人教A版高中数学 选修第二册 常考题型练习 15 等差数列及其前n项和

专题15等差数列及其前n项和

目录

【题型一】等差数列概念及公式..................................................................2

【题型二】首项公差列方程型....................................................................3

【题型三】“高斯技巧”1：等差中项型...........................................................4

【题型四】“高斯技巧”2：奇数项和型...........................................................5

【题型五】“高斯技巧”3：首尾和...............................................................6

【题型六】比值型1：首项公差不定方程..........................................................6

【题型七】比值型2:双数等差中项型............................................................8

【题型八】比值型3：双数列下标不一致型.........................................................9

【题型九】比值型4：整数型....................................................................10

【题型十】前n,2n,3n项和应用...............................................................12

【题型十一】数列实际应用题...................................................................13

培优第一阶——基础过关练.....................................................................14

培优第二阶——能力提升练.....................................................................17

培优第三阶——培优拔尖练.....................................................................19

综述

L等差数列有关公式：

(1)通项公式：u=m+("-l)d；(2)前〃项和公式：

2.等差数列常用结论：

若｛%｝为等差数列，公差为d,前〃项和为S”，则有：

(1)下标意识：若p+g=m+”,则如+。“=*+〃,”特别地，若p+q=2k,则《,+。“=2以；

(2)隔项等差：数列a/t，ak+m>ak+2m，…(k,加GN*)是公差为遮_的等差数列;

(3)分段等差：数列S“，S2n-S,,,S3“一S2,,,…是公差为过的等差数列；

(4)数歹吟｝是公差为苧的等差数列，其通项公式今=%+(m—分；

3..等差数列与函数关系：

(1)经整理Z=而+(四一√),则数列｛为｝是等差数列□通项a”为一次函数：即。“=配+6(a、方为常数)；

(2)经整理，=1+伍一%数列｛飙｝是等差数列一$为无常数项的二次函数：即S,,=∕∕+JB”(N∖B为常

数).

热点题型归纳

【题型一】等差数列概念及公式

【典例分析】

已知数列｛q,｝,｛t>,,｝,｛ς,｝均为等差数列，且q+4+q=l,a2+b2+c2=3,则“/+%21+。2切=()

A.4037B.4039C.4041D.4048

【答案】C

【分析】根据｛《,+2+%｝为等差数列，利用等差数列通项公式可求得结果.

【详解】｛4｝,也,｝,｛ς1｝为等差数列，∙∙∙｛q+d+cj为等差数列,

｛an+⅛+ς,｝的首项为q+⅛l+cl=1,公差d=(%+b2+c2)-(A1+⅛l+ς)=2,

c

/.“2021+‰2∣+202ι=ɪ÷2020×2=4041.

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

等差数列有关公式：

(1)通项公式：U=α∣+公一Dd；

八j.,n(n~∖)n(a∖-∖^a)

(2)前〃项和公式：£="0+-'节一夕=~n-

【变式训练】

1.若等差数列｛%｝的公差为d,b,,=can(C为常数且c#0),则()

A.数列低｝是公差为d的等差数列

B.数列物J是公差为cd的等差数列

C.数列｛即是首项为c的等差数列

D.数列也｝不是等差数列

【答案】B

【分析】根据等差数列的定义，计算%I-2，由其结果即可判断出答案.

【详解】由题意可知d+1一2=can+t-can=C(%+∣-”,J=c4,

所以数列仙“｝是以加为公差的等差数列，

故选:B.

2.在等差数列｛2｝中，若公差为d,%“、〃〃为数列的任意两项，则当m≠〃时，下列结论:

□am+an=(m+n)d；□alfl-an-(m-tτ)d；Ud=~~~—；□am=an+(m-n)d.

n-m

其中必定成立的有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

[答案]C

【入析】根据等差数列通项公式依次讨论即可得答案.

