河北省衡水中学2023届高三年级下学期高考信息卷五数学试题

河北省衡水中学2023届高三下学期高考信息卷（5）数学（理）试题

一、选择题

ɔ•

1.复数Z=为虚数单位)，那么复数Z的共血复数为()

-I-Z

A.1+zB.—1÷zC.1—iD.-1—i

2.设U=R,A={x∣x>0},8={x∣χ2>ι},那么AC(CUB)=()

A.{%IO≤%<1}B.{xIO<ɪ≤1}C.{x∣x<θ}D.{x∣x>l}

3.2023年全国有24个省份提高了最低工资标准,为了了解城市居民的消费水平,某社会研

究所对全国十大城市进行职工工资水平X（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调

查，y与X具有相关关系，回归方程J=0.66%+1.562.某城市居民人均消费水平为

7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（

A.83%B.72%C.67%D.66%

2Q（°<<一）6

.数列满足∣,假设那么《）

4{4}α,,+=l""2q=9,8=（

24,,TJ一.，、7

5.命题P：函数f（x）=2ax1-x-1（«≠O）Æ（0,1）内恰有一个零点;命题q:函数y=/-。

在（0,+8）上是减函数,假设〃且r为真命题,那么实数”的取值范围是（）

A.a>1B.a≤2C.∖<a≤2D.a≤l或α>2

.钝角。的终边过点（Sin2asin49）,且COSe=L,那么tana的值为（）

6

2

ICI

A.—1IB.----C∙—D.I

22

Sin（X-马

7.函数/（x）=20∣sinx∙cosx∣∙^------------是（）

sinx-cosx

IT

A.周期为一的偶函数B.周期为万的非奇非偶函数

2

π

C.周期为乃的偶函数D.周期为一的非奇非偶函数

2

2

8.假设二项式（3/一―尸）"（〃wN*）展开式中含有常数项，那么〃的最小取值是（）

VX

A.5B.6C.7D.8

9.假设直线/被圆Y+丁=4所截得的弦长为2百，/与曲线二+:/=1的公共点个数为

3'

()

A.1个B.2个C.1个或2个D.1个或O个

10.函数/(x)的图象在定义域R上连续，假设4'(x)<O,那么以下表达式正确的为

()

A./(-1)+/(1)=0B./(-l)+∕(l)<∕(0)

C./(-l)-∕(l)<∕(O)D./(-1)+/(1)<2/(0)

[2'v-l(x≤0)

11.函数/(x)=4:二，把方程/(x)=X的根据按从小到大的顺序排列成一

[/(x-l)+l(x>0)

个数列,那么该数列的通项公式为()

π(n-l),«、,C

A.an=——-——B.an~n(n-1)C.an=n-∖D.all=2-2

12.平面向量的集合A到A的映射/由/(x)=x-2(x∙α)α确定,其中。为常向量.假设映

射/满足f(x)∙∕(y)=x∙y对x,y∈A恒成立,那么α的坐标不可能是()

A.(0,0)B.净净C.苧争D.(-ɪ■

二、填空题

13.某学校组织乒乓球比赛，甲班有5名男同学,3名女同学报名；乙班有6名男同学,2名女

同学报名.假设从甲、乙两班中各选出2名同学,那么选出的4人中恰有1名女同学的不

同选法共有种.

2

14.抛物线y=4rpx{p>0),弦AB过焦点/，设IABl=〃?，三角形AQB的面积为S,那

公号=(用含有m,p的式子表示).

15.点M(—3,0),N(3,O),圆C:(九一1)2+日一。)2=。2(。>()),过^^与圆。相切的两

直线相交于点P,那么点P的轨迹方程为.

16.空间一条直线∕∣与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α,那么另一条直线右与这个正

四棱柱的各条棱所成的角都为夕，那么以下说法正确的选项是.

①此四棱柱必为正方体;②4与四棱柱的各边所成的角也相等;③假设四棱标语为正四

棱柱，I1与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为?，那么Sin2。+si1√/=L

三、解答题

17.在AABC中，角A,8,C所对的边分别为4,",c.sinA+sinC=PSin3(PeR),且

ac=-b1.

4

(1)当p=*,A=l时,求α,c的值；

4

(2)假设角B为锐角，求P的取值范围.

18.设数列｛4｝的前〃项和为Sn,且S“=(X+1)-¼(Λ≠0,-1).

(1)求｛%｝的通项公式:(2)假设Iim5”的值存在,求4的取值范围.

19.某地工商局对本地流通的某品牌牛奶进行质量监督抽查,结果显示,刚刚销售的一批牛奶

合格率为80%.

