全等三角形-2023年中考数学一轮复习（全国通用）

考向20全等三角形

【考点梳理】

1、全等三角形：

两个三角形的形状、大小都一样时称为全等三角形。一个图形经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）后得到

另一个图形，变换前后的图形全等。

2.全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。

3、三角形全等的判定公理及推论有：

（1）“边角边”简称“SAS”：

（2）“角边角”简称“ASA”：

（3）“边边边”简称rtSSSw

（4）“角角边”简称“AAS”：

（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。

4、（1）角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等

（2）角平分线推论（或称判定）：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

【题型探究】

题型一：全等三角形概念和性质

1.（2022•山东淄博・统考一模）如图，AABC^aDEC,点、E在AB边上,ZB=70o,则/BCE的度数为（）

C.45°D.50°

2.（2022・辽宁大连•统考一模）如图，将AABC沿AC所在的直线翻折得到AAQC,再将AABC沿AQ所在的直线翻

折得到"夕C,点B,B',C在同一条直线上，∕BAC=α,由此给出下列说法：①AABC丝②4C_LB9，③

ACB'B=Ia.其中正确的说法是（）

A

A.①②B.①③C.②③D.①②③

3.（2022•江苏苏州•模拟预测）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且Λ4=3,PB=4,PC=5,以BC为边在JlfiC

外作ABQC丝ABPA,连接PQ,则以下结论中不正确的是（）

A.ZPBQ=60°B.ZPQC=90°C.ZAPC=I20°D.ZAPB=I50°

题型二：全等三角形的判定

4.（2022・重庆璧山•统考一模）如图，在正方形ABCZ）中，将边BC绕点8逆时针旋转至点BC',若NCcD=90。,

CC=2,则线段Be'的长度为（）

C.RD.√5

5.（2022.山东泰安.模拟预测）如图，等边.ΛBC中，AB=2,D为ΛBC内一点，且D4=L>8,E为ABC外一

点，BE=AB且NEBD=NCBD,连接OE、CE,则下列结论：①NDAC=NDBC；（S）BElAC;®ZDEB=30°i

④若召C〃AD,则%i*c=1,其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（2022•重庆南岸•校考模拟预测）如图，在正方形ABa）中，E是BC边上的一点，BE=2,EC=4,将正方形

边AB沿AE折叠到AF,延长EF交OC于G,连接AG.现在有如下四个结论：①NE4G=45。；②FG=FC；③

/C〃AG；④SCFC=3.6.其中结论正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

题型三：全等三角形的辅助线问题

1.倍长中线问题

7.（2023・全国•九年级专题练习）如图，在四边形ABCO中,ABHCD,ABYBD,AB=5,BD=A,CD=3,

点E是AC的中点，则BE的长为（）.

C.√5D.3

8.（2018.贵州遵义•校联考二模）如图，DE是AABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G,若ACEF

的面积为12Cm2,则SADGF的值为（）

A

A.4cm2B.6cm2C.8cm2D.9cm2

9.（2022•浙江舟山•校考一模）对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长与3与4,则第三边的长是5；②

（6）,=α;③若点P（a,%）在第三象限，则点Q（-α,-b）在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三

角形全等，正确的说法是（）

A.只有①错误，其他正确B.①②错误，③④正确

C.①④错误，②③正确D.只有④错误，其他正确

2.旋转模型

10.（2022・山东日照•校考二模）如图，。是正43C内一点，04=3,08=4,OC=5.将线段8。以点B为旋

转中心逆时针旋转60。得到线段80,下列结论错误的是（）

A.点。与。的距离为4B.ZAOB=∖50o

®&形下＞

C.SAOBo=6+4D.S^AOII+SΛAOC=3÷4∖∣3

11.（2022•重庆合川•校考一模）如图,正方形ABC。中，点E,F分别为边BC,CO上的点，连接AE,AF,与对

角线8。分别交于点G,H,连接若ZE4F=45。，则下列判断错误的是（)

A.BE+DF=EFB.BG2+HD2=GH2

C.E,尸分别为边BC,CO的中点D.AHlEH

12.（2022.山东济南.模拟预测）如图，在边长为6的正方形ABCO内作ZE4F=45。，AE交BC于点、E,AF交8于

点尸，连接EF,将尸绕点A顺时针旋转90。得到，ABG.若。尸=3,则下列结论：①一ABG也一4）尸；②

AGE^AFE；③NG4E=45。；®BE=2.其中正确的是（）

A.①②③④B.①②（S）C.①③④D.③④

3.垂线模型

13.（2021•浙江湖州•统考二模）如图，在平面直角坐标系Xoy,四边形OABe为正方形，若点B（l,4）,则点A

14.（2022.贵州黔东南•校考一模）如图，在平面直角坐标系中A（0,4）、C（6,θ）,BCLX轴，存在第一象限的一点

P（α,2α-5）使得A∕¾B是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点尸的坐标（）.

