数学物理方程与特殊函数课后答案

1.长为/的均匀杆，M面葩一端温度为零，另一墙有恒定热

流9造人(即单位时间内通过单位截面枳流入的热量为g).汗的初始

温度分布是吗W.试写出相应的定解问题.

解里想1-8.该问题是一堆热传导方程.初始条件题中巳给

出，为

a

w(x.O)=-2^(0《才《2〉

第B壁曰型方程可定解务样向海口

现考虑边值条件.设在T=三。这，〃

个端点处温度为0•则有Q0.T):

u(O^t)=0(f>0)。「/X

另一端(工=。处再恒定的热流网［T

q进入杆内•田傅里叶实脸定律.在

边界曲面£上有

一£孕ig=q*

dn乙

其中如为沿边界外法向的然滴强度.在.r=/端,边界外法向就

是工轴的正向•而现在热置是流入抖内，表明热流方向与a轴正向相

反.故育

一去四=一。

综上所述•相应的定解向翘为

1

u,—auv=0(0<；J-<Z./>>0)

u(0.z)-O.u,(Z«r)=£

2.长为，的弦两墙固定，开始时在々=c受到冲锻上的作用，试

写出相应的定解问IS.

«该问题为一堆弦振动同跑,边界条件是髭然的.由于弦网

端固定,所以在这两点处位移为零.即

u(0.Z)—“(/.，)=0

现萼虑初始条件，当冲盘k作用于H-C处时.就相当于存这点

给出了一个初速度.我们考虑以。点为中心.长为26的一小段弦(「一

6・c+力.设弦是均匀的,其线密度为夕则这一小段弦的质量为2中,

受冲击时速度为“(「0〉，由动用定理序

故学环理方程与将避困数号敦•导学,号号

28puy(x•0)=k—3《7£小+8)

在这个小段外•初速度仍为零，我们想得到的痘7-C处受到冲

击的初速度•所以最后还要令6-。.此外.弦是没々M位移的，即

必(4.0)=。•于是初始条件为

〃30)=0

(x«0)—

所以定解何越为

u9-a

uCQ.i)〃《/•，)="0

3.有一均匀杆.只要杆中任一小段有纵向位移或速度.必导致

邻段的压缩或伸长.这种伸缩传开去，就有纵波沿着杆传播，试推导

杆的纵振动方程.

解如图1-9所示.取杆5--------------；

P('f

长方向为上轴正向.垂直于杆长S------------

方向的各截面均用它的平衡位

置T标记，在时刻，,此截面相对

于平葡位置的位移为“鼠我们考查杆内一小段<.r.xdda的振

动情况,通过截面工,这一小段杆受到弹性力为PQQS,其中P（r,

八为单拉面枳所受的弹性力，即应力。规定沿工输方向为正.通过截

面r+&r受到的弹性力为P（i+dr）S.对这一小段应用牛顿第二定

律•于是有

dmry~■=[P<x+dj,.f）P（x./）]S

设杆的空度为p,则dm-pS山•1上式化为

第一■一些爱型不任即定解条件出港寻19

又x♦d_r点处的位移〃（工一+cLr./）=u（x（t）+dw=w（J»<>4-^-itr.

a.r

因此小段Q.工+<U）的伸长（压缩）为金心，其相对伸长（压鲂）为

穿,即r点处的应变为整Gr.D.若咯去垂直杆长方向的形变，根制

dlr9x

Hooke定律,应力与应变当成正比,即

比例系数E称为杆的杨氏模艮.故所求的纵振动方程为

如？也

a.t

其中a=

4.一均匀杆原长为人一靖固定,另一端沿杆的轴线方向被拉长

w而静止,突然放手任其振动，试建。振动方程与定解条件.

解波问加为杆的纵振动问题.由苞3已知杆的纵振动方程为

誓=解联<0<T<Zu>0）

atnx

杆的一端固定，设北端为，=。处，则有“（0,八=0.

