2023版高考数学一轮总复习检测5-2平面向量的数量积及其应用

5.2平面向量的数量积及其应用

一、选择题

1.(2022届北京十二中10月月考,2)已知@=(4,2)飞=3-1),若2〃1),则乂=()

A.-2B.-1C」D.2

22

答案A因为a〃b,所以4X(T)=2x,解得x=-2.故选A.

2.(2022届北大附属实验学校期中,2)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),若a〃b,则m的值为

()

A.4B.1C.-4D.-11

答案C因为a〃b,所以mX(T)=2X2,解得m=-4.故选C.

3.(2022届人大附中朝阳学校IO月月考,5)己知a=(-√3,-l),b=(l,√3),那么a,b的夹角

θ=()

A.30oB.60oC.120oD.150°

答案DVcosθ,“∙bj2fTʌθ=150°.

㈤∙∖b∖42

4.(2022届云南质检(一)，3)在RtZiABC中,AC_LBC,D点是AB边的中点,BC=8,CA=12,则

运•赤的值为()

Λ.-40B.52C.92D.-18

答案Λ在aABC中,阮g(方+旗，德加方,所以M∙码(藩-^2)=^χ(82-12")=-4O,故

选A.

5.(2022届吉林名校10月联考,5)已知3个非零平面向量a,b,c,下列选项中正确的是()

A.若入a+μb=0,则入=N=0

B.若a∙b=a∙c,则b=c

C.若(a∙b)C=(a∙c)b,则b=c

D.a,b,c两两之间的夹角可以都是钝角

答案D对于选项A,当a与b共线时，也可以满足已知条件,所以A错;对于选项B,a可能

为0,所以B错;对于选项C,向量数量积运算不满足结合律,所以C错;对于选项D,a,b,c两两

之间的夹角可以都是钝角，如都为120°,所以D正确,故选D.

6.(2022届福建南平10月联考,6)已知单位向量el,e?的夹角为等,则∣e∏λe?|的最小值为

)

答案C

,e-λ2

Ve1∙e2=Ie11Ie21''∣'%「=《+V第-2λe,∙e2=λ+λ+1=（λ+0+|汽，

则Ie_-λe2∣/,故Ie-λe2∣的最小值为当

7.（2022届贵阳摸底，6）在aABC中，ZBAC=90o,AB=AC=3,若点D,E分别是斜边BC的三等分

点,则加•位的值为（）

A.2B.√5C.4D.5

答案C∙.∙NBAC=90°,AB=AC=3,.∙.以A为坐标原点,AB、AC所在直线分别为X轴和y轴，

建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(3,0),C(0,3).因为D,E分别是BC的三等分点,

所以可取E(2,1),D(1,2),则屉(1,2),疟(2,1),所以万∙正1X2+2X1=4.故选C.

8.(2022届江苏淮安车桥中学入学调研,7)已知aABC的外心为0,2旗苏元|而|=|两|=2,

则9•元的值是()

Λ.√3B.JC.2√3D.6

答案D

由2称加元;得裕法行而即脐近则。为BC的中点.

VO为AABC的外心，二|而|=|碗=|而，；2八1^为直角三角形，且ABlAC,如图所示.

又「|加|=|布|=2=|砺|,，4(^8为等边三角形，

Z0AB=60o,Z0AC=30o,\在Rt∆ABC

中,IAC∖ɪJ∣⅞∣2-∣^AB∖2=2√3,.,.A∂∙A∂^∖A∂∖∙∖AC∖∙cos∕0AC=2X2√Jx*6,故选D.

2

9.（2021皖北协作体月考,6）在平面直角坐标系中，i,j分别是与X轴,y轴正方向同向的单位

向量,平面内三点Λ,B,C满足/4i+3j,⅛i-∣j,当A,B,C三点构成直角三角形时;实数k的

可能值的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

答案D由题意知i∙j=0,∣i∣=∣j|=1,拈万+0-4i-3j+kiTj=（k-4）iJj.

⑴若角A为直角,则M∙g（4i+3j）LJ）=4k子0,解得k=∣;

⑵若角B为直角，则初•於（4i+3j）•[（卜4”-同=4（卜4）30,解得1i卷；

⑶若角C为直角,则就.BC={ki-∖j）∙[U-4）7-^]=k2-4k+J=0,解得或（

综上可知,k的值为:或弓或;或共4个,故选D.

