2024高考数学一模试题与答案 (三)

1.已知集合A={if/}]={1,2〃+3},且_B=A,则〃=（）

A.-1B.1C.-3D.3

2.命题“\/%£（0,1）,11%〉一元2+2工一1”的否定为（）

A.3x^（0,l）,sinx<-x2+2x-lB.3xe（0,l）,sinx<-x2+2x-l

C.Vx（0,1）,sin%>-x2+2x-lD.VxG（0,1）,sinx<-x2+2x-l

3.函数“x）=（e*X-片地羽）小血在区间［-肛句上的图象大致为（）

4.若p:x2-940,q:logo,5（x-l）〉-l，则p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.在长方体ABCD-44G2中，已知AA=2AD=2CD,点E是线段CD的中点，则异面直线D】E与BC1

所成角的余弦值为（）

2

A.叵BC.一

85-I5

6.当强度为x的声音对应的等级为/（x）分贝时，有/（x）=101g二（其中人为常数），某挖掘机的声音约

A）

为90分贝，普通室内谈话的声音约为50分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为

3

A.e4B.104D.10^

7.如图，在圆锥尸。中，用一个平行于底面的平面去截圆锥尸。，可得一个圆锥尸。】和一个圆台。。，若圆

锥P9的体积是圆锥p。体积的工，则圆锥与圆台a。的侧面积的比值为（）

8

121

B.-C.-D.-

43

8.已知函数/（%）=$111%-2〃％-0疣0$%,\/120,/（无）40,则实数Q的取值范围是（)

1

A.C.一,+8

3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知2（2+i）=i2,则下列说法正确的是（）

21_21.

A.z在复平面内对应的点的坐标为，-B.z=----------1

5555

21

C.z在复平面内对应的点与点关于原点对称

5，-5D.上g

10.如图，这是函数/（%）=+24〉0,口〉0,0<°<气的部分图象，则（）

A./(x)=2sin12%+?卜1./(x)=2sin(2x+qj+l

B

5万）./(x)=1-2cosf2x+y

C./(x)=1-2cos2x+D

11.已知机且加+几=3,贝!J（）

22

A.log3m+log3n<2-log34B.In—>In2e-e

e，IJ

21822c

C.-----+---->-D.m2+n2>9

2m-1n—13

12.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个数列：1,1,2,3,5,8,….这个数列的前两

项均是1,从第三项开始，每一项都等于前两项之和.人们把这样的一列数组成的数列｛/｝称为斐波那契数

列.现将数列｛4｝中的各项除以3所得余数按原顺序构成的数列记为｛G,｝,则下列说法正确的是()

20242024

=

A・£4二外026—1B.Z4凡023Ko24

z=li=l

2024

C.=0.D.yG=2277

i=l

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知向是的夹角为鼻，且同=1,存口—2^)=—2,则忖=.

14.若tan|e+d=-g,则tan0=.

15.已知正项等比数列｛4｝的前几项和为S“，若H=13,且%=%+6%，则满足S“<41的”的最大值为

16.已知函数的定义域为R,且满足〃x)+〃x+4)=/(21)"(8—x)=/(x—4),〃0)=1,则

2025

。(3——•

k=l

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2c―a

17.(10分)记△ABC的内角ASC的对边分别为。，瓦c，已知cosA=---.

2b

(1)求5；

(2)若c=3,b=y/Ti,求△ABC的面积.

18.(12分)设函数/(尤)=逆一3%+lnx.

(1)求/(%)在(0』上的最大值；

⑵设函数g(x)=/(x)-3x+31nx,关于元的方程g(x)=2机-1有3个不同的根，求用的取值范围.

19.(12分)已知数列｛%｝的前〃项和为，且斗=2%—2,数列｛bn｝为等差数列，4+%+4=21,品=11.

（1）求｛a,｝,也,｝的通项公式；

b

（2）求数列上的前〃项和7；.

20.（12分）如图.在三棱锥尸一ABC中.AB：LBC,AB=2,BC=2桓,△PBC为等边三角形,BP,AP,BC

的中点分别为D,E,。且AD=V3DO.

（1）证明：平面ABC,平面P8C：

（2）若/为AC的中点.求点。到平面3匹的距离.

21.（12分）近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破.某企业原有1000

名技术人员，年人均投入。万元（。〉0）,现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人

员,其中技术人员x名（xeN且100WxW500）,调整后研发人员的年人均投入增加（0.2x）%,技术人员

的年人均投入调整为万元.

（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人

数最少为多少？

（2）为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个

条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少.请问是

否存在这样的实数加，满足以上两个条件？若存在，求出机的取值范围；若不存在，说明理由.

