导数压轴大题的处理策略（解析版）-2023年高考数学压轴题训练（新高考）

压轴题10导数压轴大题的处理策略

目前虽然全国高考使用试卷有所差异,但高考压轴题目题型基本都是一致

的，几乎没有差异，如果有差异只能是难度上的差异，高考导数压轴题考察的是

一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是:切线，

单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立等等。

导数解答题是高考数学必考题目，然而学生由于缺乏方法，同时认识上的

错误，绝大多数同学会选择完全放弃，我们不可否认导数解答题的难度，但也不

能过分的夸大。掌握导数的解体方法和套路，对于基础差的同学不说得满分，但

也不至于一分不得。为了帮助大家复习，今天就总结倒数7大题型，让你在高考

数学中多拿分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题。

■压轴题要颁

O③③@>1分类讨论与极值点偏移问题

⑥③③色)2恒成立问题的处理策略

回③③①3凹凸反转问题的处理策略

，压轴题踵骑

1.己知函数/(x)=αe*-x-3有两个零点.

(1)求实数”的取值范围.

(2)函数g(x)=f(x)+x-In(X+1),证明：函数g(x)有唯一的极小值点.

【答案】⑴(Od)

(2)证明过程见解析

【分析】⑴对函数/(x)求导，求出函数“X)的单调区间，再利用函数图像，从而得出/(χ)

的最小值小于零，进而求出结果.

(2)通过函数的极值点的定义，将问题转化成导函数的零点问题，通过对函数g(x)求导，得

出导函数g'(χ)严格单调，进而再利用零点存在性原求出g'(χ)=o的零点，从而得到证明.

【详解】(1)因为"x)=αe，-x—3,所以/(x)=αe'—1,

当a≤0时，/'(x)<O恒成立，函数在R上单调递减，此时/(x)最多一个零点，不合

题意，

当4>0时，由尸(X)=0,得到X=InL

a

当Xe(O,In：)时，∕,(x)<0,即/(x)在区间(0,Inf上单调递减，

当Xe(In：,0)时，软x)>0,即/(x)在区间(0,Inj)上单调递增，

所以/(x)的最小值为/(InZJ=Geλ-ln--3=l+lntz-3=Infz-2

因为当Xf-8时，/(χ)→+00,当Xf+8时，/(χ)→+oo,

又函数〃同=呢,一工一3有两个零点，所以/(ln5)=ln。一2<。，得到Ovave?,

所以实数。的取值范围为(04).

(2)因为函数g(x)=αe"-x-3+x—ln(%+l)=αe'-In(X+1)—3,所以x>-l,

x

g'(`x),=ae--v^II

令MX)=ɑe8----!-j∙则∕z'(x)=ɑe`+号记>0在区间(-l,^o)上恒成立，即

g'(x)=αe"——Lr在区间(T,+∞)上单调递增，

x+1

又当x→-l'时，ae`→ae''>—^j→-∞.贝∣Jg'(x)→∙→30,

当x→∙+8时，4e*→+8,——>0,贝∣Jg'(x)→+∞,

x÷l

所以存在唯一实数re(T,M),使得g'(r)=O,即/(r)=0存在唯一零点f,

且x∈(O,f)时,g,(x)<O,χw(f,∙κχ))时,√(x)>0,所以x=f是函数g(χ)唯一的极小值点,

故函数g(χ)有唯一的极小值点.

2.已知/(x)=e*-暴2-X.

⑴若/(x)在x=0处取得极小值，求实数a的取值范围;

Λ

⑵若有两个不同的极值点.三(XaX2)，求证：Γ[^]<O(Jr(X)为/(x)的二

阶导数).

【答案】(1)(-∞,1)

(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数导数，讨论4≤0,O<α<l,。=1和α>l四种情况，根据导数情况讨

论函数的单调性即可得出；

--F-

(2)根据题意可得一("生■)=e*(%7Je-,构造函数

g(f)=2re,+l-e2,(r>0),利用导数即可证明.

【详解】⑴由题意得了'(x)=e*-αr-l,/'(0)=0,f(x)=ex-a,

①当α≤0时，/'(X)在(F,")上单调递增，

所以当x<0时，F(X)<F(O)=O,/(x)在(-8,0)单调递减；

当x>0时，r(x)>r(0)=0,/(x)在(0,-8)单调递减;

所以/(x)在X=O处取得极小值，符合题意.

当α>0时，由/"(x)>0可得x>lnα,由/"(x)<0可得x<lnα,

②当0<“<l时，Inα<0,/'(x)在(Ina,∙κo)单调递增，在(Ina,0)单调递减，

所以当x∈(lnα,0)时,∕,(x)<∕,(0)=0,/(x)在(Ina,0)单调递减；

当x∈(0,w)时，/(x)>r(o)=o,F(X)在(0,+8)单调递增;

所以一(X)在X=O处取得极小值，符合题意.

