2023年湖南省郴州市中考数学质检试卷（含解析）

2023年湖南省郴州市中考数学质检试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.2023的倒数是（）

A.2023B,-2023c∙^2⅛D—

2023

2.如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是

B.

C.

D.

3.下列计算正确的是（）

A.a7÷a5=a2B.5α-4α=1

C.(m2)3=m5D.(ɑ-by=a2-b2

4.如图，有4张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶四

种不同的图案，背面完全相同，现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一

张，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率是（）

5.反比例函数y=—：的图象位于（）

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、四象限D.第二、三象限

6.如图，直线k，%被k所截，若力〃2,41=50。,则42等于（

A.150°

B.130°

C.100°

D.50°

7.如图，已知点A,B,C都在C）O上，∆BOC=110°,则乙4等于（）

A.55。

B.60°

C.65°

D.70°

8.如图,折叠三角形纸片/BC,第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处,折痕力。交BC于点O；

第2次折叠使点4落在点。处，折痕MN分别交AD,AC于点P,N.若BC=8,则MP+MN

等于（）

（第1次折叠）（第2次折叠）

A.4B.8C.10D.16

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.二次根式有意义，则》的取值范围是.

io.若称=|，则学=-

11.一个正多边形的一个外角等于30。，则这个正多边形的边数为.

12.某校开展主题为“我身边的雷锋”的演讲比赛.比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三

个方面打分，最终得分按4：2：4的比例计算.若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三

个方面的得分分别为90分、80分、90分，则选手甲的最终得分为分.

13.设%,g是一元二次方程产+3x-4=0的两个根，则Xi+&的值是.

14.如图,扇形。4B的圆心角ZO=120°,半径。4=6,则扇形04B

的面积是.

15.如图，函数y=kx+b（k<0）的图象经过点P（-l,3）,则关

于X的不等式履+b>3的解集为

16.将二次函数y=∕+2x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的二次

函数的图象的顶点坐标是.

三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题6.0分）

计算：I—3∣+V^^8—（ɪ）-1—2sizι450.

18.（本小题6.0分）

先化简，再求值：3（一一），其中血=，耳一

22∑J.Q÷133.

19.（本小题6.0分）

某校九年级有600名男生，为增强体质，拟在九年级男生中开展引体向上达标测试活动.为合

理的制定合格标准，开展如下调查统计活动.

（IM调查组从九年级体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从九年级所

有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中（填“4”或“夕’）调查组收集

的测试成绩数据能较好地反映该校九年级男生引体向上的水平状况；

（2）某调查组收集到的测试成绩数据记录如下：

成绩/个23457131415

人数/人13345121

这组测试成绩数据的众数为,中位数为;

(3)若以(2)中测试成绩的中位数作为该校九年级男生引体向上的合格标准，请估计该校九年

级有多少名男生能达到合格标准.

20.(本小题8.0分)

如图，四边形ZBCD是平行四边形.

(1)尺规作图：作乙4BC的平分线BE,交AD于点E：(要求：保留作图痕迹，不写作法)

(2)点尸是BC上一点，连接E凡己知BF=4B,求证：四边形4BFE为菱形.

21.(本小题8.0分)

如图1,笔记本电脑平放在桌面上，如图2是该笔记本电脑的侧面示意图.已知屏幕侧边。4=

24cm,展开角4/1。B=150。，小明为了观看更舒适，转动屏幕，使得点A上升到点4,且

∆A'OB=120。,求点4到桌面的高度上升了多少Cnl.(结果精确到0.1CnI,参考数据71.41.

√^3≈1.73.)

图1图2

22.(本小题8.0分)

为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，全面落实仲共中央国务院关于全面加

强新时代大中小学劳动教育的意见》，某学校计划购买4,B两种型号的劳动教育教学设备.已

知购买1台4型设备和1台B型设备需5500元，购买2台4型设备和1台B型设备需8500元.

