2023年高考数学一轮复习（全国版文） 第6章 数列求和的几种常用方法

【考试要求)1.熟练掌握等差、等比数列的前〃项和公式2掌握非等差数列、非等比数列求和

的几种常见方法.

佚口识梳理】

数列求和的几种常用方法

1.公式法

直接利用等差数列、等比数列的前〃项和公式求和.

(1)等差数列的前〃项和公式：

„"(ai+斯),«(/?~1),

Sn—2一1十d.

(2)等比数列的前〃项和公式：

nci\,q=1,

Sn-yai-Onq4|(]一g")一

"；，qWL

[\—q1-qr

2.分组求和法与并项求和法

⑴若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成则求和时可用分组求和

法，分别求和后相加减.

(2)形如斯=(-1产式〃)类型，常采用两项合并求解.

3.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列

的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.

4.裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

(2)常见的裂项技巧

C1_1।

1"(〃+l)n；?+r

②M+2)

③(2n-1；(2"+1)=欠2"_\~2n+\

④石心

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若数列｛〃“｝为等比数列，且公比不等于1,则其前〃项和S,尸以苦2(V)

⑵当心2时，号丁虻［-备)(V)

(3)求S“=a+2/+343+…+〃"，时，只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求

得.(X)

(4)求数列伍+2〃+3)的前〃项和可用分组转化法求和.(V)

【教材改编题】

1.数列｛斯｝的通项公式是斯=(一1)"(2〃-1),则该数列的前100项之和为()

A.-200B.-100

C.200D.100

答案D

解析5ioo=(-l+3)+(-5+7)+-+(-197+199)=2X50=100.

2.等差数列｛%｝中，已知公差且ai+a3H----^“99=50,则s+a4H---Haioo等于()

A.50B.75

C.100D.125

答案B

解析“2+44+…+。100

=(。]+60+(。3+4+…+(。99+①

=(〃]+的+…+〃99)+50d

=50+25=75.

12022

3.在数列｛小｝中，M=(上…若｛④｝的前〃项和为77而，则项数〃=.

*71/7I1)乙

答案2022

解析a=~~।\=~-11,

nn((n+1)n〃+1

:・Sn=1—z+z-----1＞一]

223nn+1

_n_2022

=干=2023,

工〃=2022.

题型一分组求和与并项求和

例1(2022・西安质检)已知各项都不相等的等差数列｛&｝,疑=6,又卬，〃2,〃4成等比数歹U.

⑴求数列｛斯｝的通项公式；

⑵设bn=2许+(—1)〃。〃，求数列｛乩｝的前2n项和T?〃.

解(1)・・"斯｝为各项都不相等的等差数列，

%=6,且0,。2,〃4成等比数列.

〃6=。1+5d=6,

(ai+J)2=〃i(m+3d),

-0,

解得0=1,d=l,

，数列｛”“｝的通项公式an=l+(n-1)Xl=n.

(2)由(1)知，仇=2"+(—1)，，记数列｛儿｝的前2〃项和为一“，

则72»=(2'+22H---F22n)+(-1+2-3+4---42〃).

记A=21+22+…+22",

8=-1+2—3+4---+2n,

2(1—22")

则4==22"+I_2,

1I—20.，

B=(-l+2)+(-3+4)+-+[-(2n-l)+2n]=n.

故数列｛儿｝的前2〃项和

4“=A+B=22"+I+〃-2.

延伸探究在本例⑵中，如何求数列｛d｝的前"项和7；,?

解由本例(2)知为=2"+(—1)"〃.

当〃为偶数时，

7],=(2'+22H---卜2")+[—1+2—3+4-----(n-l)+n]

2—2仆1,n

-1-2+2

=2n+l+^-2；

当〃为奇数时，

7:,=(2'+22H---F2n)+[-l+2-3+4-----("-2)+(〃-1)一〃]

2"」尹2,〃为偶数,

所以T"=<

[2"”为奇数・

（教师备选3

（2020・新高考全国I）已知公比大于1的等比数列｛〃“｝满足。2+。4=20,4/3=8.

（1）求｛斯｝的通项公式；

⑵记仇，为｛斯｝在区间（0,MWWN*）中的项的个数,求数列｛狐｝的前100项和Sioo.

解（1）由于数列｛"”｝是公比大于1的等比数列，设首项为的，公比为°,

a\q+atqi=20,

依题意有

a\q2=S,

=32,

解得1（舍）或

所以｛斯｝的通项公式为%=2",〃GN*.