③当α=l时，知:(X)在区间(e,lnα)单调递减，/'(X)在区间(In“,饮)单调递增，

所以尸(x)在X=Ina处取得最小值，即r(x)≥∕(ln4)=r(0)=0,

所以函数/(x)在R上单调递增，

所以“力在X=O处无极值，不符合题意.

④当”>1时，lnα>0,由①知f(x)的减区间为(-∞,lna),

所以当xe(-∞,0)时，f'(x)>尸(O)=0,"x)在(一口0)单调递增；当Xe(O,lna)时，

∕,(x)<∕,(0)=0,/(x)在(O,Ina)单调递减；

所以/(X)在X=O处取得极大值，不符合题意，

综上可知，实数”的取值范围为(-∞,1)∙

,,一,fex'-ax.-1=0ev'-ex2

(2)%,马为/(x)=e'-以一1的零点，则<,a=---------,/"(x)=e^v-α,

2

e-0r9-1=0x1-x0

令土2；"=t，构造函数gQ)=2,e'+l-e2,(/>0),

rA,r

由②知，当α=l时，/(x)=e-ɑr-ɪ≥∕(0)=0,B∣Je>x+l.

,2z,,

则g'(t)=2e+2te'-2e=2e(l+r-e)<0,

所以g⑺在(0,+8)单调递减，故g⑺<g(O)=O.

故/.(工!逗)<0,故原不等式得证.

【点睛】关键点睛：本题考查函数极值点的辨析，解题的关键是求出导数，根据导数形式正

确分类讨论函数的单调性，结合极值的定义得出参数情况.

Inelx

3.已知函数/(x)=XJ,a≠0.

(1)讨论函数/(χ)的单调性；

(2)若InX—4(x)≤lnα恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)见解析.

⑵3收

【分析】(1)分类讨论α>0,α<0两种情况，由导数得出单调性；

(2)将lnx-j√∙(x)Vlna变形为2xe"≥e崂In,构造函数"(x)=Xe由其单调性得出

α⅛4--进而由导数得出M7的最大值，从而得出求实数”的取值范围.

e2re

【详解】(1)因为〃X)=网二，所以广⑺=二:2"e"=2αd'(2x-1)

XXX

当4>0时，由盟x)>0,得x>g,由r(x)<O,得且XH0,

故/(χ)的单调递增区间为(；,+«)),单调递减区间为(一8,0),(o，；)；

当“<0时，由∕<X)>O,得x<；，且X/0，由/'(x)<0,得x>；，

故/(χ)的单调递增区间为(y,o),fθ∙∣],单调递减区间为∖,+∞]

综上，当”>0时，“X)的单调递增区间为单调递减区间为(y,0),[oɪj;

当“<0时，/(X)的单调递增区间为(y,0),(θ,g),单调递减区间为

(2)易知x>0,a>0.

由Inx-M*(x)Wlna,可得Zae?'>lnx-ln(7=In-,

a

所以2xe"'≥-ln-恒成立，即2xe?"≥e%In-恒成立.

aaa

设〃(X)=Xe'(x>0),则M(X)=(X+l)e*>0,所以V(X)在(0,+司上单调递增.

当x>0时，M(Λ-)>0,所以2xe2*≥e崂In日恒成立等价于2r2n上恒成立，

aa

即”学哀对Xe(O,+∞)恒成立.

设MX)=却x>。,M(X)=

当Xe(0,；1寸，√(x)>0;当xe(g,+8)时，√(χ)<0.

所以MX)在(0,；)上单调递增，在(；，+8)上单调递减，

所以V(X)=所以即"的取值范围是g-，+/.

【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于将InX-对"(尤)≤lnα整理成2xe"≥e'%n'的

a

形式，构造函数"(x)=xel由其单调性以及"(2x)*jInq得出。》之，最后求出

Va)e

V(X)=W的最大值，得出“的取值范围•

4.已知函数/(X)=e"+x,g(x)=0r2+2χ+ι

⑴当a=g时，讨论函数尸(X)="x)-g(x)的单调性；

⑵当α<0时，求曲线y=/(χ)与y=g(X)的公切线方程.

【答案】(1)在R上单调递增.

(2)y=2x+l

【分析】(1)先求函数E(X)的导函数k(x)，再利用导数证明F(x)≥0,由此判断函数F(X)

的单调性；

(2)设曲线y=∕(χ)在点(χ∣J(χJ)与曲线y=g(χ)在(w,g(χ2))的切线相同，由导数的几

何意义可得

e2x'-40r,ex'+(4a-2)e''-4o+l=O,利用导数研究方程的解可求演，由此求公切线方程.