(1)求A,B型设备单价分别是多少元？

(2)该校计划购买两种设备共60台，要求4型设备数量不少于B型设备数量的土设购买α台4型

设备，购买力、B型两种设备的总费用为W元，求W关于α的函数表达式，并求出购买两种设备

的总费用最少需要多少元？

23.(本小题8.0分)

如图，AABC是O。的内接三角形，4B是直径,作射线BD,使得乙4BC=NDBC,过点C作CE1

BD,垂足为点E.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)若BE=5,COSZ.EBC=ɪ,求诧的长度.

24.(本小题10.0分)

定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“和零

点”.例如，求函数y=%-2图象的“和零点”.

解：•••"和零点”的横坐标与纵坐标互为相反数，：.“和零点”在函数y=-X的图象上，

2,解得：g：lr

二函数y=x-2图象的“和零点”是(1,一1).

根据上述材料，解答下列问题：

(1)求函数y=2x-2图象的“和零点”；

(2)若函数y=x2-3x+k图象存在唯一的一个“和零点”，求k的值;

(3)如图，点4B是函数y=-χ2+4χ+6图象的“和零点”，点C是函数y=；%—2图象的

“和零点”，过点C作COJ轴，垂足为D.连接AB,AD,BD,求△?!BD的面积.

y=-X2+4H+6

25.(本小题10.0分)

如图1,在RtAABC中，乙4=90。，AB=9,AC=I2,点D是AB上一点(不与点4,B重合),

W-DE//BC,交AC于点E.如图2,把△4。E绕点4顺时针旋转α度(O<α<90),连接BD,BE,

CE.在△4DE旋转过程中，完成以下问题，：

⑴如图2,求证：∆½Z)B-∆ΛFC;

(2)如图3,若点尸,H,G分别是DE,BC,BE的中点,求总的值；

Un

(3)如图2,若2。=3,求ABCE面积的最小值.

DA

BCBCBHC

图1图2图3

26.(本小题12.0分)

如图1,抛物线y=X2+bx+C与X轴交于点4(-1,0),B,与y轴交于点C,且CO=34。，连

接4C.

(1)求抛物线的表达式：

(2)如图2,若点M是直线BC下方抛物线上一动点(不与点B,C重合),是否存在ABCM,使

∆BCM=90°,若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)在y轴上找一点P,使得△4CP是等腰三角形，并求出点P的坐标.

/

OIBX

图1图2备用图

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：2023的倒数是忐.

故选：D.

乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案.

本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义.

2.【答案】C

【解析】解：从正面看，底层是一个比较长的矩形，上层中间是一个比较窄的矩形.

故选：C.

根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形.

3.【答案】A

【解析】解：Ta7+a，=a?,

.••4选项的运算正确，符合题意；

,：5a—4a=a,

∙∙∙B选项的运算不正确，不符合题意；

∙.∙(m2)3=m6,

∙∙∙C选项的运算不正确，不符合题意；

∙∙∙(a-b)2=a2-2ab+b2,

.∙∙D选项的运算不正确，不符合题意.

故选：A.

利用合并同类项的法则，同底数幕的除法法则，慕的乘方与积的乘方的性质和完全平方公式对每

个选项进行逐一判断即可得出结论.

本题主要考查了合并同类项的法则，同底数基的除法法则，塞的乘方与积的乘方的性质和完全平

方公式，熟练掌握上述法则与公式是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】解：•••有4张形状、大小、质地均相同的卡片，冰壶项目图案的有1张,

••・从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率是:；

故选：A.

先找出冰壶项目图案的张数，再根据概率公式即可得出答案.

本题考查了概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

5.【答案】B

【解析】解：y=-Lfc=-1<0,

.•・函数图象过二、四象限.

故选：B.

根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，fc>0,位于一、三象限；k<0,位于二、

四象限.

本题考查反比例函数的图象和性质，比较简单，容易掌握.

由平行线的性质求出43的度数，由邻补角的性质即可求出2的度数.

本题考查平行线的性质，邻补角的性质，关键是由平行线的性质得到43的度数，即可由邻补角的

性质求出42的度数.