(1)假设甲从超市购得2瓶,恰都为合格品的概率；

(2)假设甲每天喝2瓶牛奶,求三天中喝到不合格牛奶的天数的期望.

20.如图，在直四棱柱ABCD-AfBlCiDi中，底面ABCD为等腰梯形，

AB//CD,AB=4,BC=CD=2,AA,=2,瓦片,尸分别为棱AD,A4∣,AB的中点。

⑴证明:直线EEJ/平面/CG;

(2)求二面角B-EQ-C■的余弦值。

21.圆C的圆心为C(W,0)0”<3),半径为石，圆C与椭圆E:=+与=l(α>b>0)

a~b~

有一个公共点A(3』)，"、B分别是椭圆的左、右焦点.

(I)求圆C的标准方程；

(II)假设点P的坐标为(4,4),试探究斜率为左的直线PG与圆C能否相切,假设能,求

出椭圆E和直线尸居的方程,假设不能,请说明理由.

1771*

22.函数=(九/CR)在X=I处取得极值2。

(I)求/(x)的解析式;

(II)设A是曲线y=∕(x)上除原点。外的任意一点，过Q4的中点且垂直于X轴的

直线交曲线于点8,试问：是否存在这样的点A,使得曲线在点B处的切线与Q4平

行？假设存在，求出点A的坐标；假设不存在，说明理由；

(III)设函数g(x)=χ2-2仪+α,假设对于任意XeR的，总存在工2«-1』，使

得g(w)≤∕(xj,求实数”的取值范围。

2023年春季期河北衡水高考信息卷(金考卷系列)理数(5)参考答案

一、选择题

1.B2.B3.A4.C5.C6.A

TT

7.B提示：/(x)=∣sin2x∣,x≠-+人"，二定义域不关于原点对称，函数/(x)既不是奇

4

π

函数又不是偶函数，又函数y=Isin2x∣的周期为彳，去掉的点的周期为7，所以函数

/(X)的周期为乃，应选B.

8.C9.C10.D11.C

12.B提示：令y=X,那么

/(x)∙f(x)=x∙x=[x-2(X∙a)af=X-4(X∙a)2+4[(x∙a)af

即4[(x・a)af一4(x∙α)2=O,.∖(x∙a)2(a-1)=0,/.Q=O或I=1,应选B

二、填空题

13.345

14.mp3

2

15.%-^=l(x≠±l)

8

16.②③

三、解答题

17.解：(I),：p=—,：.sinA+sinC=ɪsinB,即α+c=°∕?.....................2分

444

Q=I1

1,51

又・.,人=1且。C=—人"，由α+c=-且QC=—得<1或<”45

444C=4IC=I

分

17

(II)SinA+sinC=PSinB=>α+c=p力且。C=Wb...................6分

CL-VC2a+。？—b-+6oc13

=P=-7==>D"=---------------------=_cosB+-8分

2∖[ac4ac22

・.・角B为锐角，.∖0<cosB<1,...............................................9分

.∙.p2∈[∣∙'2∣,而p>0,Λp∈f^-,V2.................................................]0分

18.解：由S〃=(丸+1)—λan=>SI=(4+1)—Aan_}≥2)

∙∙∙(1+4)α,,=λan^,A≠0,-1

ttn-∖1+λ

:.{an}是以1为首项，」一为公比的等比数列,故α,=(3)"T

1÷Λ1+4

1-(——)〃j

(2)S,=-邛一=(1+田口一(1，)"］

141+Z

1^ιZI

假设IimS的值存在,那么［刈<|1+/11

w→∞n

Λ>—且∙ΛwO.

2

19.解：(1)恰都为合格品的概率为PP=0.82=0.64

(2)甲每天喝2瓶牛奶,喝到不合格牛奶的概率为0.36,三天看作三次独立重复试验,设

又因为E、El分别是棱AD、AA］的中点,所以EE//AR

所以CF,∕∕EE,,又因为EElZ平面FCC1,CFtU平面FCC1,

所以直线EEI〃平面FCCI.

(2)因为AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,aBCF为正三角形,取CF

的中点0,那么OBLCF,又因为直四棱柱ABCD-AIBlgDl中,CG，平面ABCD,所以CG，BO,

所以OBL平面CC1F,过0在平面CC1F内作OPJ_CE垂足为P,连接BP,那么NOPB为二面

角B-FC1-C的一个平面角，在aBCF为正三角形中，OB=C,在RtΔCClF中，

△…△趾...普岸,。P=&x2咚

OP2_S

在RtAOPF中，BP=yjOP2+OB2COSNoPB=J

BP√¼^^

所以二面角B-FCl-C的余弦值为也.