【详解】(1)当α=g时，F(x)=∕(x)-⅛(x)=e'-ɪ^2-Λ-1(X∈R)

F,(x)=ejr-x-l

令〃(X)=尸，(x),有〃(X)=e*-l,

当X∈(YO,0)时,Λ,(x)<O,函数MX)在(-8,0)上单调递减,

x∈(0,+∞),Λ,(x)>0,函数MX)在(O,+e)上单调递增，

故MX)NZi(O)=O,即F(X)≥0,

所以WX)=/(x)-g(x)在R上单调递增.

(2)因为/(司=6*+工，8(犬)=0¥2+2_¥+1,

所以r(x)=e*+l,g(x)=2αr+2,

设曲线y=/(χ)在点(NJa))与曲线y=g(x)在(心g(毛))的切线相同，

,t

则切线方程为y-∕(%)=∕'α)(x-χ),即3-e'-ɪɪ=(e*+l)(x-xl),

,v

整理得y=(e*+l)x—e"xl+e'.

又切线方程也可表示为y-g(x2)=g'(x2)(x-w)，

即y-ax^—2X2—1=(2ΛX2+2)(X-X2),

整理得y=(2t¾+2)x-Or；+l,

一,eη+1=Iax+2

所以r:12J

,η

-ex1+e=-0^3+1

消才2整理得e?"—4μe*+(4α-2)e*—4α+1=O.

令∕7t(x)=e2λ-40re'+(4〃-2)eA-4Q+1,

∕√(x)=2e2v-4tzev-4axex+(4tz-2)ev=2et^et-20r-l)

令姒x)=e"-2以一1,

因为〃<0,所以函数y=-2α∙l在在R单调递增，

又函数y=e'在在R单调递增，

所以夕(可在R单调递增，又O(O)=0,

当x∈(-0),o),e(x)<0,

XW(O,+oσ),>(x)>0,

又e'>0得，

所以x∈(y,0),加(X)<0,

x∈(0,+∞),m,(x)>0,

所以m(x)在(-8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增，

所以“(力Nzn(O)=O,

因此函数y=m(x)只有一个零点，

即e"'-40ηe"+(4α-2)e*'―痴+]=0只有一个解χ∣=0,

此时切线方程为y=2x+l,

所以曲线y=∕(χ)与y=g(χ)的公切线方程为y=2χ+L

【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于利用导数的几何意义确定切点的坐标满

足的关系，再通过利用导数研究方程的解，确定切点坐标，由此求出切线方程.

5.已知/(X)=£X2一(α+2)χ+21nx.

⑴讨论了(X)的单调性；

(2)确定方程f(x)=畀的实根个数.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)对/(x)求导，讨论α≤0,0<α<2,4=2和α>2时,尸(力的正负，即可

得出/(x)的单调性；

(2)将方程〃到=#的实根个数转化为直线y=∙∣+l与g(χ)=(的图象交点个数，对

g(x)求导，结合g(x)的单调性和值域即可求出答案.

【详解】(1)因为/(x)=]，-("+2)x+21nx,

2

cr.s,、/、2ax-(a+2)x+2(X-Iwar-2),、

所以广(x)=0x-(α+2)+-=------——L——=1——Zl-------ʌ(ɪ>0),

当α≤0时，xw(0,l)时，/^x)>0,/(x)是增函数，

XW(L3)时,f'{x)<O,〃x)是减函数.

当0<α<2时，Xe(0,1)或xe(j+8)时，∕<x)>0,/(x)是增函数，

Γ(x)<O,/(x)是减函数.

当“=2时，∕,(χ)≥O,/(χ)在(0,+8)上是增函数.

当4>2时，Xe(O,∙∣)或X∈(1,E)时，f^x)>0,/(x)是增函数，

x∈(jl)时，r(χ)<O,/(x)是减函数.

综上可得:当α≤0时，/(x)在(0,1)上是增函数，在(1,R)上是减函数;

0<α<2时，"x)在(0,1),(0+8)上是增函数.在[1,∙∣)上是减函数;

a=2时，“X)在(0,+⑹上是增函数；

4>2时，/(x)在(θ,jj,(l,"o)上是增函数，在弓,1)上是减函数.

(2)方程"χ)=]χ2的实根个数即-(α+2)χ+21nx=0的实根个数.

即直线y=^+l与g(x)=(的图象交点个数.

因为/(X)=匕詈，所以x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)是增函数，

xe(e,+x))时,g'(x)<0,g(x)是减函数.

xw(e,~)时，g(x)取值范围是(θ,

所以当9+l>l,即“>2-2时，方程"x)=Wχ2没有实根，

2ee2

当=+1=，或;+l≤0,即4=2-2或α≤-2时，方程/(x)=W/有1个实根;

2e2ev'2

当O<∙∣+l<g,即一2<a<∙∣-2时，方程〃X)=#有2个实根.