A.(3,1)或(3,3)B.(5,5)C.(3』)或(5,5)D.(3,3)

15.（2022•浙江温州•校考一模）如图，在BC中以AC,BC为边向外作正方形AC尸G与正方形BCOE,连结。F,

并过C点作C〃_LAB于〃并交F力于M.若NAC8=120。，AC=3,BC=2,则加。的长为（）

4.其他模型

16.（2022•北京海淀•校考一模）如图，点E是BC内一点，ZAEB=90o,AE平分/BAC,。是边AB的中点，延

长线段QE交边BC于点F,若AB=6,EF=I,则线段AC的长为（）

A.7B.8C.9D.10

17.（2022•全国•九年级专题练习）如图，在一48C中，NACB=90。，AC=2,Ae=4,将二ABC绕点C按逆时针

方向旋转一定的角度得到.∙,DEC,使得A点恰好落在DE上，则线段BO的长为（）

R

A.2√3B.5C.2√7D.3√3

18.（2021•重庆•统考中考真题）如图,在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点。在第二象限，其余顶点都在第一

象限，AX轴，AOLAD,AO=AD.过点A作4ELCE）,垂足为E,DE=4CE.反比例函数y=?x>0）的图象经过

JJ

点E,与边AB交于点F,连接0E,OF,EF.若S"LA则k的值为（)

21

D.

T

题型四：全等三角形的综合问题

19.（2023♦福建南平•统考一模）在五边形ABa）E中，四边形ABeo是矩形，VAOE是以E为直角顶点的等腰直角

三角形.CE与AO交于点G,将直线EC绕点E顺时针旋转45。交Ao于点F.

£

(1)求证：ZAEF=ZDCE↑

(2)判断线段AB,AF,FC之间的数量关系，并说明理由；

(3)若FG=CG,且AB=2,求线段BC的长.

20.(2023•重庆黔江•校联考模拟预测)如图，在ABC。中，对角线AC,交于点O,E是Ao上一点，连接Eo

并延长，交BC于点、F.连接AF,CE,E/平分/AEC.

(1)求证：四边形A尸CE是菱形；

⑵若ND4C=60。，AC=2,求四边形AFCE的面积.

21.(2022∙黑龙江哈尔滨•校考二模)在.ABC中，过A作BC的平行线，交NACB的平分线于点。，点E是BC上

一点，连接DE,交AB于点F,ZCAD+ZBEO=180°.

(1)如图1,求证：四边形ACE。是菱形；

(2)如图2,若NAeg=90。，8C=2AC,点G、H分别是AZJ、AC边中点，连接CG、EG、EH,不添加字母和

辅助线，直接写出图中与aCEH所有的全等的三角形.

【必刷基础】

一、单选题

22.(2022∙辽宁鞍山•模拟预测)下列说法正确的是()

A.所有的等边三角形是全等形

B.面积相等的三角形是全等三角形

C.到三角形三边距离相等的点是三边中线的交点

D.到三角形三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点

23.（2023•福建南平・统考一模）如图，在ABC中，ZSΛC=135°,将ΛBC绕点C逆时针旋转得到DEC,点A,

8的对应点分别为O,E.当点A、。、E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（）

B.AE=AB+CD

C.AD=√2ACD.ABA.AE

3

24∙（2022∙四川绵阳冻辰国际学校校考模拟预测）如图,在.."C中,ZAa=900,BC=6,cos∠β=-,AE平分

ZBAC,且AELCE于点E,点。为8C的中点，连接OE,则OE的长为（）

A.2B.4-√7C.2√7D.2--

2

25.（2022.辽宁营口•校考模拟预测）如图，在正方形ABCo中，E是BC边上的一点，BE=4,EC=8,将正方形

边AB沿AE折叠到4F,延长EF交。C于G,连接AG,FC,现在有如下4个结论：①NE4G=45。；②FG=FC：

③尸C〃AG；④SAGFC=14.其中正确结论的个数是（)

