浙江省苍南县2022年中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

23

1.关于％的分式方程一+^=0解为x=4,则常数。的值为（）

xx-a

A.a=1B.a=2C.a=4D.a=10

2.如图，在△ABC中，AC=BC,NACB=90。，点D在BC上，BD=3,DC=L点P是AB上的动点，则PC+PD的

最小值为（）

X2+-3

3.分式一1।%—的值为0,则x的取值为（）

rr1

A.x=-3B.x=3C.x=-3或x=lD.x=3或x=-l

4.函数y=ar+8与的图象在同一坐标系内的大致位置是（）

5.如图，共有12个大不相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分.现从

其余的小正方形中任取一个涂上阴影，则能构成这个正方体的表面展开图的概率是（）

6.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史.桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用

水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m,河面宽AB为24m,则桥高CD为（）

8.如图，△ABC中，AB=4,BC=6,NB=60。，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A，B，C，，再将△绕点

A，逆时针旋转一定角度后，点B，恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）

9.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,/ACB的角平分线分别交AB,BD于M,N两点.若AM

=2,则线段ON的长为（）

B事

,22

10.如图，直线m〃n,直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则/a的余角等于（）

A.19°B.38°C.42°D.52°

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在ciABCD中，AC与BD交于点M,点F在AD上，AF=6cm,BF=12cm.ZFBM=ZCBM,点E是

BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB

向点B运动.点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动.当点P运动秒时，以点P、Q、E、F为顶点

的四边形是平行四边形.

12.已知扇形的弧长为2二，圆心角为60。，则它的半径为

13.如图，Z1,/2是四边形ABC0的两个外角，且/1+/2=210。，则/A+N0=度.

14.如图，已知△45C和AAOE均为等边三角形，点04c的中点，点。在A射线8。上，连接OE,EC,若43=4,

则OE的最小值为.

15.矩形ABCD中，AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBEs^DBC,若△APD是

等腰三角形，则PE的长为数.

16.因式分解：a3-a-.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4这四个数

字中任取3个数，组成无重复数字的三位数.

（1）请画出树状图并写出所有可能得到的三位数；

（2）甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜.你认为这个游戏公平吗？

试说明理由.

k

18.（8分）如图，直线y=x+4与双曲线y=—（女工0）相交于A（-1,。）、s两点.

x

（1）4=，点B坐标为.

（2）在X轴上找一点P,在y轴上找一点。，使BP+PQ+QA的值最小，求出点P、。两点坐标

19.（8分）如图，某游乐园有一个滑梯高度AB,高度AC为3米，倾斜角度为58。.为了改善滑梯AB的安全性能,

把倾斜角由58。减至30°,调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：淅58。=0.85,

cos58°=0.53，tan58°=1.60）

20.（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象与一次函数y=kx—k的图象的交点坐标为A（m,

2）.

（1）求m的值和一次函数的解析式；

（2）设一次函数y=kx-k的图象与y轴交于点B,求^AOB的面积；

（3）直接写出使函数y=kx-k的值大于函数y=x的值的自变量x的取值范围.

21.（8分）已知关于x的一元二次方程X2-（m+3）x+m+2=l.

（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根的平方等于4,求m的值.

22.（10分）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB,已知观测点C到旗杆的距离CE=8jJm,测得旗杆的

顶部A的仰角NECA=30。，旗杆底部B的俯角NECB=45。，求旗杆AB的高.

23.（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线二=±匚：-二+2与二轴交于点A,顶点为点B,点C与点A关于抛物

线的对称轴对称.

-5-3-2-1012345X

-1■

（1）求直线BC的解析式;

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为1.将抛物线在点A,D之间的部分（包含点A,D）记为图象G,若图象

G向下平移二（二＞。）个单位后与直线BC只有一个公共点，求二的取值范围.

24.如图，AO是等腰△A5C底边5c上的高，点。是AC中点，延长OO到E,使AE〃5C,连接AE.求证：四边

形AOCE是矩形；①若A8=17,8c=16,则四边形AOCE的面积=.

②若48=10,则5C=时，四边形AOCE是正方形.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a的值即可.

【详解】

23

解：把x=4代入方程一+——=0,得

xx-a

解得a=I.

经检验，a=l是原方程的解

故选D.

点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为2.

2、B

【解析】

试题解析：过点C作COLA5于。，延长CO到。，OC'=OC,连接£＞。，交A3于P,连接CP.

