雅安市重点中学2023-2024学年高二年级上册数学期末调研试题含解析

雅安市重点中学2023-2024学年高二上数学期末调研试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知<。且a+6+c=0,则下列不等式恒成立的是

A.a2<b2<c2B.ab2<cb2

C.ac<beD.ab<ac

2.在一ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,若〃sin6+2csinC=asinA,贝的形状为()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不确定

3.已知集合4={尤|—1<X<1},B={x\0<x<2],则AB=

A.{X|-1<X<2}B.{X|0<X<1}

C.{x11<x<2}D.{x|0<x<l}

4.已知圆C:(x—l)2+(y+2『=4,则圆C关于直线/：y=x+l对称的圆的方程为()

A.(x+3)2+(y-2)2=2B.(x+3)2+(y-2)2=4

C.(x+3)2+(y+2)2=4D.(x-2)2+(y+3)2=4

x+y-l>0,

5.设变量》,》满足约束条件x-2y+220,则z=3尤-2y的最小值为()

2x-y-2<0,

A.3B.13

C.2D.-2

6.椭圆尤2+2/=4的焦点坐标为()

A.(V2,0),(-A/2,0)B.(O,0),(0,-3)

7.在空间直角坐标系。-孙z中，已知点M是点N(3,4,5)在坐标平面O町内的射影，则的坐标是()

A.（3,0,5）B.（0,4,5）

C.（3,4,0）D.（0,0,5）

8.已知直线/过点G（l,—3）,H（-2,1）,则直线/的方程为（）

A.4x+y+7=0B.2x-3y-n=0

C.4x+3y+5=0D.4x+3y-13=0

32

9.甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为:、两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩

43

都为优秀的概率为。

10.若「=&+血+5，Q=Ja+2+J++3（«>0）,则P,。的大小关系是

A.P<2B.P=Q

C.P>QD.P,。的大小由。的取值确定

11.离心率为二，长轴长为6的椭圆的标准方程是

222222

AA.——%+—y=1B.土+j或土+J

959559

C--1D.《+匚1或工+工=1

362036202036

2

12.盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若是肉馅包子的概率为彳，不是豆沙馅包子的

7

概率为正，则素馅包子的个数为()

A.lB.2

D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知双曲线三一2r=1(。〉0］〉0)的左焦点为尸，点尸在双曲线右支上，若线段P歹的中点在以原点。为圆心,

ab

I。同为半径的圆上，且直线尸尸的斜率为q,则该双曲线的离心率是

14.已知函数/(力=1—集合A={xeZ[x[〃x)—a]20},若A中有且仅有4个元素，则满足条

件的整数a的个数为

2

15.平面直角坐标系内动点M(尤,V)与定点尸(4,0)的距离和M到定直线/：X=9的距离之比是常数则动点

M的轨迹是___________

7T

16.设函数/(x)=sin(2x—g")

(1)求/(%)的最小正周期和/(%)的最大值；

(2)已知锐角ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,若/(A)=咚，a=4且6+c=5,求ABC的面

积.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=e""‘-Inx(论0).

(1)当机=0时，求曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若函数f(x)的最小值为工-1,求实数机的值.

e

18.(12分)某地区2021年清明节前后3天每天下雨的概率为50%,通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好

有2天下雨的概率.用随机数x(xeN,且0WxW9)表示是否下雨：当xe[0,m](meZ)时表示该地区下雨，

当*€卜〃+1,9]时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下：

332714740945593468491272073445

992772951431169332435027898719

(1)求出机的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；

(2)从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量(单位：mm)如表：(其中降雨量为0表示没有下雨).

201220132014201520162017201820192020

时间

年年年年年年年年年

年份f123456789

降雨量y292826272523242221

经研究表明：从2012年至2021年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与年份f成线性回归，求回归直线方程

y=bt+a，并计算如果该地区2021年(/=10)清明节有降雨的话，降雨量为多少？(精确到0.01)

参考公式：停一…，砧，

97

参考数据:-58,'卜一乂/—y)=—54,60,52

i=li=l

19,（12分）如图，直四棱柱ABC。-A与G。中，底面ABC。是边长为1的正方形，点£在棱5月上.

（1）求证：AQ1DE；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作已知，使得。4,平面E4G，并给出证明.

条件①：E为8用的中点；条件②：3。//平面E4G；条件③：DBJBD-

（3）在（2）的条件下，求平面E41G与平面0AG夹角的余弦值.