C.3D.4

26.（2022.江苏苏州•苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，直线y=-3x+3与X轴交于点A与）'轴交于点B,

以相为边在直线AB的左侧作正方形"QC,反比例函数尸：的图象经过点Q,则改的值是（）

-4C.-5D.-6

27.（2022•四川泸州•泸县五中校考一模）如图，半圆O的直径A8=20,弦AC=I2,弦AO平分∕BAC,Ar）的长

为（）

C.8√5D.10√5

28.（2022・山东济南•统考模拟预测）如图，在矩形ABC。中,AB=6,E是BC的中点，A£_LB。于点凡则C尸

C.√2D.2

29.（2023•陕西西安•陕西师大附中校考一模）如图，在平行四边形ABa＞中，E是BC边上一点，连接43、AC、ED,

若AE=AB,求证：AC=DE.

30.（2022・广东云浮•校联考三模）如图，双曲线y=£图像经过点（1,2）,点A是双曲线y=f在第一象限上的一动

点，连接AO并延长交另一分支于点6,以AB斜边作等腰RtzλA8C,点C在第二象限，随着点A的运动，点C的

位置也不断的变化，但始终在一函数图像上运动.

y

（1）求人的值和这个双曲线的解析式；

（2）求点C所在函数的解析式.

31.（2022•山东青岛•山东省青岛第二十六中学校考二模）如图，在YABC。中，。是对角线AC、8。的交点，延长

边CO到点尸，使。尸=DC,过点F作£F〃AC,交3。的延长线于点E,连接QF、EC.

/■'

（1）求证ΔODC≡SEDF.

（2）连接力尸，已知.（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形OCE尸的形状,

并证明你的结论.

条件①：AF=PC且AC=2√2DC;

条件②：8=。C且ZBEC=45。.

【必刷培优】

一、单选题

32.（2022•重庆・重庆八中校考模拟预测）如图，边长为4的正方形ABa）中，点E、尸分别在边CRA。上，连接

BE,BF,EF,且有N£BR=45。.将一£Z）F沿EF翻折，若点。的对应点恰好落在8尸上，则EF的长为（）

B________A

β

CED

A.4一迪B.4+迪r204√3nc8√3

33333

33.（2022.山东蒲泽•统考二模）如图,已知矩形ABCO中，点E是BC边上的点ΛE=3GDF±AE,BE=2,EC=I,

2

垂足为产下列结论：①ZW）「名△&$；®AF=EB;③。/平分/"C;④SinNeDF=§.其中正确的结论有

C.3个D.4个

34.（2022・广东东莞•校考二模）如图，E、尸分别是正方形ABCD的A&BC边上的动点，且满足4E=BF,连接

CE、DF,相交于点G,连接AG,则下列4个结论：（I）DF=CE;②CE,Jro；®AD=AGi④若点E是AB的中

点，则DG=4Gr,其中正确的结论是（)

C.②③④D.①②③④

35.（2022∙湖北省直辖县级单位.校考一模）如图，在正方形ABCO中，E,尸分别是AB,BC的中点，CE,。尸交于

点G,连接AG.下列结论：①CE=OF；@CELDF-,③NAGE=Na>F；④∕E4G=3（Γ.其中正确的结论是（)

C.①②④D.①®@

36.（2022秋・广东深圳•九年级校考期中）如图，正方形ABCC的顶点4,8分别在X轴，y轴上，点。（-6,2）在直

线/：y=fcc+8上.直线/分别交X轴，y轴于点E,F.将正方形ABC。沿X轴向左平移加个单位长度后，点B恰

好落在直线/上.则，〃的值为（）

C.6D.8

二、填空题

37.（2023・陕西西安・西安市铁一中学校考二模）如图，正方形ABC£>,点、E、F、G、〃分别在边AB、BC、CD、

D4上，若EG与尸”的夹角为45。，AB=2,FH=亚,则EG的长度为.

38.（2023•广西玉林•一模）如图，在菱形ABCD中，NA=60。，点E,F分别在BC,CD边上，且CE=DF,BF

与DE交于点G,若3G=3,DG=5,则四边形"GD的面积为.

39.（2023秋•安徽池州•九年级统考期末）如图，点A在X轴的负半轴上，点C在反比例函数y=K（%>O）的图象上,

X

3

4C交y轴于点B,若点8是4C的中点，A05的面积为5，则々的值为.