7.【答案】4

【解析】解：NA和48。C都对诧,

Λ44=YBoe=TXIlOo=55°.

故选：A.

直接根据圆周角定理求解.

本题考查了周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的一半.

8.【答案】B

【解析】解：如图,

DB'C

由折叠得：AM=MD,MNLAD,AD1BC,

：.GN//BC,

∙,.AG=BG,

.∙.GN是△力BC的中位线，

.∙.G∕V=∣βC=j×16=8,

∙.∙PM=GM,

.∙.MP+MN=GM+MN=GN=8,

故选:B.

先把图补全，由折叠得：AM=MD,MNLAD,AD，BC,证明GN是△ABC的中位线，得GN=8,

即可求解.

本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，解题的关键是将图形补全证明GN是AABC的中位

线.

9.【答案】x≥3

【解析】

【分析】

本题考查了二次根式有意义的条件.掌握被开方数为非负数是解题的关键.

根据二次根式的被开方数X-3≥O.即可得出答案.

【解答】

解：根据题意，得x-3≥0,

解得，X≥3；

故答案为：x≥3.

IO.【答案】I

【解析】解：1=1，根据等式的性质,得"1=1+1,

则呼=I，

故答案为：∣.

根据题意，即可得出答案.

本题考查等式的性质，属于基础题.

IL【答案】12

【解析】解：依题意，得

多边形的边数=360o÷30°=12,

故答案为：12.

正多边形的一个外角等于30。，而多边形的外角和为360。，则：多边形边数=多边形外角和十一个

外角度数.

题考查了多边形内角与外角.关键是明确多边形的外角和为定值，即360。，而当多边形每一个外

角相等时，可作除法求边数.

12.【答案】88

【解析】解：选手小明的最终得分为；goM：鳖产4=黑=88（分）.

4+2+410

故答案为：88.

根据加权平均数的计算公式列出式子，再进行计算即可.

此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出式子，是一道基础题，比较简单.

13.【答案】—3

【解析】解：由根与系数的关系可知：X1+X2=-3,

故答案为：—3

根据根与系数的关系即可求出答案∙

本题考查根与系数，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型.

14.【答案】12π

【解析】解：••・在圆心角为120。的扇形4。B中，半径。4=6,

••・扇形的面积是：

OAB12016=

360

故答案为：12π.

直接利用扇形面积公式代入求出面积即可.

此题主要考查了扇形面积的计算，正确掌握扇形面积公式是解题关键.

15.【答案】X<—1

【解析】解：由图象可得，

当X=-I时，y=3,该函数y随X的增大而减小，

不等式kx+b>3的解集为X<-1,

故答案为：x<-1.

根据函数图象中的数据和一次函数的性质，可以写出等式履+b>3的解集.

本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确一次函数与一元一次不等式的关系,

利用数形结合的思想解答.

16.【答案】((U)

【解析】解：ry=%2+2x=(x+I)2—1,

二二次函数y=x2+2x的图象的顶点坐标是(-1,一1),

图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数图象的顶点坐标是(0,1).

故答案为：(0,1).

按照“左加右减，上加下减”的规律解答.

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律.

17.【答案】解：原式=3+2。一3-2x等

=2y∣-2—V—2

-->J~2.

【解析】利用绝对值的意义，负整数指数幕的意义，特殊角的三角函数值化简运算即可.

本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，负整数指数基的意义，特殊角的三角函数值，掌握

上述法则与性质解答是解题的关键.

.FGQ*nH-Um—3.m+3—6

18.【答案】解：原式=(m+3)2-Fr

τn-3m—3

On+3)Zwl+3

τn-3m+3

一(m+3)2m-3

]

m+3'

当?n=Λ∕~^3—3时，

原式=口∖+3

1

F

=W

一

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把α的值代入化简后的式子

进行计算，即可解答.

本题考查了分式的化简求值，掌握分式的化简求值的方法是关键.

