X)在(0,+8)上是减函数.A,D中，F(X)

为增函数；B中，f(x)=∣χ-1|在(0,+8)上不单调；C中，F(X)=T—x,因为y=3与尸

一X在(0,+8)上单调递减，因此F(X)在(0,+8)上是减函数.

2.函数F(X)=IX2—3χ+21的递增区间是()

A.[|,+8)

B.1,I和[2,+∞)

^3^

C.(-8,1]和2

D.(—8,I和[2,+∞)

答案B

,[X2-3Λ+2,XWI或X22,

解析y=∣*-3x+21=-c,八C如图所示，函数的递增区间是

I—∖x—3x+2),IVXV2.

-3"

1.2和[2，+8).故选B.

02

3.（2021•安徽蚌埠第三次教学质量检测）已知a=logJ.5,A=Iog05O.1,c=0.5,

则a,b,C的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.Kc<aD.c<a<b

答案B

解析VO=log3l<log3l.5<log3√3=~,Λ0<a<~,Vlogo.5O.l>logo,50.5=1,Λ⅛>l,，：

0.5<0.502<0.50,Λ∣<c<l,J.a<c<b,故选B.

4.设定义在［-1,7］上的函数尸HX）的图象如图所示，则函数y=∕∙（x）的单调递增区

间为.

答案［-1,1］和［5,7］

解析结合图象易知函数y=f(x)的单调递增区间为［-1,1］和［5,7］.

5.函数f(x)=∣*—1|+/的值域为.

答案*+ooj

解析因为F(X)=IX—11+V

∖x+Λ-1,%≥1,

∖χ-χ+lfXl,

「2

CGl,

所以∕U)=(C

(if3

［∖x-2)+41求L

作出函数图象如图，由图象知『(王)=|不一1|+*的值域为|,+∞∖

6.(2022•陕西咸阳摸底)已知函数F(X)=jX则/■(/■(-3))

.lg(Λ÷1),XI,

=，f(χ)的最小值是.

答案02/一3

解析因为f(-3)=lg[(-3)2+l]=lg10=1,所以f(f(-3))=/U)=I+2—3=0.

O/QO

当x21时，ʃ+--3≥2Λ/ʃ•--3=2√2-3,当且仅当x=;,即X=蛆时等号成立，此时

/U)min=2√2-3<0；当X<l时，IgU2+l)≥lg(02+l)=0,此时F(X)min=0.所以F(X)的最

小值为2镜一3.

核心里向/破I

考向一证明或判断函数的单调性

例1讨论函数F(X)=X+'(a>0)在(0,+8)内的单调性.

X

解解法一：设为，加是任意两个正数，且0<汨<如

贝IJf(ɪɪ)—f(Xf=[γι+g-(x2+tQ='~-∙(x↑xz-a).

当0<X1<Λ2≤时,(KXl用<a

又为一彳2<0,所以F(Xl)—AM)>0,即F(XI)>F(X2).

所以函数f(x)在(0,5]上是减函数.

当F<M<E时，X\X»a.

又矛LX2<0,所以f{X∖)—Z(A2)<0,

即KXMf〈X》.

所以函数F(X)在(0,+8)上是增函数.

解法二：因为f(x)=x+∙,所以(X)=I—

XX

由∕*(x)>0,得1—S>O,即V>a,解得x>F；

由/"(Λ)<0,得1—予〈0,即ala,解得0<Ky[2.

所以f(x)在(0,√Z)内为减函数，在(√L+8)内为增函数.

触类旁通]证明或判断函数单调性的方法

(1)判断函数单调性的四种方法

①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)证明函数在某区间上的单调性的两种方法

①定义法：基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断；②可导函数可以利用导数证明.

(3)复合函数单调性的判断方法

复合函数y=f(g(x))的单调性，应根据外层函数y=Ht)和内层函数t=g(x)的单调性

判断，遵循“同增异减”的原则.

即时训练1.试讨论函数/U)=普(a≠0)在(f1)上的单调性.

