专题07 点、线、面位置关系（几何法）-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测（新高考专用）原卷版

2/2专题07点、线、面位置关系（几何法）（新高考）目录目录【备考指南】 2 【真题在线】 3【基础考点】 6【基础考点一】点、线、面位置关系概念的判断 6【基础考点二】异面直线所成的角 7【基础考点三】三线共点 8【基础考点四】线面、面面平行判定与性质 10【基础考点五】线面垂直判定与性质 12【综合考点】 13【综合考点一】等体积法 13【综合考点二】面面垂直的判定与性质 15【综合考点三】线面角几何法 16【综合考点四】面面角几何法 18【培优考点】 20【培优考点一】动点、动直线问题 20【培优考点二】折叠问题 21【总结提升】 23【专项检测】 24备考指南备考指南考点考情分析考频空间几何体的表面积、体积2023年新高考Ⅰ卷T142023年新高考Ⅱ卷T92023年新高考Ⅱ卷T142023年全国乙卷T32023年全国乙卷T82022年新高考Ⅰ卷T42022年新高考Ⅱ卷T112022年全国甲卷T42022年全国甲卷T92021年新高考Ⅰ卷T32021年新高考Ⅱ卷T42021年新高考Ⅱ卷T53年12考球与多面体的切接2023年全国乙卷T162022年新高考Ⅰ卷T82022年新高考Ⅱ卷T72022年全国乙卷T92021年全国甲卷T113年5考线面位置关系2023年全国乙卷T92022年新高考Ⅰ卷T92022年全国甲卷T72022年全国乙卷T72021年新高考Ⅱ卷T102021年全国乙卷T53年6考空间角与线面位置关系综合2023年新高考Ⅰ卷T182023年新高考Ⅱ卷T202023年全国甲卷T182023年全国乙卷T192022年新高考Ⅰ卷T192022年新高考Ⅱ卷T202022年全国甲卷T182022年全国乙卷T182021年新高考Ⅱ卷T192021年全国甲卷T192021年全国乙卷T183年11考立体几何综合2023年新高考Ⅰ卷T122021年新高考Ⅰ卷T122021年新高考Ⅰ卷T202年3考最短距离、截面、截线2023年新高考Ⅱ卷T142023年全国甲卷T151年2考预测：以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属基础题.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问.立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点，主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题，主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等.以空间向量为工具，探究空间几何体中线面关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上.从近三年全国卷的考察点、线、面位置的关系情况看，客观题的处理上优先考虑的是几何法，在主观题的第一问也多用几何法处理.建议在二轮复习时，空间点、线、面的位置关系要掌握好几何法，加强对学生空间想象能力的训练.能做到举一反三，充分利用好常见的模型.真题在线真题在线一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（

）A．1 B． C．2 D．32．（2023·全国·统考高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·统考高考真题）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（

）A． B．AB与平面所成的角为C． D．与平面所成的角为二、多选题4．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（

）A． B．C． D．6．（2022·全国·统考高考真题）已知正方体，则（

）A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为7．（2021·全国·统考高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（

）A． B．C． D．三、解答题8．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．9．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．10．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．11．（2021·全国·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.12．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．基础基础考点【考点一】点、线、面位置关系概念的判断【典例精讲】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知m，n，l是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（

）A．若，，则B．若m，，，，则C．若，，，则D．若，，则【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）设为不同的平面，为不同的直线，下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知直线两两异面，且，，下列说法正确的是（

）A．存在平面，使，，且，，B．存在平面，使，，且，，C．存在唯一的平面，使，且与所成角相等D．存在平面，使，，且二、多选题3．（2023·全国·校联考二模）已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则至少有一条与直线垂直D．若，则4．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（

）A．存在平面，有 B．存在平面，有C．存在直线，有 D．存在直线，有【考点二】异面直线所成的角【典例精讲】（多选）（2023·安徽黄山·统考三模）在棱长为的正四面体中，过点且与平行的平面分别与棱交于点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（

）A．B．当分别为线段中点时，与所成角的余弦值为C．线段的最小值为D．空间四边形的周长的最小值为【变式训练】一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）如图，在圆锥中，轴截面的顶角，设是母线的中点，在底面圆周上，且，则异面直线与所成角的大小为（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°2．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）在长方体中，，，，则异面直线和所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2022·重庆·校联考一模）已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是（）A．过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交B．过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行C．过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直D．过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为45°三、填空题4．（2023·全国·模拟预测）已知球O的表面积为，A，B，C，D为球O的球面上的四个点，E，F分别为线段AB，CD的中点．若，且，则直线AC与BD所成的角的余弦值为．【考点三】三线共点【典例精讲】（多选）（2022上·湖北·高三襄阳五中校联考阶段练习）已知分别是三棱锥的棱上的点（不是端点），则下列说法正确的是（