【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有

参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数/'(X)的正负时，难点在于分类讨论时标准

的确定，主要是按照((X)=O是否有根，根的大小进行分类求解的.

6.己知函数/(x)=(α-3)lnx-30r-L(αeR),ln3≈l.l.

⑴当α<0时，试讨论/(x)的单调性；

⑵求使得/(x)40在(0,y)上恒成立的整数。的最小值；

⑶若对任意“e(-4,-3),当x∣,x2e[l,4]时，均有(m+ln4)∙α>|/(七)一/(々)|+3加4成立，

求实数W的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)1

37

(3)(-∞,---]

4

【分析】(1)求得并化简/'(x)=’分〃=一3、。«-3,0)和。«9,—3),三

种情况讨论，即可求解函数的单调区间；

(2)根据题意得到结合导数得到函数的单调性,求得了(x)ntκ=-(α-3)ln3-a-3≤(),

进而求得答案；

(3)由⑴得到|/(七)一〃玉)归/(4)-〃1)=(。一3)山4-94+彳，转化为机<一9+烹，

37

根据αe(Y,-3),求得〃z≤-?,即可求解.

【详解】(1)由/(x)=(a-3)lnx-3or-：,可得函数/(x)的定义域为Xe(0,4w),

且广⑺=03二=一3江+(,一3)川=(『以+1),

Xx-x-Jr

①当〃二一3时，r(x)≥0恒成立，即/(X)在(0,+8)上单调递增；

②若“e(-3,0),

当Xe(O，g]时，∕&x)>0;当时，/'(x)<()；

当xe(一：,R)时，f∖x)>0；

所以/(x)在(θ,g)上单调递增，在上单调递减，在［-5+8)上单调递增,

③若a∈(γo,-3),

当Xe(0,时，f↑x)>0;当时，∕,(x)<0;

当时，JKX)>0；

所以/(x)在(。,-£|上单调递增，在(-5；)上单调递减，在(g,+s)上单调递增;

(2)由(1)知：当“<0时，/(x)在xτ+8时单调递增，

又因为xf+8时，/(x)→-κo,所以“<0不符合题意，所以“≥0,

由(1)知，,f'(x)=匕坦竺士ɪɪ,当α≥0时，0x+l>0,

令/")>0,得O<x<g;令/'(x)<0,得》>；；

所以〃X)在(θ,gj上单调递增，在上单调递减，

所以F(X)nm=∕(g)=(α-3)lng-α-3=-(α-3)ln3-a-3≤°'

31n3-30.31

可得.2

In3+12J^7

所以使得/(x)≤0在(0,+e)上恒成立的整数“的最小值为L

(3)由(1)可知，当αe(T-3)时，/(x)在［1,4］上单调递增，

1Q

所以|/(天卜∕G)∣≤∕(4)-∕Xl)=(α-3)ln4T2a-wT-347)=(α-3)ln4-9α+1,

因为(加+104”>|/(七)一/(芭)|+31口4恒成立，所以(m+ln4)α>4ln4-9α+“

3

所以相〃>一9。+一,

4

3

又因为。<0,所以加V-9+—,

4a

又由α∈(T,-3),所以一9+；e(一号，一号^］，所以"2≤-斗，

v74〃I416J4

37

即实数用的取值范围是(F,-ηr］∙

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围;

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就

要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

7.已知函数/(x)=InX-25.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

⑵若f(x)≤O恒成立，求α的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

⑵ɪ`+001

【分析】(1)求定义域，求导，分α≤0与4>0两种情况，求解单调性；

Y

(2)参变分离，得到2。2吆InY，构造g(x)=UIn"，求导，得到其单调性，求出最大值，得

XX

到az;.

2e

【详解】(I)/'(x)=L-24=上工竺(x>0).

XX

当α≤0时，/'⑴=上|竺>0,所以/(x)在(0,+8)上单调递增；

当4>0时，令f(x)=12-=O,解得X=J,

X2a

当T吟)时，r(χ)=上［竺>0；

当XW七,+8)时，∕,(x)=1~^ax<0;

所以/(X)在(0,5)上单调递增，在(5,+8)上单调递减；

(2)/(X)的定义域为(0,+8),

InY

若F(X)≤0恒成立，则Inx-2◎≤0恒成立，即2α≥吐恒成立，

X

ʌ、InxLFC、/、D,/、(Inx)z∙x-lnx∙x,I-Inx

令g(zx)=——,只需2α≥g(x),又g'(x)=ʌ~~；---------=——,

XnιaxXX

令/(X)=O得x=e,

l∏γ

f

X£(0,e)时，g(x)>Of则g(χ)=一单调递增；

X

Inγ

x∈(e,÷∞)时，g'(x)vθ,则g(χ)=~∑单调递减；

X

故g*)=—在X=e时取得极大值，也时最大值.