另一端J*/)放手后就为自由端.也就是在振动过程中不受外力作

用，故有

边值条件已经娥定，下面考虑初蛤条件。由于弦初始时刻处于好

止状态，即初速度为。，故一。.而在，=。时,整个杆被纵向

拉长•,则单位杆长的伸长为故万点处的伸长为*’.即

««(.r,0)—:1r

20数字物曰方程与枪殊由敷3货,3学•。雪

初边值条件都已确定•也就得到了该振动的定制问题

康“票evi/>o)

-u(0■八a0»〃，(1•，)=0

“(H.O)=士(工、ttr(jrf0)-0

5・若F(之)・G(G是任意两个二次连续可微函数.验证

«华F(,r+a/〉+G(x-a/)

满足方程富一/白・

dtdr

解作自变fit代接点一H+必.7=1一必,由复合函数求导法则

有

更=a(冬一生〉，理=必+电

a，3fdij3LZQJf6q

所以

马=“2(也一29士烈)

a^u-a・“aJw43%

ar-央a?a寸

于是

膻中所给曲数U=F<T+<I/)+6(工一0/〉,经过变量代换后

即为U=F(G+G”)，验证其是否满足方程专一a?女=0转化

c*d-r

为验证其是否满足爱=0.

由于F8均为二次连续可微函数•形为~-F(G+G(q)的函数

U必满足卷=0.也即u=F(才+aO+G(*-a/)横足方程

央一/包

&t3

is-e一些研鸣方程和展i1条件的腹骨21

6.验证线性齐次方程的登原网，即若uNi.y).%a.y3…,

““(工.、)•….均为统性二阶齐次方程

2.4习题全解

1.设弦的两端固定于工二。及了―/.弦的初始位称如匡2-2所

示.初速度为零，又设有外力作用,求弦作横向振动时的位移函数

W如图2-2所示•弦作横向振动时初始条件为

62败学期域方程与军殊函效号15•号学•号电

u(r.O)

—X(0《工£

u(x90)-y>(jr)-v

4~《/-T)(c<ZJTI)

i_c

wt(x«0>由以“)h0

则以i,Q是不列定解回题的解.

"・一—％=0(0V4<[“>0)

♦〃《工・。)—y>(^)•u.(x«0)=愿.「)

=“(/■/)工0

该定解问猫的解的形式是熟知的,其解为

*«

£(A.CPS号1与+B4sin号4)s:n竿r

•-1III

由初蛤条件

必比）=0

故从二0.而由初始条件

w(.r*O)=5^Ansin竿r=

--1'

得

A.-j-1中(z)sin苧“d上

，，6I

•yj*jrsin25JTCLF4--y|广—(2-i)3in竽rdz

2分尸nnc

美二・分厩安■法63

0

所以

八2hl*c1nma”(-m

e篇/m丁es7sm7,

就卜列初始条件及边界条件,解弦振动方程。

u(xtO)=0

dt4(r,O)

~dT~=x(Z-jr)

u(09/)hu(/«r)=0

解“Gz，)是F列定箭问题

一I。-0(0<x</•/>0)

.u(.r.O)=0,〃/(工■C)=—1)

M<0U)—“(八£)=0

的解•该定解问题级数形式的解为

w(x./)■Z《A“c:o?号4氏sin=马)sin

由初始条件来确定系数A..b.,由于

«(x»0>=£A”sin掌《r=0

n-l'

”(1.0).Asin午x=x(l—x)

故A.=0

所以〃(工")一?'][1—(—1)”[sin号马sin竽r

■=]〃N.IL

3.就下列初始条件及边界条件解弦振动方程.

zco<J<

1-r(1<x<1)

学I-j"(x-1)

(it!

U—U工0

F*•。I

解U(TU)为下列定解何朗的解］

”•一a:u„n0(0V工V1,，>0)

W(XtO)—^p(x)«MX(X*O)=必n)

u<O«f)=u(l9t)=0

(0v1q:)

这里华《“)

彳VhVD

以1)—x<x—1)

诙定解问噩的边界条件仍为第一类的，其解的形式为

w(x./)=工(A.cos,5+B.sin)sin宁r

H

其中A.=2j3(、r)8in7iirrd工=

xsinnwxcLz42f(1—jr)sinniu*dx—

2fJui

4nn

s,n

n~Tx72T

B.-----1tKj*)MnrtxJ*dx

anKJ>

x(l-x)sin»xxdx

户5-1尸-1]

九穴12

所以

3

">=理"而cosanxf+

J,[《-D,—Ijsinannfsinnwj"

4.辨出习<g—中第1题（参阅1.4之2题》.