(2)由于个=2,22=4,23=8,24=16,25=32,

26=64,27=128,

所以也对应的区间为（0,1],则加=0;

b2,也对应的区间分别为（0,2）,（0,3],

则b2—b3—l,即有2个1；

&4,b”be,小对应的区间分别为

(0,4J,(0,5J,(0,6J,(0,7J,

则b4—bi—bh—bj—Z,即有22个2；

bi,仇，…，加对应的区间分别为（0,8],（0,9],…，（0,15],则加=仇=…=m=3,

即有23个3；

加6,如,…，加1对应的区间分别为（0,16],（0,17],（0,31],

则加6=加7=，“=加1=4,即有24个4；

仇2,加3,…,原对应的区间分别为（0,32],（0,33],…,（0,63],

则加2=%3=*"=瓦3=5,即有2$个5；

bM,665,…，"oo对应的区间分别为（0,64],（0,65],…，（0,100],

则bM=b（＞5—---bm=6,即有37个6.

所以SIOO=1X2+2X22+3X23+4X24+5X25+6X37=48O.

思维升华（1）若数列｛金｝的通项公式为cn=an+b„,且｛斯｝,｛儿｝为等差或等比数列，可采用

分组求和法求数列｛c”｝的前〃项和.

\an,〃为奇数，

（2）若数列｛&｝的通项公式为c“=,上,皿口其中数列｛儿｝是等比数列或等差数列,

[bn,"为偶数，

可采用分组求和法求｛c“｝的前n项和.

跟踪训练1（2022•重庆质检）已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S”的=9,N=25.

⑴求数列｛斯｝的通项公式及S”；

⑵设瓦=（一1）科,求数列｛儿｝的前n项和Tn.

解（1）设数列｛斯｝的公差为d,

由S5=5G=25得〃3=ai+2d=5,

又45=9=0+4”,

所以d=2,0=1,

“(1+2〃-1)_7

所以a”=2〃-1,S———疗.

n2

⑵结合⑴知儿=（一1）”层,

当〃为偶数时,

£=(bi+岳)+(仇+儿)+(岳+瓦)T---卜Si+BQ

=(-l2+22)+(-32+42)+(-52+62)H---l-[-(n-l)2+n2]

=(2—1)(2+1)+(4—3)(4+3)+(6-5)(6+5)T---F[n—(n—l)][n+(n—1)]

n(n+1)

=1+2+3+,,,+n=—2—•

当〃为奇数时，〃一1为偶数,

〃=7；i+(T)〃疗

(/?-1>_2

-2n

〃(72+1)

=―_2_*

综上可知，Tn=--------2---------

题型二错位相减法求和

例2(12分)(2021・全国乙卷)设｛斯｝是首项为1的等比数列，数列｛儿｝满足等.已知

。1,3。2,9的成等差数列.

(1)求｛斯｝和｛为｝的通项公式；[切入点：设基本量q]

(2)记S”和7；分别为｛〃“｝和⑹的前〃项和.证明：7；居[关键点：打

工教师备选，

(2020•全国1)设｛%｝是公比不为1的等比数列，S为政，43的等差中项.

⑴求｛“"｝的公比；

(2)若〃1=1,求数列｛〃m｝的前〃项和.

解(1)设｛斯｝的公比为三

为。2,〃3的等差中项，

•♦2〃]=。2+〃3=。19+〃1夕2,4]W0,

^2+^—2=0,

:・q=-2.

(2)设｛/?“〃｝的前n项和为S〃,

“1=1,a”=(—2)n1,

S„=lXl+2X(-2)+3X(-2)2H----(一2)"-i,①

-2S.=lX(-2)+2X(—2)2+3X(-2)3+…+(〃-|).(-2)E+”(—2)",②

1—(—2)"

①一②得，3S„=l+(-2)+(-2)2+-+(-2),,-l-n(-2)H=-rZ7-7T-«(-2)n

I一(1+3”)(一2)"

=3，

1-(1+3〃)(-2)"

••Sn9,.

思维升华(1)如果数列｛。“｝是等差数列，｛仇｝是等比数列，求数列｛斯也,｝的前"项和时，常

采用错位相减法.

(2)错位相减法求和时，应注意：

①在写出“S,”与“qSj的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地

写出的表达式.