【详解】解：由等差数列通项公式得4=4+(〃7-1)&4=4+("-1)1,，”*〃

所以4n,+4,,=2«]+(〃7+〃―2)4,am-an=(m-ri)d,d=—~—,am=an+(‹m-n)d.

故1口「成立，I不成立.

故选：C

【题型二】首项公差列方程型

【典例分析】

在等差数列｛α,,｝中，q+4+%=15,a2+a5+ai=2l,则为+%+%的值为()

A.33B.30C.27D.24

【答案】A

【分析】用基本量4,d表示题干条件，求出q,d,即得解.

【详解】因为数列｛%｝是等差数列，

[a.+a+α=15/3α∣+9d=15[a,=-1

所以d7即J解得二C,所以4+%+q°=3q+18d=33.故选：A

[a2+a5+ai=2∖[3α1+∖2d=21[d=2

【提分秘籍】

基本规律

等差数列基础思维：可以设首项a∣与公差d为变量，列出关于首项a∣与公差d的方程进行求解

【变式训练】

1.已知｛4,,｝是等差数列，4+/+4=105,a2+a4+aβ=99,则公差d为()

A.6B.-6C.-2D.2

【答案】C

【分析】设｛q｝的首项为《，把已知的两式相减即得解.

q+q+2d+4+4d=105

【详解】解：设｛%｝的首项为q，根据题意得，

q+d+4+3d+4+54=99

两式相减得"=-2.故选：C

2.等差数列｛〃〃｝满足%+〃4=4,%+∕=8,则知+42=()

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

【分析】由已知，利用等差数列的通项公式，可得关于首项与公差的方程组，求出首项与公差，可得答案.

∖2aλ+5J=431

【详解】由%+4=4,%+%=8可得Llo,,解得α=7,d=7%+%2=24+21d,

∖2aλ+13d=8'42

31

代入々=(,"=：，可得.%+《2=12故选：B.

3.在等差数列｛〃〃｝中，4/+念+〃3=21,。2。3=70,若m=61,则〃=()

A.18B.19C.20D.21

【答案】C

【分析】利用等差数列的下标和性质求得生=7,进而得到“3=10,求得公差，再求得首项，得到通项公式,

然后解得.

【详解】由。/+。2+田=3。2=21,得々=70243=70,43=10,公差d=TD-7=3,

al=a2-d=4,

%=4+3(〃-1)=61,解得〃=20,故选：C.

【题型三】“高斯技巧”1：等差中项型

【典例分析】

等差数列｛4“｝中，若4+4+4+4(>+42=120,则3q,-q∣=()

A.42B.45C.48D.51

【答案】C

【E•析】结合等差数列的性质求得正确答案.

【详解】依题意｛%｝是等差数列，

%+4+/+4o+42=5/=120,4=24,

3a9-an=Q9+2%-q∣=a9+a1+an-an=2/=48.

故选：C

【提分秘籍】

基本规律

高斯技巧：即借助高斯1+2+3+4+5+...+100的计算方法。它体现了一下几方面的等差数列思想

1.倒序求和思想。

2.等差中项思想

3.下标和思想：：若p+q=zw+",则4"+。“=。,"+。”

【变式训练】

1.在等差数列｛q｝中，%+%=32,则4+%+G的值是()

A.24B.32C.48D.96

【答案】C

【分析】利用等差中项的性质求得%=16,再由％+%+4=3%即可得结果.

【详解】由题设，%+%=2%=32,则%=16,

所以4+%+4=3%=48.故选：c

2.等差数列｛“〃｝中，。3+α√÷砧+Q7=450,求念+。广()

A.45B.75C.180D.300

【答案】C

【分析】根据等差数列性质：若%+〃=〃+/则％,+M=4+4,运算求解.

【详解】｛助｝为等差数列，则。3+%+%+4+%=5。5=450,即%=90

。2+。8=2%=180故选：C.

3.等差数列｛〃〃｝中，α∕+30g+α∕5=120,则2劭一的值是()

A.20B.22C.24D.8

[答案]C

【3加】根据等差数列的性质可求.