解要求新的定解问题为

3WTw三。1丁丁/(c0z<Jr<〜<J«^■>、0)

dlclz

u(0u)«=u(/.r>=0

“(工，0)->a>=0

0<|x-c\>S)

Nr(X*O)=必工)露(|x-c|<a)(~°>

该边界条件为第一类的.故此定解同班的级数形式的*为

“(①.£)=22(/^«iCOS+B4sin)*in

其中A”-0

B.=烹J3(j：)sinn^dx-

所以

v»

/八y2knncnaff・nn

.-------sm-r~sm-7-/sin--r

-77annp<II

4试求适合于下列初始条件及边界条件的一维热传导方程的

解.

u|…=x(Z-x)

〃I/.C=〃*,=0

解设为题设定解问题

y-ak=。(0<x<Id>0>

•u<x.O>—/(7—1)

u(0»/)=〃(/♦1)=sQ

的祭.由于边界的第条件为第一类的，其级数形式的期为

£；C”e7"，sinp

下面由初始条件确定C.

由于u(.r.0)=邛C.ain

故-y-Jx(/—j")sin宁丁＜Lr=

-j-JirsinY^rdj—y-JYsin学《rdx-

0-〈一i)*j

n贯

所以

北工,八二空三平，sin先

、6y蝌一维热传导方程,其初始条件及边界条件为

U=1.等|—0,~I=0

odxI«-odrI*•1

依题意写出定解阿咫如卜，

z

14/—auM=0(0V才Vl.t>0)

u(a»0)=JC

=”，(/■£)=0

用分离变量法求能,令“GrQ=XG"⑺•代入方程和边界条件得

T十°4丁一o(1)

[T+M=0⑵

⑺

[x'(0)-0,X'y0⑶

由例I的I寸论知.由式(2).(3)或附成的固有值向胭对应的固有值为

0.1.2■…1

相应的固有函数为

X，1》・CO9掌JT-0」,2・・・・)

将入代入式(1)得

(〃=1,2•…)

于是定解向腰级数形式的解为

-G+Xc.e-e'cos%

.1*

由初始条件知

G+2clicQ金手

0-I'

故有

TCOSrdjc

C"NT£-T二昌卜7〉’一口

所以原定解同密的解为

u(.r.f)-。3XJ)"—1卜-中＞3cos等，

41tlejfI

7.一根长为/的细杆表面绝解，其初始温度分布如图2-3所示,

由，-0开始两端温度保持于厚度，求杆上温度分布.

32-3

解设杆上温度分布为依题意它满足下列定解问题,

1

u,一auv—0

u(Ofl)=O.u(/“)・0

齐(0<.r<ji)

<

11

M(X«O)—<A(—l〈彳《T。

744

该定解问猫级数形式的解为

M(Xw/)0，C.「：「sin邛”(1>

•=i/

其中

(二=-yj卑工di=

2巾4A.HW..2hf^,TIX.

7JoTJS,n7T*+TJ+311『必，

竽(/一工>sin干1rd.r=

也储加字+sin华)=

»"1T44

05=2A)

16A_____.(2k+\)it(2*+Dir

n工2A+1)

播+f)Y2co.4

(k00.1.2「・)

将C代入式(1)中♦得

"(1・f)q80'「e'f'in:1+驾工一

IT*/9I

1一出H，.5*1一出;乙-7r,

/sinpr-■Rin7,+-J

8.试解出具有放射衰变的热传导方程：

雪一/"+Ae-=0

0X<X

已知边界条件为u=O.ui>0.初始条件为J*7(常效〉

解题述定解问题为

1u,--Ae-*=«0(0<x</,f>0)

aa

’u(x,0)=T《常数)

|u(0・r)==0

令其中工=6.则上面的定解向图化为

a

=4>5(0Vxv/.，>。)

(I斗u(0./)==“(/・，)=0(1)

lu(x.O)*=T

解上述定箱向地(1),可采用以下的三种方法：

解法1注意到采齐次耍-只是上的函数,故可作一个代换

将方程化为齐次的.井保笛边界条件仍是齐次的.这时只需找一个只

与工有关的函数"(上).使满足U(JT»r>=+vQ),其中w(jr»

1)的方程是齐次的.