②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果q=l,应用公式

9

跟踪训练2(2021■浙江)已知数列｛斯｝的前〃项和为S”，4=一丁且4s“+i=3S“一9("GN").

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设数列｛儿｝满足3儿+(”-4)a“=0(”eN*),记｛九｝的前n项和为T”.若7；W劝“，对任意“6N*

恒成立，求实数7的取值范围.

解⑴因为4S"+i=3S「9,

所以当时，4s,=3S,T—9,

两式相减可得4«„+1=3«„,即等=*

当〃=1时，4s2=4(—日+〃2)=一平一9,

解得。2=一磊，

所以.所以数列｛斯｝是首项为一点公比为总的等比数列，

93“+

所以斯=一^义

(2)因为3"+(〃-4)如=0,

所以b”=(〃-4)X

3(I)2-1x(D3+0X@)4+-+(n-4)x

所以〃=-3义1一2义3、①

3

-5+…+(〃-5)XG>+(〃-4)X

4②

①一②得1〃=—3X^+O+g>+…+g>_(〃_4)X।

(n-4)X

=~«X(4/1'

所以7],=-4nxg｝+1.

因为T„^bn对任意〃WN*恒成立，

所以一4"*0计1・久(“一4)x0"]恒成立，即一3"W2("-4)恒成立,

一3〃12

当〃<4时，丸式一^7=—3——;，此时2W1；

〃一4〃一4

当〃=4时，-12W0恒成立，

—3/112

当〃>4时，％>一;=一3——7，此时2•一3.

«—4«—4

所以一3W4W1.

题型三裂项相消法求和

例3（2022・晋中模拟）设｛斯｝是各项都为正数的单调递增数列，已知0=4,且如满足关系式:

〃〃+1+。〃=4+2y/a“+ia〃,〃eN二

（1）求数列｛©?｝的通项公式；

⑵若仇=」27，求数列｛仇｝的前n项和S„.

Cln1

解（1）因为。〃++〃£N*,

所以斯+1+斯—24%+1〃〃=4,

即（用研1—的产=4,

又｛为｝是各项为正数的单调递增数列，

所以、斯+1—4^=2,

又=2,

所以｛砺｝是首项为2,公差为2的等差数列,

所以，^j=2+2（〃-1）=2〃，所以a〃=4〃2.

（2汹=%-1=4/-1=（2〃-1）（2九+1）

寸-2〃+J=肃!.

（教师备选1

设数列｛。“｝的前〃项和为S“,且2*=3%一1.

⑴求｛%｝的通项公式；

3"33

⑵若d=（”“+］）（“,小+］）,求伯"｝的前〃项和北，证明：［W7；q.

(1)解因为2S”=3a”-1,

所以2S]=2〃]=3。]—1,

即0=1.

当〃22时，2sl=3为7—1,

则2Sn—2S〃T=2斯=3。〃一3斯一i,

整理得巫=3,

an-i

则数列｛斯｝是以1为首项，3为公比的等比数列,故斯=1X3〃—1=3"?

3〃

(2)证明由(1)得Q=0〃-1+])(3〃+])

3

-X

2夕+

所以折=|义_(3°+[-31+1)+(31+]—32+1)+

G2+l-33+l)+…+Q"-+-3〃+1)]，

3

即r即下3褥<1―3〃1+1尸、L3FT2T

3

所以Tn<-,

又因为7；为递增数列，

333

-=-

48-8

-33

所以

思维升华利用裂项相消法求和的注意事项

(1)》氐消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.

(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，如：若｛”“｝是等差数列，则」一

。，以〃+1

跟踪训练3(2022•河北衡水中学模拟)已知数列｛斯｝满足0=4,且当几22时，(〃-1)斯=〃(斯―]

+2〃-2).

(1)求证：数列榭是等差数列；

]1

(2)记b,产-求数列｛久｝的前n项和S,,.

(1)证明当〃22时，

(n—l)an=n(an-i+2n—2),

将上式两边都除以〃(〃一I),

,a斯-|+2〃-2

/rBX.---n---------------------------

日口&4“一]C

即"一〃-1一2，

所以数列｛"是以早=4为首项，2为公差的等差数列.

⑵解由⑴得才=4+2("-1)=2〃+2,

即〃"=2〃(〃+1),

6frP；,2n+lll-£1

所以b一a2=好2(〃+］丹

所以一封+售一/)-!----F

一1层+2〃

4(H+1)2J=4(H+1)2,

课时精练

1.已知在等差数列｛斯｝中，S“为其前”项和，且。3=5,57=49.