【详解】因为。/+3。8+田5=5。8=120,所以48=24,所以2αg-田O=Qw+〃8—4/0=48=24.

故选：C.

【题型四】“高斯技巧”2：奇数项和型

【典例分析】

.在等差数列｛《,｝中，已知前21项和521=63,则出+%+为++”20的值为()

A.7B.9C.21D.42

【答案】C

【解析】利用等差数列的前"项和公式可得4+%=6,即可得知=3,再利用等差数列的性质即可求解.

【详解】设等差数列｛《｝的公差为d,则$21=21(4；%)=63,

所以q+%=6,即2α∣∣=6,所以％ι=3,

所以外+%+纭++α20=(α2+α20)+(¾+α17)+(¾+α14)+α1l

=2a11+2a11+2。“÷α11=7。"=7×3=21,

故选：C

【提分秘籍】

基本规律

利用“高斯技巧”，可得等差数列奇数项和公式：s2n+1=(2n+l)a,,

【变式训练】

1.等差数列｛a,J的前”项和为S,,,若几=10,贝∣J%+q∣=()

45

A.1B.-C.-D.4

33

【答案】B

【分析】根据等差数列的求和公式计算

【详解】因为野=I*"；"")=《(a；+。”)=]0,所以为+%=：.

故选：B

2.已知等差数列｛叫，其前〃项和为S",%+%+%=9,则E=()

A.3B.7C.21D.42

【答案】C

【解析】由等差数列的性质可得6=3,而由求和公式可得S,=7%,代入可得答案.

【详解】由等差数列的性质可得/+%=24,又/+%+%=9,

所以3%=9=4=3,而S]=穴"97)==7%=21故选:C.

3.设等差数列｛4｝的前,项和为5.，若生+%=10,则Sg=()

A.22.5B.45C.67.5D.90

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质及求和公式进行求解.

【详解】由等差数列的性质可得：4+佝=%+%=1。，则Sg=(&节*=45.

故选：B

【题型五】“高斯技巧”3：首尾和

【典例分析】

已知一个有限项的等差数列｛m｝,前4项的和是40,最后4项的和是80,所有项的和是210,则此数列的

项数为()

A.12B.14

C.16D.18

【答案】B

【分析】根据条件可得α∕+α2+α3+α4=4θ,4〃+。〃2+4〃3=80,倒序相加可得”/+。〃=30,再代

入等差数列求和公式即可得解.

【详解】由题意知。/+。2+。3+。4=40,

an+an∣+an2÷αΛ-3=8O,两式相加得"∕+α”=30.

又因为Sjl=幽押=拳=210,所以"=14.故选：B

【变式训练】

1.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，且％+。8="，SlO=Prn,则P=()

A.3B.5C.6D.10

【答案】B

【解析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前”项和公式，由题中条件，即可得出结果.

【详解】因为数列｛4｝为等差数列，

由a,+%="?，SIo=p%可得，510==5(⅞+⅞)=5ffl=p∕π,则P=5.

故选：B.

2.等差数列｛q｝中，a,+a2+a3=-24,al8+al9+a20=78,则此数列的前20项和等于()

A.160B.180C.200D.220

【答案】B

【解析】把己知的两式相加得到4+%。=18,再求S2。得解.

【详解】由题得(〃1+〃20)+(%+。19)+(。3+。18)=一24+78=54,

所以3(a1+a2o)=54,.∙.q÷a20=18.

20

所以S20=∙y(q+/O)=IoXI8=180.故选：B

3.等差数列｛〃〃｝的前〃项和为M若如=1,‰,∕+‰÷‰+∕=27,且Sm=45,则加=()

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【彳析】根据等差中项可得〃加=9,再根据等差数列的求和公式可得结果.

【详解】⅛am.]+am+anuι=21,得3am=27,am=9,

又SzW=Mq+4)=止2=也=5*45,

222

所以〃?=9.故选：B.