现用下面的方快确定,把u=w+力代入方程m•并使

//心的方程是齐次的，于是有

r

wt—Bit*一—Nre"*+\fv(.r)-0

因此v*(JT)=-

由此得v(.r)二~・士八-F+Hr+C

其中BC为任意常数，关于新的未知函数u，5“)的定解问题为

?

w—6wxr=0(0V..7V./.r>0)

w(0u)=4八一C

I«?(/“)=4八匕一‘一BZ-C

w(.r»0)=T+-\AC^*—Rr—C

Ia

为使边界条件弁次化•只须

1A-C-0

a

w-£V-C—0

a

解之福

B=±A

a

_A(e~-1)

aI

故_y-(e_1)_1j

从而u，o・p)的定触问题化为

wf—frw^=0《0V/V2〃>。)

,“、xc<0<f)=w<Zu)—0

(U)<

u(xwO)=/.>=丁+A[e**—今(。-，-1)—I1

a"I

（n）的定解问度[级数形式的解是熟"的,为

=—C.eT于，Gin罕r=，】。加一4>',in等上

cl，“I，

其中

C,—彳J^（x）3tn?才<kr=

-yj]7+一声（厂—1）—1]pin午zcLr=

咒,呼"工十引:扣一

y<e，w—1>—l]sin竽rdx=

2T2Al1-c'cosnir)/

—(.1-cosrnt)

HKnn(a717+nTirr)

因此

=w(z“)4-v(x)=一4一

米（e，-1）—11+ZU©臼sin誓n

'i-i'

制法2用固有函数展开法求解.本题中固有函数段为

sin竺”(JI—1)

故可令U<JTU)

1】•

再将和T在10刀上也用出沁干/｝作为基本函数族霆开成

傅里叶级数

Ab2e=y^C,sin等上

T=myj

其中C""打:'Lsin竽，工-）海二口一（一1）“力

%=-Tfiin等H<LT=1—eosnx）

将公工.，）.&>，-”的级数展开式代入非齐次方程.得丁C）所清

足的病送分方程

广⑺+T.=C.

、7，0）=*

解之得

T.U）=[p-（，S>'CJL2〃+（焉）3

所以

«ab

uO〃）=27\（nx，》r>=

“■1

£（卜-（£）匕卜平“+（自乜"衿=

（

±i^i-2-2四"ir大d+二犷/；）1I}.

「子1n竺r+02A/Q-上口十]皿nn

解法3利用线性叠加原理，把定解问虺（I）的解表示成

〃（才.r）=TKXU）+W（H」）

其中V（xa）和w（x,f）分别是定解问题

vt-b^v„=0

（D）•zKO"）=rKZt/）-0

ME,O）—3（了）一T

W,一〃3白=Aft%a

<fll）<w<0,r）=w（Z./>=0

W<JT«0>—0

的解，其中定解问题（口）的解是熟知的.为

T/（jr.r）=3n?工=-C.eT'W竿x

ZTi'I£

其中

c.="y-JM<X)sin-jdx-

sinn^jrAr-2丁《］_cosnit)

求解定解问吻（01）・我们采用齐次化原理，为此我幻先求解

f'A.—bzh„=0

=

jhILOh-，—C

IAI,.,=/We"

该定解何廖的解为

A(j.tir)=EA.(r>eT沪"fsin与工

si•

其中

A,(r)-刖％~55=

.2题:"…门一(一］)”厂1

故定解问题(DI)的解为

w(x«/)=jh(J»/；t)dr—

—MW1sm用)心

V24U-(一D"e。皿£］_e<叫

台nn(a2l'-f-n3^)/"」

所以

〃(▲•，)=wQ“)+w(xu)=

S(-<1、24?11—(一1)十］

-cos.-，菽『手+“H厂

■-IZ1K

24?口一(一l)・eT.“x

，，TJ

9.求下列定制问题

慎求解诙定*问题,采用匕题中的解注1,令“（工.，）=8（工,

八+“工>・代人泛定方程.并使得8（才"）的方程是齐次的,于是有

W,—<2:W„=+A=0

因此％二-4

.4

令v(x)—+fir+C

依边界条件知

w(Ot/><=“(0」)一MU.i)=­C

Al

w（Z.Z）=ud.n-vUa）二昌一BZ—C

2a

为使u，J"）的边界条件为边齐次的.只需

C=O.B=察

2u2

所以v（^）=——£i）

故关于U4x“）的定解问题为

W,一皿O=0

>।、uCOtZ）=“，（//）。0

（IX

"50）=白，一条"夕⑺

定解问题（I）的级数形式的解为

w<j-wt）=、:C.e-"sin等工

其中

一/j+(jr)sin^y.rd.r一

书:张/一…演*，-

1fz-Aj.nn>AV.nr.

