应用数学变分

33小波变换的计算机实要实现小波变换Wx(a,)x(t)tdt小波变换的计算机实要实现小波变换Wx(a,)x(t)tdtW(a,)xaatnTs,按(nknW(a,kT)x(nTsxssaaT4Tx(n)(nTx(n)(nk)W(a,k)xaanaka值下一组WT数。计算时，a值也必须离散取值。实际工作中最常用的离散取值是a2j,j0,1,5提高精度方1.梯形法.W(a,k)Tx(n)(提高精度方1.梯形法.W(a,k)Tx(n)(nk)(n1k)x(n1)xaa2an2.数据经验补救法.(nka)xNn0,1,,1).xNxNk xkxN2).6应用小波方法应用小波方法作分析应用小波方法作分析的步骤(1).按（2.29）或（2.30）计算出对应于一些离散尺aaj下的小波变换Wx(a变换结果应是三维曲线7(2).再按下面两类方法显(2).再按下面两类方法显示出结果aaWx(aj,)~1).对于每一值，画出一曲线。常用于尺度较稀少时（如来取）a28a平面上表示，把三维结果在二维Wxa平面上表示，把三维结果在二维Wx(ak,大小。如果认为小波变用灰度值表示换的相位也含有有用信息，可以把相位也表a现平面上。a9对照图对照图示，分析结果。从频域上看，用a值作处理相当于用不同中心频率但第三小波§3离散小波变换为了减小第三小波§3离散小波变换为了减小小波系数冗余度，便于实际计算，可以 (t)1(ta,小波基函的参限定aa离散点上取值一种最常用的离散方法就是将尺度a按幂级数进am,(m0,1,,a离散化，即取a0，一般m00(t)t(t)ta通常进行均匀离散取值，以覆盖整个时Ts轴。为了不丢失信息，要求采样间满Nyquist采样定理：采样频率大于等于该尺度下率通带的二倍当m增加1，尺度增加一倍。对应的频带减小一半见（2.27）式。由此可见，采样率可以降低一半，即的间隔T，则在尺度时，间隔st取可表示2mTs(t2mnTs)11ta,(t)nTs(t) (t(t2mnTs)11ta,(t)nTs(t) (tnTm,n记sTs为简化起见t轴归一化，这样上式变1t(t)m,n任意函f(t)的离散小波定义为W(m,n)ff(t)fWx(ak,Wx(ak,aaaa和aa和对于离散小波变换，我们将解决下列两个问题(am,n)f对于离散小波变换，我们将解决下列两个问题(am,n)f(1).f0am0(a,mWf(t)为基的加f0和f(t)f(t)能否表示成m 0scm 0s设小波母函数(t)经伸缩与位移引出的小波基(t) tn)|mZ,设小波母函数(t)经伸缩与位移引出的小波基(t) tn)|mZ,nm数构成一个标20AB使（框架frame）即存在正f(t),m,n(t)Aff(a).若标架是紧的，即A＝B，则有信号重建公式：f(t)Af(t)mZ即f(t)W(m,fA(b).若标架不是紧的，即A<B，则有信号一阶似公式：f(t) A(b).若标架不是紧的，即A<B，则有信号一阶似公式：f(t) AW(m,(t)fBx其B重建核.一般情况下标架中的各个m,n并不正交甚至可能是线性相关的。故经标架处理后的小波系所含信息是有冗余的。在紧标架f(t)W(m,fA处的WT在某(m0,n0Wf(m0,n0)f(t)m0,n0将（3.9）代入（3.10）R)处的WT在某(m0,n0Wf(m0,n0)f(t)m0,n0将（3.9）代入（3.10）R)W(m,AW(m,fmf0000R(m, RWm0fAK(m,n;m,n)W(m,00fAmZK(m,n;m0,n0):m,n(t)m0,n0(t)dtm,n,m0,n0R称为重建核，反映m,n的相关程度，式与 称为重建方程。相平面上的离散函数F(m,n)当且仅当满足小波基函数的类型(1正交小波A=B=1时K小波基函数的类型(1正交小波A=B=1时K(m,n;m0,n0)m,n,m,n(mm0,nn0 m,n互相正交，WT(2半正交小波K(m,n;m0,n0)0,mm0(3双正交小波m',n即例.Marr小波离散为小波标架。