数学-圆锥曲线必背结论（口诀）

圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-椭圆

一、椭圆定义

椭圆三定义，简称和比积.

1、定义1:（和）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.

定点为焦点，定值为长轴.（定值=2。）

2、定义2：（比）到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做

椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e）

3、定义3：（积）到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.

定点为短轴顶点，定值为负值.（定值A=e2_]）

二、椭圆的性质定理

长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①

准线方程准焦距，。方、。方除以c②

通径等于2ep,切线方程用代替③

焦三角形计面积，半角正切连乘。④

注解：

1>|长轴短轴与焦距，形似勾股弦定施'

长轴=2。，短轴=2》，焦距=2%贝ka2=b2+c2

2、|准线方程准焦距，。方、，方除以C

a2

准线方程：x=一（Q方除以C）

C

准焦距，：焦点到准线的距离：P=]~（方方除以C）

3、|通径等于2eP，切线方程用代替

椭圆的通径d:过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距

离称为椭圆的通径.（通径〃=2叩=2・-—）

ica

过椭圆上（与,为）点的切线方程，用（.%,K）等效代替椭圆方程得到.

xnx一汕=1

等效代替后的是切线方程是:-^―1

ab2

4、焦三角形计面积，半角正切连乘1

焦三角形：以椭圆的两个焦点工再2为顶点，另一个顶点尸在椭圆

上的三角形称为焦三角形.半角是指6=二/尸的一半.

g

则焦三角形的面积为：S=b2tan-

证明：设尸居1=tn.\PF,\=n.则m+n=2a./m\\

由余弦定理：

o\F21x

m2+n2—2mn-cos6=4c2

=4a2—4b2=(m+n)2—4b2

即：—2mn-cos0-2mn—4b2,即：2b2=(7+cos3)mn.

即：机〃=i尸耳11PBr/工

1+cos。

11

故：S^F,PF^-mnSind=-

21+cos07+cos。

・2sin—cos—

sinUn228n

又：I+cos。一）2e一.2

2cos

2

S内PF?=Vtan?

所以：椭圆的焦点三角形的面积为

三、椭圆的相关公式

切线平分焦周角，称为弦切角定理①

切点连线求方程，极线定理须牢记②

弦与中线斜率积，准线去除准焦距③

细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④

注解：

1、I切线平分焦周角，称为弦切角定理

弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.

焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.

弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为

焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.

2、|切点连线求方程，极线定理须牢记

若为（勺,为）在椭圆4+4=1外，则过约作椭圆的两条切线，切点为

jbz

P/,P2,则点局和切点弦P/,B分别称为椭圆的极点和极线.

切点弦心弓的直线方程即极线方程是当+岑=/（称为极线定理）

3、|弦与中线斜率积，准线去除准焦距

弦指椭圆内的一弦AB.中线指弦A6的中点M与原点。的连线，即

2

AQ43得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离儿=一一去除

c

2

h2pb

准焦距p=2,其结果是：kAB'kOM=­=一一7

cxca

4、|细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹

中点弦A3的方程：在椭圆中，若弦A5的中点为Ma。,％）,弦AB称

22

xnxynyx0y（t

为中点弦，则中点弦的方程就是丁+不-=丁+万，是直线方程.

弦中点拉的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点为（勺,为）的弦43,其

xnxynyxy

中点M的方程就是:丁+~--r=后+京，仍为椭圆.

这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.

圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-双曲线

一、双曲线定义

双曲线有四定义，差比交线反比例

1、定义1:（差）平面内，到两个定点与，工的距离之差的绝对值为定

值2Q（小于这两个定点间的距离㈣闻）的点的轨迹称为双曲线。定点

耳，工叫双曲线的|焦固。即：|尸耳-尸闻=2"

2、定义2:（比）平面内，到给定一点及一直线的距离之比为定值e>l

的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点定直线叫双曲线的图

go

3、定义3:（交线）一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平

行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为叵石匐。

k

4、定义4：（反比例）在平面直角坐标系中，反比例函数7=一的图

--X

象称为回通线I。

证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.

*2V2

证明：因为孙=々的对称轴是y=x,y=-x,而［的对称轴

是X轴，y轴，所以应该旋转45".设旋转的角度为a（awO,顺时针）

（a为双脚线渐进线的倾斜角）

贝|J有：X=xcosa+ysina,Y=-xsina+jcosa

取a=45°,贝4：

2

X?-y2=「Xcos45。+ysin45”-xsin45-ycos45

=；1(x+y)2-(x-y)2=2xy

/I_—

而xy=k,所以，X2-Y2=2xy=2k

Y2X2

即：（k>0）或(k<0)

(-2k)~(-2k)

由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲

线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.