此时DP+CP=Z)尸+尸。=0。的值最小.VZ)C=1,BC=4,：.BD=3,连接3。，由对称性可知/05E=/C5E=41。,

AZCBC'=90°,J.BC'LBC,NBCC，=/BCC=41°,：.BC=BC'=4,根据勾股定理可得

DC7BC，BD2=j32+42=1.故选B.

3、A

【解析】

分式的值为2的条件是：(2)分子等于2；(2)分母不为2.两个条件需同时具备，缺一不可.据此可以解答本题.

【详解】

原式的值为2,

整+2,x—3=0

力凶-IwO

二(x-2)(x+3)=2,即x=2或x=-3；

又,.」xl-2#2,即x#2.

；.x=-3.

故选：A.

【点睛】

此题考查的是对分式的值为2的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为2这个条件.

4、B

【解析】

根据a、b的符号进行判断，两函数图象能共存于同一坐标系的即为正确答案.

【详解】

分四种情况:

①当a>0,b>0时,y=ax+b的图象经过第一、二、三象限,y=bx+a的图象经过第一、二、三象限,无选项符合;

②当a>0,b<0时,y=ax+b的图象经过第一、三、四象限;y=bx+a的图象经过第一、二、四象限,B选项符合;

③当a<0,b>0时,y=ax+b的图象经过第一、二、四象限;y=bx+a的图象经过第一、三、四象限,B选项符合;

④当a<0,bVO时,y=ax+b的图象经过第二、三、四象限;y=bx+a的图象经过第二、三、四象限,无选项符合.

故选B.

【点睛】

此题考查一次函数的图象，关键是根据一次函数y=kx+b的图象有四种情况：

①当k>0,b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；

②当k>0,b<0,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；

③当kVO,b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；

④当k<0,b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限.

5、D

【解析】

由正方体表面展开图的形状可知，此正方体还缺一个上盖，故应在图中四块相连的空白正方形中选一块，再根据概率

公式解答即可.

【详解】

因为共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，所以剩下7

个小正方形.

在其余的7个小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的小正方形有4个，因此先从其余的小

4

正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是7.

故选D.

【点睛】

本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，掌握概率公式是本题的关键.

6、C

【解析】

连结OA,如图所示：

VCD1AB,

1

:.AD=BD=—•AB=12m.

2

在RtAOAD中，OA=13,OD=J132—122=5,

所以CD=OC+OD=13+5=18m.

故选c.

7、B

【解析】

要使木条a与8平行，那么/1=/2,从而可求出木条a至少旋转的度数.

【详解】

解：•••要使木条a与）平行，

.•.Z1=Z2,

二当N］需变为50°,

，木条a至少旋转：70。-50。=20".

故选B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内

角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.

8、B

【解析】

试题分析：：NB=60。，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到再将△A，B，C，绕点A，逆时针旋转一定角度

后，点B"恰好与点C重合，

；./ABC=60。，AB=A,B,=A,C=4,

..△ABC是等边三角形，

..B'C=4,ZB'A'C=60°,

，BB，=6-4=2,

.•.平移的距离和旋转角的度数分别为：2,60。

故选B.

考点：1、平移的性质；2、旋转的性质；3、等边三角形的判定

9、C

【解析】

作MHJ_AC于H,如图，根据正方形的性质得/MAH=45。，则△AMH为等腰直角三角形，所以

AH=MH=^AM=./2,再根据角平分线性质得BM=MH=",则AB=2+JI,于是利用正方形的性质得到

AC=JlAB=2jI+2,OC=^AC=72+1,所以CH=AC-AH=2+隹，然后证明△CONs^CHM,再利用相似比可

计算出ON的长.

【详解】

试题分析：作MH_LAC于H,如图,

•.•四边形ABCD为正方形，

ZMAH=45°,

.,.△AMH为等腰直角三角形，

Z.AH=MH=#AM=孚x2=媳，

：CM平分/ACB,

；.BM=MH=#,

，AB=2+",

/.AC=72AB=>/2(2+72)=272+2,

，OC=；AC=yf2+1,CH=AC-AH=2Q+2-0=2+艰，

VBD1AC,

；.ON〃MH,

.,•△CON^ACHM,

ON_OCON_V2+1

••-------,-=7=----f

MHCH722+&

.,.ON=1.

故选C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条

件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.也考查了角平分线的

性质和正方形的性质.

10、D

【解析】

试题分析:过C作CD〃直线m,：m〃n,.,.CD〃m〃n,，ZDCA=ZFAC=52°,Za=ZDCB,VZACB=90°,AZa=90°

-52°=38°,则Na的余角是52。.故选D.