OO4Z

10.（2022届昆明10月调研,8）已知aABC的外接圆半径为1,圆心为0,且而+√⅛2无0,则

历∙M的值为（）

Λ,2≠B.⅞1C∙WD∙"

2222

答案A∙.,Z∖ABC的外接圆半径为1,I而|=|而gα∣=l.又

^0Λ+>^0B+i0C=Q,Λ√W+2^=-Ω1,两边平方得3海+4谑+4禽曲正就即

3+4+4√3^∙^0C=∖,J.^OB∙无T同理可得加.^0A=~∖,所以

OC.AB=OC∙（θβ-∂A'）^OC∙OB-OC•而=-f+/故选A.

11.（2022届北京四中期中,8）已知平面向量a,b满足∣a-2b∣=√T瓦Ia|=3,若cos<a,b>[,则

∣b∣=（）

ʌ.1B.2C.7D.；

42

答案B∙.∙Ia-2b∣=√19,∣a∣=3,cos<a,b>[,

ΛIa-2bI=y∕（a-2⅛）2=Va2+4⅛2-4a∙b

=V∣a∣2+4∣∆∣2-4∣a∣∙IZ?|cos<a,Z?>=√19,/.41b12-31bITo=0,解得Ibl=2或IbI=T（舍）.故

选B.

12.（2022届河南三门峡11月模拟，10）已知菱形ABCD的边长为4,点M是线段CD的中

点,舜2丽;则不•（脐闻）=（）

3

D.y

答案Λ由已知得出任加百匕存彳万,脐阱丽：正正-g为分g应•,则刀;•(丽•丽)=g4+

屈•(渗网WX翅-净*X16-i×16=≡-8=-p故选ʌ.

二、填空题

13.(2022届江西五校11月联考，13)已知向量a=(l,l),b=(3,-4),则向量a在向量b方向上

的投影为.

答案T

解析向量a在b方向上的投影为IalCoS<a,b〉|三■岑手绊=-；.

1〃√32+(-4)25

14.(2022届湖北部分重点中学开学联考,14)已知向量a,b满足∣a∣=2,∣b∣=近,且(2b-a)La,

贝Ucos<a,b>=

答案y

解析由已知得(2b-a)∙a=0,即2a∙b=a2,BP2×2×√2cos<a,b>=4,则cos<a,b>=y.

15.(2022届河北邢台“五岳联盟”10月联考,13)设向量a,b均为单位向量,且aJ_b,则

(a+2b)∙(3a-5b)=.

答案-7

解析YaLb,a,b均为单位向

量，...a∙b=0,∙a∣=Ibl=I,(a+2b)∙(3a-5b)=3a2+a∙b-10b2=3-10=-7.

16.(2022届湖南三湘名校、五市十校联考，14)己知点P(-2,O),AB是圆x2+y2=l的直径,则

^PA∙律.

答案3

解析设A(x,y),则B(-χ,∙y),且

x2+y2=l.*.⅛(2+x,y),Λ5=(2-χ,-y),：.PA∙^=(2+x)(2-χ)-y2=4-(x2+y2)=3.

17.(2022届清华附中10月月考，13)已知平面向量a,b满足a=(1,3),b|=1,贝∣J∣a-b|的取值

范围是.

答案[√^T,√TU+1]

解析由a=(l,3)得IaI=√TU,

4

Ia-b12=Ia12-2IaI∣bcos<a,b>+1b∣2=ll-2√Iθ∙cos<a,b>,因为〈a,b>∈[0,n],故

√11-2√Tθ≤Ia-bI≤√11+2√Tθ,即√TUτ≤∣a-b∣≤√10+l.

18.(2020海淀二模，14)已知点A(2,0),B(1,2),C(2,2),I万|=IAB-AC∖,0为坐标原点,则

IAP∖=.旗与瓦夹角的取值范围是.

答案1=[°'÷]

解析由题意得法於法(T,0),故|定葩=1,又I羽=I办元1,.•.励=1,即P点的轨迹

是以A为圆心，1为半径的圆，故可设p(2+cosα,sinα),才与德的夹角为

8(OWa<2n,OWθW6),则须=(2+cosa,sin