X

所以2aWg(x)nm=g(e)=L解得：67>τ^-,

e2e

故α的取值范围是[J，+«>].

L2e)

8.已知根>0,e是自然对数的底数，函数/(χ)=e"+机-〃?ln(如一根).

⑴若机=2,求函数F(x)=e"+2∣■-4x+2-/(x)的极值；

⑵是否存在实数加，∀x>b都有/(χ)≥O?若存在，求加的取值范围；若不存在，请说明

理由.

【答案】⑴极大值为爪2)=21n2-6；F(X)的极小值为尸⑶=41n2-^

(2)存在，(θ,e2]

【分析】(1)将m=2代入可得F(X)=/4x+21n(2x-2),对函数WX)求导利用导函数

判断其单调性即可得出其极大值为F(2)=21n2-6,F(X)的极小值为*3)=4ln2-£；

(2)易知其定义域为(1,+8),结合〃?>0将/(χ)zθ化简变形可得

ev-'"ra+(x-lnm)≥e∣""f+ln(x-l),构造函数/?(x)=e'+x易得其为单调递增函数，即

ln∕π≤x-ln(x-l),求得函数"(x)=x-ln(x-l)在定义域内的最小值即可得,“ve，.

22

【详解】(1)由〃?=2,可得尸(X)=e"+'-4x+2-∕(x)=2∣■-4x+21n(2x-2),

易知F(X)的定义域为(1,M),

2X2-5x+6(x-2)(x-3)

则F'(x)x-4ZI+------=---------------=ʌ--------------l

X—∖X—1x-1

X(L2)2(2,3)3(ɜ,-nɔo)

FF)+0-0+

F(X)单调递增21n2-6单调递减41n2--单调递增

2

F(X)的极大值为F(2)=21n2-6;F(X)的极小值为产⑶=41n2-£.

(2)因为根〉0,由AnY-6>0得x>l,

即/(x)的定义域为(1,+8).

当〃7>0,x>1时，由/(x)=e'+/%-mln(πιx-m)≥0可得，

ex+m≥Awln(∕τιr-∕n)=mlnm+∕^ln(x-l),不等式两边同时除以〃？可得,

ɪeʌ+1≥ln∕22+ln(x-l),即，e"-In机≥ln(x-l)-l

mm

可得ev-lnw-ln∕n≥ln(%-l)-I

所以ev-,nw÷(x-ln∕7i)≥ln(%-l)+(x-l)=eIn(v-l)+ln(ɪ-l).

设MX)=砂+X,则ev-,nw+(x-lnM≥e,n(r-1)+ln(x-l)

即∕z(xTnm)≥∕2[ln(x-l)].

易得〃(力=Q+1>0,所以MX)为单调递增函数.

由ZZ(X-Inm)≥∕z[ln(x-l)],可得x—lnm≥ln(x-l),所以ln∕w≤x-ln(x-l)

1r_o

设"(x)=XTn(X-1),则H,(x)=∖-----=----

x-1X-I

・・・当x∈(l,2)时，y(χ)=^<0,即"(x)单调递减；

x—1

_ɔ

当X«2,”0)时，H,(χ)=^r^>O,即H(X)单调递增.

即xe(l,÷∞)时，H(XL="(2)=2；

由题意可得lπ∕n≤"(x)min=2,即mVet

.∙∙存在实数〃?，且〃，的取值范围为(O,e].

【点睛】方法点睛：不等式恒成立求解参数取值范围时，常用的方法是通过构造函数将问题

转化成求解函数最大值或最小值问题，即可求得参数取值范围.

9.已知函数〃X)=-Inx,g(x)=e^x-ev.

⑴若一e[0,l],g(x)>∕(a)成立,求实数。的取值范围;

且7«吟卜宏

⑵证明：力(x)=/(x)+COS丁有且只有一个零点X。

【答案】(l)“>l

(2)证明见解析

【分析】(1)利用导数研究g(x)的区间最值，根据能成立有/(α)<g(x)nm,即可求范围;

(2)应用导数研究力(幻的零点所在区间为(正,e)并证明唯一性，再由CoS?=InX。可得

gc喂=J-Xo,构造MX)=I-X,xe(√^,e)研究单调性即可证结论.

【详解】(1)由g(x)=e"-e，得：短(x)=-e'-e-'vθ,则g(x)在［(),1］上单调递减,

g(x)在［0』］上最大值为g(O)=e。-e。=O,

若hw［O,l］,g(x)>f(α)成立,则必有/(α)<0,

由/(α)=-lna<O,得〃>1,故实数。的取值范围为a>l.

(2)由/(幻=-Inx在(e,+8)上单调递减，且"x)<-l恒成立，

了_2π

y=cos"最小正周期一兀一,,在(e,+∞)最大值为1,

2e五

由此∕z(x)=∕(x)+cos?在(e,+8)恒为负值，没有零点.