40.（2022.四川绵阳•东辰国际学校校考模拟预测）如图，在正方形ABC。中，Aβ=4,点E为对角线瓦）上一点,

EFYAE,交BC边于点F,连接A尸交80于点G,若/84尸=30。，则AAEG的面积为.

41.（2022.湖北省直辖县级单位.校考一模）如图，在边长为1的正方形ABCO中，点E、尸分别是BC、8的中点,

DE、AF交于点G,AF的中点为从连接8G、DH.给出下列结论：①AFl巫；②。G=二Y—；③HD〃BG；

5

其中正确的结论有.（请填上所有正确结论的序号）

42.（2022・江苏无锡・无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，A5C中，分别以AB、AC为底边向外作等腰AABO

和等腰Z≡C,连接团点F为8C的中点，连接EF并延长交。8的延长线于点G,DE=TFG，DG=4回,

4

若NG+NZME-NCE/=180。，tanZDEG=-,贝IJtanNaG的值为.

三、解答题

43.（2022・山东荷泽・荷泽一中校考模拟预测）如图①，在；ABC中，ZA=90。，AB=AC,点DE分别在边AB,

ACl.,且AD=ΛE.则CE=8f）.现将VAoE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为口（0。<£<180。）.如图②，连接

CE,BD.

图③备用图

(1)如图②，请直接写出CEH30的数量关系.

(2)将VADE旋转至如图③所示位置时，请判断CE与8。的数量关系和位置关系，并加以证明.

(3)在旋转的过程中，当ABCQ的面积最大时，«=.(直接写出答案即可)

44.(2022.山东荷泽.荷泽一中校考模拟预测)如图1,在ABC中，AB=AC,AC平分N8C。，连接BO,

ZABD=2ACBD,ZBDC=ZABD+ZACD.

(1)求N4的度数;

(2)如图2,连接45,AELA。交BC于E,连接£>E,求证：ZDEC=ΛBAE;

(3)如图3,在(2)的条件下，点G为CE的中点，连接AG交8。于点F,若SMe=32,求线段AF的长.

45.(2022•辽宁盘锦•校考一模)如图1,在,ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,BDJLCD于点D,连接AO,在CD

上截取CE,使CE=BD,连接AE.

图1图2

(1)直接判断AE与AD的数量关系；

(2)如图2,延长ADCB交于点F,过点E作EGA尸交BC于点G,试判断FG与AB之间的数量关系，并证明;

(3)在(2)的条件下，若AE=2,EC=五,求EG的长.

46.(2022•河南郑州・河南省实验中学校考模拟预测)在ABe中，AB=AC,E为边AC上一点，。为直线BC上

一点，连A。、BE,交于点、F.

(1)如图1,若Nβ4C=60°,。点在线段BC上，且AE=CD,过B作BGLAO,求证：FG=^BF-

⑵如图2,若ZBAC=ZBFD,且BF=3AF,求黑的值：

BC

⑶如图3,若Nβ4C=60°.若BD=3CD,将线段AD绕点A逆时针旋转到A",并且使得NH4C=NADB,连接

交AC于P,直接写出冬=.

参考答案：

1.B

【分析】由ABC=OEC可知BC=EC,进而可知NCEB=70。，由三角形内角和可得4CE=40。.

【详解】,.∙ABC=DEC,

：.BC=EC,

：.ZB=NC£»=70。，

,.∙ZB+NCEB+NBCE=180°,

.∙.ZBCE=180o-700-70°=40°.

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和等于180。等知识.熟练运用全等

三角形的性质，判断出等腰三角形是解决本题的关键.

2.D

【分析】①由翻折可得A48C丝Z∖4BC,AABgAABC,进而可以进行判断；

②由翻折可得点B与点所关于AC对称，进而可以进行判断；

③由翻折可得/夕Ae=N8%C=N8AC=α,NABe=NABc再根据角的和差即可进行判断.

【详解】解：①由翻折可知：AABCgzMQC,∆AB'C^∕∖AB'C',

.♦.△ABC丝Z∖AB'C';故①正确；

②由翻折可知：点B与点B'关于AC对称，

ΛAC±Bβ,;故②正确；

③由翻折可知：NB'AC=NB'AC=∕BAC=a,ZAB'C'=ZAB'C,

：.ZAB1β=900-ZB'AC=90o-a,

：.ZAB'C'=∖S0o-ZAB'B=∖S0o-(90o-α)=90°+α,

ZAB'C=90o+a,

：.∕CB'B=NAB'C-NAB'B=900+a-(90o-α)=2α,

ΛACB'B=Ia.故③正确.