）A．若直线相交，则交点一定在直线上B．若直线异面，则直线中至少有一条与直线相交C．若直线异面，则直线中至少有一条与直线平行D．若直线平行，则直线与直线平行【变式训练】一、单选题1．（2022·四川广安·统考二模）如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．（2022·陕西安康·统考二模）如图，在四面体中，分别为的中点，分别在上，且.给出下列四个命题：①平面；②平面；③平面；④直线交于一点.其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题3．（2023下·河北·高一校联考期中）在正方体中，分别为棱上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则（）A．当时，平面B．当时，平面C．当时，存在点，使四点共面D．当时，存在点，使三条直线交于同一点三、解答题4．（2023·四川泸州·校考三模）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．

(1)求证：直线、、交于一点；(2)若，求多面体的体积．【考点四】线面、面面平行判定与性质【典例精讲】（2023·四川南充·模拟预测）如图所示，在圆锥中，为圆锥的顶点，为底面圆圆心，是圆的直径，为底面圆周上一点，四边形是矩形．

(1)若点是的中点，求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积．【变式训练】1．（2023·四川成都·统考二模）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，是边长为2的正三角形，平面平面，为的中点，点在上，.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.2．（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，且，，，G为的重心．

(1)证明：平面PCD．(2)若，求点C到平面PAE的距离．3．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点.

(1)当是棱的中点时，求证：平面；(2)若，，求点到平面距离的范围.4．（2023·陕西安康·统考三模）如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点．

(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离.【考点五】线面垂直判定与性质【典例精讲】（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，平面，D为上一点，且.(1)证明：平面；(2)若E为上一点，，求三棱锥的体积.【变式训练】一、解答题1．（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，为等边三角形，平面平面ABC，.

(1)求证：平面PBA；(2)若，，求点B到平面PAC的距离.2．（2023上·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．(1)求证：平面；(2)求四面体的体积．3．（2023·四川宜宾·统考二模）圆柱中，四边形为过轴的截面，，，为底面圆的内接正三角形，.

(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.4．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，，平面平面，，分别为，的中点.

(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.综合考点综合考点【考点一】等体积法【典例精讲】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．(1)求证：平面平面PCD；(2)求三棱锥的体积．【变式训练】1．（2023·四川·校联考一模）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面，，，，.

(1)证明；；(2)求三棱锥的体积.2．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱台的底面是菱形，且，平面，，，.

(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.3．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）如图；在直三棱柱中，，，，点D为AB的中点．

(1)求证；(2)求三棱锥的体积．4．（2023·广西·统考模拟预测）如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，，平面.(1)证明：；(2)若是棱上一动点（含端点），求三棱锥的体积.【考点二】面面垂直的判定与性质【典例精讲】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，E为PD中点.

(1)证明：；(2)若F为棱PB上的点，求点F到平面ACE的距离.【变式训练】1．（2023·全国·模拟预测）如图，在圆台中，上底面的半径为1，下底面的半径为3，母线长为3.在截面与截面中，，.

(1)求证：截面截面；(2)求四棱台的体积.2．（2023·山东潍坊·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．3．（2023·海南·统考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，将沿向上折起，使得平面与平面所成的锐二面角的平面角最大．

(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；(2)若，垂足为，点是上一点，证明：平面平面．4．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，分别是的中点，平面经过点，且与棱交于点．

(1)试用所学知识确定在棱上的位置；(2)若，求多面体的体积．【考点三】线面角几何法【典例精讲】（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）如图，在直四棱柱中，四边形为平行四边形，，.

(1)证明：与平面的交点为的重心；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：面与面所成角的正切值为.【变式训练】1．（2018·安徽·校联考一模）如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，，，.(1)求的长度；(2)求直线与平面所成的角的正弦值.2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在多面体中，平面平面，底面是等腰直角三角形，，侧面是正方形，平面，且，.

(1)证明：．(2)若是的中点，平面，求直线与平面所成角的正弦值．3．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，半径为2，母线SA､SB的长为，且M为线段AB的中点．

(1)证明：平面SOM平面SAB；(2)求直线SM与平面SOA所成角的正切值．4．（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，，分别为，的中点．(1)证明：．(2)求与平面所成角的正弦值．【考点四】面面角几何法【典例精讲】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图所示，已知三棱台中，，，，，.

