第七章《第2单元-课时精讲2-用坐标表示距离》名师教学设计

第7章平面直角坐标系第2单元坐标方法的简单应用课时精讲二用坐标表示距离内容分析两点间的距离是指连接两点的线段的长度.点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度.本课时从代数的角度研究距离，即如何根据给出的两点的坐标来求两点间的距离，以及如何根据一个点的坐标来求点到坐标轴（或平行于坐标轴的直线）的距离.本课时涉及的两点间的距离指的是坐标轴上的两点或平行于坐标轴的直线上的两点，其他的情况要等到学完勾股定理后利用勾股定理来解决.在教学的过程中，引导学生结合数轴上两点间的距离来探究平面直角坐标系中特殊的两点之间的距离，这样点到坐标轴的距离本质上就是点和垂足之间的距离，从而转化为两点之间的距离.在探究时，学生可以从具体到抽象，从特殊到一般，结合图象归纳得出结论，并进一步用符号语言表示结论，注意渗透数形结合和分类讨论的思想方法，培养几何直观和抽象的思维.如果给定距离，能否确定点的坐标呢？这是本课时学习的一个难点，想要确定点的位置，还要给出方向，如果方向不确定，就要分类讨论不同的情况.这部分内容之所以难，是因为学生对确定位置的几个要素掌握得不到位，教学过程中可以慢慢地渗透给学生，进一步，在教学的过程中可以给学生渗透一定的轨迹意识，例如，到定点的距离相等的点构成的轨迹是圆，到坐标轴距离相等的点构成的轨迹是两条平行的直线，为后续解决代数、几何综合问题作铺垫.在这里可以让学生尝试作图进行探究，也可以结合工具（圆规、直尺）进行辅助探究.用坐标表示距离，实际上就知道了线段的长，从而可以求图形的周长、面积等.本课时接下来研究的一个主要内容是平面直角坐标系中三角形面积及相关问题的解决.一种情况下，如果平面直角坐标系中给出一个三角形三个顶点坐标，并且三角形有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴，那么这条边的长度就可以用两点距离求出，这条边上的高就可以利用点到坐标轴（或平行于坐标轴的直线）的距离求出，从而可以求出三角形的面积；反之，根据面积求点的坐标就是根据距离求点坐标的进一步应用，在解决问题时，学生可以逆向思考由面积得距离再得点的坐标，也可以正向思考用方程思想按照“点的坐标一距离一面积一解方程”的过程得到结论.这部分对学生来讲是个难点，因此要给学生充分的思考、交流、总结反思的时间，并引导学生用作图及分类讨论的方法解决问题.如果三角形的三条边都不在坐标轴上，也不与坐标轴平行，在这种情况下就可以利用割补法求面积.本课时的重点是求三角形面积的方法的探究及用规范的格式进行书写，因此在教学中可采用“练习—交流讨论—方法总结—规范书写”的过程进行，激发学生思考的同时用规范的数学语言描述.学生分折学生已经学习了点的坐标表示，并且在“有理数的概念”这一单元中已经学习了数轴上两点之间的距离，并且给定距离但没有给定方向的情况下的分类讨论也接触了很多.平面直角坐标系中距离与坐标的关系是在此基础上的进一步延续与拓展，对于学生来说理解较容易，但是在应用过程中仍然会缺少灵活性，是需要学生逐渐达成的.在教学的过程中，要进一步巩固“确定位置时，参照物、方向和距离缺一不可”这一要求，留给学生充分的时间和空间去思考.目标确定1.已知坐标轴上两点或平行于坐标轴的直线上两点，理解两点的坐标与两点间的距离之间的关系.2.在平面直角坐标系中，理解点的坐标与点到坐标轴（或平行于坐标轴的直线）的距离的关系.3.已知三角形顶点坐标能求出三角形的面积.4.三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，已知三角形面积能求出某顶点的坐标.重点难点重点：理解点的坐标与距离的关系.难点：能结合分类讨论的思想方法，根据距离或面积求点的坐标.评价设计“用坐标表示距离”学习评价量表标准等级已知坐标轴上两点或平行于坐标轴的直线上两点，能求出两点之间的距离.在平面直角坐标系中，已知点的坐标，能求出点到坐标轴（或平行于坐标轴的直线）的距离.已知坐标轴上两点或平行于坐标轴的直线上两点之间的距离，能求出两点的坐标.已知点到坐标轴的距离，能求出点的坐标.已知三角形顶点坐标能求出三角形的面积.