考点：平行线的性质；余角和补角.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、3或1

【解析】

由四边形ABCD是平行四边形得出：AD〃BC,AD=BC,ZADB=ZCBD,又由/FBM=/CBM,即可证得FB=FD,

求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出

方程并解方程即可得出结果.

【详解】

解：•••四边形ABCD是平行四边形，

..AD〃BC,AD=BC,

/.ZADB=ZCBD,

VZFBM=ZCBM,

/.ZFBD=ZFDB,

；.FB=FD=12cm,

VAF=6cm,

.*.AD=18cm,

•.•点E是BC的中点，

11

..CE=-BC=-AD=9cm,

要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ即可，

设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

根据题意得：6-t=9-2t或6-t=2t-9,

解得：t=3或t=l.

故答案为3或1.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识.注意掌握分类讨论

思想的应用是解此题的关键.

12、6.

【解析】

分析：设扇形的半径为r,根据扇形的面积公式及扇形的面积列出方程，求解即可.

详解：设扇形的半径为r,

根据题意得：,

"一I"r一

解得:r=6

故答案为6.

点睛：此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式解答.

13、210.

【解析】

利用邻补角的定义求出/48C+N5C。，再利用四边形内角和定理求得NA+/D

【详解】

VZ1+Z2=21O°,

ZABC+ZBCD=\8O°x2-210°=150°,

/.ZA+ZZ)=360o-150°=210°.

故答案为:210.

【点睛】

本题考查了四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用邻补角的定义求出/A5C+N5C。是关键.

14、1

【解析】

1

根据等边三角形的性质可得OC=EAC,Z4BD=30°,根据“SAS”可证△45。丝zMCE,可得NACE=3(T=NABO,

当OE_LEC时，。£的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE的最小值.

【详解】

解：•.•△A3C的等边三角形，点。是AC的中点，

1

：.OC=-AC,ZABD=30°

2

：/\ABC和^ADE均为等边三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

.".ZBAD^ZCAE,S.AB=AC,AD=AE,

：./\ABD^/\ACE(SAS)

：.ZACE=30°=ZABD

当OE_LEC时，OE的长度最小，

,：ZOEC=90°,ZACE=30°

11

，OE最小值=-OC=-AB=1,

24

故答案为1

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.

15、3或1.2

【解析】

【分析】由△PBESADBC,可得/PBE=/DBC,继而可确定点P在BD上，然后再根据△APD是等腰三角形，分

DP=DA、AP=DP两种情况进行讨论即可得.

【详解】；四边形ABCD是矩形，ZBAD=ZC=90°,CD=AB=6,，BD=10,

VAPBE^ADBC,

.,.ZPBE=ZDBC,..点P在BD上，

如图1,当DP=DA=8时，BP=2,

VAPBE^ADBC,

APE：CD=PB：DB=2：10,

..PE：6=2：10,

/.PE=1.2；

如图2,当AP=DP时，此时P为BD中点,

VAPBE^ADBC,

APE：CD=PB：DB=1：2,

APE：6=1：2,

..PE=3；

综上，PE的长为1.2或3,

故答案为：1.2或3.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P在线段BD上是解

题的关键.

16、a(a-1)(a+1)

【解析】

分析：先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

解答：解：a3-a,

=a(a2-l),

=a(a+1)(a-1).

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)见解析(2)不公平。理由见解析

【解析】

解：(1)画树状图得：

所有得到的三位数有24个，分别为：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,

321,324,341,342,412,,413,421,423,431,432。

(2)这个游戏不公平。理由如下：

；组成的三位数中是“伞数”的有：132,142,143,231,241,243,341,342,共有8个,

.•.甲胜的概率为三=；,乙胜的概率戒=3。

•.•甲胜的概率,乙胜的概率，，这个游戏不公平。

(1)首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有可能得到的三位数。

(2)由(1),可求得甲胜和乙胜的概率，比较是否相等即可得到答案。

18、（1）4=3,8（-3,1）；⑴P（—2,0）,Q（0,2）.

【解析】

(1)由点A在一次函数图象上，将A(-1,a)代入y=x+4,求出a的值，得到点A的坐标，再由点A的坐标利用待

定系数法求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标；

(1)作点A关于y轴的对称点A，，作点B作关于x轴的对称点B，，连接A，B,交x轴于点P,交y轴于点Q,连接

PB、QA.利用待定系数法求出直线A，B，的解析式，进而求出P、Q两点坐标.

【详解】

解：(1)把点A(-1,a)代入一次函数y=x+4,

得：a=-l+4,解得：a=3,

.•.点A的坐标为(-1,3).

k

把点A(-1,3)代入反比例函数丫=—,

x

得：k=-3>

3

反比例函数的表达式y=--.

x

y=x+4

联立两个函数关系式成方程组得：_3

y--

IX

x=-l[x=-3

解得：，。或<।

(y=3[y=l

二点B的坐标为(-3,1).