2e

下面看h(x)在(0,e]上的零点情况.

Λ(x)=-lar+cos-,x∈(0,e],则导w[θ(,故//(工)=一，一ESin巴<0,

2e12_2e2e

即以X)在(0,e]上单调递减,

h(yfe]=-^-÷cos-^=>-^-+cos--F=>--+cos---=O,Λ(e)=-l,

1/22√e22√∑2522x1.51)

故心)在伊村上有唯一零点.

综上，〃(幻在(。,+8)上有且只有一个零点.

L

令一InAO+cos∙^=O且％∈(7e,e),贝IJCOS^∙=In/,

2ev72e

cs

所以g(cos%]=e-e°^=e-*-e*=--x0,

Λ2eJX0

令n(x)=g-x,xe(五,e),则"'(x)=-(∙-l<0,即"(x)在(J^e)上单调递减,

所以="(e)<"(x)=L-x<〃(6)=1一五=,

10.已知函数/(x)=e'(tanx-l)-l,"x)的导函数为了'(X).记函数”x)在区间

(3π兀、.，，一一.

［〃兀一彳,〃兀一,J内的零点为Xn，n∈N*.

⑴求函数/(x)的单调区间;

(2)证明：ɪ+l-<π.

【答案】(D∕(x)在1:+E,∕)(∕eZ)上单调递减；在^5+配一：+E

(E,]+E)(AeZ)上单调递增

(2)证明见解析

【分析】(1)根据正切函数定义域可得“X)定义域，求导后，根据尸(x)的正负可确定/(χ)

的单调性；

(2)当xe(mt-亨,〃兀-屈("€1<)时，可知/(x)<0恒成立，函数无零点；当

xe("π-个∙,”7t-]](weN*)时，利用零点存在定理可说明x“e(“τr-寸∙,"π-]j,由此可得

4+兀，七向的范围，结合函数单调性，通过分析法可知只需证明/(x,,+π)>O即可，结合

tan工-1=e^^∕可证得结论.

【详解】(I)“X)的定义域为卜∣x≠E+全&zj,

,x、卜jf；

∕(x)=ekanx-l+g)=e"anx+'j]-e∙tanx(l+tanx)

当戈e(_：+E,E)左eZ)时，∕,(x)<0；当Xe(-∙^∙+E,-∙^∙+⅛π)(E,∙^∙+⅛π)(k∈Z)

时，第x)>0;

\/任)在1^+也也](&eZ)上单调递减；在(-万+E,-1+E],+Aπ](*eZ)上单

调递增.

⑵①当Xe(M-与,"兀时，tanx<l,.∙.∕(x)<0恒成立，此时/(x)无零

点；

②当xe(“τt-,,〃兀-f("eN*)时，由(1)知：/(x)在(“π-青,∕m-R("∈N')上单调

递增，

/[ajr-?)=-l<O,/(wπ-年)=e""3^∖∕3-lj-l≥e^^ʌ/ɜ-lj-l>0,

存在唯一招∈Γ∏π-y,nπ--∣VneN∙),使得/'(x,J=0(〃eN")；

,

xne(∕m-亨,wr-∙^)("eN*),..+πe++eN*),

X"Me("7t+2,,m+])("eN*),

又/(χ)在,兀+：,"兀+∙^)上单调递增，

ππ

，要证ɪ+l-⅞<>即证¾÷∣<⅞+>只需证/(⅞+l)</(⅞+兀)，

又/(%+J=°,则只需证/(怎+兀)>0;

x,x

/(xn)=e'(tanx„-1)-1=0,.∙.tanx,,-1=e^",

,,,πt,,+ππ

.∙.f(x,,+π)ɪe''[tan(xn+π)-1]-1=e(tanxπ-l)-l=e-l>0,

•,•%+|一七，<兀得证・

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性和函数零点的问题，本题证明与

零点有关的不等式的关键是能够利用零点存在定理说明零点所在的范围，从而通过分析法将

问题转化为证明/(%+π)>0的问题.

11.己知函数/(x)="?InX+x+”土ɪ.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当机=1时，证明：x2∕(x)<ex+√.

【答案】(1)分类讨论，答案见解析；

⑵证明见解析

【分析】(1)求得尸(x),对抗进行分类讨论，由此求得/(x)的单调区间.

(2)转化不等式χ2∕(x)<e'+x3,利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.

【详解】(1)由题可得尸(X)='+1■■空L(XT)口；(加+川,x>0.

当m+l≥0,即m≥-l时，x+(w∕+l)>0,

由用x)>0,得X>l;由r(χ)<o,得Ovxvl,

所以/(x)在(I,”)上单调递增，在(0,1)上单调递减.

