平面(第1课时) 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

8.4空间点、直线、平面之间的关系8.4.1

平面

第1课时

引入

前面我们学习了基本几何体，知道了它们的结构特征、平面表示、表面积和体积的计算.在学习棱柱、棱锥、棱台等多面体的过程中，我们知道了顶点(点)、棱(直线的一段)、平面多边形(平面的一部分)是构成这些多面体的基本元素，而且以直观的方式感知这些基本元素之间的相互关系，从而得到了这些多面体的结构特征.

为了进一步认识几何体的结构特征，我们还需要继续对点、直线、平面之间的位置进行更加深入和细致的研究，接下来我们就先研究平面和它的基本性质，在此基础上，再对点、线、面之间的位置关系进行研究．知识探究(一)

思考1：对于点和直线，我们在初中的平面几何中已有所了解，那么什么是点呢？什么又是直线呢？它们有什么特征呢？

夜空中闪闪的星星给我们以“点”的印象.

点有位置但没有大小.

紧绷的细线给我们以“直线”的形象.

直线可以看成是一条直线段向两个方向无限延伸得到的，直线没有粗细.

思考2：类似地，在生活中又有哪些物体给你以平面的感觉？

黑板面，课桌面

地板面

平静的水面平面的概念无比平整、

无限延展、

无厚度（

三无

）

思考3：类似于直线的“直”,“向两端无限延伸”,“无粗细”，你能说说平面的特征吗？平整,向四周无限延展，无厚度

几何里所说的“平面”是从类似于桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的面.

它与点、直线的概念类似，是一个不加定义的原始概念.平面的特征绝对的平，无凹凸，无弯曲向四周无限延展，无边界，无面积无体积，无质量

思考4：想一想，我们是怎样用图形和符号表示点和直线的?类似地，如何用图形和符号表示平面?点：直线：

类比于用直线的局部(线段)表示直线，我们可选取平面的一部分来表示平面，这一部分通常采用矩形的直观图，即平行四边形.平面的表示(1)图形表示:平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．(1)图形表示:(2)符号表示:

①希腊字母α，β，γ

等，将它写在代表平面的平行四边形的一个角内.②平行四边形的四个顶点大写英文字母

或两个相对顶点的大写英文字母.常用矩形的直观图，即平行四边形.平面的表示

这里的“常用”是什么意思？注：事实上，平面有时也用其它平面图形表示.

思考5：一个用平行四边形表示的平面，它的大小和平行四边形一样吗？

当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？

你能据此指出作立体图形的要点吗？

(1)一个平面是无限大的，可以根据需要将它进行延展；(2)两平面相交时，凡被遮部分的线画成虚线或不画；(3)在立体几何中作图(无论是否是辅助线），凡被遮部分的线画画成虚线，未被遮部分的线画成实线。1.判断下列各题的说法正确与否(1)一个平面长4米，宽2米；

()(2)平面上一条直线可以把这个平面分成两部分；()(3)10个平面叠在一起要比一个平面厚；

()(4)菱形的面积可以等于4cm2；

()(5)一个平面可以把空间分成两部分.

()√××√√2.下列说法正确的有()A.平面是处处平的面B.平面是无限延展的C.平面的形状是平行四边形D.平面的厚度可以是0.001cm.练习3.（1）一个平面将空间分成几部分？

（2）两个平面将空间分成几部分？

（3）三个平面将空间分成几部分？(1)两部分(2)三部分或四部分(3)四部分,六部分，七部分或八部分知识探究(二)

思考1：

在几何学中，点是最基本的元素，直线和平面都可以看成点的集合。因此，点与直线、点与平面就成了元素与集合的关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面就成了集合与集合的关系，你能用文字语言，图形语言，符号语言描述这些关系吗？点、线、面间关系的表示图形语言文字语言符号语言①

②③④图形语言文字语言符号语言⑤

⑥⑦⑧

1.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.解：(1)练习2.将下列符号语言转化为图形语言：解：(1)(2)知识探究(三)

思考3：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面?

在生活中，我们常常可以看到这样的现象：由这些事实和类似经验，可以得到下面的基本事实：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.(1)文字语言：(2)图形语言：(3)符号语言：基本事实1存在性唯一性（也可以说成“不共线三点可以确定一个平面”）1.内容：2.作用：①确定平面；②判定两平面是否重合.

自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以"站稳"；

三脚架的三脚着地就可以支撑照相机.

思考3：基本事实1研究了点与平面的位置关系，我们接下来研究直线与平面的位置关系.

想一想：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢?

如果一条直线上的两个点在一个平面内，

那么这条直线在这个平面内．(1)文字语言：

(2)图形语言：(3)符号语言：基本事实21.内容：2.作用：①判断直线是否在平面内；②判断点是否在平面内

实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．由类似经验，可以得到下面的基本事实：

思考4：基本事实2反映了直线与平面的位置关系.我们知道，平面具有“平”和“无限延展”的特征.你能不能利用基本事实2，用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”？

由基本事实1知，不共线的三点A、B、C可以确定一个平面ABC.

连结AB，BC，AC，由基本事实2知，直线AB，BC，AC也在平面ABC内.

进一步连结三条直线上的任意两点所得的每一条直线显然也在这个平面内.

所有这些直线形成一个直线网，并铺满整个平面，由于直线是直的和并向各个方向无限延伸，所以平