挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专题04《实数》解答题重点题型分类(原卷版+解析)

专题04《实数》解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《实数》中“化简求值题型”、“利用平方根与立方根的性质解方程题型”、“计算解答题型”、“数轴比较大小题型”、“整数部分与小数部分题型”、“创新题型”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。考点1：化简求值题型方法点拨：1.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应（数形结合）。2.数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.4.绝对值、平方、算术平方根的双重非负性的应用。1．若，化简2．先化简后求值：，其中，满足．3．先化简，再求值：[（3x+y）（3x﹣y）﹣2x（y+2x）+（y﹣2x）2]÷（﹣3x），其中x、y满足．4．已知多项式A＝x2+2xy﹣3y2，B＝2x2﹣3xy+y2，先化简3A+2B；再求当x，y为有理数且满足x2+y+2y＝﹣4+17时，3A+2B的值．5．（1）化简：a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）；（2）先化简，再求值：（﹣4x2+2x﹣8y）﹣（﹣x﹣2y），其中x＝，y＝2018．6．已知数a在数轴上对应的位置如图所示，化简+|a+1|+．7．实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示，化简：8．若一个正数的两个平方根分别为，，请先化简再求值：．9．我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的．例如：．（1）请仿照上例化简．①；②；（2）请化简．10．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当，，三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题，（1）当时，求______，当时，求______．（2）请根据，，三个数在数轴上的位置，求的值．（3）请根据，，三个数在数轴上的位置，化简：．考点2：利用平方根与立方根的性质解方程题型方法点拨：解方程时应把平方部分看成一个整体，先根据等式基本性质把方程化为平方部分等什么。再利用平方根定义，把一元二次方程化为一元一次方程再求解。注意不要漏掉负平方根。1．求方程中的值．2．解方程（1）（2）3．解下列关于的方程：（1）（2）4．解方程（1）3x2=30，求x的值；（2）（x-2）3+27=0，求x的值．5．求方程：中的值．6．解下列关于x的方程：（1）（2）7．已知一个正数的两个不相等的平方根是与．（1）求的值及这个正数；（2）求关于的方程的解．8．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b＝a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x＝24的解．9．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．（1）求a的值；（2）求这个正数m；（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．10．已知一个正数的平方根是a＋6和2a﹣9（1）求a的值；（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．考点3：计算解答题型方法点拨：有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.1．计算（1）（2）2．计算：（1）（2）3．计算：4．计算：5．计算（1）（2）6．计算：7．计算：．8．计算：．9．计算（1）（2）（3）；（4）10．实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，求代数式x2＋(a＋b)cdx＋的值．11．已知当时，代数式的值为0.关于的方程的解为．（1）求的值；（2）若规定表示不超过的最大整数，例如，请在此规定下求的值．考点4：数轴比较大小题型方法点拨：利用数轴进行实数的大小比较时，关键是把握数在数轴上所对应的点的位置，在结合数轴，根据数轴上右边的实数总比左边的实数大，便可以作出判断。1．求出下列各数的相反数，在数轴上表示下列各数以及它们的相反数，并用“＜”连接：．2．在数轴上近似地表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＜”连接：3．用数轴上的点表示下列各数：，，0，，并用“＜”把它连接起来．4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”连接：﹣π，，0，﹣（﹣2），1.25．5．求出下列各数的相反数，在数轴上表示下列各数以及它们的相反数，并用“<”号连接：．6．（1）求出下列各数：2的平方根；的立方根；的算术平方根；（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上，并用连接大小7．阅读材料，回答问题．下框中是小马同学的作业，老师看了后，找来小马．问道：“小马同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”小马点点头．老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”请把实数|﹣|，﹣π，﹣4，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．解：请你帮小马同学将上面的作业做完．8．数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，为原点，且满足．（1）__________，__________，__________；（2）若的的中点为．