20.（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行

人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，其中第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚

款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：

n___n

Ex，»—nxyX（七一矶%一»

参考公式：b=R------丁=旦=——二一，》=亍一阮

之X；-nx灯x,-x）

i=lz=l

月份12345

违章驾驶员人数1201051009580

（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程R=凯+机

（2）预测该路口10月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数

21.（12分）已知数列｛4｝的前“项和S,满足2S〃=3a“—6"（"wN*）

（1）证明：数列也+3｝为等比数列；

（2）若数列｛2｝为等差数列，且a=%，%=%,求数列」一的前九项和T”

出4+J

22

22.（10分）已知椭圆C：—+==1（。〉人〉0）的左右焦点分别为耳，B，点P是椭圆C上位于第二象限的任一

ab

点,直线/是/耳P耳的外角平分线，过左焦点《作/的垂线，垂足为N,延长月N交直线「工于点M,|ON|=2（其

中。为坐标原点），椭圆C的离心率为4

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过右焦点工的直线交椭圆C于A,B两点,点7在线段4B上，且AT=37B，点3关于原点的对称点为R，求

△ART面积的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】丁a+/?+c=0且avZ?vc,

a<O,c>0

:.ac<be

选C

2、C

2

_c

【解析】由正弦定理得出〃+2/=〃2,再由余弦定理得出cosA=」一<0,从而判断A为钝角得出一ABC的形状.

2bc

>2,2_2_2

【详解】因为^+2c2=a2,所以cos4=一。=工<0,所以A>90。，所以ABC的形状为钝角三角形.

2bc2bc

故选：c

3、B

【解析】由交集定义直接求解即可.

【详解】集合A={x[—l<x<l},B={x\G<x<2},则Ac5={x[0<x<l}.

故选B.

【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.

4、B

【解析】求得圆。的圆心关于直线/的对称点，由此求得对称圆的方程.

【详解】设圆C的圆心(1,-2)关于直线I的对称点为(。涉)，

b-24+1

----+1

22

则4-na=—3,Z?=2,

b+2

-1

、〃一1

所以对称圆的方程为(x+3)2+(y—2)2=4.

故选：B

5、D

3z

【解析】转化z=3x-2'为丁=一1—-,贝！Jz最小即直线在》轴上的截距最大，作出不等式组表示的可行域，数形

22

结合即得解

3z

【详解】转化z=3x—2'为丁=—x—-,则z最小即直线在y轴上的截距最大

22

作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,

当直线经过A（O,I）时，在》轴上的截距最大，z最小，

此时z=3xO—2x1=—2,

故选：D

6、A

【解析】由题方程化为椭圆的标准方程求出c,则椭圆的焦点坐标可求

22

【详解】由题得方程可化为，—+^=1

42

所以标=412=2,°2=4—2=2

所以焦点为（±百,0）

故选：A.

7、C

【解析】点在平面。町内的射影是乂,坐标不变，z坐标为o的点.

【详解】点N（3,4,5）在坐标平面。町内的射影为（3,4,0）,故点M的坐标是（3,4,0）

故选：C

8、C

【解析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.

【详解】由直线的两点式方程可得，

直线/的方程为9=±4,即4x+3y+5=0

1+3-2-1

故选：C

9、D

【解析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解.

【详解】甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为二3、一2，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测

43

321

成绩都为优秀的概率为P=-x-=-.

432

故选：D

10、A

2

【解析1,«*P?—Q?=2a+5+2Ja(a+5)-[2a+5+2+2)(a+3)=2(Ja?+5a—1a+5a+6)

且/+5〃<+5〃+6，

・・・尸2<。2,又尸,Q>0,•••尸vQ,故选A.

11、B

2。=6na=3

【解析】试题解析：｛c2c=

e=—=—=c=2

a3

22

当焦点在x轴上：—+^=1

95

22

当焦点在y轴上：—+^=1

59

考点：本题考查椭圆的标准方程

点评：解决本题的关键是焦点位置不同方程不同

12、C

【解析】计算出肉馅包子和豆沙馅包子的个数，即可求得素馅包子的个数.

2

【详解】由题意可知，肉馅包子的个数为10><《=4,

773

从中随机取出1个，不是豆沙馅包子的概率为仿，则该包子是豆沙馅包子的概率为1-记=历，

3

所以，豆沙馅包子的个数为10义伍=3,因此，素馅包子的个数为10-4-3=3.

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3

o„

【解析】如图利用条件可得冏'|=2c,附=半，然后利用双曲线的定义可得c=3a,即求.