三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，已知三角形面积，能求出某顶点的坐标.AABBBC活动设计环节1问题探究教师活动①学生活动①问题已知点A（1，0），B（－2，0），C（0，3），D（0，6），E（2，4），F（2，6），G（－4，4）.（1）分别求出点A与点B、点C与点D、点E与点F、点E与点G间的距离，并写出你发现的结论；（2）分别求出点E，点F，点G，点B，点C到x轴和y轴的距离，并写出你发现的结论.学生作图、探究、归纳结论，同桌交流讨论，分享观点.第（1）问是探究平面直角坐标系中坐标轴或平行于坐标轴的直线上的两点间的距离的求法，与数轴上两点间的距离求法类似.第（2）问是探究点到坐标轴的距离，可以转化为求点到垂足的距离，也就是求两点间的距离.因此，关键是根据点的坐标的表示方法，找到坐标轴上的垂足及垂足的坐标，再利用上一问的结论解决问题.在归纳结论时学生要用符号语言表示.活动意图说明由问题引出对平面直角坐标系中两点间距离及点到坐标轴的距离的求解探究，进一步用代数的方法研究几何问题，培养数形结合的思想方法，通过作圈、探究、总结的学习过程培养学生自主学习的能力，并在此过程中渗透符号意识.环节2巩固提升教师活动②学生活动②1.求P（－3，0），P（2，0）之间的距离.2.求P（0，－4），P（0，－7）之间的距离.3.已知A（3，0），点B在x轴上，若AB=4，求点B的坐标.教师在讲解这个问题时可以渗透轨迹意识，在平面上到定点的距离相等的点的轨迹为圆，但是由于有了在x轴上这个限制条件，所以最终的点B只有两个.4.点P（－3，－2）到x轴的距离是________；到y轴的距离是________；到直线x=1的距离是________；到直线y=－2的距离是________.5.若点A在第三象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，求点A的坐标.6.已知点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，写出P点坐标.7.点P坐标为（3－a，4a－3），且P到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点P的坐标.教师在讲解的过程中可以渗透轨迹意识，到定直线距离相等的点的轨迹是两条平行线.结合轨迹找到符合条件的点是一种严谨的思考方式.学生完成练习，要结合作图进行思考，然后在教师的引导下完善并总结.练习1和2是对坐标系中两点间距离的求法进行巩固.在此铺垫下，问题3要求根据距离确定点的坐标，当只给出距离没给出方向时，要进行分类讨论，由于题中给出了点A和点B都在x轴上这一前提条件，所以点B可能在点A的左侧，也可能在点A的右侧.练习4是对点到坐标轴的距离的求法的复习，并应用点到坐标轴的距离求点到平行于坐标轴的直线的距离，这里需结合点到坐标轴的距离及平行线间的距离解决问题，例如点P到直线x=1的距离等于点P到x轴的距离加上x轴与直线x=1的距离.练习5，6，7是利用点到坐标轴的距离确定点的坐标，其中，练习5明确了点A的象限，也就明确了相对坐标轴的方向，因此由距离可以明确点的坐标；而练习6则没有给出方向的信息，因此要分类讨论，共有4种情况；练习7没有给出明确的距离，但给出了“距离相等”的条件，则横、纵坐标有可能相等，也有可能互为相反数，也要注意进行分类讨论.活动意图说明结合习题巩固求平面直角坐标系中两点间的距离和点到坐标轴的距离的方法，并进一步应用距离解决问题，加深对确定点的位置的几个要素的理解，理解并掌握只给出距离没给出方向时要进行分类讨论，渗透分类思想.从具体到抽象，根据前面具体问题的铺垫，在最后一个问题中结合作图解决抽象的问题，培养抽象思维.环节3例题讲解教师活动③学生活动③例若A（－1，0），B（3，0），C（5，－2），求△ABC的面积.教师在讲解的过程中要注意渗透解题方法及规范的书写格式.分析：（1）在找三角形的底和高时，可以选择位于坐标轴上或平行于坐标轴的边为底，自己作辅助线构造高.如图，在△ABC中，选定AB为底，过点C作CD⊥AB于点D，则CD为高.（2）规范解答过程，注意距离的表示方法，注意在求面积时先写出字母表达式，再代入求值.解：过点C作CD⊥AB于点D.（1分）A（－1，0），B（3，0），C（5，－2），D（5，0），（1分）AB=4，CD=2.（1分）=AB·CD=4.