22.（12分）已知函数-4aln（2x）.

（1）当a=l时，求曲线y=在点口了"]]处的切线方程；

（2）当。＞0时，若关于1的不等式.+“In（2〃）恒成立，求实数”的取值范围.

1.D【解析】本题考查集合间的基本关系，考查数学运算的核心素养.

若2〃+3=5,则4=1,此时〃2=1,不满足互异性；若4=2。+3,则解得〃=3或〃=一1,显然，a=3

符合题意，而当。=-1时，a1=1,不满足互异性.

2.B【解析】本题考查常用逻辑用语，考查逻辑推理的核心素养.

全称量词命题的否定为存在量词命题，故原命题的否定为3xe(O,l),siiw<-x2+2x-l.

3.C【解析】本题考查函数的图象与性质，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

因为=$_e-陶卜乂卜皿-%)=-卜畛凶—e"吗M).sinx=-/(x),所以/(x)为奇函数，A,B

10g2W-10g2W

错误.又当0<x<l时,log2|x|<0<-log2|x|,所以e<e,siwt>0,从而

/(x)=(e*H-eT°时>sinx<0,C正确，D错误.

4.B【解析】本题考查常用逻辑用语，考查逻辑推理的核心素养.

由必―9<0,W-3<x<3,由10go5(》一1)〉一1，得1<X<3,所以是q的必要不充分条件.

5.A【解析】本题考查异面直线所成的角，考查直观想象的核心素养.

设AD=CD=2,则A4=4,易知ADJ/BG，所以异面直线与,所成的角为

1jnn_co/oc

NA*.经计算可知D*=V17,ADX=2区AE=45,所以cos/ARE=2后=噎一.

6.B【解析】本题考查函数的应用，考查数学建模的核心素养.

工=109,

4

设该挖掘机的声音强度为％,普通室内谈话的声音强度为马，由题意知

玉=105,

4

以工=1。4

X2

7.D【解析】本题考查旋转体的体积与侧面积，考查直观想象的核心素养.

设圆锥的底面圆半径分别为r,R,它们的母线长分别为/,L,因为*=(立］=-,所以二=工,

R2

从而,=!，即R=2r,L=2/.所以%L=----刎------=-.

L2S四侧7i-2r-2l-nrl3

8.C【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理的核心素养.

Vx>0,/(x)<0等价于一包竺一<ax,记g(%)=—如竺---ax,即g(x)V0在［0,+8)上

恒成立.H---CL.

2+cosx33

当g—aWO,即时，g'(x)<0,g(x)在［O,+s)上单调递减，所以当x"时，g(x)〈g(O)=O,即

WO恒成立；

当0<a<g时,记丸(x)=3^-ax,则h，(X)=晨x,存在/e［。，会］,使得〃(%)=0,当x.O,/)

时，〃(x)〉O,/z(x)单调递增，所以可可〉/7(0)=0,即曹〉ax,所以当xe(O,Xo)时，

sin%、sinx口、八十公人口=上

------->---->ax,BPn/(X)>0,不付合题思；

2+cosx3')

当时，=1一»〃〉0,不符合题意.

综上，〃的取值范围是^,+coj.

9.BCD【解析】本题考查复数的运算与几何意义，考查数学运算的核心素养.

由题可得7=三二一(2二1)=二十匕,即z在复平面内对应的点的坐标为与

2+i4-i255I5

点［5,一二］关于原点对称，A错误，C正确；z-=———'B正确；目=='D正确.

10.BC【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查直观想象与数学运算的核心素养.

A+Z?=3,A=2,17n71Tl

因为」所以4又-T=---=-，所以T=7l,则3=2，故

-A+b=-lb=l.41234

点［?」］的坐标代入/(%)=2sin(2x+^)+l,得0=鼻，则

/(x)=2sin(2%+/)+l.将

71正确；若〃%)=2sin12%+工］+1,贝IJ/［工］=2,A错误；而

B

l-2cosf2x+^71

—1—2cos2xH---1—=2sin2x-\—+1,C正确；若二1-2cos12%+?),

323

则/(O)=O,D错误.

