北京市海淀区2023届高三年级上册期末练习数学试题含答案解析

海淀区2022〜2023学年第一学期期末练习

局二数学

2023.01

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项.

1.已知集合〔I」，11J,则AD5=()

A.[-2,3]B.[0,3]C.(0,+co)D.

[-2,+co)

在复平面内，复数,对应点位于（

2.)

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

已知函数/（%）=&—工—1,在下列区间中，

3.包含/（%）零点的区间是（)

X

1B.目

A.C.(1,2)D.(23

兀工

4.已知〃二炮51=51!1于0=23,贝|（)

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.a<c<b

5.若圆小+丁―2x—2冲+〃=o截直线％—2y+l=0所得弦长2,则。二（)

A.-1B.0c.1D.2

6.已知｛«„｝为等差数列，4=3,。4+。6=-10.若数列也｝满足

b.=%+4+1（n=1，2,），记也｝的前几项和为s“，则以=（）

A.-32B.-80C.-192D.-224

7.某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲、乙两组，每

组3个班，则高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲组的概率是（）

8.设a、4是两个不同的平面，直线加U&,则“对厂内的任意直线/,都有机_L/

是“。_L，”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.己知函数/'（x）=cos2x在区间+|«eR）上的最大值为“⑺，则M（。的最小

值为（）

10.在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2,用

一个与圆柱底面所成角为45的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可

以得至『‘直角弯管在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段

（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形

恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为T,截口椭圆

的离心率为e.若圆柱的底面直径为2,则（）

图1

1/9

c.T=47t,e=-D.T=47T,e=—

22

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.抛物线y2=2x的焦点坐标为.

12.在［x—2］的展开式中，/的系数为.

13.如图，在正三棱柱ABC-A与G中，P是棱8月上一点，A3=A4=2,则三棱锥

P-ACQ的体积为.

14.设。为原点，双曲线。：卡-汇=1的右焦点为尸，点尸在。的右支上.则。的渐近线

3

OPOF

方程是；|op|的取值范围是.

15.己知函数/(x)=£—2x+2/\g(x)=ex—f.给出下列四个结论：

①当/=0时,函数y=/(x)g(x)有最小值；

②于eR,使得函数y=/(x)g(x)在区间[1,+8)上单调递增；

③于eR,使得函数y=/(x)+g(x)没有最小值；

④士eR,使得方程/(x)+g(%)=0有两个根且两根之和小于2.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.已知函数/(x)=sin((yx+9)[0>O,|同用五点法画/(X)在区间上的

图象时，取点列表如下：

兀兀5712兀11兀

X

12~6nT五

/(%)010-10

(1)直接写出/(X)解析式及其单调递增区间；

(2)在ABC中，f(B)=^,b=2y/3,a+c=6,求..ABC的面积.

17.如图，在四棱锥P—A6CD中，平面

ABCD,AD±DC,AB//DC,AB=-DC,PD=AD=1,M为棱PC的中点.

2一

（1）证明：//平面QA。；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角尸-ZW-6的余弦

值.

条件①：PB=6;条件②：BD±BC.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18.“地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1）,考虑

到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互

不影响）.

明年冬小麦统一收购价格（单位：元/kg）2.43

概率0.40.6

表1

假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.

（1）试估计X地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率；

（2）设H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X元，求X的分布列和数学期望；

（3）H地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使每

亩冬小麦产量平均增加50kg.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广

该项技术改良？并说明理由.

19.己知函数/（x）=xln（x+l）.

（1）判断0是否为了（尤）的极小值点，并说明理由；

（2）证明：+

x22

22

20.己知椭圆后：.+%=1过点尸（―2,1）和Q（20,0）.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点G（0,2）作直线/交椭圆E于不同的两点A,3,直线己4交》轴于点直线

交，轴于点N.若|GM|-|GV|=2,求直线/的方程.

21.对于一个有穷正整数数列Q,设其各项为％,%,,an,各项和为S（Q）,集合

｛（/,J）lai>aj,l<i<j<“｝中元素的个数为T（Q）.

（1）写出所有满足S（Q）=4,T（Q）=1的数列Q；

⑵对所有满足T（Q）=6的数列Q,求S（Q）的最小值；

⑶对所有满足S（Q）=2023数列0,求I。）的最大值.

答案解析

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项.

1.已知集合A={+2小3},一{小＞0},则ASB=（）

A.[-2,3]B.[0,3]C,（0,+co）D.