则点表示的数为__________；（3）小亮说“如果将点向右移动5个单位长度，得到点，此时点在原点的右侧，也在点的右侧”，他的说法正确吗？说明理由．考点5：整数部分与小数部分题型方法点拨：一个数减去一个整数后，所得的差大于0小于1，那么减数就是其整数部分，差是其小数部分。1．已知2a－1的平方根是±3，3a＋b−9的立方根是2，c是的整数部分，求a＋b＋c的平方根．2．阅读下面的文字，解答问题．现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以．（1），；，．（2）如果，，求的立方根．3．阅读下列材料：∵，∴，∴的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果的整数部分为，的小数部分为，求的值．4．阅读材料：∵＜＜，即2＜＜3，∴0＜﹣2＜1，∴的整数部分为2，的小数部分为﹣2．解决问题：（1）填空：的小数部分是；（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求a+b﹣的立方根．5．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：（1）的小数部分是________，的小数部分是_______；（2）若是的整数部分，是的小数部分，求的立方根．6．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：（1）的整数部分是，小数部分是；（2）如果5＋的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a(a＋b+1)的值．7．在数轴上点A表示a，点B表示b，且a，b满足．（1）a+b=；（2）x表示a+b的整数部分，y表示a+b的小数部分，则求y的值？（3）若点A与点C之间的距离表示AC，点B与点C之间的距离表示BC，请在数轴上找一点C，使得AC=2BC，求点C在数轴上表示的数？8．阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为2，请解答：（1）的整数部分是；（2）已知：8的小数部分是m，8小数部分是n，且（x﹣1）2＝m＋n，请求出满足条件的x的值．9．阅读下面的文字，解答问题．例如：，即，的整数部分为，小数部分为．请解答：（1）的整数部分是；（2）已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值．10．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因为，所以的整数部分是1，就是小数部分．请据此解答：（1）的整数部分是，小数部分是；（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；（3）若设的整数部分为x，小数部分为y，求的值．考点6：创新题型方法点拨：这一类题型比较灵活，掌握实数的性质并且熟练掌握比较法、整体法、类比法、归纳出解题方法。1．用计算器计算：（1）；（2）；（3）；（4）．观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果：___________．2．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，这样对72只需进行3次操作变为1．（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．3．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大算术平方根是6.（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．4．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5=；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an==（n为正整数）；（3）已知|ab－3|与|a－1|互为相反数，试利用上面的规律求下式的值．5．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：n0.00160.16161600160000……0.040.4440400……（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向移动位；（2）运用你发现的规律，探究下列问题：①若≈1.910，≈6.042，则≈；②已知x2≈0.000365，则x≈．6．小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题：（1）求，的平方根；（2）求，，，，，，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来；（3）求的值．7．，即，的整数部分为，小数部分为．请你观察上述式子的规律后解决下面问题．（1）规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：______；______；（2）如果的小数部分为，的小数部分为，求的值．8．阅读下列材料，回答相关问题：求一个正数的算术平方根，有些数可以开得尽方，如，等，有些数开不尽方，如，等．对于开不尽方的数，我们可以通过计算器求得，也可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：探究发现：从表中所给的信息，你能发现什么规律？（请将规律用文字表述出来）理解应用：用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：（1）；（2）．拓展应用：根据上述探究过程类比研究：已知，则________．专题04《实数》解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《实数》中“化简求值题型”、“利用平方根与立方根的性质解方程题型”、“计算解答题型”、“数轴比较大小题型”、“整数部分与小数部分题型”、“创新题型”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。