当zτ2+l<-l,即Tne-2时,

由元)>。，得X>T72-1或OVXV1；由/'(x)<0,得l<x<-6一1,

所以在(O/)，(TnT内)上单调递增，在(1,-加-1)上单调递减，

当一1<"i+1<O,BP-2<m<-1,

由y<x)>O,得O<x<一切一1或x>l；由r(x)<0,得一加一l<x<l,

所以/(x)在(0,-加-1),(l,+∞)上单调递增，在(-6-1,1)上单调递减，

当∕n+l=-l,即机=一2时，Γ(x)≥0,/(x)在(0,+∞)上单调递增，

综上所述，当m≥T时，“X)的单调递增区间为(l,+∞),单调递减区间为(0,1);

当机<-2时，/(X)的单调递增区间为(0,1),(-zn-l,+∞),单调递减区间为(l,-m-l);当

-2<m<-lHτf^,

/(X)的单调递增区间为(0,-∕n-l),(l,+∞),

单调递减区间为(TMT1)；当加=-2时，/(x)的单调递增区间为(0,+8).

(2)当，〃=1时，由x?(InX+x+-]<e"+χ3,Wlnx+x+-<Ar+∙^'

IXJXX2

x2

即三e—Inx—上>0∙

XX

设/z(X)=三一InX-2,χ>0,

则/X)=立安二+4=鱼芈出

''XXXX

设Z(X)=e'-x,x>0,则A'(x)=e'-1.

因为当χ>0时，>0,所以函数MX)在(0,+8)上单调递增.

又因为MO)=I>0,所以当x>0时，MX)>0,BPeγ-x>O.

令"(x)=0,得％=2,因为e“—x>0,

所以当x∈(0,2)时,Λ,(x)<O,MX)单调递减；

当x∈(2,+∞)时,//(x)>0,〃(%)单调递增,

2

所以∕z(x)min="(2)=qe"-ln2-l.

又因为力⑵=氏竽a>o,所以MX)>o.

因此，当x>0时，∕z(x)>O恒成立.

故当〃?=1时，x2∕W<e<+∙^∙

【点睛】利用导数研究函数的性质或证明不等式，当一次求导无法求得函数的单调区间，可

考虑进行二次求导来对函数进行研究，研究过程中要注意导函数和原函数的对应关系，不能

弄混.

12.已知函数f(x)=-x2+(∕n-l)x-l(w∈R).

⑴求函数/("在区间［1,2］上的最大值；

⑵若〃Z为整数，且关于X的不等式/(X)N恒成立，求整数次的最小值.

∖2

4机-o3,m≥—

5

【答案】⑴"x)nm=32

-m-2,m<-

［25

(2)最小值为2

【分析】(1)讨论m的取值范围，结合二次函数的对称轴与区间的位置关系，即可求得答

案；

(2)将不等式/(x)≥lnx恒成立，转化为函数的最值问题，即设

G(A-)=lnx-^nr2+(l-∕n)x+l,(Λ>O),利用导数求其最值，分类讨论，即可求得答案.

【详解】CD若加=O时，/(x)=rT,∕(x)在区间［1,2］上单调递减,

所以F(X)M=-2.

若m>0,则二次函数图象对称轴x=4,

m

当一-≤-,即mNW时，1离对称轴近，2离对称轴远，

m25

所以/(x),皿=/(2)=4m-3.

当二即0<,"<9时，1离对称轴远，2离对称轴近，

m25

A%=/(1)=丁-2.

若m<0,对称轴X=呼<0j(x)在区间［1,2］上单调递减，

z、3

/Wrnax=/(1)=277z^2

LC、2

4m-3,m≥—

x

综上，≠()max="3

-m-2,m<-

［25

(2)因为/(x)≥lnx恒成立，

即IrLr+(l-λn)x÷l40恒成立，

令G(X)=InX-gm?+(l-"7)x+l,(x>0),

所以G'(x)=!_/7U+(l_//2)=-IWC2+(1-AΠ)X+1(x+l)(l-∕7tr)

XX

当帆≤0时，因为x>0,所以G'(x)>0,

所以G(X)在(0,+8)上是单调递增函数.

又因为G(I)=-]z+2>0,所以关于X的不等式G(X)≤0不能恒成立.

当m>0时，G，(X)=(x+l)(l-Anr)m

XX

所以当Xe(θ,,时，；当∈

令G'(x)=O得X=G(x)>0x(∖,+8时，G(X)<o.

mm

因此函数G(X)在XE(O上是增函数，在+s]上是减函数.

XE

mJ

------∖ntn

in2m

11ill

令力("?)=五一In机，因为〃(l)=∕>0,∕z(2)=wTn2<ιTne2<0.