解解法一：设一1<X1〈生<1,F(X)=(二：1[=T

a(加一Xi)

(ɪɪ—1)(及-1)•

由于一1<M<⅛<1,

所以用一汨>0,%ι-1<0,质一1X0,

故当a>0时,F(M)—F(X2)>0,即F(M)>F(X2),

函数Ax)在(一1,1)上单调递减；

当水0时,F(XI)-F(X2)<0,即F(Xl)<f(尼),

函数F(X)在(-1,1)上单调递增.

(ax)’(才一1)—1)

解法二：f(X)

(ɪ-1)2

a(x—1)—axa

(ʃ-1)2(ɪ-1)2，

当於0时，Fω<0,函数/tr)在(一1,1)上单调递减;

当水0时，fω>0,函数F(X)在(-Ll)上单调递增.

考向二确定函数的单调区间

例2求下列函数的单调区间:

(l)y=-∕+2∣x∣+l;

(2)y=log(ɪ—3Λ÷2).

一X+2x+1,x20,

解(1)由于尸

-χ~2χ-∖-1,

［一(X—1)'+2,x≥0,

即尸，、2

I—(x+1)+2,Λ‹0.

画出函数图象如图所示.

由图象可知，函数的单调递增区间为(一8,-1］和［0,1］,单调递减区间为［—1,0］

和［1,+∞).

⑵令U=X2—3x+2,则原函数可以看作y=log］。与U=X?-3x+2的复合函数.

令U=X2-3X+2>0,则水1或x>2.

，函数7=1Og(X2—3x+2)的定义域为(-8,1)u(2,+∞).

3

又U=X2—3χ+2的对称轴Y=',且开口向上，

.∙.u=f-3x+2在(-8,D上是单调减函数，在(2,+8)上是单调增函数.

而F=IogJ在(0,+8)上是单调减函数，

2

.∙.y=logjf—3x+2)的单调递减区间为⑵+∞),单调递增区间为(-8,1).

确定函数单调性的方法

(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法或导数法.

(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”.

(3)图象法，图象不连续的单调区间一般不能用“U”连接.

即时训练2.求出下列函数的单调区间：

⑴F(x)=∣*-4x+3∣;

解(1)先作出函数尸/-4*+3的图象，由于绝对值的作用，把X轴下方的部分翻折

到上方，可得函数产=If—4x+3∣的图象.如图所示.

由图可知F(X)在(-8,1］和［2,3］上为减函数，在［1,2］和［3,+8)上为增函数，故

f(x)的增区间为［1,2］,［3,+∞),减区间为(一8,1］,［2,3］.

(2)∖'3-2χ-χ>0,Λ-3<K1.

由二次函数图象(图略)可知f(x)的递减区间是(一3,-1］,递增区间为［—1,1).

精准设计考向，多角度探究突破

考向三函数单调性的应用

角度1利用函数的单调性比较大小

ɪ

I5

例3⑴(2022•贵阳检测)若函数F(X)=X2,设a=log54,∆=log-,C=2,则F®,

f(6),f(c)的大小关系是()

A.f(a)>F(6)>f(c)B.f(3)>f(c)>f(a)

C.f(c)>f(6)>f(a)D.f(c)>f(a)>f(6)

答案D

1

5-

解析因为函数f(x)=V在(0,+8)上单调递增，而0<logJ=log53<log54<l<2

lɔ

5

以f(6)"∙(a)<f(c).故选D.

(2)(2020•全国∏卷)若2X-27<3^A-3Λ则()

A.In(y—x+l)>0B.In(y—Λ÷1)<0

C.InIʃ-y∣>0D.In∣χ-y∖<0

答案A

解析由2'—2,〈3一”一3一。得2'—3一“<2'—37令/U)=2'-3l∙.∙y=2'为R上的增

函数，尸3一'为R上的减函数，,/U)为R上的增函数.・・・xVy,・・・y-x>0,.∙∙y-χ+l>L

ʌIn(y—Λ+1)>0,故A正确，B错误,:∣x—y∣与1的大小关系不确定，故C,D无法确

定.故选A.