考点1：化简求值题型方法点拨：1.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应（数形结合）。2.数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.4.绝对值、平方、算术平方根的双重非负性的应用。1．若，化简【答案】【分析】由判断＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值，再计算即可．【详解】解：∵，∴＞0，∴∴【点睛】本题考查二次根式的化简，正确的对含绝对值号的代数式的化简是解题的关键．分类的标准应按正实数，负实数，零分类考虑．掌握好分类标准，不断加强分类讨论的意识．2．先化简后求值：，其中，满足．【答案】，【分析】直接利用整式的混合运算法则以及绝对值、算术平方根的性质得出，的值，进而计算得出答案．【详解】解：原式，，，解得：，原式．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，绝对值的非负性，算术平方根，解题的关键是正确掌握相关运算法则．3．先化简，再求值：[（3x+y）（3x﹣y）﹣2x（y+2x）+（y﹣2x）2]÷（﹣3x），其中x、y满足．【答案】﹣3x+2y，﹣26【分析】原式中括号利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝（9x2﹣y2﹣2xy﹣4x2+y2﹣4xy+4x2）÷（﹣3x）＝（9x2﹣6xy）÷（﹣3x）＝﹣3x+2y，∵，∴x﹣8≥0且8﹣x≥0，解得：x＝8，∴，∴原式＝﹣3×8+2×（﹣1）＝﹣24﹣2＝﹣26．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．4．已知多项式A＝x2+2xy﹣3y2，B＝2x2﹣3xy+y2，先化简3A+2B；再求当x，y为有理数且满足x2+y+2y＝﹣4+17时，3A+2B的值．【答案】【分析】根据多项式的加减运算进行化简，进而根据x，y为有理数求得的值，代入求解即可．【详解】A＝x2+2xy﹣3y2，B＝2x2﹣3xy+y2，x2+y+2y＝﹣4+17，x，y为有理数，，原式【点睛】本题考查了整式的加减化简求值，实数的性质，求得的值是解题的关键．5．（1）化简：a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）；（2）先化简，再求值：（﹣4x2+2x﹣8y）﹣（﹣x﹣2y），其中x＝，y＝2018．【答案】（1）；（2），【分析】（1）去括号后合并同类项即可；（2）利用乘法分配律化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【详解】解：（1）a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a），，；（2）（﹣4x2+2x﹣8y）﹣（﹣x﹣2y），，，，当x＝，y＝2018时，原式，，．【点睛】此题主要考查了整式的化简求值和实数运算，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．6．已知数a在数轴上对应的位置如图所示，化简+|a+1|+．【答案】【分析】直接利用数轴得出的取值范围，进而化简得出答案．【详解】解：由数轴得：，则+|a+1|+＝＝．【点睛】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键．7．实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示，化简：【答案】3b【分析】根据，再结合绝对值的性质去绝对值，再合并同类项即可．【详解】解：原式=|-c|+|a-b|+a+b-|b-c|，=c+（-a+b）+a+b-（-b+c），=c-a+b+a+b+b-c，=3b．【点睛】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质．8．若一个正数的两个平方根分别为，，请先化简再求值：．【答案】，9【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可求得a的值，再对原式去括号合并同类项化简后，代入a的值求解即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为，，∴（a-1）+（2a+7）=0，解得a=-2．，当a=-2时，原式．【点睛】本题主要考查了平方根的性质，整式的加减求值．利用正数的两个平方根互为相反数列等式求值是解题的关键．9．我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的．例如：．（1）请仿照上例化简．①；②；（2）请化简．【答案】（1）①；②；（2）【分析】（1）①根据题意仿照求解即可；②根据题意仿照求解即可；（2）先根据被开方数的非负性判断a的正负，然后根据题意求解即可．【详解】解：（1）①；②；（2）∵有意义∴，∴∴．【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．10．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当，，三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题，（1）当时，求______，当时，求______．（2）请根据，，三个数在数轴上的位置，求的值．（3）请根据，，三个数在数轴上的位置，化简：．【答案】（1）1；；（2）；（3）．【分析】（1）当时，点a在原点右边，由题意可知，此时，代入即可求值；当时，点b在原点左边，由题意可知，此时，代入即可求值；（2）由图中获取三点的位置信息后，结合题意即可求原式的值；（3）由图获取的正、负信息和三个数绝对值的大小后，就可确定原式中绝对值符号里面式子的值的符号，就可化简原式．【详解】解：（1）当时，；当时，，故答案是：1，-1；（2）由数轴可得：，，，∴=；（3）由数轴可知：且，∴，∴．