【题型六】比值型1：首项公差不定方程

【典例分析】

设S“为等差数列｛4｝的前〃项和，若色∙=J,则卜.

湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学试题

【答案】《22

【分析】先设等差数列｛《,｝的公差为d,根据题意，得出首项和公差直接的关系，再由求和公式，即可求出

结果.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,

E3a.+3d3,

因为上1=彳，所以七7=7，即4=-9d,

a24al+a4

„8x7

SK^a'+^~a8q+28d-72d+28d

所以」二------乙——=―!-------22

1S4Jx3,4%+6d=石■.故答案为:

44a.H----a1-364+6415

12

【提分秘籍】

基本规律

利用通项或前n项和公式，转化出关于首项和公差的比值关系（不定方程），代入即可化简求比值

【变式训练】

1.已知等差数列｛《,｝的前〃项和为S,,,若q≠0,S2=α4,则詈=（）

QCJ

A.1B.-C.-D.-

939

【答案】B

【分析】由。产O,s?=%可得4=2d,将%,S3都用d表示出来，即可得出答案.

【详解】因为｛。〃｝为等差数列，所以S?=4,则2ai+d=al+3dt所以4=2d,所以

aηax+6d8d8

W=3q+3d=母=》微选:B-

2.设等差数列｛叫的前〃项和为S,,.若&=25”，则F=（）

a4

【答案】A

【分析】利用等差数列的前加项和公式，直接化简，即可求解.

【详解】由SiS“，得"Ie曲詈λ吟曲,

故选：A

S.

3.已知等差数列｛4｝前〃项和为S“，且则资等于（)

»8J

1113

C

A.8-B.9-3-D.一

10

【答案】D

4cι,+6J1S

【分析】山题设及等差数列前〃项和公式可得尸、^7=z，求a，4的数量关系，进而求Us∙即可.

O6Z∣+Zo«J∂∣6

【详解】设等差数列｛q｝的公差为d,

S444+6d15SR8ai+28d3

由题设，τr=δ,02,=τ,可得4=7d,E-=TT―LlOnJ=G.故选:D.

S88q+28d32S1616%+12Od10

【题型七】比值型2：双数等差中项型

【典例分析】

/、r、S,2〃则上=(

设等差数列｛4｝,也｝的前〃项和分别是S“，Tnf若m=诏方)

⅛

17CIl22C12

A.—B.—C.—D.—

20201717

【答案】B

【分析】利用*=率求解.

7Il

【详解】解:因为等差数列囚,｝,抄“｝的前”项和分别是S,Z,

al+anll(q+q∣)

所以生=-2_=------2-------=3L=二^_=Jl故选.B

44+311(。+/)633+7203

22

【提分秘籍】

基本规律

双等差数列：

a

n_*^2Λ-I

等差数列｛""｝和｛〃｝的前〃项和分别为S"和7"，则2JT

【变式训练】

1.设等差数列｛叫与间的前"项和分别为S“和，，并且对于一切"CN+都成立，则去=()

37-119

A.-B.—C.一D.

715341

【答案】D

【分析】利用等差数列的前〃项和的性质可求γ的值.

r∕fjj34一Sll2x11-319

L详解】人一-4x11-3-41'故选：D'

4荒T

Sn=3n-i则普=(

2.等差数列｛/｝、也｝的前”项和为%Tn,且彳-2∕ι+3')

%

31C29-2956

A.—B.—C.-----D.

27232341

【答案】D

【分析】利用等差数列性质片=产■得解

Dn12n-∖

【详解】等差数列｛4｝、｛〃｝的前”项和为5“，

由性质肾=卜得=M

‘2"-1"10/20T’19

又⅞∙=_生15^=3><19-1=56

T112〃+3'T192×19+341'

3.设S,,,刀,分别是等差数列｛叫，间的前〃项和，若%=2用，则〉

79

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

9(q+%)

【详解】试题分析：由%=24,得詈=2,所以斗=c∕2∖=g=2,故选A.