7j,^XSin了工业一7J/sin『小

上,"!_[(一])•—1]

所以

“([・/)-V(J-)+u«d)=1^y(.rx-Zx)十

10.求满足下列定解条件的一维热传导方程的解.

u(0u)-0.U(/9£)-5

”("・O)—ki

解所求解的定解何超为

卜一=°

\u(O.z)=l(>«a(Zu)—5

lu<J-.O)=Jtr

其边界条件是非齐次的，且均为常数•为将边界条件齐次化•令

“《］•，)=V(.T)+W(J"U)

把它代人原定解问题得

wf-u'“z=0

w(0>t)k10—t/(0)

(1x

“•(/・，)=5—v(Z)

u*(x#0)=kx—U(JT)

为使边界条件也为齐次的须满足

1»(0)~=10.1AQ=5

这时只要取

v（x>-10+y-[5-10]—10—苧

于是定解问题（1）可化为

w,-=0

w(0»O=it(Zu)-0

(Q

w（TwO）=（上十手:r）—10=尹（JT）

而定解问题（n）的级数形式的解为

w(x»z)=，C・e•中一加平才

其中

C.=-j-jyj(x)sin号xdr=

亍j[3+-y-x>—lOjsin=

HR■

2(kl4-5)P11nw»20pai.n

-?—J/和7”业—Tjo7Hdl=

—r<-1)-(5-/)_io]

所以

〃(“♦，〉=v(x)4-W(sF<f)=

[c5]A2y(-1)n(5-kl)—10J仃.•HK

I1°一7+：M------------»------------e—山n了

」>•试确定下列定解问尊

A嗤+”公

“lJ=a二A・.Ir</=B

ule-ft=#(N)

的解.

M由题1。,令MJT>=A+/(8A)

“C-A+亍(8-A)+w(I,/)

则新的未知函数w(x.t)满足下列定解何即

2

wr—a=/(x)(0V*V，,Z>0)

(j)<MO.c)■=u»(/,r)=C(])

1w(x«O)—g(x)-A4-y-(A—B)

由于自由项仅为1的函数,依超8中解法1•找一个只关于才的函数

PG)使得

w(x.r)=+P(x)(2)

将(2)式代人泛定方程(1),并使A(.r.z)的方程是齐次的.于是有

h,一a2=“，P«r斗=O

因此

P«(X>=-

a.1

故由初始条件如关于A(x,Z)的定解问题为

h,一解心=-0

(n)/(0,八一一p(o),h(z,n=~p(/)

h(H,O>~g(,r)-A*-y-(A—B)—P(x)

将定解同6(II)的边界条件齐次化得

p(o)=o,p<n工o

令F(r)为一守的二次枳分形式.故P(x)可我示或

P<x>=FG)+-0),FU?工_F<0)

于是定解问即(II)化为

a:h=0

)=0

A.0)—g(h)—A+宁(A—B)—Fijr)+F(0)

=6上)

此定解问题级数形式的籍为

R-JI

其中

,yj中(人)nin“jjrdar

所以原定解问题的解

=A+~(B-A)+Mr“>

A+A)4-P(x)+A(JF,/)=

A+方(B-A)+F(x)+%\F(3-F(0>+

£［亍I^<r)%in^rdrje,M，sin干《r

其中

平(丁)=g(r)—A，-?"(A—B)—F(r)+F《0)—F(01t

€■I

F(r)为~£卓的二次积分形式。

a

求稳恒状态下，由宜线1=01=/，,)=12所国坦形板内

各点的温度,假设］=0.工一/及y=0三边上温度保持为平度，y-

k这边11各1点ifi度为中(7)，・其中刺0)—补li)=0.

