专题06 导数（解答题10种考法）（精讲）（原卷版）

专题06导数（解答题10种考法）考法一含参单调性的分类讨论【例1-1】（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)求在上的最小值．【变式】1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性.2．（2023秋·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知函数其中．(1)若，求函数的单调区间和极值;(2)当时，讨论函数的单调区间．3．（2023秋·北京顺义·高三杨镇第一中学校考阶段练习）已知函数.(1)当时，求函数的最小值；(2)当时，讨论的单调性.考法二讨论零点个数【例2】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知为实数，函数(1)当时，求函数的极值点；(2)当时，试判断函数的零点个数，并说明理由．【变式】1．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）设函数，，其中，曲线在处的切线方程为(1)若的图象恒在图象的上方，求的取值范围；(2)讨论关于的方程根的个数．2.(2022·广东广州检测)已知a≥1，函数f(x)＝xlnx－ax＋1＋a(x－1)2．(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的零点个数．考法三已知零点个数求参数【例3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数，其中.(1)若，求的单调区间；(2)若恰有2个不同的极值点，求的取值范围；(3)若恰有2个不同的零点，求的取值范围.【变式】1．（2023·河南·模拟预测）已知函数，且.(1)求在上的最大值；(2)设函数，若函数在上有三个零点，求的取值范围.2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)若方程有三个根，求的取值范围．考法四恒成立与能成立问题【例4-1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数，其中.(1)讨论函数极值点的个数；(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.【例4-2】（2022·北京·统考高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．【变式】1．（2023·浙江·模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.2．（2023秋·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）设，.(1)当时，求的极值；(2)讨论函数的单调性；(3)若有恒成立，求的取值范围.3．（2023秋·江西·高三临川一中校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．考法五不等式的证明【例5-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数，．(1)求的极值；(2)证明：当时，．（参考数据：）【例5-2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围；(3)设，证明：．【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数，求证：当时，．考法六三角函数型【例6】（2023·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．【变式】1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）设函数．(1)求的单调区间；(2)设函数，求在的零点个数．2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数，的导函数为．(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；(2)当时，记函数的极大值和极小值分别为，，求证：．考法七切线问题【例7】（2022·全国·统考高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．【变式】1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知，函数．(1)讨论的单调性；(2)求证：存在，使得直线与函数的图像相切．2．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数，．(1)若曲线在处的切线与曲线相交于不同的两点，，曲线在A，B点处的切线交于点，求的值；(2)当曲线在处的切线与曲线相切时，若，恒成立，求a的取值范围．3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，函数.(1)若是增函数，求的取值范围；(2)证明：当，且时，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.考法八极值点偏移【例8】（2022·全国·统考高考真题）已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．【变式】1．（2023·安徽马鞍山·统考一模）设函数.(1)若对恒成立，求实数的取值范围；(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.2．（2023·安徽合肥）已知函数有两个极值点，.(1)求实数的取值范围；(2)求证：.3（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；考法九交点或零点之间的关系【例9】（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值．(1)求实数a；(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：．【变式】1．（2023·新疆·统考三模）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明．2．（2023·河南·校联考二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若方程有两个不同的实数根，证明：.考法十根据极值（点）求参数【例10】（2023·新疆·校联考模拟预测）已知函数，是的导函数.(1)若，求证：当时，恒成立；(2)若存在极小值，求的取值范围.