(1)求二面角的余弦值；(2)设分别是棱的中点，若平面，求棱台的体积.参考公式：台体的体积公式为.【变式训练】一、解答题1．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）如图，在圆锥中，是底面的直径，且，，，是的中点．

(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值．2．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．(1)求证：平面；(2)设正方形的边长为，求侧面与底面夹角的余弦值．3．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面为正三角形，侧面是边长为2的正方形，为的中点.

(1)求证：平面平面；(2)取的中点，连接，求二面角的余弦值.4．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知三棱锥的四个顶点均在半径为的球面上，且，，N为的中点．

(1)证明:平面(2)若M是线段上的点，且平面与平面的夹角为．求与平面所成角的正弦值．培优考点培优考点【考点一】动点、动直线问题【典例精讲】（2022·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）如图，在矩形中，，.四边形为边长为2的正方形，现将矩形沿过点的动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，若点在折痕上射影为，则的最小值为．【变式训练】一、单选题1．（2023·江苏盐城·统考三模）动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2021·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）在正方体中，点在线段上，若直线与平面内的动直线所成角的最小值为，则A． B． C． D．二、多选题3．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）已知正方体的棱长为，点，是棱，的中点，点是侧面内运动（包含边界），且与面所成角的正切值为，下列说法正确的是（

）A．的最小值为 B．存在点，使得C．存在点，使得平面 D．所有满足条件的动线段形成的曲面面积为三、填空题4．（2023·河北石家庄·统考一模）长方体中，，平面与直线的交点为，现将绕旋转一周，在旋转过程中，动直线与底面内任一直线所成最小角记为，则的最大值是.【考点二】折叠问题【典例精讲】（2023·广东深圳·统考模拟预测）在正三角形中，、、分别是、、边上的点，满足：：：：如图将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结如图

(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的大小．【变式训练】一、单选题1．（2023·山东·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，当变化时，令对角线取到最大值，如图2，此时将沿折起，在将开始折起到与平面重合的过程中，直线与所成角的余弦值的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，二面角大小为，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（

）A．存在某个位置，使得B．面积的最大值为C．当为锐角时，存在某个位置，使得D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为三、填空题3．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为2，.将沿AC折到PAC的位置，连接PD得三棱锥.①若三棱锥的体积为，则或3；②若平面PAC，则；③若M，N分别为AC，PD的中点，则平面PAB；④当时，三棱锥的外接球的体积为.其中所有正确结论的序号是.四、解答题4．（2019上·河北张家口·高三统考阶段练习）如图，等腰梯形中，，，，为中点，为中点.将沿折起到的位置，如图．

(1)证明：平面；(2)若平面平面，求点到平面的距离．总结提升总结提升1.判断空间线、面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断.(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.2.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.3.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.4.解答折叠问题的关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.专项专项检测一、单选题1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则可以用来判断的条件有（

）①，②，③，，④，，A．①② B．①③ C．②③ D．①④2．（2023·上海·统考模拟预测）如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（

）

A． B． C． D．3．（2023·河南·校联考模拟预测）正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（

）

A． B． C． D．4．（2023·全国·模拟预测）在正方体中，点，，，分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（

）A．平面平面 B．平面平面C． D．异面直线与所成角的余弦值为5．（2023·福建·校联考模拟预测）在三棱锥中，为正三角形，点在底面投影为点，点在内（不含边界），设二面角、、的大小分别为、、，，则的值为（

）A．1 B． C． D．无法确定6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱上的动点（点不与点重合）．若，则下列说法正确的个数是（

）

①存在点，使得点到平面的距离为；②直线与所成角为；③平面；④用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）在中，是边的中点，是边上的动点（不与重合），过点作的平行线交于点，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，如图所示.给出下列四个结论：

①平面；②不可能为等腰三角形；③存在点，使得；④当四棱锥的体积最大时，.其中所有正确结论的序号是（

）A．①④ B．①③④ C．①③ D．①②③8．（2022上·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知大小为的二面角棱上有两点，，，，，，若，，，则的长为（）

A．22 B．49 C．7 D．二、多选题9．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（

）

A．异面直线AE与BC所成的角为 B．C．平面平面CDE D．直线AE与平面BDE所成的角为10．（2023·山西吕梁·统考二模）已知正方体的棱长为4，为上靠近的四等分点，为上靠近的四等分点，为四边形内一点（包含边界），若平面，则下列结论正确的是（

）A．线段长度的最小值为 B．三棱锥的体积为定值C．平面 D