(1)求数列｛小｝的通项公式；

⑵若乩=2%+国,数列｛儿｝的前"项和为北,且北》1000,求〃的取值范围.

解(1)由等差数列性质知，$7=744=49,

则“4=7,

故公差d="4—a3=7—5=2,

故斯=“3+(〃—3)J=2n—1.

⑵由⑴知b,.=22^'+2n-\,

7],=2'+1+23+3H----F22”r+2〃-1

=21+23H---I-22,,~I+(1+3H----l-2n-l)

2'-22,|+|,n(l+2n~l)

1-4+2

22"+',,2

=丁+『-

易知7；单调递增，

且丹=707<1000,7^=2766>1000,

故乙》1000,解得〃》6,"GN".

2.(2020•全国1H改编)设数列｛斯｝满足“1=3,%+|=3斯一4".

(1)计算“2,a-s，猜想｛斯｝的通项公式；

⑵求数列｛2"斯｝的前n项和S„.

解(1)由题意可得“2=30—4=9—4=5,

。3=3。2—8=15—8=7,

由数列｛斯｝的前三项可猜想数列｛%｝是以3为首项，2为公差的等差数列，即斯=2〃+1.

(2)由⑴可知,a„-2n=(2n+l)-2n,

5„=3X2+5X22+7X23+-+(2n-l)-2,,-|+(2n+l)-2n,①

2S„=3X22+5X23+7X24H-----l-(2n-l)-2n+(2n+l)-2n+1,②

由①一②得，一*=6+2X(22+23+…+2")—(2〃+1)2田

,22X(l-2n-'),

=6+2X-----777T_L-⑵?+1>2"'।

=(l-2n)-2n+1-2,

即5„=(2n-l)-2,,+1+2.

3.(2022•合肥模拟)已知数列｛〃”｝满足：0=2,a„u=a,,+2n.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)若b,=log2a,"T“=夫+康+…+合’求T”.

解(1)由已知得斯+]—小=2",

当时，斯=〃]+(〃2—。1)+(。3—〃2)+…+(〃〃一〃“-1)

=2+2+2?+…+2〃)

,2(1—2。

=2+-2=*•

又。1=2,也满足上式，故斯=2".

(2)由(1)可知，儿=log2〃,,=〃，

11』1

bnbn+1n(n+1)n〃+l'

故7=一一

n+1n+T玖inn+V

4.(2022•济宁模拟)已知数列｛a”｝是正项等比数列，满足“3是2a1,3.2的等差中项，3=16.

⑴求数列｛斯｝的通项公式；

⑵若b=(一l)"log2a2/1，求数列｛儿｝的前n项和T,,.

解(1)设等比数列他”｝的公比为“，

因为“3是26,3a2的等差中项，

所以2a3=2a1+3a2,即2〃iq~=2ai+3aq,

因为ai#0,所以2/-3q—2=0,

解得4=2或q=-2>

因为数列｛〃”｝是正项等比数列，所以q=2.

所以a”=a#/'4=2".

(2)方法一(分奇偶、并项求和)

由(1)可知，”2"+1=22"+1,

所以瓦=(—l)"Jog2a2"+1

,2,,+1

=(-l)'-log22=(-l)"-(2n+1),

①若〃为偶数，

7],=-3+5-7+9-----(2n-l)+(2n+l)

=(-3+5)+(—7+9)H----l-[-(2n-l)+(2n+l)]=2X^=n；

②若"为奇数，当〃，3时，

Tn=Tn-i+hn=n—1—(2n+1)=—n—2,

当n=\时，力=一3适合上式，

\n,〃为偶数，

综上得7]产

[一〃一2,〃为奇数

(或〃=5+l)(—1)〃一1,〃VN*).

方法二(错位相减法)

由(1)可知，472n+l=2',,+1,

所以6"=(一l)%10g2a2"+1

B2n+1

=(-l)log22

=(一1产(2〃+1),

7；=(-l)'X3+(-l)2X5+(-l)3X7H---F(-l)"-(2n+1),

所以一7；=(-l)2X3+(-l)3X5+(-l)4X7H---F(-iyE(2〃+l),

23nn+,

所以2Tn=-3+2[(-1)+(-1)H---F(-l)