[-2,+co）

【答案】D

【解析】

【分析】利用并集的定义可求得集合

【详解】因为集合A={+2VX＜3},5={小＞0},因此，AoJB=[-2,+w）.

故选：D.

2.在复平面内，复数一L对应的点位于（）

2—z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数除法运算化简复数，从而根据对应点的坐标得到结果.

12+z2+z21.

[详解]+

二对应的点坐标为：

，对应的点位于第一象限

本题正确选项：A

【点睛】本题考查复数对应的复平面的点的问题,关键是能够通过复数的除法运算化简复

数，属于基础题.

3.已知函数"x）=、&-,―1,在下列区间中，包含“X）零点的区间是（）

B.c.（1,2）D.（2,3）

【答案】D

【解析】

【分析】先判断出函数在定义域上连续且单调递增，计算出端点值，利用零点存在性定理得

到答案.

【详解】/（力=6-工-1定义域为（0,+。），在定义域上连续且单调递增，

X-

其中/]]=14一1<0,佃岑—2—1<0,/（1）=71-1-1<0,

L1I-1

/（2）=V2---l<0,/（3）=V3---l>0,

由零点存在性定理可得：包含/（九）零点区间为（2,3）.

故选：D

兀1

4.已知a=lg5,b=sin—,c=23,贝!J（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可/

【详解】因为lgJIU<lg5<lglO,所以g<a<l,

IT7TI

因为sin—<sin—,所以b<一,

762

因为2：>2°，所以因此。<〃<。，

故选：B

5.若圆/+丁―2x—2ay+/=。截直线x—2y+l=0所得弦长为2,则。=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】分析可知直线％-2y+l=0过圆心，由此可求得实数。的值.

【详解】圆的标准方程为（龙―以+（丁—a）2=l,圆心为C（l,a）,圆的半径为/"=1,

因为若圆一+丁―2x—2。丁+/=0截直线x—2y+l=0所得弦长为2,

所以，直线x—2y+l=0过圆心C,则1—2a+l=0,解得a=L

故选：C.

6.已知｛4｝为等差数列，6=3,%+4=T0•若数列出｝满足

Z?„=a„+a„+1(ra=l,2,),记也｝的前几项和为S"，贝！］/=()

A.-32B.-80C.-192D.-224

【答案】B

【解析】

【分析】求出等差数列｛%,｝的通项公式，可求得数列出｝的通项公式，推导出数列出｝为

等差数列，再利用等差数列的求和公式可求出58的值.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,则。4+3=2。5=-10,所以，生=一5,

•・"'a

cin=%+(“—l)d=3—2("-1)=-2〃+5,

所以，2=%+4+i=—2〃+5—2(〃+1)+5二一4〃+8,

则％i_〃=T（〃+l）+8_（T〃+8）=Y,所以,数列出｝为等差数列,

因此,色=8"4）=4x(4—24)=—80.

故选：B

7.某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲、乙两组，每

组3个班，则高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲组的概率是（）

1111

A.—B.-C.—D.一

3456

【答案】C

【解析】

【分析】利用组合数的概念结合古典概型即可求解.

【详解】由题意得，把全年级6个班分为甲、乙两组共有C汜；=20种方法，

高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲组共有C：C：=4种方法，

C1C31

所以高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲组的概率是念|==,

*35

故选:C.

8.设a、尸是两个不同的平面，直线mua,则“对厂内的任意直线/,都有mJU”

是”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用线面垂直的定义、面面垂直的判定定理结合充分条件、必要条件的定义判断可

得出结论.

【详解】因为尸是两个不同的平面，直线机ua,

若对夕内的任意直线/,都有mJJ,根据线面垂直的定义可知小，，，

根ua,:.aL/3,

所以，“对月内的任意直线/,都有冽，/"n；

若。，力，因为加U&,对月内的任意直线/,加与/的位置关系不确定，

所以，“对力内的任意直线/,都有田，/"牛“a工/3”.

因此，“对厂内的任意直线/,都有机_L/”是“。”的充分而不必要条件.

故选：A.

兀

9.已知函数"x)=cos2x在区间t,t+~«eR)上的最大值为"⑺，则"⑺的最小

值为()

口

AV3RA/3r11

A.15.----C.-U.