19.【答案】B75

【解析】解：(1)从九年级所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，收集的测试成绩数据

能较好地反映该校九年级男生引体向上的水平状况，

故答案为：Bi

(2)这组测试成绩的众数为7,

中位数为：5,

故答案为：7,5；

(3)6OOX羽=390(人)，

答：该校九年级大约有390名男生能达到合格标准.

(1)根据抽样调查的特点解答即可；

(2)根据众数，中位数计算公式解答即可；

(3)用样本估计总体的思想解答即可.

本题主要考查的统计相关知识，熟练掌握平均数，中位数的计算，用样本估计总体的思想是解决

本题的关键.

20.【答案】(1)解：如图，射线BE即为所求；

A/--------------⅛≤D

(2)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

.∙.AE//BF,

由作图可知AE=AB,

BF=AB,

•••AE-BF,

二四边形ABFFE是平行四边形，

四边形ABFE为菱形.

【解析】(1)在线段4。上截取线段4E,使得4E=AB,作射线BE即可；

(2)根据已知条件结合作图可得4B=BF=AE,AE//BF,由菱形的判定即可证得结论.

本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题，属于中考常考题型.

21.【答案】解:延长BO到E,过点4作4C1BE,'A

A

垂足为C,过点2'作ADJ_BE,垂足为D,过点S√X

4作4尸14'。，垂足为F.ECD^OB

■：ACLBE,A'D1BE,AFLA'D,

••・四边形ACDF是矩形.

.∙.AC=FD.

-：4AOB=150o,∆A'OB=120o,

：.∆AOC=180o-150o=30o,

∆A'OD=180o-120°=60o.

在Rt△A。C中，

∙.,sinz√10C=络

OA

.∙.AC=sm∆AOC∙OA=sin30o×24=∣×24=12(cm).

在Rt"OC中，

•••s∖n∆A'OD=怒，

.∙.A'D=sin∕40D∙OA'=sin60o×24=ɪ×24=12√^(cτn)∙

.∙.AT=A'D-FD

=A1D-AC

=12√^-12

≈12×(1.73-1)

=12×0.73

=8.76

≈8.8(cm).

答：点4到桌面的高度上升了8.8cm.

【解析】延长B。到E,过点4作4CJ.BE,AFIA1D,过点4作ADJ.4D,先说明四边形力CDF是

矩形.在RtAAOC、Rt△40。中，再求出4C、A'D,最后利用线段的和差关系得结论.

本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及矩形的性质和判定是解决本题的

关键.

22.【答案】解：(1)设4型设备单价是X元，B型设备单价是y元，

(x+y—5500

根据题意得:

(2%+y=8500,

X=3000

解得:

y=2500,

ʌ4型设备单价是3000元，B型设备单价是2500元;

(2)・・・A型设备数量不少于8型设备数量的主

∙*∙ɑ≥ɜ(60—Q),

解得:a≥15,

根据题意得：

W=3000α+2500(60-α)=50Oa+150000,

500>0,

•••W随a的增大而增大，

.∙.a=W取最小值，最小值为500X15+150000=157500(元),

答：W关于a的函数表达式是w=500a+150000,购买两种设备的总费用最少需要157500元.

【解析】⑴设4型设备单价是X元,B型设备单价是y元,根据购买1台4型设备和1台B型设备需5500

元，购买2台A型设备和1台8型设备需8500元得：卷?；金揽°，即可解得答案；

(2)由4型设备数量不少于B型设备数量的最可得：a≥15,由题意可得w=3000a+2500(60-

a)=500a+150000,再根据一次函数性质可得答案.

本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式.

23.【答案】⑴证明:连接OC,如图,

•・•OB=OC9

：•Z-OCB=Z-OBC.

VZ-ABC=ZjDBC,

・•・∆DBC=乙OCB,

ʌOC//BD.

CE1BD,

・•・OC1EC.

∙∙∙oc为。。的半径，

・•・CE是O。的切线；

(2)^：VCOSZEBC=1,

・•・乙EBC=60°.