又因为Mm)在me(0,+∞)上是减函数，所以当∕π≥2时，/ι(w)<0,

即关于X的不等式G(X)≤0恒成立，

所以整数〃?的最小值为2.

【点睛】方法点睛：解答关于X的不等式/(x)≥hu恒成立问题，需将问题转化求函数最值,

因此利用导数结合分类讨论，求解函数最值即可解决.

13.已知函/(x)=(x+a)e*,α∈R.

⑴讨论/(x)在(0,+纥)的单调性；

(2)是否存在α,x0,x∣,且∙⅞Hx∣,使得曲线y=∕(x)在X=XO和x=x∣处有相同的切线？证明

你的结论.

【答案】(1)答案见解析

(2)不存在，证明见解析

【分析】(1)对〃x)求导，讨论一。一1>0和一αT≤0时，/'(》)的正负即可得出答案;

(2)假设存在，求出“X)在&,/(Xo))和(％,"3))处的切线方程，建立等式，将等式化

简，减少变量，从而构造新的函数，研究新函数的单调性，即可证明.

【详解】⑴/(x)=(x+α+l)eS

故x>-α-l时，/^x)>0;χ<-α-l时，∕,(x)<O,

当-α-l>O,即a<—1时，f(x)在(O,-a-l)单调递减，在(F-I,+∞)单调递增；

当—α-l≤O,即α≥-l时，/(尤)在(0,+8)单调递增.

综上，当α<-l时，/(x)在(0,—。―1)单调递减，在(-。一1,—)单调递增；

当a≥T时，/(x)在(0,+∞)单调递增.

(2)解法一：不存在a,⅞,x∣,且XoW玉，使得曲线y=∕(χ)在X=Xo和X=Xl处有相同

的切线.

证明如下：假设存在满足条件的a,%,4，

因为/(x)在(％J(Xo))处的切线方程为(XO)(X-%)，

s)

即y=(/+a+l)e"∙x+(a-Λθ-av0)e,

同理/(x)在(XIJ(Xl))处的切线方程为y=(x∣+a+l)e*'∙x+(a-x∣2-aη)e∙",

(Xn+a+l)e*>=(Xl+a+l)e*'

且它们重合，所以，∖]/2、,，

n

Ia-Xg-ar0Ie=la-xl^-axlIe'

整理得(改>+a+l)(a_x：-OrJ=(N+a+l)(a一片一叫)，

即玉%+(4+1)(尤0+4)+储+24=0,j⅛x∣+(a+l)(xo+xl)+(a+l)2=1,

所以(与+a+l)(xl+a+l)=l,

由(毛+a+1)e*=(西+a+1)炉两边同乘以e"+∣,

jb+a+1v+fl+l

得(七+a+l)e≈(Λ1+o+l)e',

令J=x0+a+l且…一

1I1..

由储=1得力=7,代入仔'。=F得/=t2e,l,两边取对数得-=21n∣rl∣+f,.

令g(f)=21nM+f-,

当f>0时，g(0=21nr+z-ξg，(f)=2+]+；=≥0,

所以g(f)在(0,+8)上单调递增,Xg(I)=O,所以“1,从而“1,与%≠%矛盾;

当f<0时，g(f)=21n(τ)+f-g,(r)=∕+ι+"=I^lL≥o,

所以g(f)在(-8,0)上单调递增，又g(-l)=O,所以6=-ι,从而％=T,与“打矛盾；

综上，不存在仇*使得｛if且“HK

故不存在α,⅞,玉且∙⅞≠X∣,使得曲线y=∕(x)在X=Xo和X=Xl处有相同的切线.

解法二：不存在a,⅞,当且XoHXI,使得曲线y=f(χ)在X=XO和X=Xl处有相同的切线.

证明如下：假设存在满足条件的“，斗,储，

因为在处的切线方程为〉即

/(χ)(Λ0J(%))∙√∙(χo)=r(χ°)(χ-%),

x%il

y=(%+α+l)e*∙+(x0+o)e-Λ0(x0+«+l)e(,

xrv

同理/(x)在(XIJ(Xl))处的切线方程为y=(x∣+α+l)e'∙%+(x1+a)e'-xi[xi+a+l)e',

」_人一(/+α+l)e*=(X[+α+l)e*

日1>们重合所以八°)v17

H匕IlJ里口，历以[5+〃芦YO(XO+α+l)e"=(χ+α)e∙qτG+α+l)e司'

整理得(Xo+q+l)[x∣+a—%(Xl+α+l)]=(x∣+α+l)[x0+α—XO(Xo+4+1)],

令%=Xo+α+l,r∣=∙x1+α+l,可得精=1,

1

由(％+α+l)e*=(xl+α+l)e*两边同乘以e"∣,

得小+α+l)e*i=(%+α+l)e*i,则产"=侬，且"小

卬I=1

令〃(f)=fe',则〃。)=贴),