角度2利用函数的单调性解不等式

例4(1)(2020•新高考I卷)若定义在R的奇函数f(x)在(一8,0)单调递减，且f(2)

=0,则满足xF(x-l)20的X的取值范围是()

A.[-1,1]U[3,+∞)

B.[-3,-IjU[0,1]

C.[-1,0]U[1,+∞)

D.[-1,0]U[1,3]

答案D

解析因为定义在R上的奇函数f(x)在(一8,0)上单调递减，且f(2)=0,所以f(x)

在(0,+8)上也单调递减，且∕4(—2)=0,F(O)=O,所以当χe(—8,—2)U(0,2)时，

/(x)>0；当x∈(-2,0)U(2,+8)时，F(X)<0,所以由xf{χ-1)≥0可得

KO,[x>0,

或<或X—0解得一KWO或1≤A≤3,

-2≤χ-l<0或χ-122~[θ≤χ-l≤2或X-IW-2

所以满足Xf(X—1)与0的X的取值范围是［—1,O］U［1,3］,故选D.

(2)(2021•安徽六校联考)若Λ%)=e'-eΛ则不等式f(2x+l)+f(♦—4)>0的解集

是.

答案(一8,—3)U(1,÷∞)

解析易知HX)在R上是增函数，且HX)为奇函数.由Λ2%+l)+Λ√-4)>0,得f(,2x

+1)>∕(4-Z),所以2矛+1>4—解得x>l或x(一3.

角度3利用函数的单调性求参数

例5(1)若f(x)=-/+4加X与g(χ)=乔Y在区间［2,4］上都是减函数，则卬的取值范

围是()

A.(一8,0)U(0,1］B.(-1,0)U(0,11

C.(0,+∞)D.(0,1］

答案D

解析函数NX)=一产+4川X的图象开口向下，且以直线户20为对称轴，若在区间［2,

4］上是减函数，则2腔2,解得底1；g(x)=T;的图象由尸物的图象向左平移一个单位

长度得到，若在区间［2,4］上是减函数，则2或0,解得於0.综上可得，m的取值范围是(0,

1］.故选I).

(2)(2022,河南商丘模拟)已知函数/>(王)=万一：+怖在(1,+8)上是增函数，则实数a

的取值范围是

答案［—1,+∞)

解析解法一：设1<为<如所以xw>l∙因为函数F(X)在(1,+8)上是增函数，所以

f(x)—F(X2)=XLS∙+擀-(%2-色+制=(为一生)(1+')<0.因为汨-X2<O,所以l+,>0,

汨2I在4∖X∖XiJX∖Xi

即a>-χ∖Xz,因为l<Xi<x29X1X2>I9所以一汨矛2<一1,所以a≥-1.所以实数a的取值范围是[一

1,+o°).

解法二由/U)=L*环得£ω=ι+4由题意得1+叁。(Al)，可得a-

当X∈(l,+8)时，一/<—1.所以实数d的取值范围是［-1,+°o).

触类旁通.函数单调性应用问题的解题策略

⑴比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解

决.

(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将符号脱掉，使

其转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意函数的定义域.

(3)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性的定义,

确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题，要注意上、

下段端点值的大小关系.

即时训练3.(2021•安徽太和一中模拟)已知函数HX)在R上单调递减，且a=3格,

6=(；),C=Ina则f(a),f(6),f(c)的大小关系为()

A.f(a)>f(6)>f(c)B.f(3>F(c)>f(a)

C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(c)>∕'(⅛)>f(a)

答案D

30

解析因为a=3'>3=l,OCA=QJ<Γ^J=1,C=In；<ln1=0,所以c<b<af又因

为函数F(X)在R上单调递减，所以f(c)>f(b)>f(a).

