河北省石家庄市河北师范大学附属实验中学2023-2024学年高三数学理质量监测考试含解析

河北省石家庄市河北师范大学附属实验中学2023年高

三数学理质量监测考试含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为

2011201220131006

(A)2012(B)2013(C)(D)2013

参考答案:

B

2.下列区间中，函数；(x)=|ln(2—x)|在其上为增函数的是()

A.(—oo,1B.—1,

C.0,)D.1,2)

参考答案：

D

3.设双曲线°的中心为点°,若有且只有一对相交于点°、所成的角为持P的直线和

4%，使恒昌=陶凡1,其中4、石和百、为分别是这对直线与双曲线。的交点，则

该双曲线的离心率的取值范围是

晔⑵邛⑵(婆到

A.3B.3C.3

、

.【2告73，何

D.3

参考答案：

A

略

4.已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-21nx,g(x)=xe1-x(a^R,e为自然对数的底

数)，若对任意给定的x°£(0,e],在，CO,e]上总存在两个不同的X,(i=l,2),使得

f(Xi)=g(xo)成立，则a的取值范围是()

2--52巳-2

A.(-8,e-l]B.(-°°,e]

2巳-22巳-52巳-2

C.(e,2)D.[e-1,e:)

参考答案：

A

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

【分析】根据若对任意给定的x°£(0,e-],在区间(0,e]上总存在两个不同的X1

(i=l,2),使得f(xi)=g(xo)成立，得到函数f(x)在区间(0,e]上不单调，从而

求得a的取值范围.

【解答】解：Vg'(x)=(1-x)e1-X

Ag(x)在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减,

又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e2-e>0,

；.g(x)在(0,e]上的值域为(0,]

/2曾-a)

f(x)=2-a—二，x€(0,e]

XX

二2x=2f=a-21n~

当x-2-a时，f'(x)=0,f(x)在*-2-a处取得最小值。2-&17^in2-a,

0<—<ea<2ez2,

由题意知，f(x)在(0,e]上不单调，所以2-a，解得e,

所以对任意给定的Xo£(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的Xi(i=L2),使得f

(Xi)=g(x0)成立，

2

当且仅当a满足条件f(万W)<°且f(e)

F(2)<n5

因为f(1)=0,所以'2-&'飞'恒成立，由f1)三i解得—e-i

(-co,2e-5]

综上所述，a的取值范围是e-1J.

故选：A.

5.对于函数尸=/(x)(x©/)J=g(xXxe/),若对于任意xe/,存在x0.使得

/(x)>/(Xo),g(x)>g(x«)=g(Ae)；则称/(x),g(x)为“兄弟函数”.已知

,皿/(X)=/+€Z.g(x)=——xel-,2]

函数不是定义在区间2上的“兄弟

函数”，那么函数/(X)在区间X"了"上的最大值为

3

(A)2(B)

5

2(C)4(D)4

参考答案：

B

」一=11gxI7？

6.设方程x+1-的两个根为5、叼，贝IJ()

A.八孙<0B.八叼=1C.勺0>1D,0<^2<1

参考答案:

D

略

s=2_5_6—1+.-1+,-+I•,••+.-1-=-8

7.已知正项等比数列的前4项和为用，若”-3’%叼的fli33,

则1吆2(。6&)的值为()

A.4B.

5C.16D.32

参考答案：

B

略

8.如图，在复平面内，复数%巧对应的向量分别是工彳，而，则复数工上2对应的点位于

(☆)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

参考答案:

D

9.设f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意实数x,恒有f(x+1)=-f(x),已知

logj

XG(0,1)时，f(x)=2(1-x),则函数f(x)在(1,2)上()

A.是增函数，且f(x)<0B.是增函数，且f(x)>0

C.是减函数，且f(x)<0D.是减函数，且f(x)>0

参考答案:

D

【考点】函数奇偶性的性质.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】由f(x+1)=-f(x),可推出f(x+2)=f(x),因此函数为周期函数，T=2,

logj

由复合函数的单调性推出函数f(x)=2(1-X)递增，再由周期性与奇偶性把(1,

2)上的单调性过度到(0,1)来研究.

【解答】解：Vf(x+1)=-f(x),Af(x+2)=f(x+1+1)=-f(x+1)="(-f

(x))=f(x),

•••函数为周期函数，周期T=2,

logjUlogj

•；u=l-x递减，y=2递减，由复合函数的单调性知函数f(x)=E(1-x)递

增，

logj

又Xd(0,1)时，0V1-X<1,2(1-X)>0,

/.?xG(0,1)时，f(x)>0,

@?xG(1,2),2-x£(0,1),Af(2-x)>0,

又函数为偶函数，；.f(x)=f(-x)=f(-x+2)>0,

②设l<xi<xz<2,则-1>-x>-x2>-2,贝I]1>2-xi>2-x2>0,

logj

•.•函数f(x)=2(1-X)递增，

Af(2-xi)>f(2-x2)

又f(2-xi)=f(xi)、f(2-x2)=f(x2)

；.f(Xl)>f(x2),

函数f(x)在(1,2)上是减函数

综上，选D

【点评】本题综合考查函数的性质，是把函数的单调性、奇偶性、周期性相结合的题目,

属于中档题.

10.设函数式x)是定义在(一oo,0)上的可导函数，其导函数为且有

㈤则不等式任♦201&'，(曰20晦Y{-2)>0的解集为()

A.(-2020,0)B.(-00,-2020)

C.(-2016,0)D.(-oo,-2016)

参考答案：

B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

8y

11.已知正数1/满足X+"=2,则V的最小值为A.