综上所述：正确的说法是：①②③.

故选：D.

【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质.

3.C

【分析】根据AA8C是等边三角形，得出乙4BC=60。，根据AB。C丝aB∕¾,得出NCBe=NABP,PB=QB=4,PA=QC=3,

ZBPA=ZBQC,求出NPBQ=60。，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据ABPQ是等边三角形，APCQ

是直角三角形即可判断D；求出NAPC=I50。-NQPC,和PC≠2QC,可得NQPC≠30%即可判断C.

【详解】解：∙∙∙2∖ABC是等边三角形，

・・・NABC=60。,

∖'∕∖BQC^ABPAf

"CBQ=NABP,PB=QB=4,

PA=QC=3fZBPA=ZBQC9

：.ZPBQ=ZPBC+ZCBQ=ZPBC+ZABP=ZABC=60o,

所以A正确，不符合题意；

PQ=PB=4,

Pβ2+βC2=42+32=25,

PC2=52=25,

：.PQ2^QC2=PC2,

：.NPQC=900,

所以B正确，不符合题意；

•：PB=QB=4,NPBQ=60。，

・・・PQ是等边三角形，

ZBPβ=60o,

ZAPB=ZBQC=ZBQP+ZPQC=60。+90。=150°,

所以D正确，不符合题意；

ZAPC=360o-150o-60o-ZQPC=150o-ZQPC,

VPC=5,QC=PA=X

J.PC≠2QC,

丁NpQC=90。，

・・・ZβPC≠30o,

：•ZAPC≠120o.

所以C不正确，符合题意.

故选：C

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关

键是综合应用以上知识.

4.D

【分析】根据旋转的性质，可知8C=3C.取点O为线段C。'的中点，并连接30.根据等腰三角形三线合一

的性质、正方形的性质及直角三角形的性质，可证得RfOBgRtCCD,从而证得。C=CD,BO=CC，

再利用勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，取点。为线段CC'的中点，并连接BO.

依题意得，BC=BC,

:.BOLCC,

二NBOC=90。，

在正方形ABC。中，

BC=CD,/BCD=90°,

.∙.ZOCB+CCD=90°,

又一/CC'D=90°,

:.ZCDC+ZC'CD=90。,

.-.ZOCB=ZCDC,

在HOBC和Rf∙,C'CO中，

'NOCB=NCDC

<ZBOC=ZCCD,

BC=CD

:.RtdOBC咨RfC'CD(AAS),

.-.BO=CC'=2,

:.0C=C'D=-CC=\,

2

.,.CC'=2OC=2x2=4,

在RBoC中，

BC=yjSO2+OC2=√22+l2=√5•

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性

质及勾股定理的运用等知识，解题的关键是辅助线的添加.

5.C

【分析】连接。C,证AACDg∕∖5Co得出①NzMC=NOBC；再证ABEO丝ZiBCO,得出ZBED=ZBCD=3伊，

进而即可逐一判断.

【详解】解：连接。C,

一ABC是等边三角形，

.-.AB=BC=AC,NAC3=60°,

DB=DA,DC=DC,

:.ACD^BCD(SSS),

.∙.ZBCD=ZACD=-ZACB=30°,

2

BE=AB,

..BE=BC,

ZDBE=ZDBCfBD=BD,

.∙.BE哈BCD(SAS),

.∙.ZBED=ZBCD=30。.

由此得出①③正确.

EC//AD,

..ZDAC=ZECAf

ZDBE=ZDBC,ZZMC=/DBC,

・•・设ZECA=ZDBC=ZDBE=x,

BE=BA,

.∙.BE=BC,

・•.ZBCE=ZBEC=60o+x,

在；BCE中三角的和为180。,

・•・2x+2(60o+x)=180o,

.∙.x=15o,

.-.ZCBE=30,这时BE是AC边上的中垂线，即结论②不一定成立，是错误的.

JBE边上的高是1,

∙∙∙5∞c=→2×1=l＞结论④正确•

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,

SSS,全等三角形的对应角相等，对应边相等.