【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．在解第3小问这类题时，需注意以下两点：（1）根据在数轴上表示的数中，左边的总小于右边的，确定好所涉及数的大小关系及每个数的正、负信息（涉及异号两数相加的还要获取它们绝对值的大小关系）；（2）根据有理数加、减法法则确定好需化简式子中绝对值符号里的式子的正、负，然后再根据绝对值的代数意义将绝对值符号去掉．考点2：利用平方根与立方根的性质解方程题型方法点拨：解方程时应把平方部分看成一个整体，先根据等式基本性质把方程化为平方部分等什么。再利用平方根定义，把一元二次方程化为一元一次方程再求解。注意不要漏掉负平方根。1．求方程中的值．【答案】或【分析】先运用平方根概念求出x-1，然后再求出x即可．【详解】解：x-1=6，x-1=-6或．【点睛】本题主要考查了利用平方根的概念解方程，掌握相关知识是解答本题的关键．2．解方程（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）把方程化为：再利用平方根的含义解方程即可得到答案；（2）把方程化为：再利用立方根的含义解方程即可得到答案．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查的是实数的运算，算术平方根，零次幂，负整数指数幂的运算，利用平方根，立方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．3．解下列关于的方程：（1）（2）【答案】（1）；（2）或．【分析】根据立方根，平方根的定义解答即可．【详解】解：（1），，；（2），或，解得或．【点睛】本题考查了立方根，平方根的定义，理解立方根和平方根的定义是解题的关键．4．解方程（1）3x2=30，求x的值；（2）（x-2）3+27=0，求x的值．【答案】（1）；（2）-1．【分析】（1）根据平方根的意义求解即可；（2）根据立方根的意义求解即可．【详解】解：（1）∵3x2=30，∴x210，∴x=；（2）∵，∴x-2=-3，∴x=-1．【点睛】本题考查了实数的运算，绝对值的化简，利用平方根和立方根的意义解方程等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．5．求方程：中的值．【答案】x1=28，x2=-26．【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【详解】由题意可知：x-1=±27，∴x1=28或x2=-26【点睛】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的性质.6．解下列关于x的方程：（1）（2）【答案】（1）x=或x=；（2）x=．【分析】（1）根据平方根的定义即可求出答案．根据立方根的定义即可求出答案．【详解】解：（1）∵，∴∴或∴（2）【点睛】本题考查立方根与平方根的定义，解题的关键是熟练运用立方根与平方根的定义，本题属于基础题型．7．已知一个正数的两个不相等的平方根是与．（1）求的值及这个正数；（2）求关于的方程的解．【答案】（1）a=1，这个正数是49；（2）【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到+=0，求解即可得到答案；（2）将a=1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可．【详解】解：（1）由题意得+=0，解得a=1，∴这个正数是；（2）将a=1代入方程，得-64=0，解得．【点睛】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．8．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b＝a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x＝24的解．【答案】x＝±5【分析】按照题中给出的计算法则进行运算，其中有小括号的要先算小括号．【详解】解：∵a⊕b＝a2﹣b2，∴（4⊕3）⊕x＝（42﹣32）⊕x＝7⊕x＝72﹣x2∴72﹣x2＝24∴x2＝25．∴x＝±5．【点睛】本题属于新定义题，根据新的定理掌握新的运算法则是解答本题的关键.9．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．（1）求a的值；（2）求这个正数m；（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．【答案】（1）a＝1；（2）49；（3）x＝±4【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得的值；（2）根据（1）的结论即可求得的值；（3）根据（1）的结论将代入方程，进而根据求一个数的平方根解方程即可【详解】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，解得，a＝1；（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，∴m＝72＝49；（3）x2﹣16＝0，x2＝16，x＝±4．【点睛】本题考查了求一个数的平方根，平方根的性质，理解平方根的性质是解题的关键．10．已知一个正数的平方根是a＋6和2a﹣9（1）求a的值；（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；（2）根据平方根的定义求解方程即可．【详解】解：（1）∵一个正数的平方根是和，∴，∴；（2）当，方程为，∴，∴，∴关于x的方程的解是或．【点睛】本题考查的是平方根的概念，掌握一个正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数是解题的关键.考点3：计算解答题型方法点拨：有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.1．计算（1）（2）【答案】（1）－1；（2）【分析】（1）实数的混合运算，先做乘方，化简算术平方根和立方根，然后进行有理数的混合运算；（2）实数的混合运算，先化简绝对值，然后进行二次根式的加减法运算；【详解】（1）解：原式=＝1+（-2）＝-1；（2）解：原式==；【点睛】本题考查实数的混合运算，方程的解及求一个数的算数平方根，掌握概念和法则正确计算是解题关键．