11.ABC【解析】本题考查不等式，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

/W

因为，所以1。83m+Iog3“=log3(")〈log31l^3=2-log34,当且仅当加=”时，等

______mntnn

mnmymy

号成立，A正确；易知e+e>2V^V，即e+e">2ee2,所以e>2ee2-e",

mmn12m(mn、

一>2e2-e>2e^->0,故InJ2In2e2-e^,B正确；

nn

e，e，IJ

2122

因为------+----=------+------，加+〃=3,所以2根一1+2〃-2=3,

2m—1n—12m—12n—2

1/4〃-44m—2

(2m—l+2n—2)4+-------+---------

2m-1n—1312m—12n—232m-12n-2

e位4〃一44m-2/—/4n-44加-218、[/山E、1,57心由口—一

因为------1---------->2V4=4,所以一4H-----------1----------匡一，当且仅当加=一,九二一时，等节成乂，

2m-l2n-23(2m-l2n-2)344

C正确；m2+n2=(m+n)2-2mn=9-2mn<9,D错误.

12.ACD【解析】本题考查数学文化与数列的求和，考查数学抽象与数学运算的核心素养.

对于A,因为居+2—月+1=4,所以用_&=耳4_玛=鸟，g_氏=月，…,&026_鸟025="024,上式两

20242024

边分别相加得月026—居=£耳，又耳=g=1，所以£耳=&026-1，A正确.

«=1i=\

对于B，因为Fn+l=Fn+2-Fn，所以F^=Fn+2Fn+l-Fn+lFn，所以

琛="心一巴耳，耳=工鸟一月月，玛2=工工一心招，…，相24=工025玛024-马0248023，上式两边分别相加

2024

得B+居■11■鸟024=与025g024—1，所以耳二巴024耳025，B错t天.

z=l

对于C,由题意知GI=1,G2=1,G3=2,G4=O,G5=2,G6=2,G7=1,G8=O,G9=LGO=1,…，所以数列

{G/是最小正周期为8的数列，故G2°24=G8=0,C正确.

2024

对于D,EQ=253x(1+1+2+0+2+2+1+0)=2277,D正确.

/=1

13.3【解析】本题考查平面向量的夹角与模，考查数学运算的核心素养.

因为)•(g-2B)=|-2a-K=l-2|&|x|=-2,所以忖=3.

14.-3【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.

因为tan[+q=tan6+l=」,所以tan6=—3.

V4)1-tan^2

15.4【解析】本题考查等比数列的性质与求和，考查数学运算的核心素养.

设公比为q,因为。5=。4+6%，所以q2—4—6=0,解得q=3.又由S3=13,即〃1+34+9〃]=13,解

得勾=1,所以5"=三—.由方一<41,得3“<83,所以”的最大值为4.

16.2024【解析】本题考查抽象函数，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.

由/（8-^）=/（x-4）可知/（%）的图象关于直线x=2对称，从而/（4）=/（0）=1.又

/（x）+/（x+4）=/（21）,令x=0,得/（21）=/（0）+/（4）=2,则

/（1）+/（5）=/（2）+/（6）=/（3）+/（7）=/（4）+/（8）=2.由/（x）+/（x+4）=2,得

〃x+4）+〃x+8）=2，可推出/（x+8）=/（x）,故/（%）的最小正周期为8,则

/（21）=/（5）=2,/（1）=0因为2025=8x253+1,所以

2025

£/（Z:）=253[/（l）+/（2）+-+/（8）]+/（l）=2024.

k=l

17.解：（1）因为cosA=&二所以」+C'二生二,整理得标+02一〃=改，

2b2bc2b

a2+c2-b1ac

所以cosB=

laclac2

又因为Be（O,乃），所以3=0.

(2)因为。2=P+。2-2accosB,c=3,b=,

所以13=4+9—3a,即标―3a—4=0,解得a=4.

所以△ABC的面积S=LacsinB=Lx3x4x3=3G.

222

评分细则：第一问另解：

2c—CL

因为cosA=-------,所以2Z?cosA=2c-〃.

2b

由正弦定理得2cosAsinB=2sin(A+_B)-sinA,

整理得2sinAcos5-sinA=0.

因为sinA>0,所以cos3=l.

2

又因为Be(O,〃)，所以3=

18.解：(1)因为/(1)=%2一3%+inx,所以/'(%)=2%-3+，=乜^―.

令/(x)<0,解得g<x<l,令/'(x)〉0,解得0<x<、或尤>1,

所以/'(x)在［o,：|上单调递增，在g,l上单调递减.

所以/'(x)在(0』上的最大值为—ln2.

(2)=x2-6x+41nx,它的定义域是(0,+oo),且g'(x)=2x—6+±=~~,当

XX

xe(0」)U(2,+⑹时，g'(x)〉0,当xe(l,2)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上

单调递减，在(2,+8)上单调递增.

因为方程g(尤)=2加-1有3个不同的根,g(l)=-5,g(2)=41n2-8,

所以41n2—8<2加—1<—5,解得21n2—2<m<—2,即根的取值范围为(21n2—21.