6.C

【分析】①正确.证明Rt∆AGXRt∆ΛGF(4L),得到NG4F=NG43,结合Nβ4K=ZMF可得结果.

②错误.可以证明，GFC不是等边三角形，可得结论.

③正确.证明CFΛDF,AGJ∙OF即可.

④错误.证明FG:EG=3:5,求出ECG的面积即可.

【详解】解：如图，连接。尸，

力--------------/1

四边形ABa)是正方形，

：.AB=AD=BC^CD=BE+EC=6,ZABE=ABAD=ZADG=ZECG=90°,

由翻折可知：AB=AF,ZABE=ΛAFE=ZAFG=9Go,BE=EF=2,ZBAE=ZEAF，

ZAFG=ZADG=9Qo,AG=AG,AD=AF,

：.RtAAGXRtzMGF(HL),

.∙.DG=FG,ZGAF=ZGAD,

:.ZEAG=ZEAF+ZGAF=∣(ZBAF+NZMF)=45°,故①正确，

设Gr)=GF=X,

在RfECG中，

EG2=EC2+CG1,

(2+Λ)2=42+(6-Λ)2,

.*.x~3,

/.DG=FG=39

.∙.CG=CD-DG=3=GF,

∙∙∙GFC是等腰三角形，

易知GFC不是等边三角形，显然尸GWR7,故②错误，

GF=GD=GC9

.∙.NOFC=90。，

.∙.CFYDFf

AD=AFfGD=GF,

:.AG±DFf

.∖CF//AG9故③正确，

S∞7=gx3x4=6,FG：FE=3：2,

:∙FG:EG=3:5f

3

."-Sgfc=-×6=3.6,故④正确，

故选：C.

【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找

全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

7.C

【分析】延长BE交CO延长线于P,可证aAEB丝ACEP,求出QP,根据勾股定理求出BP的长，从而求出的

长.

【详解】解：延长BE交CO延长线于P,

,JAB∕∕CD,

：.NEAB=NECP'

在AAEB和ACEP中，

ZEAB=NECP

■AE=CE

ZAEB=ZCEP

；.AAEBZACEP(ASA)

LBE=PE,CP=AB=5

又∙.∙CO=3,

：.PD=2,

'：BD=Ar

；•BP=√DP2+BDr=2√5

：.BE=；BP=亚.

【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出

BP.

8.A

【分析】取CG的中点，，连接EH,根据三角形的中位线定理可得再根据两直线平行，内错角相等可得

ZGDF=ZHEF,然后利用“角边角''证明AOFG和AEFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=FH,全等三角

形的面积相等可得SEFH=SZOGF,再求出FC=3"/,再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的

面积的比，从而得解.

【详解】解：如图，取CG的中点H,连接EH,

二E”是"CG的中位线,

J.EH//AD,

：.ZGDF=ZHEF,

：产是OE的中点，

：.DF=EF,

在△£)FG和AEFH中，

NGDF=ZHEF

<DF=EF,

NDFG=ZEFH

：・ADFGQAEFH(ASA),

FG=FH

Λ9SΔEFH=SΔDGF9

又VFC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH,

.∖SΔCEF=3SΔEFH9

/.SΔCEF=3SΔDGF,

2

ΛS4DGF=∣×12=4(cm).

故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行线性质.利用倍长类中线构造全等三

角形转换面积和线段关系是解题关键.

9.A

【分析】①应明确边长为4的边是直角边还是斜边；②隐含条件“≥0,根据二次根式的定义解答；③根据每个象限

内点的符号特点判断出〃、〃的符号，再判断出-人功的符号即可；④用“倍长中线法”可证明两个三角形全等.

【详解】解：①错误，应强调为直角三角形的两条直角边长为3与4,则第三边的长是5；

②正确，隐含条件α≥0,根据二次根式的意义，等式成立；

③正确，若点尸(a,b)在第三象限，则a<0,fe<0；则-。>0,»>0,点Q(-a,-⅛)在第一象限；

④正确，已知：如图，AB=A'B,,AC=A'C,AD=A'D',BD=CD,B'D'=CD',

求证：AABC也Z∖A'B'C';

证明：过点C作CE〃AB交AZ)的延长线于E,

VZBAD=ZE,ZABD=ZECD,

"：BD=CD,

：.AABD且AECDCAAS),

：.AB=CE,AD=DE,

过点C作CE〃AB'交ATJ的延长线于E,

同理：A,B'=CEl,A'D'^D'El,

∖'AD=A'D',AB=A'B',

：.AE=A'E',CE=CE,

∖'AC^A'C,

：.ΔACE^∆A'CF(SSS),

ZCAE=ZCA'E,NE=NE=NBAD=NBAD',

：./BAC=NBAC,

.'.∆ABC^∆A'B'C(SAS),

即：两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确，

故选：A.