【详解】如图设双曲线的右焦点为尸，线段尸尸的中点为M,连接OMMRP产，

则\OM\=c,\PF'\=2c,又直线PF的斜率为咚，

**.在直角三角形FMF'中tanZMFF'=—,cosZMFF'=-,\FF'\^2c,

23

：,\FM\=^,\FP\=^,

：.\FP\-\PFf\=--2c=2a,即c=3〃，

e=—=3.

a

故答案：3.

14、32

【解析】作出/(%)的图像，由％=0时，不等式成立，所以OeA,判断出符合条件的非零整数根只有三个，即等价

于尤>0时，/(x)>a；x<0时，/(%)<«；利用数形结合，进行求解.

【详解】作出/(%)的图像如图所示：

因为x=0时，不等式成立，所以OeA,符合条件的非零整数根只有三个.

由尤20可得：

x>0时，/(x)>a；x<0时，/(x)<a；

所以在y轴左侧，/(光)的图像都在丁=。的下方；在y轴右侧，/(光)的图像都在丁=。的上方；

而/(4)=_3x]6+24=_24,43)=-3x9+18=-9,/(-l)=-(-l)3-3x(-l)2+5=3,

/(-3)=-(-3)3-3x(-3)2+5=5,"T=-(-4)3-3X(^)2+5=21.

平移直线，=。，由图像可知：

当—24<aW—9时，集合A中除了0只含有1,2,3,符合题意，此时整数。可以取：-23,-22,-21……-9.一共15

个；

当。=3时，集合A中除了0含有1,-1,-2,符合题意.

当54a<23时，集合A中除了0只含有-1,-2,-3,符合题意，此时整数a可以取：5,6,7……20—共16个.

所以整数”的值一共有15+1+16=32(个).

故答案为：32

【点睛】分离参数法求零点个数的问题是转化为于(x)=k,分别做出芳=/(%)和%=%的图像，观察交点的个数即为

零点的个数.用数形结合法解决零点问题常有以下几种类型：

⑴零点个数：几个零点；

⑵几个零点的和；

(3)几个零点的积.

【解析】根据直接法，即可求轨迹.

2

【详解】解：动点与定点歹(4,0)的距离和它到定直线/：X=9的距离之比是常数

根据题意得，点M的轨迹就是集合尸={/1牛=刍，

a3

由此得YE包±E=2.将上式两边平方，并化简，得m+片=1

19-x|33620

所以，动点河的轨迹是长轴长、短轴长分别为12、46的椭圆

22

故答案为：在r+工v=1

3620

16、(1)/(乃的最小正周期为"，的最大值为1

⑵9

4

【解析】(1)直接根据的表达式和正弦函数的性质可得到〃x)的最小正周期和最大值；

(2)先根据/(A)=[求得角A的大小为三，然后在中利用余弦定理求得bc=3,最后根据三角形的面积

公式即可

【小问1详解】

71

已知/(x)=sin(2x-y)

则/(X)的最小正周期为：T=*=〃

2

则/'(X)的最大值为：/(X)M=1

【小问2详解】

由f(A)='^可得：2A=2ki、—(左EZ)或2A=2k7i----(kEZ)

Jv23333

IT

又A为锐角，则可得：A=—,

3

222

在ABC中，由余弦定理可得：a=b+c-2bccos^9即/二^十4—3秋

又。=4,b+c=5

解得：be=3

则.ABC的面积为：S-—bcsinA-—x3x^-=^^-

2224

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)y=(e-l)x+l

(2)772=e+1

【解析】(1)求导，利用导函数的几何意义求解切线方程的斜率，进而求出切线方程；(2)对导函数再次求导，判断

其单调性，结合隐零点求出其最小值，列出方程，求出实数，”的值.

【小问1详解】

当m=0时，因为r(x)=e'-g,所以切线的斜率为e—1,

所以切线方程为y-e=(e-l)(x-l),即y=(e-l)x+1.

【小问2详解】

因为广(x)=e'f—▲，令/⑴=e'-'"-

XX

因为t\x)=e'f+±>0,所以《X)=e-"—!在(0,+8)上单调递增,

XX

]—~m]

当实数相>1时，t(一)=e"—m<0ft(m)=1--->0；

mm

]—--m

当实数0<加<1时，t(ni)=1-—<09t(一)=e^-m>Q；

mm

当实数根=1时，t(m)=09

所以总存在一个X。，使得f(Xo)=eS'-工=0,

%0

且当％<九0时，t(x)<0；当x>%o时，t(x)>0,

em

所以/(x)min='"-lnx0=--lnx0=--1,

X。e

令/z(x)=工一Inx,因为〃(x)=--v-—<0,所以/z(x)=L-lnx单调递减，

xxxx

又领e)=‘—1,所以飞=e时，

e

所以e-"'=L，即w=e+l.