⅛Tv9(q+%)⅛5

2

考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前.〃项和公式.

【题型八】比值型3：双数列下标不一致型

【典例分析】

S“=2"+∣⅞

设等差数列｛“"｝与等差数列｛""｝的前〃项和分别为S",K若对于任意的正整数〃都有13/7-1,则%

()

A.史B.卫C,ʒɪD.史

52504846

【答案】B

【分析】先设S,,=(2"+l)%Tιl=(2>n-∖-)nt,由4=以-舄，％=G-4直接计算终即可.

【详解】设S,,=(2"+l)”,%=(3,L1)H,F0.则q=S8-S7=136∕-105r=31∕,

l431

⅛9=7；-7i=234r-184z=50f,所以j=否.故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

任一等差数列的前n项和，可以有函数关系：

Sn=In2+(al—3)n,数列｛an｝是等差数列：Sn为无常数项的二次函数：即Sn=An2+Bn(A、B为常

数)。

所以，等差数列｛""｝和｛"｝的前”项和分别为S”和7”，可以利用等差数列前n项和为一元二次型(既

约型)

【变式训练】

,,、A,2〃+1"+⅛

1.已知两个等差数列｛4,,｝和也｝的前"项和分别为A”和8“，且?=一二，则[=()

iiI-tτɑɜI-十

26

D.

57

【答案】D

【分5】根据等差数列性质与前〃项公式化简即可求解.

b2+⅛瓦+比=2Bq=29+4=26

|(…/耳=三砺KH故选：D

【详解】⅛a3+a5+a1

2.已知均为等差数列的｛%｝与｛么｝的前〃项和分别为S“，T„,且率=W则/普的值为()

1H九+1々十4()

【答案】A

【分析】设S,=E(2"+3),4=也(〃+1),由%=S5-S4,bb=Tf,-T5,即可求解结果.

,a+%2a.&S2〃+3

因为7λ⅛产=奈=,，又因为htt=一TF

【详解】,

t2+t>l02%b6Tnn+1

所以可设S“=kn(2n+3),Tn=An(n+l),

则氏=S5∙∙S4=65k-44k=21k,bβ=Tf,-T5=42k-30k=12k

421a,+a7

所以广=不，即六鲁li=£故选：A

b

⅛12I+bi04

,ʌzʌS,,2n恁

3.设等差数列｛(｝,他,｝的前〃项和分别是s,,z,若b则优=()

322

A.1B.—C.—D.2

417

【答案】A

【分析】先由题设条件求得S“与刀,的表达式，再求得见与2的表达式，即可求得结果.

【详解】由题设可令邑=2而2,Tπ=λn(3n+7)tΛ≠0,

又当”..2时，an=Sn-Sn_x=2(2n-1)Λ,bn=Tn-T„_t=2(3n+2)λ,

:.a6=222,仄=222,消=1.故选：A.

【题型九】比值型4：整数型

【典例分析】

已知两个等差数列｛4｝和低｝的前〃项和分别为S.和7"，且自='詈，则使得去为整数的正整数”的值

为.

【答案】2、4、14

【分析】利用等差数列前”项和公式求得*的表达式，结合*为整数求得正整数”的值.

b,,b,.

(2"T)(q+%τ)

【详解】由题意可得2=7°n/二Γ~r'：”一?：“=?，

T211.1(2"-1)(4+T,ι)(2n-l)⅛,,bn

2

冏4=52”「3(2〃-1)+393〃+1815

,

bnQT(2n-l)+3«+1'n+l

由于今为整数，则〃+1为15的正约数，则〃+1的可能取值有3、5、15,

因此，正整数”的可能取值有2、4、14.