【点睛】本题考查了对勾股定理的理解，二次根式的化简，点的对称性质，全等三角形的判定方法.

10.D

【分析】证明OBOAg8OC,得VOB。，是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得aAOO是直角三角形，进而可

判断.

【详解】解：如图1，连接。0、

由题意可知，Zl+Z2=Z3+Z2=60o,

.∙.∕I=∕3,

又YOB=O1B,AB=BC,

：.BOC(SAS),

又YNOBO'=60°,

...△08。，是等边三角形，

.∙.OO'=O8=4.

故A正确；

:.04=5.

在AAOCT中，三边长为3,4,5,这是一组勾股数，

...△A00,是直角三角形，ZAOO,=90o,

/AOB=ΛAOO'+ABOO'=90o+60o=150°,

故B正确；

2

Ss⅛^AOBO=S2jAOO+SzOβO=→3×4+^×4=6+4√3.

24

故C正确；

如图2

将.AOC绕A点顺时针旋转60。到ABO,位置,

同理可得SΔAOC+SΛAOB=6+，

故D错误；

故选D.

【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键.

11.C

【分析】将ΔAT>F绕点A顺时针旋转90。得到ΔABΛ∕,此时AB与AD重合，由旋转的性质得到AB=Ar>,BM=DF,

Z1=Z2,ZABM=ZD=9()°,AM=AF,推出NM4E=NE4E∙根据全等三角形的性质得到ME=9',于是得

到所=BE+OF,故A正确；将AA”绕点A顺时针旋转90。得到一ABN,连接GN,通过旋转的性质得出条件证

明出一AGN空AGH(S4S)利用其性质，在到正方形ABC。中去研究；由A中推导过程可得出研//BD,不能推导出

E,尸分别为边BC,8的中点，推出ΔAE3是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到NAHE=90。，

AE=42AH,求得目7_L47;故。正确；.

【详解】解：A、将ΔAOK绕点A顺时针旋转90。得到ΔASW,此时A8与AD重合，

由旋转可得AB=AT>,BM=DF,

N1=N2,ZASM=ND=90°,AMAF，

:.ZABM+ZABE=90o+90o=180o,

因此，点M,B,E在同一条直线上.

,NEAF=45。，

ΛZ2+Z3=Z2W)-ZE4E=90O-45O=45O.

N1=N2,.∙.Z1+Z3=45o.

即NM4£=NE4£.

AM=AF

在ΔAME■与ΔAFE中，NMAE=NFAE,

AE=AE

HME三MFE.

ME=EF,

故EF=BE+DF,故A正确，

B、将AD〃绕点A顺时针旋转90。得到,ABN,连接GN,

BN=DH,AN=AH,

ZBAN=ZDAH,ZABN=ZADH,

.ZfiAF=45°,

/.ZNAE=ZBAN÷/BAE

=ZDAH+/BAE

=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°,

ZNAE=ZEAF9

在；AGN和AG”中，

AN=AH

<ZΛMG=NEAF

AG=AG

AGN^AGH(SAS),

.∙.GH=GN,

在正方形43CD中，

o

ZABE=ZADH=45f

ZNBG=AABN÷ZABG=450+45°=90°,

・•.BG2+BN2=NG2,

即5G2+"D2=G"2,故B正确，

BEc

C、由A中可知只能推出EF∕∕BD,不能说明E,F分别为边BC,O的中点，选项错误;

D、ZAEH=ZEAH=45°,

.∙.ΔAE"是等腰直角三角形，

.∙.ZAHE=90o,AE=-JlAH,

.-.EHVAHx故D正确；

故选：C

【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是通过旋转作图来解答.

12.A

【分析】将AAO/绕点4顺时针旋转90。得到.ABG,可得.ABG空AD尸，可判断①；由工ABG组AD尸可得AG=AF,

ZBAG=ZDAF,可证AAGEgZkAFE(ASA),可判断②；由NBAE+NOAF=45°,^.ZGAE=ZGAB+ZBAE=ZDAF+

ZBAE=450,可判断③；设BE=x,由正方形ABc。的边长为6,与。尸=3,可求CF=3,用X表示EC=6-x,由AAGE

会”FE(ASA),可知GE=EF,由-ABG组AOF,可得BG=QF=3,GE=3+x,由勾股定理可得方程(x+3)?=(6—,

解之可判断④.