2222

【答案】D

【解析】

【分析】根据在％=。取最大值，可判断t,t+^(/eR)要么在"％)的单调减区间

上，要么满足左端点到对称轴j+H不小于右端点，即可得E</<三+E,进而可求M(?)

的最小值.

兀

【详解】/(x)=cos2x的周期为兀，〃x)=cos2x的单调递增区间为kn,—+kn,

兀

ZeZ,单调递减区间为—+kn,Tt+kn,keZ

JIJI

当％=/取最大值，故可知+—<Z—+kTt,Ti+kn,

ijr>jr>jr

当EV/vi+,Wg+E时，即左兀<%«W+防1,k£Z,f(x)在'"+](%£R)单调

递减，显然满足最大值为〃(。，

当/<。<]+防1々+三时，要使"(/)是最大值，则需满足

兀7、兀兀77,/兀7,

—Fkit—12—Ft——Fkit=>kit</<—Fkit,k£Z

2J3UJ3

综上可知当也＜/＜三+也"eZ时，/（%）在％=/取最大值”⑺,

A/（/）=2cos2,在E;4/＜§+E:,左eZ单调递减，故当/=耳+射1时，取最小值,

且最小值为---,

2

故选：D

10.在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管它的制作方法如下：如图2,用

一个与圆柱底面所成角为45的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可

以得至广直角弯管在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段

（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形

恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为T,截口椭圆

的离心率为e.若圆柱的底面直径为2,则（）

图1

A.T=2TL,e——B.T=2兀，e=——

22

1J7

C.T=4TI,e=-D.T—4-TI,e-.....

22

【答案】B

【解析】

【分析】由条件求出椭圆的长半轴长。和短半轴长6,由此可求。力，再求离心率e,再求

圆柱侧面展开图的底边边长，由此可得正弦型函数的周期.

【详解】设截口椭圆的长半轴长为。，短半轴长为力，半焦距长为

因为圆柱的底面直径为2,所以2b=CD=2,故5=1,因为椭圆截面与底面的夹角为

45，所以NAO5=45，所以2Z?=03=OAcos45=2acos45，所以a=行，所以

,所以e=£=[=也,

c=ay/22

观察图4知，正弦型函数的最小正周期T为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面

圆的周长，所以丁=2兀义1=2兀.

故选：B.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.抛物线y2=2x的焦点坐标为.

【答案】6，0）.

【解析】

【详解】试题分析：焦点在x轴的正半轴上，且p=l,利用焦点为（多0）,写出焦点坐标.

解：抛物线y2=2x的焦点在x轴的正半轴上，且p=l,.•.]=尚，故焦点坐标为（2，0）,

故答案为《，0）.

考点：抛物线的简单性质.

12.在1%—2]的展开式中，V的系数为.

【答案】-8

【解析】

【分析】利用二项式定理得到的展开通项，从而求得/的系数.

【详解】因为1%—2]

的展开通项为（+1

令4—2左=2,得％=1,此时(=(—2)C%2=—2x4尤2=—8/,

所以炉的系数为—8.

故答案为：-8.

13.如图，在正三棱柱A3C-4与£中，尸是棱8四上一点，A3=AA=2,则三棱锥

P-ACQ的体积为.

【解析】

【分析】利用线面垂直的判定定理确定三棱锥的高，再用椎体体积公式求解即可.

取AC中点为。，连接

因为一ABC为正三角形，所以08,AC,

又因为A4，平面ABC,06u平面ABC,

所以A&，。'

且A41cAe=4pAeu平面ACCiA,

所以08,平面ACGA，

OB=，不斤=6,即B到平面ACG4的距离为OB=下,

又因为BB[//44,BBX<z平面ACQA,A&u平面ACQA,,

所以34//平面ACGA，

又因为P是棱55]上一点，所以尸到平面ACQA的距离为OB=6,

所以Vp-ACG=§XSACC[XOB=j'

故答案为：2叵.

3

14.设。为原点，双曲线。：好-上=1的右焦点为尸，点P在C的右支上.则C的渐近线

3

OPOF

方程是；同的取值范围是.

【答案】①.y=+y[3x②.。,2]

【解析】

【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程的关系可写出双曲线。的渐近线方程；求出

OPOF

<OP,O的取值范围，可得出=2c°s<°P,OF>,结合余弦函数的基本性质

OPOF

可求得,尸|的取值范围.