2-Λ,^≤O,

4.设函数Ax)=八则满足f(x+l)<f(2x)的X的取值范围是()

1,x〉0,

A.(—8,—1]B.(0,+∞)

C.(-1,O)D.(-8,O)

答案D

[2K0,

解析将函数∕∙(x)的图象画出来，观察图象可知C,ι解得KO,所以满足F(x+

l)<f(2x)的X的取值范围是(一8,0).故选D.

V+(4a-3)/+3@/O

5.(2022•云南曲靖模拟)已知函数f(x)=,zιʌ,‘一‘，(a>0且aWl)

[log,(x+l)+1,x20

在R上单调递减，则a的取值范围是()

A-3,1)B.(θ,I

「

c∙L1?341jD∙(0,31_1

答案C

解析由分段函数F(X)在R上单调递减，可得0〈水1,根据二次函数图象及性质，可得

—33113

-7÷>0,解得aW].又由3a21og∙(0+l)+l,得3a2l,解得a》不因此WWaW不

/4ɔozι

考向四函数的最值(值域)问题

例6(1)(2021•河南郑州第二次质检)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之

一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设χGR,用[x]表示不超

过X的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)

2,+ɜ

=W2P则函数y="(χ)]的值域为()

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}

C.{1,2,3}D.{1,2}

答案D

v

9-∣-Q(I+9Λ,)4-999

解析(分离常数法)∙."(χ)=五T=1丁=1+=^，又2'>0,.∙.=^e(0,

乙IJLɪI乙1I乙ɪI乙

2

2),.∙.l+y^∈(l,3),.∙.当f(x)∈(l,2)时，y=[f(x)]=l;当F(x)∈[2,3)时，y=

[f(x)]=2.函数y="(x)]的值域是{1,2}.故选D.

(2)函数f(x)=Q-logz(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为.

答案3

解析(单调性法)由于尸(9在R上递减，y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增，所

以HX)在［一1,1］上单调递减，故f(x)在［-1,1］上的最大值为f(-l)=3.

(3)y=ɪ-√3ɪ-2的值域为.

答案T，+∞j

解析(代数换元法)设t=13χ-2,t20,则y=J(d+2)-f=9(t-—ɪ,当r='

oo\乙)1ZZ

时，y有最小值一*,故所求函数的值域为一卷，+8).

2

(4)函数F(X)=3才+-，x≡［1,2］的值域为.

X-----------

答案［5,7］

2

解析解法一：(基本不等式)F(x)=3(x+2,易证f(x)在K、yj,+8)上是增函

数∙.∙.f(*)在［1,2］上为增函数，从而得值域为［5,7］.

9

解法二：(导数法)Fω=3--当l<xW2时，f(x)>0,・・・f(x)在［1,2］上为增函

X

2

数,又F(I)=5,F(2)=7.∙∙∙f(x)=3x+-,x∈［l,2］的值域为［5,7］.

X

触类旁通］函数值域的几种求解方法

(1)分离常数法：分子上构造一个跟分母一样的因式，把分式拆成常量和变量，进一步确

定变量范围求解.

(2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(3)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等

式求出最值.

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

(6)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

即时训练6.若函数y=/U)的值域是卜，+8),则函数NX)=AX)+7τ7-的值

_乙JTXX)

域是（）

^1'

A.5,3B.[2,+∞）

5

C.+o°D.2,-

答案B

1

解析解法一：设f(x)=t,则i∈⅛+8),从而尸(X)的值域就是函数≠-

+c■1

∈I，+8)的值域，由“对勾函数”的图象可知Hx)22.故选B.

-

1

-007

2+j.从而∕(x)的值域就是函数y=f+φf∈

解法二：设f(x)=t,则t∈.

的值域.由基本不等式，得当且仅当£=1时取等号.所以b(x)22.故选B.

7.(2022•山西晋中模拟)函数f(x)=x+2√I=r的最大值为.

答案2

解析设.1—X=1(桧0),,X=I—.∙.y=X+2ΛJl—x=l—d+21=一(七一1尸+

2・工当t=l即x=0时,‰x=2.