二、双曲线的性质定理

基本同椭圆，有所区别：

长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①

准线方程准焦距，。方、。方除以C②

通径等于2ep,切线方程用代替③

焦三角形计面积，半角余切连乘。④

注解：

1、|长轴短轴与焦距：形似勾股弦定理

长轴=2a,短轴=26，焦距=2%贝ij：a2+b2=c2

实际上，双曲线是实轴、虚轴、与焦距，但为了方便记忆，也不

至于造成混乱，我们还是按椭圆的口诀记忆.

2、|准线方程准焦距，a方、'方除以c

a2

准线方程：*=±—（。方除以c）

C

准焦距。：焦点到准线的距离：P=一（匕方除以C）

C

3、|通径等于2eP，切线方程用代替

双曲线的通径d：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间

c〃22b2

的距离称为双曲线的通径.（通径d=2即=2/——=—）

aca

过双曲线上弓（勺,如）点的切线方程，用功（々，w）等效代替双曲线方程

得到，等效代替后的是切线方程是：—/=/

ab

4、|焦三角形计面积，半角余切连乘1

焦三角形：以双曲线的两个焦点工，入为顶点，另一个顶点P在椭

圆上的三角形称为焦三角形.半角是指y=N工P%的一半.

22

xy、

双曲线7•-*=1的左右焦点分别为工,？2,点尸为双曲线上异于顶

2b2

点任意一点=/,则双曲线的焦点三角形满足：1尸/尸同=匚

其面积为；SwPFLb?©'\7J

证明设伊马|=帆，|「卫|=〃，贝仙"川=2。、

Fjol-~~x

在中，由余弦定理得：/\

22

IPFJ+\PF2\-2\PF^PF^r=\F,F2f,/।'

Rfj：m2+n2—2mn-cos/=4c2—4a2+4b2=(m—n)2+4b2

即：tn2+n2—2mn-cosy=(m—n)2+4b2

22

Hp:2mn—2mn-cosy—4bfFp：2b=mn(l—cos/)

2b22b2

即.mn^-------即.\PF\\pF\=---------------

1,1-cosyfr,1111/-cos/

那么，焦点三角形的面积为：

C112b2.

SAF,"=-mnsmy=-sin/

.2.2sin—cos—

bsmy=b222

1-cosy

2s吗3呜

故：^^FJPF2=bcot—

同时:SS2=如/2卜|力|=。也|,故：九=±,•吗

双曲线的焦点三角形的面积为：SgPF尸cot%.

三、双曲线的相关公式

切线平分焦周角,称为弦切角定理①

切点连线求方程,极线定理须牢记②

弦与中线斜率积,准线去除准焦距③

细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹④

注解：

1、I切线平分焦周角，称为弦切角定理

弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.

焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.

弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当

弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两

个焦点弦的角平分线.

如图,AF；PF2是焦点三角形，ZFJPF2为焦周

角，PT为双曲线的切线.则PT平分ZFJPF2.

2、|切点连线求方程，极线定理须牢记

22

若乃（勺,为）在双曲线外，以包含焦点的区域为内，不包含

QZD

焦点的区域为外，则过尸。作双曲选的两条

切线，切点为号、p2,则点打和切点弦P]P2

分别称为双曲线的极点和极线，切点弦

玛马的直线方程即极线方程是誓-誓=7

a，b

（称为极线定理）

3、|弦与中线斜率积，准线去除准焦定

弦指双曲线内的一弦A6.中线指弦A6的

中点M与原点。的连线，即AQ43得中线.

这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离

士=一去除准焦距P=2,其结果是：

CC

k,、BOM——2

4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹

中点弦43的方程：在双曲线中，若弦4B的中点为M（x0,y0）,称弦AB

为中点弦，则中点弦的方程就是：岁岁亭乎，它是直线方程.

弦中点M的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点局（勺,为）的弦

xnxynyxy

AB,其AB中点M的方程就是----户=户一声,仍为双曲线.

这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.

圆锥曲线必背口诀（红字为口诀）-抛物线

一、抛物线定义

抛物线，有定义，定点定线等距离

1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为阿逵］.

2、二次函数的图象是|抛物线.

二、抛物线性质

焦点准线极点线①，两臂点乘积不变②

焦弦切线成直角，切点就是两端点③

端点投影在准线，连结焦点垂直线④

焦弦垂直极焦线⑤，切线是角平分线⑥

直角梯形对角线，交点就是本原点⑦

焦弦三角计面积，半个p方除正弦⑧

注解：

1、|焦点准线极点:装

抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.

抛物线方程：y2=2px,焦点F(4,0),准线x〃=-«

(抛物线的顶点。(0,0)到定点F(K,O)和定直线与=-£距离相等)

2p2

焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点4和5,则A6称为焦弦.

XA+XB

弦中点XM=TyM=%:劝

焦弦方程：y=k(x--),A为斜率.