2\2J

评分细则：【1】第一问，写出f'(x)=2x-3+-=^-----八_L,得2分，正确写出单调区间，累计得4

XX

分，第一问都正确，累计得5分.

【2】第二问，写出g'(x)=2%—6+—=△——八一L累计得7分，正确写出单调区间，累计得9分，

xx

正确计算出两个极值，累计得10分，直至求出正确答案，累计得12分.

［3］采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分.

19.解：(1)当〃=1时，ax-2ax-2,解得。1二2.

当"22时,Sn=2an-2,Sn_x=2an_x-2,

两式相减得a”=2a”一2a,即——=1(n>2),

1%

所以｛aj是以2为首项，2为公比的等比数列，故a,=2".

设等差数列也｝的公差为d,由a+4+4=21，可得4=7,

又。6=11，所以7+24=11,解得2=2,故“=2〃一1.

b2〃一1

(2)令则由(1)可知

1Tl352H-1

一T”=-大HTH—YH-----1---------②

22223242,!+1

①-②，得匕」+2n-l12n-l32n+3

-------i-=----H

2'22计122n+1~2~2'+i

所以…岁

评分细则:【1］第一问，写出q=2,得1分，写出4=2”,累计得4分，写出％=7,累计得5分，求出勿=2〃—1,

累计得6分.

【2】第二问，求出°“=亭1,累计得7分，求出-季3,累计得11分，直到给出正确结论得

12分.

20.(1)证明：因为△PBC为等边三角形，。,0分别是8尸1。的中点，且8。=25/5,所以。。=8。=血，

所以从。=百。。=指.

又AB=2,所以482+3。2=4。2,即AB，.

因为43,3。,3。口3。=3，所以A3,平面PBC.

又ABu平面A6C,所以平面ABC,平面PBC.

(2)解：连接P。，由已知可得「0L8C,

又由(1)可知平面PBC,平面A6C,所以P。，平面ABC.

因为尸为AC的中点，所以点C到平面BEF的距离等于点A到平面BEF的距离.

A「oI52

在直角△ABC中，可知3R=—)=二——=百，

22

Ap/O।,2

在直角△ABP中，可知3E=——=———=百,

22

因为E/是△ACP的中位线所以EF=—='=6ABEF的面积

22

S^BEF=—XV2

设点A到平面BEF的距离为d,则三棱锥A-BEF的体积V_=—d.

ABEF6

又AABF的面积!x2xJ5=J5,点E到平面ABF的距离为”=也，所以三棱锥E-ABF的

△4BF222

体积1邛.

得d=久叵，即点。到平面BEF的距离为2叵.

55

评分细则：【1】第一问中，求出AD=6D0=4^,得2分，证出A3,3D,累计得4分，证出平面ABC，

平面P6C,累计得5分.

⑵第二问中‘证出W平面MC,累计得6分'计算出口岑’累计得9分’计算出力去=?'

累计得11分，直至正确求出点C到平面3E尸的距离，累计得12分.

21.解：(1)依题意可得调整后研发人员的年人均投入为11+二〕。万元，

I1000)

则盖2

(1000T1+a>1000a.因为a>0,所以----x2-x<0解得04x4500,

1000

因为xeN且100WXW500,所以100WxW500,故500W1000—xW900,

即要使这(1000-X)名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员

的人数最少为500.

(2)由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得

(1000-x)f1+a>xfm——,

、\1000JI1000J

(1000.V.2x)3x.E/E,1000x,

上式两边同除以ax,得ZH|------11+------\>m-------,整理得mV-------+------+1.

Ix人1000J1000x1000

由条件②技术人员年人均投入不减少，解得加2工+1.

I1000)1000

假设存在这样的实数相，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件,

即且二+1«加《也犯+^^+1(1004x4500)恒成立.

1000x1000、'

设小)=1+高+1=—+1,易知/(%)在(0,1000］上单调递减,

10001%)

侬+现+1=3.5,当

因为xeN且100WxW500,所以/'(x)在［100,500］上单调递减，则/(xMl

5001000

x=500时，等号成立，所以根W3.5.

3%1

又因为100(x4500,当x=500时,-----F1=2.5,所以加22.5,

1000max

所以2.5WMW3.5,即存在这样的加满足条件，加的取值范围为［2.5,3.5］.

评分细则：【1】第一问，写出调整后研发人员的年人均投入为11+二

a万元，得1分,写出04x4500,

(1000

累计得3分，写出调整后的研发人员的人数最少为500,累计得5分.

⑵第二问，求出(1。。一)1+盖(3x3x

a>x\m------a,累计得6分，求出加2上匚+1,累计