1Ql

8.函数F(X)=jx''的最大值为.

.一ɪ+2,Xl

答案2

解析当时，函数f(x)=∙L为减函数，所以f(x)在x=l处取得最大值，为F(I)=

X

1；当水1时，易知函数f(x)=-f+2在x=0处取得最大值，为F(0)=2.故函数f(x)的最

大值为2.

9.已知函数尸∙√Lx+-x+3的最大值为M,最小值为小，则制值为.

答案*

[1-A^≥0,

解析由题意，得所以函数的定义域为3—3Wx≤l}∙两边平方，得y=4

L%+3≥0,

+2ΛJ1-X•正+3=4+2八(1—X)~(x+3)=4+2「一(x+l)」+4.所以当X=-1时，y

取得最大值Λf=2y∣2;当x=-3或1时，y取得最小值m=2,所以§=乎.

自主培优(三)利用函数单调性解抽象不等式

已知定义在R上的函数f(χ)满足：

①f(x+y)=F(x)+F(y)+l,②当x>0时，f(x)>-l.

(1)求f(O)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；

(2)若F(I)=1,解关于*的不等式F(d+2x)+F(l—x)>4.

解⑴令x=y=0得F(O)=-1.

证明如下：在R上任取X∣>M,

则X∣-Λz>O,f(汨-X?)>一1.

又∕∙(%l)=〃(小一通+%2)=ΛΛ,-½)+∕U)+I>∕U)，所以函数Fa)在R上是单调增

函数.

⑵由F(I)=L得f(2)=3,f(3)=5.

由f(x+2x)+f(l—x)>4得f(x+x+1)>f(3),

又函数f(x)在R上是增函数，故*+χ+ι>3,

解得X—2或x>1,

故原不等式的解集为Ul水一2或》1}.

/答题启示

对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,

对任意汨，及在所给区间内比较广(汨)一£(就与0的大小，或二⅛与1的大小.有时根据

ʃ(A2)

需要，需作适当的变形，如%=及+为一热或为=拉•上等.深挖已知条件是求解此类题的关

X2

键.

,对点训练

已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足/(灯)=f(x)+f(y),/(0=1，如果对于

0<Xy,都有f(x)>f(D,则不等式/•(一x)+f(3—x)》-2的解集为()

A.[-1,0)U(3,4]B.[-1,4]

C.(3,4]D.[-1,0)

答案D

解析令X=看尸1，则有(m=6j+f(ι),故f(D=o；令X=2，y=2,则有f(D

+f(2),解得f(2)=-1,令x=y=2,则有/'(4)=/'(2)+『(2)=-2.：对于0<%〈了,

都有f(x)>F(y),.∙.函数F(x)是定义在(0,+8)上的减函数，故f(一χ)+∕∙(3-χ)2-2

-χ>09

可化为F(—x(3—x))2F(4),故｛3-χ>0,解得一IWXVO.,不等式f(一χ)+F(3

、一X(3-x)≤4,

-x)2-2的解集为［-L0),故选D.

课时作业I

1.(2021•全国甲卷)下列函数中是增函数的为()

f(x)=(I)

Λ.f(x)=-χB.

C.f(x)=fD.f(x)=

答案D

解析解法一：(排除法)取Xi=-1,X2=0,对于A,有f(xι)=l,fG⅛)=O,所以A不

3

符合题意；对于B,有H小)=£,f(x2)=l,所以B不符合题意；对于C,有/•(小)=1,&&)

=0,所以C不符合题意.故选D.

解法二：(图象法)如图，在同一平面直角坐标系中分别作出A,B,C,D四个选项中函数

的大致图象，由图可快速直观地判断D项符合题意.故选D.

2.函数F(X)=Iogo.s(*+l)+log。.式才一3)的单调递减区间是()

A.(3,+∞)B.(1,+∞)

C.(—8,1)D.(一8,—1)

答案A

[x+1>0>

解析由已知易得即》3,又0<0.5<l,.∙.f(x)在(3,+8)上单调递减.