2

2、|两臂点乘积不变

焦点三角形两边|0川和|05|的点乘积为定值，且夹角是钝角.

证明：焦弦A3满足的条件

y=2px

=k2(x--)2=2pxk2x2-(k2+2)px+———=0

由韦达定理得：xAxB=-^-

%y8=_12pxA-y)2pxB=-2PylxAxB=_2Pq=_p2,

2

即：XAXB=¥,yAyn=~p①

3

2

且：OA-OB=(xA,yA)-(xB,yB)=xAxB+yAyB=--p<0.

故：焦点三角形两边之点乘积为定值.

3、|焦弦切线成直角，切点就是两端点

即：焦弦两端点的切线互相垂直.

证明：如图，由抛物线方程：y2=2px

,=

得到导数：yy'=P9即：j—

y

将①式以为=-。2代入上式得：kAEkBE=-1

即：AE1BE

4、|端点投影在准线，连结焦点垂直线

即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.

证明：坐标。(-§,)从)

则：”=(p,-%),DF=(p,-yA)

2

于是：CFDF=p-yAyB

将①式“加=-02代入上式得：CFDF=O

故：CFLDF

即：焦弦端点4,8在准线的投影点O,C,则

CF±DF,即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.

5、|焦弦垂直极焦线

若焦弦A3对应的极点E,则EJF为极焦线，于是EF_LA8

用向量方法可证.

由于M是A3的中点，A4E5为直角三角形,计算可得E是OC的中点,

故:\ED\=\EF\=\EC\

由向量法可证EP.AB=0

即：焦弦|A用与极焦线忸制互相垂直.

6、|切线是角平分低

即：切线平分焦弦的倾角(或倾角的外角)

如图：因为&WE和A4EE都是直角三角形,

且由定义知：\AF\=\AD\,\AE\=\AE\

故A4DE0A4尸E,则对应角相等.

即：AE是ND4F的角平分线

同理，5E是NCBF的角平分线

7、|直角梯形对角线，交点就是本原点

即：直角梯形A5c。对角线相交于原点

即：A,O,C三点共线；3,0,0三点共线.

用向量法证明：OA//CO,OBUDO

证明：坐标A(非,以)，''郎'")，。(一5，力)，。(-5,Xi)

向量：O4=(*,yJ,CO=§,一%)

各分量之比："生=互=%

(CO)XPp-(CO),,-yB-yAyB

2

将①式以助=」2代入上式得：0%=_i_=g

(CO),f%P2

{OA\(OA)QA

故：yOA!ICO

(CO)X~(CO\~CO

同理：O8//OO.直角梯形45cp对角线相交于原点.

8、焦弦三角计面积，半个p方除正弦

即：焦弦三角形的面积为……烹"为焦弦的倾角)

证明：|4叫=|4制+忸尸|=/+§+/+§=XA+XB+P=2(%+9=2|EM|

如图：|G产|=2|。尸|=p

,\EF\iIGFIp

则：EM=JL=-------J_L=—

sinasinasinasina

于是:吐2P

sin2a

故：=-\OF\\AB\sina=—•—•—r-sina=

^OB2'11122sin2a2sina

附：圆锥曲线必背----极坐标

一、极坐标通式

圆锥曲线的极坐标以准焦距p和离心率e来表示常量，以极径?和极角

e来表示变量.

p>0,0e[O,36O0)

以焦点尸（o,e）为极点（原点o）,以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线

的实轴为极轴的建立极坐标系.

故准线是到极点距离为准焦距P、

且垂直于极轴的直线L.

极坐标系与直角坐标系的换算

关系是：p=Jx2+y2,0=arctan—

X

或者：x=pcos9,y=psinff

特别注意：极坐标系中，以焦

点为极点（原点），而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程.

如图，。为极点，L为准线，则依据定义，到定点（极点）和到定直线（准

线）的距离之比为定值（定值e）的点的轨迹为圆锥曲线.

所以，对极坐标系，请记住：

（1）极坐标系的极点。是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点;

⑵曲线上的点P（.6）到焦点厂的距离是0,至I准线的距离是p+QCOS®,

根据定义：e=—

p+pcos0

R]7：ep+epcos0=p,Mp:ep=p—epcos0,

即：p=」^-①

1—ecos0

这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.

⑶对应不同的e,呈现不同的曲线.对双曲线，只是右边的一支;

对抛物线，开口向右.

极轴旋转780°

将极轴旋转780。，a和6分别对应变

换前后的极角，即转角为6=1+780。，

则极坐标方程变换前方程为：

一ep

P=-------

7-ecosa

变换后方程为：p=_”——②

7+ecosC

此时的极坐标系下，此时有：

(1)极坐标系的极点。是椭圆的右焦

点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点;

⑵对应不同的