7

解法二：(1)因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,

所以BF=BC=CF,Z∖BCF为正三角形，因为ABCD为

等腰梯形,所以∕BAC=NABC=60°,取AF的中点M,

连接DM,那么DMlAB,所以DMlCD,

以DM为X轴,DC为y轴,DD∣为Z轴建立空间直角坐标系,

,那么D(0,0,O),A(√3,-1,O),F(√3,1,0),C(0,2,0),

G(0,2,2),E(-----,----,0),E∣(y/3,-1,1),所以

22

EEl=(y-,-∣,l),CF=(√3,-l,0),CC1=(0,0,2)RG=(—6,1,2)设平面CC1F

n-CF=0'二°取〃=(1,6,0),那么

的法向量为〃=(X,>,z)那么所以

0

n∙CCt-0

EEl=等xl—；X6+1x0=0,所以〃，Eg,所以直线EEl〃平面FCCL

n∙

%.FB=O

'所以

⑵FB=(0,2,0),设平面BFa的法向量为n1=(xl,χ,z∣),那么

zz1∙FC1=0

r，一°,取n1=(2,0,6),那么n-nλ=2×l-√3×0+0×√3=2,

√3x1+γl+2z,=0

|〃|=Jl+(6)2=2,∣4b√22+0+(√3)2=√7,

所以cos〈〃,n,〉=—==且，由图可知二面角B-FC1-C为锐角，所以二面

InIIn1I2×√77

角B-FC1-C的余弦值为也

7

21.解：(I)由可设圆C的方程为(x-W)?+y=5(m<3)

将点A的坐标代入圆C的方程,得(3-根)2+1=5

即(3-⑼2=4,解得〃2=1,或加=5

•ITLV3∙∙YtT=1

.∙.圆C的方程为(x—1)2+V=5

(∏)直线尸耳与圆C相切

依题意设直线PK的方程为y=左(X—4)+4,即0c—y-4女+4=O

女一0—4Z+4∣

假设直线PK与圆C相切,那么J—jI=√r5

√Jt2+l

.•.4左2—24^+11=0,解得Z=ɪɪ,或％=工

22

当A=T时,直线PFl与X轴的交点横坐标为胃，不合题意,舍去

当左=；时,直线PK与X轴的交点横坐标为一4,

.∙.c=4,F1(-4,0),8(4,0)

.∙.由椭圆的定义知：

2222

2a=IA周+∣A6∣=Λ∕(3+4)+1+√(3-4)+l=5√2+√2=6√2

a=3-∖∕2,即a?=18,b~—a2-C2-2

故直线尸片与圆C相切，直线产入的方程为x—2y+4=0,椭圆E的方程为

22.(I)〃力=4

xλ-n

/77(X2+π)-mx∙2xj,_2

.∙.f'(χ)=-s------¼——=tιrH2分

)(2

J\(X2+〃∖)(/JTɔ+")

又/(x)在X=I处取得极值2

MD=0

„=o即a+〃)2解彳导『=4或F=0(舍去)

J(I)=2m=2n=1-1

」十〃

Λ..............4分

∙'∙∕()=ɪX7+1.....

4—4X*2

(H)由⑴得/'(X)=---------τ

■+1)

假设存在满足条件的点A,且A/，手J那么小白7…

2

7分

242ι~

.xθwO,..xθ—~9Xo~±~*V5

所以存在满足条件的点A,此时点A是坐标为竽,学)或(-竽，-警ɜ……8

分

an)r(χ)J(χ+i)(i),令/,(χ)=o,得χ=τ嵌=1

(八1)-

当X变化时，/'(X),/(X)的变化情况如下表：

X、-00,T)-11(L+∞)

r(ʃ)-O+O-

单调递单调递

/(ʃ)单调递减极小值极大值

增减

.∙./(x)在X=T处取得极小值/(T)=-2,在X=I处取得极大值〃1)=2

又∙X0时,/(x)0,.∙.∕(x)的最小值为-2...............................10分

对于任意的％∈R,总存在WG使得g(Λ2)≤∕(XJ

・•.当x∈[-l,l]时∙，g(x)最小值不大于-2

又g(x^-x2-2ax+a-^x-ay+a-a2

当α≤T时，g(x)的最小值为g(-l)=l+34,由l+3α≤-2

得α<-l....................................................11分

当α≥l时,g(x