2．计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先分别根据正整数幂、负指数幂和开方运算，再算乘除法，最后算加减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；（2）依据数的开方、绝对值、0次幂、平方差公式分别计算，然后做加减法运算；【详解】解：（1）=-16+5+2=-9（2）【点睛】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，能灵活运用法则进行计算和化简是解此题的关键．3．计算：【答案】4；【分析】原式第一项利用二次根式的化简公式，第二项利用负整数指数幂公式化简，第三项利用立方根定义化简，最后一项利用零指数幂化简，合并即可得到结果；【详解】原式=4-4+3+1=4；【点睛】实数的混合运算4．计算：【答案】【解析】试题分析：（1）先分别计算零次幂，二次根式，绝对值和负整指数幂，再进行加减运算即可得出答案；试题解析：原式==；考点：实数的混合运算5．计算（1）（2）【答案】（1）1；（2）；【分析】（1）先计算乘方，算术平方根，立方根，再计算加减即可；（2）先计算零指数幂，负指数幂，二次根式化简，绝对值化简，再合并即可；【详解】解：（1），原式=，=1；（2），原式=，=，=；【点睛】本题考查实数混合运算，零指数幂，负指数幂，二次根式化简。6．计算：【答案】5【分析】原式第一项利用二次根式的性质化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用立方根定义化简，即可得到结果；【详解】原式=1+1-（-3）=1+1+3=5；【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键7．计算：．【答案】【解析】试题分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简、绝对值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：==-1；8．计算：．【答案】﹣3；【解析】试题分析：利用平方根及立方根定义计算即可得到结果；试题解析：=3﹣4﹣2=﹣3．9．计算（1）（2）（3）；（4）【答案】（1）-；（2）；（3）；（4）；【详解】本题涉及实数的运算与化简、用开平方、开立方、二次根式化简的知识，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果，根据平（立）方根的定义进而求出结果．．解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=；（4）原式=“点睛”此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（4）题根据二次根式的性质化简，要注意a的取值范围．10．实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，求代数式x2＋(a＋b)cdx＋的值．【答案】8【解析】分析：根据题意可得a+b=0，cd=1，x=±，，然后代入代数式求值即可.详解：因为实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为，所以a＋b＝0，cd＝1，.故x2＋(a＋b)cdx＋＝(±)2＋0×1×(±)＋0＋1＝7＋0＋0＋1＝8.点睛：主要考查了实数运算，关键是掌握相反数和为0，倒数积为1．11．已知当时，代数式的值为0.关于的方程的解为．（1）求的值；（2）若规定表示不超过的最大整数，例如，请在此规定下求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先将代入求出m的值，然后根据的解为求出n的值，然后代入中即可得出答案；（2）先将m,n代入求出的值，再根据题意找到不超过的最大整数即可．【详解】（1）∵当时，代数式的值为0，∴将代入，得，解得．∵关于的方程的解为，∴将，代入，得解得．∴．（2）由（1）知，，，∴．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元一次方程的解法及整数的概念是解题的关键．考点4：数轴比较大小题型方法点拨：利用数轴进行实数的大小比较时，关键是把握数在数轴上所对应的点的位置，在结合数轴，根据数轴上右边的实数总比左边的实数大，便可以作出判断。1．求出下列各数的相反数，在数轴上表示下列各数以及它们的相反数，并用“＜”连接：．【答案】的相反数为，的相反数为，0的相反数为0，的相反数为2；数轴表示见解析；【分析】先求出每个数的相反数，再在数轴上把各个数表示出来，根据数轴上表示的数，右边的总比左边的数大比较即可．【详解】解：的相反数为，的相反数为，0的相反数为0，因为，所以的相反数为2；将各数以及它们的相反数在数轴上表示出来如下图：

用“＜”连接：．【点睛】本题考查了数轴和相反数的定义，熟练掌握在数轴上表示的数，右边的总比左边的数大；若两个数的和为0，则这两个数互为相反数是解题的关键．2．在数轴上近似地表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＜”连接：【答案】数轴见解析，【分析】先根据算术平方根、绝对值与相反数的意义分别化简各数以及对π取近似值，再在数轴上分别表示出来，进而即可比较大小．【详解】解：，∴以上各数在数轴上表示如下：∴．【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值与相反数的意义以及用数轴比较实数的大小，熟练掌握算术平方根、绝对值与相反数的意义是解决本题的关键．3．用数轴上的点表示下列各数：，，0，，并用“＜”把它连接起来．【答案】数轴见解析，【分析】首先在数轴上表示各数，再根据在数轴上表示的实数，右边的数总比左边的数大用“＜”号把各数连接起来即可．【详解】解：在数轴上表示各数如下：用“＜”号把各数连接起来：．