数学-辽宁省北镇市第二高级中学、第三高级中学2023-2024学年高三上学期第四次月考试题和答案

2023～2024学年度第一学期第四次月考高三数学试卷 A.B.C.D.3.若圆锥的母线长为6，其侧面展开图的面积为12π,则这个圆锥的体积为()A.24πB.8πC.16πD.4.已知，是单位向量，若」(+3)，则在上的投影向量为()A.B.C.D.A.1B.1C.2或1D.1或26.已知函数f(x)=sin2x+sin负x一(负>0)，xeR.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则负的取值范(1](1]「5)(5](1]「15](1](1]「5)(5](1]「15]7.折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图2A.18.若eax-lnx>-a恒成立，则实数a的取值范围为()D.二、多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题9.下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)上是减函数的是()A.f(x)=exB.f(x)=-sinxC.f(x)=D.f(x)=x3-2x10.已知m、n、l是三条不重合的直线，a，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是()A.若a//β,m仁a，则m//βC.若m//n，m」a，则n」aD.若m、n是异面直线，m//a，n//a，l」m且l」n，则l」aA.{anan+1}的公比为4B.{log2an}的前20项和为170C.12.已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)>f，(x)，在下列不等关系中，一定成立的是()A.e2f(1)>f(2)B.e2f(1)<f(2)C.f(e)>e2e-4f(2)D.f(e)<e2e-4f(2)13.已知锐角a满足tana=4sina，则cos2a=.15.在三棱锥P-ABC中，‘ABC是边长为2的等边三角形，PA」平面ABC，若P，A，B，C四点都在表面积为16π的球的球面上，则三棱锥P-ABC的体积为.16.‘ABC中，三内角A,B,C所对边分别为a,b,c，已知3sinA=2sinBcosC，a=1，则角A的最大值是17.已知{an}是首项为1的等比数列，且9a1，3a2，a3成等差数列.（1）求数列{an}的通项公式；数f(x)的最大值为2，且.请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上，①f(|（x-为奇函数；②当x=0时f(x)=； π ③x=是函数f(x)的一条对称轴．并解答下列问题：（1）求函数f(x)的解析式；求a的值.19.如下图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BB1的中点，且AA1=AC=BC=2，（1）求三棱锥的E-A1CD体积；（2）求直线CE与平面A1CD所成角θ的余弦值.（1）求证数列{an-2}为等比数列，并求数列{an}的通项公式an.n+1)lanan+1Jm25821.在锐角‘ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且(a-b)(sinA+sinB)=(sinC-sinB)(acosB+bcosA).（1）求角A的大小；（2）若‘ABC外接圆的半径为，求的取值范围.（1）若h(x)有两个零点，求a的取值范围；（2）若方程ax.ex=lnx+x有两个实根x1、x2，且x2>x1，证明：h,<0.【答案】D2023～2024学年度第一学期第四次月考高三数学试卷【答案】A【解析】【分析】解指数不等式化简集合A，用列举法表示集合，再进行并集运算即可.故选：A. A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求出复数z，然后利用z=z即可求解. 故选：B.3.若圆锥的母线长为6，其侧面展开图的面积为12π,则这个圆锥的体积为()A.24πB.8πC.16πD.【解析】【分析】根据圆锥母线即侧面展开图可求得底面圆半径，再利用勾股定理可求得圆锥的高为h=4，由体积公式即可得结果.【详解】由题可知圆锥的侧面展开图扇形的半径l=6，设底面圆的半径为r，则x6x2πr=12π,解得r=2，所以该圆锥的体积V=πx22x4故选：D.4.已知，是单位向量，若」(+3)，则在上的投影向量为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知可推得.=一，进而即可求出投影向量.22故选：D.A.1B.1C.2或1D.1或2【答案】B【解析】【分析】由a（a+12=0，解得a．经过验证即可得出.【详解】由a（a+12=0，解得a=﹣2或1.经过验证：a=﹣2时两条直线重合，舍去.故选B.3【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.6.已知函数f(x)=sin2+sinΦx-(Φ>0)，xeR.