参考答案：

9

略

12.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同

735^

学在物理、化学、政治科目考试中达4,的概率分别为&、彳、12,

这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个4•的概率

是.

参考答案：

151

而

f(x)-(2)x>3

13.已知函数f(x+1)x<3,则f(i)的值是

参考答案：

1

~8

【考点】函数的值；分段函数的应用.

【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用.

【分析】直接利用分段函数化简求解即可.

f(x)二弓)x)3

【解答】解：函数(x+l)x<3,

(1)31

贝Uf(1)=f(2)=f(3)=_2_=!.

1

故答案为：8.

【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力.

(4x'—2x—5)(1+—a，

14.在xJ的展开式中，常数项为.

参考答案：

15

<ex>x(0]

15.设g(x)Jinx,x>0,贝[|g(g(2))=.

参考答案：

1

2

考点：对数的运算性质.

专题：函数的性质及应用.

11

分析：根据分段函数的解析式，先求出g(2)的值，再求g(g(2))的值.

解答：解：(x)=【lnx,x>0,

11

.*.g(2)=ln2=-ln2<0,

_1

/.g(g(2))=g(-ln2)

eln2'X

=2一

1

=2.

1

故答案为：2.

点评：本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题.

16.从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）125、124、

122、123、126,则该样本方差一=

参考答案：

5

2

17.若C『“为第二象限角，则5"。）=.

参考答案：

3

4

,5T-.4

a—|-cusu;

・1-5,

4

cusa一

・・・5.

又u为第二象限角，

3

sim-

・,・>,

3

Utna一

・,・%

Utn（ir-u）lama-

・•・4.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.（本小题满分12分）

已知点川西分别是射线4〃=x（x>°）,4：,=T（X>°）上的动点，。为坐标原

点，且A04B的面积为定值2.

（I）求线段，3中点配的轨迹。的方程；

（II）过点N（°：）作直线/,与曲线。交于不同的两点与射线4々分别交于

点凡S,试求出直线1的斜率的取值范围，并证明：IPRI-IQSI-

参考答案：

21解：（I）由题可设工⑸幻，双孙一马），M（XJ）,其中a>0名>0.

卜詈（I）

则厂―一二'',1分IF。工3的面积为定值2,

.%」；网阳=；（&、）（△,）=2=2。八

•・E•./刀

。八⑵。消去X"2,得：--y=2.4分

由于％>0.占>0,门>0,所以点时的轨迹方程为=2（x>0）.5分

（II）依题意，直线/的斜率存在，设直线/的方程为，=匕+2.

p■匕+2.

由i—消去尸得：（"）--出-6=0,

设点F、0、R、S的横坐标分别是孙、而、以、不，

i-F*o.

A・WF+24（t-F）>a

盯+S接F>Q.

...由3勺>0得卜八・匚尸〉06分解之得：一招”<7.8分

八H+2,

由1・K,消去尸得：勺=匚工，由&―心消去尸得：（10分）

X.X■2kX，♦。一及

.♦•y'Yi7p.又PQ的中点的横坐标为FTF所以RS的中点与PQ

的中点重合，故IPRI=IQSI12分

略

19.已知函数/(X)=\x+2\-2\x-1|.

(1)解不等式f(x)<1;

(2)若关于尤的不等式/(无)只有一个正整数解，求实数a的取值范围.

参考答案：

(1)不等式的解集为｛*.之3或“"I｝；⑵l<a<3

试题分析：(1)对x分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求

fx-4(x<-2).

/(x)=13x(-2<xil),

并集即可得结果；⑵作出函数1-”“任>|)-与，的图象，由图象可知

当140<3时，不等式只有一个正整数解X=l.

试题解析：(1)当XW-2时，x-4<l,解得xW5,•♦.xW-2；

x<i—2<xS—

当-2<xWl时，3x41,解得3,A3；

当x>l时，-x+4<l,解得x)3,xN3.

综上，不等式的解集为出63或工玉｝

Ix-4(x<-2).

/(x)J3x(-2<xil),

⑵作出函数与，=皿的图象，由图象可知当14。<3时,

不等式只有一个正整数解x=l,...14a<3.

20.公差不为零的等差数列｛处｝中，，=7,又■•..小成等比数列.

(I)求数列｛斯｝的通项公式.

丸=」

(II)设4小，求数列｛勿｝的前〃项和Sn.

参考答案：

(DM：设公差为d(J*o)

由已知得：=&♦醺4♦&O:«=入,

又・・q=7.q♦M=7

解得：q=U=4二”靠-2..........6分

&]])

(2)Qn2X3n*D33n-23nfl

S.二-^—

'3n+l

21.设/(x)=】n(]+K)-x-axJ

(1)当x=1时，/(x)取到极值，求a的值；

r_l

(2)当a满足什么条件时，/(X)在区间L2,3上有单调递增的区间.

参考答案：

解：⑴由题意知/(X州定义域为(-L*0)

八力=-2--⑵+l)x/，⑴=°得:a=」

且1+x,由4

a=__L时/⑶在(0,1)单调递减，在(1,+此单调递增

当4

二/(I底函数的极小值：.a=--

」(x)在区国二.-口上有单通递增区间

⑵要使23

/'(*)>疏上有解02ax+(2a+l)>0

即23

(i)当4=瞩，不等式恒成立

a>时，x>-生1此时只要-竺a>--

(ii)当2a2a3,解得：

m+但2a+12a+11

a<0阿仔ixv-------------->——

(iii)当2a此时只要2a2,解得：a>-\

综上得：(-1,400)

略

22.如图，已知AD为半圆0的直