故答案为3,(-3,1)；

(1)作点A关于y轴的对称点AJ作点B作关于x轴的对称点B，，连接A，B，，交x轴于点P,交y轴于点Q,连接

PB、QA,如图所示.

•.•点B、B，关于x轴对称，点B的坐标为(-3,1),

.•.点B，的坐标为(-3,-1),PB=PBS

•.•点A、A，关于y轴对称，点A的坐标为(-1,3),

.•.点A，的坐标为(1,3),QA=QA',

BP+PQ+QA=B，P+PQ+QA，=A'B',值最小.

设直线A，B，的解析式为y=mx+n,

m+n=3

把A，，B，两点代入得：1

—3m+n=-1

m=\

解得：1

n=2

直线AR的解析式为y=x+l.

令y=0,则x+l=O,解得：x=-l,点P的坐标为(-1,0),

令x=0,则y=l,点Q的坐标为(0,1).

【点睛】

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、轴对称中的最短线路问题，解题的关键是：

(1)联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点坐标；(1)根据轴对称的性质找出点P、Q的位置.本题属于基

础题，难度适中，解决该题型题目时，联立解析式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键.

19、调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加2.5米

【解析】

试题分析：RtAABD中，根据30。的角所对的直角边是斜边的一半得到AO的长，然后在RSA5C中，求得A5的长后

用即可求得增加的长度.

试题解析：RSABD中，

,/NADB=30,AC=3米，

/.AD=2AC=6(m)

;在RtAABC中，AB=AC+s山58«3.53m,

/.AD-AB=6-3.53^2.5(//i).

•••调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加2.5米.

20、(1)y=lx-1(1)1(3)x>l

【解析】

试题分析：(1)先把A(m,1)代入正比例函数解析式可计算出m=L然后把A(1,1)代入y=kx-k计算出k的

值，从而得到一次函数解析式为y=lx1；

(1)先确定B点坐标，然后根据三角形面积公式计算；

(3)观察函数图象得到当x>l时，直线y=kx-k都在y=x的上方，即函数y=kx-k的值大于函数y=x的值.

试题解析：(1)把A(m,1)代入y=x得m=l,则点A的坐标为(1,1),

把A(1,1)代入y=kx-k得lk-k=L解得k=L

所以一次函数解析式为y=lx-1：

(1)把x=0代入y=lx-1得y=-1,则B点坐标为(0,-1),

所以S“OB="xbd=l;

(3)自变量x的取值范围是x>L

考点：两条直线相交或平行问题

21、(1)证明见解析；(2)m的值为1或-2.

【解析】

(1)计算根的判别式的值可得(m+1)2>1,由此即可证得结论；(2)根据题意得到x=±2是原方程的根，将其代入

列出关于m新方程，通过解新方程求得m的值即可.

【详解】

(1)证明：V△=[-(m+3)]2-2(m+2)=(m+1)2>1,

,无论实数m取何值，方程总有两个实数根；

(2)解：•.•方程有一个根的平方等于2,

.-.x=±2是原方程的根，

当x=2时，2-2(m+3)+m+2=l.

解得m=l；

当x=-2时，2+2(m+3)+m+2=l,

解得m=-2.

综上所述，m的值为1或-2.

【点睛】

本题考查了根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答(2)时要分类讨论，这是此题的易错点.

22、(873+8)m.

【解析】

利用ZECA的正切值可求得AE；利用ZECB的正切值可求得BE,由AB=AE+BE可得答案.

【详解】

在RtAEBC中，有BE=ECxtan45°=8JIm,

在RtAAEC中，有AE=ECxtan300=8m,

；.AB=8召+8(m).

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角问题，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形.

23、（1）U=^~+l（2）1<酒.

【解析】

试题分析：（1）首先根据抛物线二=3二：-二+2求出与二轴交于点A,顶点为点B的坐标，然后求出点A关于抛物线

的对称轴对称点C的坐标，设设直线BC的解析式为二=二二+二.代入点B,点C的坐标，然后解方程组即可；（2）

求出点D、E、F的坐标，设点A平移后的对应点为点二,，点D平移后的对应点为点二当图象G向下平移至点二'与

点E重合时，点二'在直线BC上方，此时t=l；当图象G向下平移至点二'与点F重合时，点二'在直线BC下方，此时

t=2.从而得出」<二

试题解析：解：（1）；抛物线二=+二：一二