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则Φ的取值范(1](1]「5)(5](1]「15](1](1]「5)(5](1]「15]【答案】D【解析】【分析】先把f(x)化成f(x)=sin(|(Φx-，求出f(x)的零点的一般形式为x=,keZ，根据f(x)在区间(π,2π)内没有零点可得关于k的不等式组，结合k为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围. 令f(x)=0，则有Φx-=kπ,keZ即x=,keZ.因为f(x)在区间(π,2π)内没有零点，ΦΦ故选：D.【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.7.折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．图2xxA.1【答案】D【解析】------1【详解】因为------所以OC.OD332故选：D8.若eaxlnx>a恒成立，则实数a的取值范围为()D.【答案】A【解析】g(x)=(x+1)lnx(x>0)，对g(lnx恒立，构造函数G(x)=lnx，再对G(x)进行求导，求出G(x)的单调区间，即可求出结果.xx,即h(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+伪)上单调递增，所以g(x)=(x+1)lnx(x>0)在区间(0,+伪)上单又x>0，所以a之恒立，lnx令G(xlnxxx2,即G(x)在区间(0,e)上单调递增，在区间(e,+伪)上单调递减，故G(x)<G(e)=故选：A.1,e1elnxg(x)=(x+1)lnx(x>0)，利用导数与函数的单调性间的关系，得到lnxxG(x)=的最值即可解决问题.恒立，再转化成求函数二、多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题9.下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)上是减函数的是()A.f(x)=exB.f(x)=-sinxC.f(x)=D.f(x)=x3-2x【答案】BC【解析】【分析】根据所给条件，逐一分析各选项中函数的奇偶性及其在区间(0,1)上的增减性即可.【详解】对于A，函数f(x)=ex的定义域为R，是增函数，A不对；对于B，函数f(x)=-sinx的定义域为R，是奇函数，并且在(0,1)上单调递减，B对；对于C，函数f(x)=的定义域为(-伪,0)u(0,+伪)，是奇函数，并且在(0,1)上单调递减，C对；对于D，函数f(x)=x3-2x的定义域为R，且f(x)=-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x)，是奇函数，对函数求导f,(x)=3x2-2，当f,(x)<0，函数单调递减，即3x2-2<0，解得-<x<，所以f(x)=x3-2x递减区间是(-,).D不对.故选：BC10.已知m、n、l是三条不重合的直线，C，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是()A.若C//β,m一C，则m//βC.若m//n，m」C，则n」CD.若m、n是异面直线，m//C，n//C，l」m且l」n，则l」C【答案】ACD【解析】【分析】由线面、面面的位置关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】若C//β,m一C，由面面平行的性质定理可得m//β成立，故A正确；两个平行平面内的两条直线位置是平行或异面，即m//n不一定正确，故B错误；若m//n，且m」C，则n」C，故C正确；如图，因为m//C，所以存在直线a，a一C且满足a//m，又l」m，所以l」a，同理存在直线b，b一C且满足b//n，又l」n，所以l」b，因为m、n是异面直线，所以a与b相交，设anb=A，又a，b一C，所以l」C，故D正确.故选：ACD.A.{anan+1}的公比为4B.{log2an}的前20项和为170C.【答案】ABC【解析】【分析】利用等比数列的性质、等差数列、等比数列的求和公式计算即可.所以ann1n22 2B对；}的前n项和为Sn，则n)nD错，故选：ABC.12.已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)>f,(x)，在下列不等关系中，一定成立的是()A.e2f(1)>f(2)C.f(e)>e2e-4f(2)B.e2f(1)<f(2)D.f(e)<e2e-4f(2)【答案】AD【解析】【分析】构造函数g(x)=，求导得到g(x)在R上单调递减，然后根据单调性比较大小即可.【详解】因为2f(x)>f,(x)，所以f,(x)-2f(x)<0因为f,(x)-2f(x)<0，e2x>0，所以g,(x)<0，所以g(x)在R上单调递减，)>f(2)，故A正确，B错；故选：AD.13.已知锐角c满足tanc=4sinc，则cos2c=.【答案】-【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系及倍角公式变形计算即可.【详解】因为tanc=4sinc，所以=4sinc，又c为锐角，7故答案为：-8【答案】96【解析】n2=6，从而得到答案.2故答案为：9615.