将小波的尺度与位移分别离散化m(t) 例.Marr小波离散为小波标架。将小波的尺度与位移分别离散化m(t) tm200t2(t)(1t2其中母函m,n(t)构成了一则空间的小波标架L2(R)a0,之间的关系其标架的上下BA下表a0 时1).近似紧标架在下列情况时得到：a0a0 时1).近似紧标架在下列情况时得到：a0时，取0.75；2取；时时，；22。此时，采用重建公式（3.9）可以精确的重构原函f(t)a0一定时，B/A的值的增大而增大3).给定一值，只3).给定一值，只取得足够小，可以得到一个近似紧的小波标架a02,A时不是紧标架第三小波§4正交小第三小波§4正交小波变换与多分辨率4.1.mm,n(t)22(2mtm,n(1).Harr小波Harr函数0t12(t)(1).Harr小波Harr函数0t12(t)t其12ˆ() sin2ei/4mm,n(t22(2mtm,n的小波是正交的。但Harr小波在时域是不连续随1/Littlewood-Paley(t)1(sin2tsinLittlewood-Paley(t)1(sin2tsinˆ()1,m(t)22(2mtm,n的小波是L2R)称为Littlewood-Paley正交小波基。与Harr小波相反1/上两例的小上两例的小波虽然都构成了L2R空间的标准性的小波基？1985年，YMeyer基不存在时，却意外的用紧标架理论构造出这种小波基，后来被称为Meyer小波小波在时频域均有很好的局部性(3).Meyer(x)kxx(3).Meyer(x)kxx(x)(x)(1x)提高2)(t)Ck(1值可以改进Meyer小波在时域的局部4.2.多分辨率分析(Multi-尺度函数与尺度空间定义函数(tL2(R)为尺度函数(Scale4.2.多分辨率分析(Multi-尺度函数与尺度空间定义函数(tL2(R)为尺度函数(Scalek(t(tk)k(t),j(t)k,jk,j(t)在L2(RVk0kk故对任意有f(t)akk故对任意有f(t)akkk类似小波函数，对尺度函在平移的同时再行尺度的伸缩，则可得一个尺度和位移均可变化函数集合（整数平移，尺度按二进制伸缩j,k(t) (2k)jk(2j2jt)j上的平移系列函则称每一固定尺成的空Vj为尺度j的尺度空间Vj span{k(2jkkVj同样对任意有2ak tfVj同样对任意有2ak tf(t)akk(2jt)jk由此，尺度函k在不同尺度下，其平移系张成了一系列的尺度空。的定义域变大，j的增大，函数j,k(t)2j实际的平移间也变大。则它的线性组合(4.11)Vj张成的尺度空只能包括大尺度的缓变信号j的减小，函数(t)j,k2j也变小，则式(4.11)平移间更细微变化，其尺度空间变大，所包含的函数增多(tk(2j)1(t)j,(tk(2j)1(t)j,kj,k220,kV04.2.2.多分辨率分析定义定义多分辨率分析是指满足下述性质的一{Vj4.2.2.多分辨率分析定义定义多分辨率分析是指满足下述性质的一{Vj},j列闭子空V2V1V0V1V2一致单调性渐近完全性伸缩规则性平移不变性VjL2 Vjf(t)Vjf(2jt)f(t)V0f(tk)V0kZ5)正交基存在性：存(t)V0,使得是V0的正交基，即{(tkV0span{(t(tm)(tn)dtm,nkRV01)所有闭子空均由同一尺度函(t)伸缩后V01)所有闭子空均由同一尺度函(t)伸缩后的平系列张成的尺度空间其互相包含关系如图(t)为多分辨率分析的尺度函数。称f(t)Vjf(2jt)(t) (tk(2j)),j,k注释j,k22(2jt) (2jtk(2j))1 (tk)j,k222定义.(Rieze基).k(t)为标架且彼此线性无关，则称k(t)构成一组Rieze基。