[χ-3>0,

3.(2021•新高考∏卷)己知a=log52,QlogEc=/,则下列判断正确的是()

A.c<欣aB.Xa<c

C.a<c<bD.a<⅛<c

答案C

解析a=log52<log5√5=^=logs2ʒ∕2<logs3=⅛,即a<c<6.故选C.

4.(2021•南宁模拟)定义在[-2,2]上的函数F(X)满足(汨一意"(为)-f(x2)]>O,为

#如且f(3-a)>f(2a-2),则实数a的取值范围为()

A.[-1,2)B.[0,2)

C.[0,1)D.[-1,1)

答案C

解析因为函数/'(%)满足(小一及)[『(小)—『(生)]>0,x∖≠Xi,所以函数f(x)在[-2,

2]上是增函数，所以一2W2a—2<a'-aW2,解得0Wa<l,故选C.

5.已知函数f[x}=logβx(a>0且a≠l)满足/(a÷l)>∕(a+2),则F(2x—3)>0的解集是

()

A.(—8,2)B.(|,1)

C.偿2)D.⑵+∞)

答案C

解析因为函数F(x)=log,,x(a>0且a≠l)满足f(a+l)>f(a+2),所以0<水1,则函数

3

F(X)=IOgaX(0<水1)是减函数，所以F(2x—3)>0可化为0<2x—3<1,求解可得]<x<2,故选

C.

2—X

6.函数尸箱，XQ5,用的最小值为0,则位的取值范围是()

A.(1,2)B.(-1,2)

C.[1,2)D.[-1,2)

答案D

0—VQ—γ—1Q

解析函数y=F=，当X£(—1，+8)时，函数是减函数，

x+1x+1x+1

又当x=2时，y=0,Λ-l≤∕zX2,故选D.

7.若函数F(X)=2|x—a|+3在区间[1,+8)上不单调，则W的取值范围是()

A.[1,+o°)B.(1,+o°)

C.(—8,1)D.(—8,1]

答案B

2x一2d+3x>a

解析函数f(x)=2|x—a∣+3=、二‘二i''因为函数f(x)=2|x—H+3在

—2x+2a+3,Xva.

区间［1，+8)上不单调，所以a>l.所以a的取值范围是(1,+8).故选B.

8.已知偶函数/U)在区间[0,+8)上是增函数，贝IJ以-1)与f(3—2a+3)的大小关

系是()

A.Λ-D>Aa2-2a+3)

B./(-l)=∕(a2-2a+3)

C.Λ-l)>Λa2-2a+3)

D./(-l)<∕(a2-2a+3)

答案D

解析才-2a+3=(a—1/+222,由偶函数HX)在区间［0,+8)上是增函数，可得

A-D=AD<∕(a2-2a+3),故选D.

9.(2021•四川成都模拟)设f(x)=

(x—a)2,XW0,

',1若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为()

x+-+a,x>0,

X

A.[—1,2]B.[—1,0]

C.[1,2]D.[0,2]

答案D

解析Y当x>0时，f(x)的最小值为/U),当后0时，Hx)的最小值为F(O),

a20,a20,

B[J解得0WaW2.

a°W2+a,[a2-a-2≤0,

10.(2022•西安模拟)已知函数F(X)=2x+Iogj三若不等式/⑶3成立，则实数R

的取值范围是()

B.J,-0

D.(1,+∞)

2+rλcA-X

解析由—>。,得一2N2,因为y=2x在(-2,2)上单调递增,『=

Iog工x—2+-4=青((—LE4、在(-2,2)上单调递增，所以函数F(X)为增函数.又,⑴=3,

∕Q>F(I)成立，所以<解得T〈水1.故选A.

所以不等式>3成立等价于不等式

11.对于每一个实数X,f(x)是y=2—*和y=x这两个函数中的较小者，则f(x)的最

大值是()

Λ.2B.1C.OD.-2

答案B

1—X,K—2或x>l,

解析解法•：f(x)=<

X,—2≤Λ≤1.