【详解】解：:将AADF绕点A顺时针旋转90。得到.ABG,

.,._ABG^_ADF,

故①正确；

ΛAG=AF,NBAG=NDAF,

∙/ZEAF=45°,

oo

ZBAE+ZDAF=90-ZEAF=45f

o

：.ZGAE=ZGAB+ZBAE=ZDAF+ZBAE=45=ZFAEf故③正确;

⅛∆AGE^Π∆AFEψ,

AG=AF

<ZGAE=ZFAEF

AE=AE

：.∆AGE^∆AFE(ASA)9

故②正确；

设BE=x,

Y正方形ABCD的边长为6,

ΛBC=CD=5,

VDF=3,

：・CF=CD-DF=6-3=3,

*：EC=BC-BE=6-χf

V∆AGE^∆ΛFE(ASA),

：.GE=EF,

•：_ABGEADF,

：.BG=DF=3,

•；GE=BG+BE=3+x,

在RtAEFC中，Ne=90。，

/.EF2=EC2+FC∖即(x+3)2=(6-x)2+32,

整理得18X=36,

解得x=2,

・・・④8E=2正确；

故正确的结论为①②③④.

故选择A.

【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握正方形性质，图形旋转，三角

形全等判定与性质，勾股定理，利用勾股定理构建方程是解题关键.

13.B

【分析】过点8作BZMy轴于点。，过点A作AErr轴点E,08与E4的延长线交于点凡通过证明ZkBfiA丝AAEO

可得AF=OE,BF=AE;利用8(1,4),可得BO=1,EF=4；通过说明四边形OCFE为矩形，可得。F=OE.计

算出线段0E,AE的长即可求得结论.

【详解】解：过点B作Bey轴于点£),过点A作AELX轴点E,QB与EA的延长线交于点F,如图，

二四边形OCFE为矩形，

：.EF=OD,DF=OE,

：点B(1,4),

.∖OD=4,BD=I,

：四边形OABC为正方形,

：.OA=AB,ZBAO=90°,

ΛZ0AE+ZfiAF=90°,

LX轴，

N0AE+NAOE=90°,

.∖ZBAF=ZA0E,

在ABA尸和AAOE中,

ZF=ZAEO=90'

<ZBAF=ZAOE,

BA=AO

(AAS),

：.BF=AE,AF=OE9

：.DF=AF=OE,

：.OE+AE=EF=4,OE-AE=BD=1,

53

.∖OE=—,AE=—,

22

53、

∙*∙A(—，一).

22

故选:B.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质以及坐标与图形，能利用“一

线三垂直''构造三角形全等是解题的关键.

14.C

【分析】分点P在AB的上方和点尸在A8的下方，根据全等三角形的判定与性质进行讨论求解即可.

【详解】解：当点P在AB的上方时，过?作X轴的平行线交y轴于E,交CB延长线于F,如图1,

贝IJNAEP=NPFB=NAPB=90。,£(0,2a-5),F(6,2a-5),

ΛPE=a,PF=6-a,AE=2a-9,

VZEAP+ZE∕¾=90o,NE*NBPF=90。,

：.NEAP=NBPF,又NAEP=/PFB,PA=PB,

：.LAEP咨APFB(AAS),

：.AE=PFf

Λ6-a=2a-9,解得：α=5,

・"(5,5)；

当点尸在AB的下方时，同样过户作R轴的平行线交y轴于E,交CB于∙F,如图2,

则N4EP=NPF5=NAP8=900,E(0,2。-5),F(6,2。-5),

；・PE=a,PF=6-α,AE=9-2a,

oo

VZEAP+ZEPA=90fZEPA+ZBPF=9Q,

ΛZEAP=ZBPF9又NAEP=/PFB,PA=PBf

：.∆AEP^∆PFB(AA5r),

：.AE=PF,

∙,.9-2α=6-a,解得：a-3,

：.P（3,1）,

综上，点尸的坐标为（3,1）或（5,5）,

故选：C.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、坐标与图形性质、解一元

一次方程等知识，过已知点向坐标