e

229179

18、(1)m=49—；(2)y=----1H----；该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm

【解析】(1)利用概率模拟求概率

(2)套用公式求回归直线方程即可.

m+1

【详解】解：(1)由题意可知，——=50%,解得m=4,即0~4表示下雨，5~9表示不下雨,

10

所给的20组数据中714,740,491,272,073,445,435,027,共8组表示3天中恰有两天下雨，

Q2

故所求的概率为0=—;

205

(2)由题中所给的数据可得彳=5，亍=25,

y-y

t-5829--一29

所以6-------------=------,a=y—bt=25—X5=N

2M6030306

i=l

29179

所以回归方程为y=-+7-,

29e1791212c

当/=10时，y=-—xl0+——=——«20.2,

3066

所以该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm

【点睛】求线性回归方程的步骤：①求出工亍；②套公式求出从4；③写出回归方程§=阮+吼④利用回归方程

§=院+》进行预报;

19、(1)证明见解析;

(2)答案见解析；(3)巫.

10

【解析】(1)连结3。，耳。一由直四棱柱的性质及线面垂直的性质可得5月，AC，再由正方形的性质及线面垂直

的判定、性质即可证结论.

(2)选条件①③，设与R=O,连结OE,BD[,由中位线的性质、线面垂直的性质可得。用，OE、

AG1DB,,再由线面垂直的判定证明结论；选条件②③，设4£仆用2=。，连结OE,由线面平行的性质及平

行推论可得。用±OE,由线面垂直的性质有4G，DB,,再由线面垂直的判定证明结论;

(3)构建空间直角坐标系，求平面E4G、平面必G的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求平面E4G与平面

DAG夹角的余弦值•

【小问1详解】

连结3。，BR，由直四棱柱知：34，平面4用。12,又A£u平面451G

所以5用，4£,又4用。1，为正方形，即4。]，与2,又BRcBBi=Bi，

:.AG,平面D[DBB[,又DEu平面DQBB],

：.AGIDE.

【小问2详解】

选条件①③，可使DB11平面E41G•证明如下：

设AGC4A=O,连结OE,BD],又E,。分别是8月，4。的中点，

：.OEHBD..

又DB[±BD],所以DBt±OE.

由（1）知：4。]，平面2。34，DB]u平面DQBBi,则AG，D3I.

又AGCOE=O,即。4,平面E41G.

选条件②③，可使DBl1平面E41G.证明如下:

设AGCBI2=O,连结OE.

因为3。"/平面3G，BD]U平面DQBB],平面c平面用。1=OE，

所以BDJ/OE,又DBJBD],则。与LOE.

由（1）知：AG，平面DlDBBl,DB[u平面DQBBi,则\CX1DB「

又AGcOE=O,即。4,平面E41G.

【小问3详解】

由（2）可知，四边形与为正方形，所以DR=BD=啦.

因为ZM,DC,两两垂直,

如图，以£＞为原点，建立空间直角坐标系。—孙Z,则£＞（0,0,0）,4（1，0，、历），G（0,1,72）,

所以AG=（—1,1,0），%=（1,0,逝）.

由（I）知：平面璃G的一个法向量为。用=（1,1,0）.

ri-\CX=-x+y=0

设平面DAG的法向量为〃={x,y,z},贝小令x=0，则〃=

n-DA1=x+V2z=0

\n-DB^

设平面E&G与平面%G的夹角为0,则COS。=|cos（n,DB）而

2x45lo-

所以平面E41G与平面夹角的余弦值为巫.

10

20、（1）y=—9X+127；

（2）37

【解析】（1）将题干数据代入公式求出力与进而求出回归直线方程；（2）再第一问的基础上代入求出结果.

【小问1详解】

-1+2+3+4+5°-120+105+100+95+80…

=100,则

X；-xx-y)

=-9,务=亍—》l=100+9x3=127，所以回归直线方程

y=-9x+127;

【小问2详解】

令％=10得：§=—90+127=37,故该路口10月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为37.

21、（1）证明见解析

4n+4

【解析】（D由S〃与%的关系，利用等比数列的定义证明即可;

（2）由（1）求出勿，再利用裂项相消法求解即可

【小问1详解】

当几=1时，2〃i=3〃[-6,

「.％=6

2Sn=3an-6n（rieN*）,

二当〃》2时，2S“_i=3a-6（72-1）,

2%=3%-3%-6,

，4+3=3（%+3）,

数列｛4+3｝是以q+3=9为首项、以3为公比的等比数列

【小问2详解】

由（1）得，4+3=9X3"T=