【详解】在双曲线C中，a=l,b=6，.=，/+/=2,则/(2,0),

所以，双曲线C渐近线方程为y=±?x=±JK,

a

直线丁=氐的倾斜角为;，由题意可知0«0夕,0尸><],则

—<cos<OP.OF><1,

2

CP°FII

所以,।,.=|OF|cos<OP,OF>=2cos<OP,<9F>e(l,2]

故答案为：y=±s/3x；(1,2].

15.己知函数〃力=£—2x+2/,g(x)=eX—J给出下列四个结论:

①当r=0时，函数y=/(x)g(x)有最小值；

②于eR,使得函数y=/(x)g(x)在区间[L+8)上单调递增；

③士eR,使得函数y=/(九)+g(x)没有最小值；

④小eR,使得方程/(x)+g(x)=O有两个根且两根之和小于2.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关

系可判断②的正误；取/=-1，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的

正误.

【详解】对于①,当/=0时，y=/(%)g(%)=(%2-2%),则了式必―2)e*,

由9<0可得—0<工<及，由：/>0可得工<—0或工>行，

此时，函数y=(V—2力1的增区间为卜oo,一、历卜(J5,+oo),减区间为卜"四)，

当x<0或x>2时，y=(x?—2尤)e*>0,当0<%<2时，y=(x?-2尤)e*<0,

故函数y=(%2—2%卜*在尤=6处取得最小值，①对；

对于②，/=(2x-2)(ex-r)+(x2-2x+2r)e^=(/—2)e*+2r(e*—x+l),

令/z(x)=e、—x+l,其中x21,则“(x)=e*—l>0,

所以，函数/i(x)在［l,+8)上单调递增，所以，/z(x)=e'-x+l>/z(l)=e>0,

贝!Ix-ex<1-e<0>

由y'=(x?-2)e*+2r(e*-x+l)20可得2f»(，*,

ex-x+1

1--------其中

e*—x+1

2

x-4+f-2e-

x3-4x+4-2xe

e-x+1)-x+1)

4/

令q(x)=V—4+二—2e)其中贝可(x)=2(

所以，函数q(x)在［L+8)上单调递减，

故当时,q(x)Wq(l)=l—2e<0,则p'(x)<0,即夕(x)在［1,+°°)上单调递减,

1mx=P(1)=1，则2/21,解得②对;

对于③，y=/(x)+g(x)=x2-2x+e'+/,y'-2x-2+ex,

因为函数y'=2x-2+e'在R上单调递增，

y'ko=T<。，y'ki=e>o,所以，存在七«0,1),使得V=o,

当x<Xo时，y<0,此时函数y=f—2x+e*+r单调递减，

当X〉/时，/>0,此时函数y=/-2工+6"+/单调递增，

所以，对任意的实数/,函数y=2x+e*+/有最小值，③错;

对于④，=x2-2x+ev+t,不妨令a(0)=l+r=。，即取/=一1,

由③可知，函数〃(x)=*—2x+e*—1在(—,/)上单调递减，在(/，+8)上单调递增，

因为40«0,1),贝！|"40)<”0)=0,u(2)=e2-l>0,

所以，存在不«天,2),使得比(%)=0,

此时函数"(x)的零点之和为%+0=西<2,④对.

故答案为：①②④.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体

现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(£)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线丁=。与

函数y=g(x)的图象的交点问题.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.已知函数/(x)=sin3x+e)[0>O,[d<g].用五点法画/(九)在区间-白,膏上的

图象时，取点列表如下：

71兀5兀2兀11兀

X

~12~6nT~12

/(X)010-10

(1)直接写出了(%)的解析式及其单调递增区间;

（2）在ABC中，f（B）=^,b=243,a+c=6,求ABC的面积.

【答案】（1）f（x）=sin^2x+^；E-|•，航+《（左eZ）；

⑵2行

【解析】

【分析】（1）根据“五点法”可得函数的解析式，根据正弦函数的性质即得;

7[

（2）由题可得8=—,然后根据余弦定理及三角形面积公式即得.

3

【小问1详解】

由题可知函数的最小正周期为兀，

所以。=&=2,

71

JIJI'）I

根据“五点法”可得2*7+0=7，即/=

626

所以/（x）=sin[2x+W1,

ITJTITTTTT

由2kli<2x+—<2kn+—,左GZ,可得fat<x<kn-\--,keZ,

26236

所以函数/（%）的单调递增区间为也-孑配+£（丘Z）；

【小问2详解】

因为/（8）=sin123+e]=g,又3€（0,兀），23+£€[个,等],

所以23+匹='，即8=2，

663

由余弦定理可得〃=片+，-2〃ccos3=（〃+c）2—2〃c-2〃ccos3,

所以（2A/5）=62—3ac,即QC=8,

所以s=-acsinB=-x8x—=2^.