故答案为：2、4、14

【提分秘籍】

基本规律

一般比值正数型，主要以分离常数为处理技巧。

【变式训练】

1.已知等差数列｛4｝和等差数列也｝的前〃项和分别为S“，7；且("+1)S,,=(7"+23)T;,则使会为整数的正

n

整数〃的个数是()

A.2B.6C.4D.5

【答案】C

【分析】利用等差数列的性质、等差数列前"项和公式化简?，进而求得符合题意的正整数〃的个数.

b,.

、/、S7∕?+23

【详解】依题意(z〃+l)S“=(7〃+23)&yπ=-j-,

a+

∣⅛-1.(2n-i)

q=2。“一4+色,一_2')

b

n2b.bl+b2n,l1+%⑶])TLIT

7(2"-l)+2314n+167/7+8^8

(2〃—1)+12nnn

所以?为整数的正整数〃为124,8,共4个.故选：C

blt

2.已知两个等差数列｛4｝和｛〃,｝的前"项和分别为A“和纥，且去=W*=_____,F为整数的正整

dι〃十J%Dn

数〃的取值集合为.

【答案】9｛2,3,5,11｝

【分析】由等差数列的性质与前”项和公式可得乎=A,然后利用整数知识可得”的取值.

On»2n-l

A7〃+45

【详解】∙⅛1l1=--T

BZtn+3

,a5_Iai_(4+%匕=a=7x9+45_108

・石F=(g)x1瓦=9+3F=

4"-∣

%=比I=£=7(2〃-1)+45=KT=3卫

b„AtL%-(2n-l)+32〃+2〃+1”+1'匕〃危奴’

2〃—1

即〃+1=1(舍去)或屋+1=3或〃+1=4或〃+1=6或〃+1=12,从而/7=2,3,5,11,

集合为{2,3,5,11}

故今为整数的正整数〃的取值集合为｛2,3,5,11｝.

故答案为：9；｛2,3,5,11｝.

3.已知等差数列｛%｝和色｝的前〃项和分别为S“和7”，且苔=一则使得/为整数的正整数%的个数

是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】由等差数列的求和公式，得到q=盘号，4=鼻，求得鲁=6+与，即可求解.

2κ-I2κ-∖¼K

【详解】因为4=""，所以4=M，同理可得仇=枭；，

2ZK-I2κ-1

ak_$2，-1_6(2"l)+38=6I16

则bjA-J(21)+1-k

当％=1,2,4,8,16时，詈为整数,即满足条件的"的个数为5.

故选：C.

【题型十】前n,2n,3n项和应用

【典例分析】

在等差数列｛4｝中，前”项和为S"，且率=3,则率=（）

d8

45

A.-B,一C.2D.3

33

【答案】C

【分析】山名=3,设S4=/。/。），可得$8=3,,山等差数列的性质可知S八S8-S4,$-S,成等差数列,

从而可得20-S‹,）=Sq+-",化简可得结果

【详解】设$=（片0）,可得SK=美，

由等差数列的前1项和的性质可知邑、S8-S4,%-Ss成等差数列，

则20-SJ=S,+（无一S。），解得L=3（S「SJ=&,

因此，WId=2.故选：c.

【提分秘籍】

基本规律

等差数列前n项和有“分段等差”性质：

数列S“，S2n-S,,,S3,,-S2",…是公差为过的等差数列

【变式训练】

1.已知等差数列｛4｝的前〃项和为5.，若S,,=2,S2.=6,则L,=()

A.8B.12C.14D.20

【答案】D

【分析】依据等差数列的性质去求54„的值

【详解】等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,S“=2,52,,-S,,=6-2=4

则S“，S2π-Sn,Sin-S2n,”构成首项为2,公差为2的等差数列

则S4“=Sn+(S2ll-S,,)+(SM-S2n)+(S4“-SM)=2+4+6+8=20

故选：D

2.已知等差数列｛4｝的前”项和为5"，若&=9,S6=63,则%+G+%等于()

A.63B.71C.99D.117

【答案】C

【分析】由等差数列的前”项和性质，求出S1),进而得到％+%+%.