・・•OC//BE,

・•・乙OCB=乙EBC=60°,

•・・OB=OC,

・•.△OBC为等边三角形，

・・・Z-BOC=60°.

在RtABEC中，

∙.∙cos∆EBC=I=熬,

LDC

：•BC=2BE=10,

:∙OB=OB=BC=10,

【解析】(1)连接OC,利用同圆的半径相等,等腰三角形的性质，平行线的判定与性质得到OC1EC,

再利用圆的切线的判定定理解答即可；

(2)利用特殊角的三角函数值求得乙EBC=60。，则得AOBC为等边三角形，NBoC=60。，在Rt△

BEC中，利用直角三角形的边角关系定理求得BC,则圆的半径可得，利用圆的弧长公式解答即可

得出结论.

本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，平行线的判定与性质，垂直

的意义，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，连接经

过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线.

24.【答案】解：(1)由题意得：ɪɪ—2+X=0)

解得：X=%

1C4

Λ2X^2=^3∙

・•・函数y=gx-2图象的“和零点”为《,一§；

(2)•.・函数y=X2-3x+k图象存在唯一的一个“和零点”，

.∙.χ2-3x+k+x=0有两个相等的实数根，

方程整理得/—2%÷k=0,则4=(―2)2—4k=0,

解得k=1,

故函数7=/一3%+攵图象存在唯一的一个“和零点”，/c的值为1；

(3)由题意得一％2-∣-4X+6÷X=0,RP-X2+5%+6=0,

解得久i=6,x2——1

ΛΛ(-1,1),B(6,-6),

由(1)可知C©,-g,

1414

SAABC=SΔACD+SbBCD=ɪ×3x+ŋ=T,

【解析】(1)根据定义列出方程，解方程即可得出结论；

(2)根据定义列出方程，由题意可知/-3x+k+x=O有两个相等的实数根，利用4=O求得k的

值即可；

⑶解方程一/+5x+6=0求得4、B的坐标，由(I)可知(:专一今，利用SMBC=SA皿+$谢θ求

得即可.

本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与

一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，三角形面积.本题是阅读型题目，理解新定义

并熟练应用是解题的关键.

25.【答案】(I)证明:如图1,MADE绕点A旋转前，DE//BC,

ADE^/s.ABCf

ADAE

∙,∙,

ABAC

即竺=竺，

1AEAC

如图2,△力DE绕点4顺时针旋转Q度过程中，

•・・Z-DAE=∆BAC=90°,

ʌ乙DAB+∆BAE=∆CAE+乙BAE=90°,

二∆DAB=Z-CAE，

ADBSAAEC.

(2)解：v⅛F,H,G分别是DE,BC,BE的中点，

.∙.GF是ABED的中位线，

.∙.GF=[BD.同理,GH=^EC.

由(1)得AADBsAAEC,且AB=9,AC=12.

-DBAB3

ECAC4

.GF_奶B_DB_3

.∙.="Z==一：

GHlecEC4'

(3)解：如图，

.∙.AE=4.

MADE绕点A旋转,则AE是。4的半径，

要使SABCE达到最小值，即：使以BC为底，点E到Be上的距离达到最小值.

过点4作AM1BC于点M.

在DE绕点4顺时针旋转α度(O<α<90)的过程中，△4EM的三边关系有：AE+ME>AM,

・•・当点4,E,M三点共线时，ME有最小值，即ME=AM-4E,

11

AB∙AC=CB-AM,

：.AM=y,

∙,∙SABCE=2BC∙ME,

∙∙∙SABCE芸X15X弓-4)=24.

即4BCE面积的最小值为24.

【解析】(1)由△ADE-△4BC,得爱=爷，再说明=NCAE,可得ZkADBSz∖AEC;

(2)由三角形中位线定理知GF=〈BD.同理，G"="c.由(1)知等=萼=:,进而解决问题；

N乙cC/1C⅜

(3)根据AADE绕点A旋转，则4E是O