ABC222

17.如图，在四棱锥P—ABC。中，P£>_L平面

ABCD,AD±DC,AB//DC,AB=-DC,PD=AD=1,M为棱PC的中点.

2一

（1）证明：//平面MD；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求二面角尸-B的余弦

值.

条件①：PB=6,条件②：BDLBC.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）证明见解析

⑵一逅

6

【解析】

【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值

即可.

则有MN//CD,MN=-CD,

2

又因为AB//CD,AB=工8,所以AB//脑V,AB=

2

所以四边形ABMN是平行四边形，所以5M//AN,

又因为平面ANu平面QA。，

所以//平面PAD

【小问2详解】

因为？D_L平面ABCD,AD,DCu平面ABCD,

所以PD，A£>,，DC,且AD，DC,

所以以DA,DC,DP为苍轴建系如图，

若选择①：PB=6因为PDJ_平面ABCD.BDU平面A5CD,

所以PD,6£>,所以5。=万万=攻，则AB=万斤=1，

所以CD=2,则D(0,0,0),5(1,1,0),P(0,0,l),C(0,2,0),M(0,l,1),

因为ZML平面PDC,所以ZM=(1,0,0)为平面PDM的一个法向量,

设平面DMB的法向量m=(x,y,z),DB=(1,1,0),DM=(0,1,1),

DB-m=x+y=0

所以1,令尤=1,y=T,z=2,

DM-m=y+—z=0

2

所以加=(1,-1,2),

DA-m1y/6

设二面角尸——B为氏cos<DA,m>=

DAlImlA/66

因为由图可知二面角尸一DAf—5为钝角，所以cos，=一逅

6

若选择②：BD±BC,设AB=a,则C£)=2a,

BD=Ja?+1,BC=y/a2+1，

因为BDLBC,所以储+1+1+1=442解得。=1,

则D(0,0,0),B(l,l,0),P(0,0,l),C(0,2,0),M(0,l,1),

因为ZM_L平面PDC,所以D4=(1,0,0)为平面PDM的一个法向量,

设平面DMB的法向量m=(x,y,z),DB=(1,1,0),DM=(0,1,1),

DB-m=x+y=0

所以1,令％=1,y=—1,z=2,

DM-m=y+—z=0

2

所以加=(1,一1,2),

DA-m1A/6

设二面角尸—DM—B为。，cos<DA,m>=

|DA||m|y/66，

因为由图可知二面角尸—ZW—B为钝角，所以cos，=—』5

6

18.4地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1）,考虑

到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互

不影响）.

明年冬小麦统一收购价格（单位：元/kg）2.43

概率0.40.6

表1

假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.

（1）试估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率；

（2）设H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X元，求X的分布列和数学期望；

（3）H地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使每

亩冬小麦产量平均增加50kg.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广

该项技术改良？并说明理由.

【答案】（1）0.15

（2）分布列答案见解析，E（X）=1242

（3）建议农科所推广该项技术改良，理由见解析

【解析】

【分析】（1）计算出亩产量是500kg的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得

所求事件的概率；

（2）分析可知随机变量X的可能取值有960、1080>1200、1350、1500,计算出随机

变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进而可求得E（X）的值；

（3）设增产前每亩冬小麦产量为Jkg,增产后每亩冬小麦产量为〃kg,则〃=J+50,

设增产后的每亩动漫小麦总价格为F元，计算出增产的50kg会产生增加的收益，与125比

较大小后可得出结论.

【小问1详解】

解：由图可知，亩产量是400kg的概率约为0.005x50=0.25,

亩产量是450kg的概率约为0.01x50=0.5，亩产量是500kg的概率约为

0.005x50=0.25,

估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率为0.25x0.6=0.15

【小问2详解】

解：由题意可知，随机变量X的可能取值有：960、1080>1200、1350>1500,

尸（X=960）=0.25x0.4=0.1,P（X=1080）=0.5x0.4=0.2,

P（X=1200）=0.25x0.4+0.25x0.6=0.25,

P（X=1350）=0.5x0.6=0.3,P（X=1500）=0.25x0.6=0.15,

所以，随机变量X的分布列如下表所示：

X9601080120013501500

P0.10.20.250.30.15

E（X）=960x0.1+1080x0.2+1200x0.25+1350x0.3+1500x0.15=1242.