在三棱锥PABC中，‘ABC是边长为2的等边三角形，PA」平面ABC，若P，A，B，C四点都在表面积为16π的球的球面上，则三棱锥P一ABC的体积为.【答案】4##4【解析】【分析】由题意确定三棱锥外接球球心位置，根据外接球表面积求得外接球半径，即可求得PA的长，利用三棱锥体积公式即可求得答案.【详解】设O1为正‘ABC的中心，M为PA的中点，过点O1作平面ABC的垂线l，由于PA」平面ABC，故l∥PA，在l,PA确定的平面内作MO」l，垂足为O，则四边形OO1AM为矩形，因为P，A，B，C四点都在表面积为16π的球的球面上，设外接球半径为R，故4πR2=16π,：R=2，112故答案为：16.ΔABC中，三内角A,B,C所对边【答案】【解析】【分析】##30o-c由题意，利用正弦定理将3sinA=2sinBcosC-c2，代入cosA消去a，利用基本不等式求出cosA的范围，得解；或利用三角恒等变换结合正切函数的性质即得.【详解】解法一3sinA=2sinBcosC，2ab由正弦定理得3a=2bcosC，由余弦定理得cosC=a2+b2-c2将cosC代入3a=22abb2-c2=2a2，当且仅当b=c时取等号.：y=cosx在(0,π)上单调递减，:A=π.解法二sinA=sin(B+C)=:cosC>0，C为锐角，且sinBcosC+3cosBsinC=0，:B为钝角，A为锐角，而≤≤33:Amaxπ.6故答案为：17.已知{an}是首项为1的等比数列，且9a1，3a2，a3成等差数列.（1）求数列{an}的通项公式；【解析】【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，根据已知根据等差中项的性质列出关系式，求解即可得出q=3；（2）根据（1）的结论得出bn=n，cn=n.3n，然后根据错位相减法求和，即可得出答案.【小问1详解】因为9a1，3a2，a3成等差数列，2【小问2详解】n，23n，①,n数f(x)的最大值为2，且.请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上，①f(|（x一为奇函数；②当x=0时f(x)=； π ③x=是函数f(x)的一条对称轴．并解答下列问题：（1）求函数f(x)的解析式；求a的值.【解析】【分析】（1）由最大值确定A，根据相邻两条对称轴间的距离为确定最小正周期，从而确定Φ,选①,求解即可.（2）利用面积公式求出b，结合余弦定理即可求解.【小问1详解】2πTT π ,3πx=是函数f(x)的一条对称轴，【小问2详解】∵f(A)=，∴bcsinA=3得b=4，在ΔABC中，由余弦定理得：a2=b2+19.如下图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BB1的中点，且AA1=AC=BC=2，（1）求三棱锥的E-A1CD体积；（2）求直线CE与平面A1CD所成角θ的余弦值.【解析】【分析】（1）以A1DE为底面，CD为高，可求得三棱锥E-A1CD的体积；（2）利用坐标法求线面夹角正弦值，进而可得余弦值.【小问1详解】222222222+AD=21：平面ABB1A1」平面ABC，且平面ABB1A1n平面ABC=AB，即平面ABB1A1为矩形，又点E为BB1中点，BDBD2+BE211AA2+AD222A2223232【小问2详解】如图所示，以点C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，)，yy， =一 225，所以cosθ=，即直线CE与平面A1CD所成角θ的余弦值为520.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn（1）求证数列{an-2}为等比数列，并求数列{an}的通项公式an.n+1)lanan+1Jm258（2）7【解析】的通项公式an.=2，可证明数列{an-2}为等比数列，可求数列{an}lanan+1Jmm258lanan+1Jmm258【小问1详解】n-1n-1+2n-8，则Sn-Sn-1=2an-2an-1+2，所以数列{an-2}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an-2【小问2详解】n数列{bn}的前m项和T21.在锐角‘ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且(a-b)(sinA+sinB)=(sinC-sinB)(acosB+bcosA).（1）求角A的大小；（2）若‘ABC外接圆的半径为，求的取值范围. 3π 3π【解析】【分析】（1）根据题意由正弦定理以及两角和的正弦公式可得b2+c2-a2=bc，即可得cosA=，结合角的范围可得A=；（2）利用正弦定理可得a=3，b=2sinB，c=2sinC，代入表达式利用三角恒等变换可得【小问1详解】因为(a-b)(sinA+sinB)=(sinC-sinB)(acosB+bcosA)，由正弦定理得(sinA-sinB)(sinA+sinB)=(sinC-sinB)(sinAcosB+sinBcosA)由正弦定理得(a-b)(a+b)=(c-b)c，所以b2+c2-a2=bc，(π)(π)【小问2详解】 π .32sinB2a2933因为‘ABC是锐角三角形，所以A+B>，所以>B