5).存在正交基定义.(Rieze基).k(t)为标架且彼此线性无关，则称k(t)构成一组Rieze基。5).存在正交基条件可以放宽为存在Rieze基，因由Rieze基可以构造出一组正交(t若V0{j,k(t)22(2jtkVj1(2jtk) (2ltk)dtRj(t),(t)jjjj212st/22j(sk)(sk2Rk4.2.3.小波函数与小波Vjj{VVjL4.2.3.小波函数与小波Vjj{VVjL2(R)，但子空间jj,k(t)2j/2(2jtL2设为在VmWmWmV0V1是V0V1是互相正交的W Wm与。mm,n当事实上，由式（4.13）和（4.14）可证L2(R)jW证.由与互相正交，故可且由VjVjL2(R)Wj式和推VjVjL2(R)Wj式和推WL2(R)R下面再f(tL2R)。由给定任意的函VjL2Vjf(t)Vj,f(t)Vjj使而，推所VjVjf(t)WjWjWL2(R)由（4.20）和（4.21)Wj由式（4.18）W0V1由伸缩规则由式（4.18）W0V1由伸缩规则和若任意的函f(t)V1f(t)W0f(2jt)W（4.15）0,k(tkZ的某一组正交基，W0式（4.24）,对所有尺2 tk);kjZ,j2的正交基。再由式的必为空个集合{正交基j,k;jkZ}L2空间的一对照（4.1）式离散小波基的定义，此处对照（4.1）式离散小波基的定义，此处正是由同一母函数伸缩和平移得到的正交小波基因此，称(t)为小波函数，相应的是尺度j的小波空间小波空间WjVj是相邻的两个尺度空间f(t)V0V1由，对任意函，以分解为两部分：细节部分W1和大尺度平滑逼近部V1。而大尺度平滑逼近部分可以近一步分解为细节(tk(2j)1(t)j,(tk(2j)1(t)j,kj,k220,kV1的投影f(t向尺度空间fsj(t)fsj(t)j尺的投影f(t向尺度空间fsj(t)fsj(t)j尺度下的平滑概貌j号。kfj(t)j t)c(t)s kf(t),j,k(t)c其称为尺度展开系数若将函f(tj尺度下的小波空投影，fdj(t)可以得到细节信：(2jt)fj(t) (t)dd kf(t),j,k(t)k其d称为小波展开系数jjjVjWj(t) (t)fdjjjVjWj(t) (t)fdVj，所因或fj(t)fj1(t)fjdssj两级相邻平是Vj1fd 逼近之差，反映了这两级逼近间的细节差异。故j为分辨j下的细节函数。实际fd fdj(t)dj,kk(2jt)dj,k(t)kkf(t),j,k(t)d中，小波系是离散小波变。是具有带通性质的小波母函数Wf(j,k这样，多分辨率分析和小波变换就联系起来了若将函f(t)按以下空间组合展开L2(R)若将函f(t)按以下空间组合展开L2(R)WjJ为任意设定的尺度，JJf(t)j,k(t)dcJ,kJ,kjkk当J时，上式变 f(t)djj,kjkA=B=1的离散小波变换重建式（3.9）。常称（4.31）和（4.32）为离散正交小在讨论MRA理论下在讨论MRA理论下的尺度函数(t)(t)的性质之前，先介绍著名的Poisson公式。该公式用于述正数平移系列的正交归一性在频域的表示（1）设f(tkkZ是一组正交归一的函数集合f(tk1)f(tk2)dt(k1k2)k1R则此正交归一性在频域的表现F(2k)2kf(t)F其中是的Fourier变换f1(tk1),f2(tf1(tk1),f2(tk2);k1,k2是两组正（2）的函数集合f1(tk1)f2(tk2)dtR则此正交性质在频域的表现F1(2k)F2(2k)kF1(),F2的Fourier变换分别f(t),(t)12式（4.34）和（4.36）即为著名的Poisson公式f(tk)2F()eik1eit证1R)2F()eik2etdf(t2R将上面两式代入 f(tk)2F()eik1eit证1R)2F()eik2et