【小问3详解】

解：建议农科所推广该项技术改良，

设增产前每亩冬小麦产量为Jkg,增产后每亩冬小麦产量为77kg,则〃=J+50,

设增产后的每亩动漫小麦总价格为y元，分析可知

E（Y）=E（X）+50x（2.4x0.4+3x0.6）,

所以，增产的50kg会产生增加的收益为50x（2.4x0.4+3*0.6）=138>125,

故建议农科所推广该项技术改良.

19.己知函数/（x）=xln（x+l）.

（1）判断0是否为了（力的极小值点，并说明理由；

（2）证明：

x22+

【答案】（1）。是“尤）的极小值点，理由见解析

（2）证明过程见解析

【解析】

【分析】⑴求/（x）=xln（x+l）的定义域，求导，得到/'（0）=0,且1,0）时,

（（%）<0,xe（0,4w）时，>0,故。是的极小值点；

(2)对不等式变形得到IM**1)+/-x>0,令g(x)=ln(x+1)+g/一x(x>—1),

求导，得到其单调性，从而得到g(x)正负，故史上工土^>0恒成立，结论得证.

【小问1详解】

。是/(X)极小值点，理由如下：

/(x)=.rln(x+l)定义域为(-l,+oo),

To

r(x)=ln(x+l)+-^,其中r(o)=inl+有=0,

当xe(—1,0)时，ln(x+l)<0,上<0,故/''(x)=ln(x+l)+上<0,

X+1X+1

当X£(0,+oo)时，ln(x+l)>0,—^>0,故/'(x)=ln(x+l)+—^>0,

故/(x)=xln(x+1)在xe(-1,0)上单调递减,在％e(0,-+W)上单调递增,

故0是/(尤)的极小值点；

【小问2详解】

f(x}1..xln(x+1)1

一孚〉——九+1等价/A于---\——->——九+1,

%22%22

In(%+1)H—X?—x

R即n」_」—>o>

X

令g(x)=ln(x+l)+gx2-%(%>-1),

1尤2

贝Ug'(x)=——+x-l=——(X〉—1)，

JX+lX+V)

当x>—1时，g'(x)»0,所以g(x)在X>—1上单调递增，

又g(o)=o,

故当X>。时，g(x)>g(o)=o,当一1<%<0时，g(x)<g(o)=o,

则ln(x+l)+2--x>°恒成立，

X

故以3一"

%22

22

20.己知椭圆E：二+二=1过点尸（—2,1）和Q（20,0）.

a2b2

（1）求椭圆E的方程;

（2）过点G（0,2）作直线/交椭圆E于不同的两点A,3,直线己4交》轴于点直线

PB交y轴于点N.^\GM\-\GN\^2,求直线/的方程.

22

【答案】（1）上+2L=i

82

⑵y=x+2或％=0

【解析】

【分析】⑴两个点P（-2,1）,Q（20,O）代入解方程即可.

（2）斜率不存在单独算出|GMHGN|=2是否成立；斜率存在时把/设出来与椭圆联立，韦达

定理求出两根之和与两根之积用斜率左来表示，然后|G“HGN|用两个根表示，化简求值即

可.

【小问1详解】

41।

-----1----=1,

将点P（—2,1）,0倒0,0）坐标代入椭圆E的方程，得，b。解得/=822=2,所

以椭圆E的方程为：—+^=1

82

【小问2详解】

若直线/的斜率不存在，即直线/为x=0时，A和加重合，8和N点重合，分别为椭圆

的上下顶点（0,3）（0,-夜），此时|GMJGN|=（2—四）x（2+应）=2,符合题意.

若直线/斜率存在，设直线A3的方程为y=Ax+2,55,%）（王力―2且

y=kx+2

2）,联立方程<犬2,2得，（4左2+1）公+16AX+8=0,

[82

A=（164『—32（4左2+1）=32（442—1）>0,.•.左2>；,即左〉g或左<一；

-16k8,M—2

…=0…2=川2三所以直线出的方程为

（2（%）

（x+2）+l,取1=0得〃0,同理可得M0,-^~^+1

v%+2,、尤2+2,

2（%-1）+]_2=