（2分）练习：已知A（1，2），B（1，5），C（3，－1），求△ABC的面积.学生先自己作图、思考，总结方法并给出解答；然后在教师的引导下完善解答过程，规范书写格式.设置针对例题的练习，学生根据老师讲解的方法及规范的书写格式独立完成，同桌根据给分点互相校对给分，完善过程.活动意图说明教师结合例题分析如何在平面直角坐标系中根据顶点坐标求三角形面积，这里的三角形有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴.学生在解题过程中应规范书写格式，逐步培养逻辑推理能力，并通过练习加深理解.环节4巩固提升教师活动④学生活动④例已知A（1，2），B（－3，3），C（3，－1），求△ABC的面积.提示：本例题可以将三角形补成长方形或梯形，用长方形或梯形减去几个直角三角形的面积即可.教师讲解时可以注意总结：除了补成长方形，也可以补成梯形；切割的方法也可以，但是现阶段没有学习一次函数，无法求出直线的交点坐标，从而无法求解。此题不强调规范书写过程，以思维方法为主.解法一：如图1，将三角形补成长方形.解法二：如图2，将三角形补成梯形.练习：已知A（1，2），B（4，1），求△AOB的面积.学生完成例题，同桌交流，在班级内分享交流方法并进行总结.学生根据上述方法进行练习巩固.活动意图说明在平面直角坐标系中，结合例题分析如何计算三边都不与坐标轴平行的三角形的面积．环节5提升训练教师活动⑤学生活动⑤已知A（4，0），点B在y轴上，若=4，求点B的坐标.学生结合图象思考，交流讨论.根据三个顶点的位置描述可以发现，题中的△AOB是直角三角形，直角边分别为AO和BO，AO的长是4，BO的长不确定，但由面积为4，可以求出BO的长，于是就可以确定下来点B的两个位置.学生完成解答过程，可能有以下两种情况：第一种：∵A（4，0），O（0，0），∴AO=4.∵点B在y轴上，∴BO⊥AO.∴=2A0·B0.∵=4，∴BO=2.∴B（0，2）或B（0，－2）.第二种：∵A（4，0），O（0，0），∴AO=4.∵点B在y轴上，设点B（0，y），∴BO⊥AO.∴=2AO·BO.∵=4，∴.∴y=士2.∴B（0，2）或B（0，一2）.这两种方法分别是从逆向思维和正向（方程）思维的角度解决问题，学生通过分享交流可以有不同的方法.活动意图说明综合运用平面直角坐标系中点的位置的确定及三角形的面积计算等知识解决问题，巩固所学内容的同时，进一步提升学生对方法的理解及掌握．板书设计用坐标表示距离过点C作CD⊥AB于点D，（1分）∵A（－1，0），B（3，0），C（5，－2），D（5，0），（1分）∴AB=4，CD=2.（1分）∴（2分）练习诊断1.（A）点（1，2）到点（－2，2）的距离是_______.2.（A）点（2，3）到x轴的距离是，到y轴的距离是_______；点（－2，3）到x轴的距离是_______，到y轴的距离是_______；点（－2，－3）到直线x=－1的距离是_______，到直线y=3的距离是_______.3.（B）已知点M的坐标为（1，－2），线段MN=3，MN//x轴，点N在第三象限，则点N的坐标为_______.4.（B）到x轴的距离为3，到y轴的距离为4的点的坐标是_______.5.（B）在x轴上，到y轴的距离为3的点的坐标是_______.6.（B）在x轴上方、y轴左侧，到x轴的距离为2，到y轴的距离为4的点的坐标是_______.7.（B）点P坐标为（3－a，－2a－1），且P到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点P的坐标.8.（B）已知在平面直角坐标系中，A（3，0），B（－1，0），C（5，2）.求△ABC的面积.9.（B）已知在平面直角坐标系中，A（3，3），B（－2，－2），C（3，0）.求△ABC的面积.10.（B）若A（1，3），B（3，1），C（2，－1），求△ABC的面积.11.（C）已知A（－1，0），C（2，－3），点B在x轴上，若=7，求点B的坐标。12.（C）已知在平面直角坐标系中，A（－3，0），B（0，2），点C在坐标轴上.若△ABC的面积为6，求点C坐标.反思与改进本课时的主要内容是对平面直角坐标系中距离与坐标的关系进行探究，并解决三角形面积的相关问题，是对用代数方法解决几何问题的进一步探究.在教学过程中渗透数形结合、分类讨论等思想，培养学生的几何