当内一2时，函数F(X)的值域为(—8,-2)；当一2≤JI≤1时，函数f(x)的值域为[一

2,1]；当x>l时，函数F(X)的值域为(-8,1).故函数f(x)的值域为(一8,口，所以f(χ)皿

=1.故选B.

解法二：画出函数Ax)的图象，如图所示：

其中4(1,1),8(—2,-2),故当x=l时，函数f(x)的最大值为1.故选B.

12.(2022•长春市普通高中高三质量监测)已知f(*)=ei-e-'+x,则不等式f(x)+

f(3-2x)≤2的解集是()

Λ.[1,+∞)B.[0,+∞)

C.(—8,0]D.(一8,1]

答案A

解析依题意，得Λ2-%)+Λx)=2.所以F(2—*)=2—F(x).又因为F(X)=ei-e''

+x=e-—与+χ,所以f(χ)是定义在R上的单调递增函数.不等式f(x)+f(3—2x)W2,

e

即H3一2*)≤2-Λ%),即/(3-2%)≤∕(2-^).所以3—2后2—%解得x2L所以不等式F(X)

+f(3—2x)W2的解集是[1,+8).故选A.

13.函数尸G-X(X20)的最大值为.

答案；

解析令t=3,则f≥0,尸Ld=一「一力+；,当£=:,即X=J时，％m=;.

\乙)4N44

—X-∖-^x,*≤4,

14.(2022•安徽蚌埠摸底)设函数F(X)=,若函数y=f(x)在区间(a,

.log/,x>4.

a+D上是增函数，则实数a的取值范围是.

答案(一8,1]U[4,+∞)

解析作出函数f(x)的图象如图所示,

由图象可知F(X)在区间(a,a+l)上是增函数，需满足a24或a+l≤2,即a≤l或a24.

15.函数尸F(X)是R上的增函数，且尸f(x)的图象经过点4(—2,-3)和6(1,3),

则不等式IΛ2%-l)I<3的解集为.

答案Vl)

解析因为y=Ax)的图象经过点4(—2,-3)和6(1,3),所以/'(—2)=-3,AD=

3.又∣f(2D|<3,所以一3<f(2χ-l)<3,即F(-2)<f(2χ-l)<f(l).因为函数y=f(x)是R

2χ-1>_2,x>一〈，1

上的增函数，所以-2<2χ-l<l,即即<2所以一w<κι.

2x—1<1,/N

、水1,

16.(2021•安徽太和一中二模)若函数f(x)在定义域〃内满足：对任意的汨，x2,A-3∈Z?

且为+加>%，有f(汨)+F(加>人通，则称函数F(X)为“类单调递增函数”.下列函数是

“类单调递增函数”的有(填写所有满足题意的函数序号).

①F(X)=5；②F(X)=/；③F(X)=Inx；④F(X)=SinK((KKw

答案①④

解析对于①，显然于Λ∕XI+X2>M^,即F(XI)+F(X2)>F(X3),是“类单调递

222

增函数”；对于②，取Xl=X2=2,X3=3,此时M+X2=8,3=9,即F(XI)十『(刘)VfG),

不是“类单调递增函数”；对于③，取Xl=X2=矛3=1,此时In汨+ln吊=0,InM=0,即

∕ɑι)+∕U)=∕∙ω,不是“类单调递增函数”；对于④，Xi,在，X3∈(θ,y∖若小+生

ππ

则sin%ι+sin数HsinXICOS^+sin及COSXI=Sin(%l÷^)>sinʌɜ,⅛^^^<%I÷Λ2<ɪɪ,

ππθ^-Λ2j+sinX2=

则OV5一*2VXlV万,sinxι+sin用>sincosx2+sin尼=MSin

^2+γj>l>sin如即Λx,)+rU)>∕U).是“类单调递增函数”，所以是“类单调递增

函数”的有①④.

V

17.已知F(X)=-(x≠d).

χ-a

(1)若a=-2,证明