M设该矩形板的温度分布为“G・y)・则“J.y)是如下定解

问题的解：

(0<.r</,,0<jr</r)

(J.)<M(O.JT)=O.M(/.y)-0(0VyV

«(T,0)==^>(x){04上&/|)

由分离支量法•令”《工.川-xj〉y(、)代入泛定方程及齐次边界条

件.分离变量后得

p-ay=0(1)

产+1K=0(2)

1X(0)=O.XtZp0<3>

式(2〉.(3)构成的固有值问题,对应的固存值为

固有函数为

j)=sin/"r

求解方程(1)得

V.(y)—A,cosh竿.y+B.sinh产y

所以定都问题(I>的箭可我示为

aa

u(jr9y)=2(A.co«hyy+B.sinh罕y)sin手工

tZi八’<i*<i

依初始条件知

.•一

“(".0)=V]A”sin-x—0

StZi

<3

ud)=%B,sinh^y^sin炉n*=«(x)

因此

A.=0

B.=?「'-sin当rL=

♦iJu..niccjI]

sinAj・・

-------———[•<p(j-)sin誓idt

<1

所以

/yA-------2--/i।^><r>5：♦n—wJjt-<tirwx..nx

“Q・W=X/⑷皿啜入乙3,nTfzs’nhy-y

13.一半径为a的半圆形平板.其圆周边界上的温度保持“(a,，)

一而真往边界上温度保持为零度.板的斜面绝缘.试求稳

恒状态下的温度分布规律u(p,9).

解依题意.“(p・d)应满足下列定耦问题：

0—la/aM'qiyu—n

而赤一°(0V8Vjr.OWpVa)

“(a,8)=Tfi(n—<9)(0V0VQ

“(p.O>=O.u(p・/)—0(0《paa》

Iu(OM|<-f-oc>(048Vr)

由分离变量法，令“3，。)=R3)6例，代人泛定方程以及边界条件.

分离变显后得

I胡(夕)+独(刃=0(0<!?<(1)

0(0)一。,型”)=0(2)

“配一小'-求二。(OVpVa)

||R(0)lv+<”

由式(1)・(2)构成的固有值何期是熟知的,其固有值为

A=(―):=»*5=1.2,-)

n

固有函数为“⑹=sin5

求解方程(3).此方程为欧拉方程，只要令，=或p=e•.则式

<3)可化为关于自变让/的常系数方程.解之得

-

R,(p)a/4-bKp~*(«-1.2♦…)

为了保证IR(0)IV+8,只有b.=0,即&(°)=a/.

所以厚定解问跑级数形式的解为

iKp.O)二夕

由初始条件知

u(a・8)=5：qiFin.=Tj?(靠一8)

•=i

因此

G4-^7jT9(rr—ff)^nn0d0一

27f

rLO^\T\rJ)dO优sinMd5一

一篇「Mcos汨十-^―[/dco6*!?=

unitJe

-三［&os/

MMM卜芸

7ia

2次vs阁间1一(-1)-]

J©

所以

«(/).<?)•=^・口一(—D'sirL

14.一网环形平板，内半径为、,外半径为心，侧面绝域.如内圆

温度保持零度•外阅温度保持I度.试求稳恒状态卜的温度分布规律

M设温度分布为“"，夕》.真应碣足如下定解问题：

(V,u=0(riVrVrjO<e<2x)

)uS，0)=/：(力0O,u(rt.8)—/s((9)=1(1)

•uir.0-b2K)—u(r,d)

由分离变量法，令-R"〉4>”).代入泛定方程(1)式以

及边界条件和周期性条件.分离变量后得

0”(。)+脑(。)=0(2)

I如夕+2：1)=小(力<3)

*|户正+次'一求=0(4)

及<

|R(ri)=o(5>

(2),(3)式构成的固有值问题的固有值为A-，/。-0.1,2,—>

固有函数为

“ia(常俵>(n=0)

M(夕)N|a

laRcosn0+bn^innd(n=1.2■…)

解方程(4)堀

《n=0〉

^(r)-J

Irj"+d9r.(n-1929'••)

所以原定解问题级数形式的福为

«(r*5)—co+c/oInr

ZQ.cosM+6.sinn?)<r,r'4d„r~,')

或写成

uir.d')-*+e/oJnr+

Z](A，+仇，F)COS，0+(C.r'+D.r-)sin^l

J»1

其中均为常数。

南边俵条件知

Q+c/oinri+£(A.r；+B.r,')cosn^-4-(C/；+D,rJ)sinr^]—

•—i

力⑷

Co4出加广2+^2(A。：++=

i

力”》

将月(夕).人《力分别按余弦函数族(ccs4;以及正弦函数族｛sin，/

在[0・2nJ展开成傅里叶级数.得

Q+d/n八力(。)由一0

<->•</lnr力⑹M=1

0o5虬

——[[0)cosn0dfi=-0

/V：十B/T

ICJo

以及

=—[ft(8)cm6M=0

A+B/产