【详解】由等差数列｛《,｝的前”项和性质，

得：S,,S6-S3,Sg-56也成等差数列,

Bp2(56-S3)=53+59-56,

又因邑=9,S(i=63,则解得Sg=162,

因此%÷¾+%=*S9-S6=162-63=99.

故选：C.

3.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“且q=d=9,若邑"一邑”=52“-E,+729,则〃的值为()

A.8B.9C.16D.18

［答案］B

［⅛1结合等差数列前〃项和的知识化简已知条件，从而求得正确答案.

【详解】依题意，等差数列｛4｝的前〃项和为S,且q=d=9,

若S.M-S?,,=$2,-5,,+729,

¾π÷∣+¾n÷2++%，，=凡“+凡+2++/，，+729，

¾,÷.+%，，+2++%，-(%+，+4+2++4，，)=729，

“dx"=x9=729,〃=9.故选：B

【题型十一】数列实际应用题

【典例分析】

北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数

学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提

出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现

有二阶等差数列：2,3,5,8,12,17,23…则该数列的第41项为()

A.782B.822C.780D.820

【答案】B

【分析】利用等差数列的通项公式和累加法求通项可求解.

【详解】设该数列为｛q｝.

由题可知,数列｛。向-。.｝是以生-4=1为首项,1为公差的等差数列，

所以%-α.=1+(〃T)XI=",

+aaaa

所以(4-4)+(q_4)+(n+t~n)=n+t~}=1+2++n,

〃5+1)"5+l)I2

所以α,“∣-4,所以4+1

2-2~

所以％=^-+2=822,故选:B.

【变式训练】

1.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷

雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33

尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（）

A.5.5B.8C.12D.16

【答案】D

【分析】由题意可得4+4+%=3339=108,解方程组求出q,d,从而可求得答案

【详解】解：等差数列的公差为d,由题意可得

al+a4+a1=33-a÷43dJ=l1l2,解得q=8

59=108d=∖

所以q=8+〃-1=”+7,

所以谷雨日影长为4=9+7=16,

故选：D

2.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石，令甲，乙，丙、丁，戊五人递差

分之，要将甲、乙二人数与丙、丁，戊三人数同.问：各该若干？其大意是：现有大米二百四十石，甲，乙，

丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米重量与丙，丁，戊三人所得大米重

量相等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大米重量为（）

A.32石B.40石C.48石D.56石

【答案】B

【分析】由等差数列设甲，乙，丙，丁，戊所得大米重量a-2√,a-d,a,a+d,a+2d,根据已知条

件列方程求参数。、d,即可求丁分得大米重量.

【详解】设甲，乙，丙，丁，戊所得大米分别为a-27,a-d,a,a+d,a+2d,

依题意，a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d,

5l,a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5«=240,解得a=48,

综上，可得d=-8,

丁分得大米重量为a+4=40（石），故选：B.

M分阶培优练

培优第一阶——基础过关练

1.己知伍“）是等差数列，且2%=为+3,则%=（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

【分病】结合等差数列通项公式即可解决.

【详解】设等差数列的公差为d，由2%=%+3得，2（q+7"）=4+8d+3,

则4+6d=3=%.故选：B.

2.设等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,若%=1,%+4=8,则Sg=（）

A.60B.62C.63D.81

【答案】C

【分析】利用等差数列的通项公式和前“项和公式直接求解.

【详解】设等差数列的公差为心

a1+d=1a1+d=1

由题可得,即21+5d=8，解得

4+2d+4+3d=8d=2

所以数列｛q｝的通项公式4=-l+2(n-l)=2n-3,

所以Sg=曳毕Q=63.故选：c.

3.已知数列｛叫与色｝均为等差数列，且%+d=4,%+⅛,=8,则为+以=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】因为名+以=4,%+d=8,

所以内+“5+“5+⅛9=12,

即a3+a5+b5+b9=12,

根据等差数列的性质可知为+%+4+4=2%+25=12,

所以4+4=6.故选:B.

4.设等差数列｛q