【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”连接：﹣π，，0，﹣（﹣2），1.25．【答案】数轴见解析，﹣π＜＜0＜1.25＜﹣（﹣2）【分析】根据绝对值、相反数、实数在数轴上对应的点、实数的大小关系解决此题．【详解】，﹣（﹣2）＝2．﹣π，，0，﹣（﹣2），1.25在数轴上表示如下：∴﹣π＜＜0＜1.25＜﹣（﹣2）．【点睛】本题考查了实数在数轴上的表示，实数大小的比较，绝对值与相反数的定义，掌握这些知识是解题的关键．5．求出下列各数的相反数，在数轴上表示下列各数以及它们的相反数，并用“<”号连接：．【答案】的相反数是的相反数是，0的相反数是0，的相反数是，数轴见解析，【分析】先根据相反数的定义求出各个数的相反数，然后再数轴上表示出来，并比较大小即可．【详解】解：的相反数是，的相反数是，0的相反数是0，的相反数是．根据题意画图如下：．【点睛】本题主要考查了相反数，立方根，在数轴上表示实数，并比较实数的大小，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．6．（1）求出下列各数：2的平方根；的立方根；的算术平方根；（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上，并用连接大小【答案】(1)；（2）-3＜-＜＜2．;详见解析【分析】（1）根据平方根、立方根、算术平方根的定义分别求解即可；

（2）根据实数与数轴的关系，可将（1）中求出的每个数表示在数轴上；根据数轴上左边的数比右边的数小来解答．【详解】解：（1）2的平方根是±，-27的立方根是-3，的算术平方根2；

（2）-3＜-＜＜2，如图：

【点睛】此题考查实数与数轴，实数大小的比较，平方根、立方根、算术平方根的定义．解题关键在于先画出了数轴，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．7．阅读材料，回答问题．下框中是小马同学的作业，老师看了后，找来小马．问道：“小马同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”小马点点头．老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”请把实数|﹣|，﹣π，﹣4，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．解：请你帮小马同学将上面的作业做完．【答案】图见解析，﹣4＜﹣π＜|﹣|＜2＜．【分析】根据和确定原点，根据数轴上的点左边小于右边的排序依次表示即可．【详解】把实数||，，，，2表示在数轴上如图所示，＜＜||＜2＜．【点睛】本题考查用数轴比较点的大小，根据题意先确定原点是解题的关键．8．数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，为原点，且满足．（1）__________，__________，__________；（2）若的的中点为．则点表示的数为__________；（3）小亮说“如果将点向右移动5个单位长度，得到点，此时点在原点的右侧，也在点的右侧”，他的说法正确吗？说明理由．【答案】（1）；5；4；（2）；（3）不正确，理由见解析．【分析】（1）根据完全平方式，绝对值及二次根式的非负性求解即可；（2）利用数轴上两点间的中点公式求解；（3）利用平移求出E点所表示的数，然后进行实数的大小比较，从而进行判断．【详解】解：（1）由可得∴解得：；；故答案为：；5；4；（2）由（1）可知：A点表示的数为，C点表示的数为4∴的的中点表示的数为故答案为：；（3）不正确，理由如下：将点向右移动5个单位长度，得到点，此时点表示的数为+5∵∴又∵点B表示的数为5∴点E在原点右侧，B点左侧故小亮说法不正确．【点睛】本题考查完全平方式及二次根式的非负性，数轴上的点所表示的数，实数的大小比较，利用数形结合思想解题是关键．考点5：整数部分与小数部分题型方法点拨：一个数减去一个整数后，所得的差大于0小于1，那么减数就是其整数部分，差是其小数部分。1．已知2a－1的平方根是±3，3a＋b−9的立方根是2，c是的整数部分，求a＋b＋c的平方根．【答案】±3【分析】由2a−1的平方根是±3求出a的值，由3a＋b−9的立方根是2求出b的值，由c是的整数部分求出c的值，即可确定a＋b＋c的平方根．【详解】解：∵2a−1的平方根是±3，∴2a−1＝9，∴a＝5，∵3a＋b−9的立方根是2，∴3a＋b−9＝8，∴15＋b−9＝8，∴b＝2，∵2＜＜3，∴c＝2，∴a＋b＋c＝5＋2＋2＝9，∵9的平方根是±3，∴a＋b＋c的平方根是±3．【点睛】本题主要考查平方根，立方根的概念，关键是要求出a，b，c的值．2．阅读下面的文字，解答问题．现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以．（1），；，．（2）如果，，求的立方根．【答案】（1）1，，3，；（2）2【分析】（1）先估算出和的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可；（2）先估算出，的范围，即可求出a，b的值，进一步即可求出结果．【详解】（1）∵1＜＜2，3＜＜4，∴[]＝1，＜＞＝−1，[]＝3，＜＞＝−3，故答案为：1，，3，；（2）∵2＜＜3，10＜＜11，∴＜＞＝a=−2，[]＝b=10，∴，∴的立方根是2．【点睛】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，能够估算出无理数的范围是解决问题的关键．3．阅读下列材料：∵，∴，∴的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果的整数部分为，的小数部分为，求的值．【答案】a+b的值为25+．【分析】由9π≈28.26，可得其整数部分a=28，由27＜28＜64，可求得的小数部分，继而可得a+b的值．【详解】解：∵9π≈28.26，∴a=28，∵27＜28＜64，∴，∴3＜＜4，∴b=-3，∴a+b=28+-3=25+，∴a+b的值为25+．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出a，b的值是解答此题的关键．4．阅读材料：∵＜＜，即2＜＜3，∴0＜﹣2＜1，∴的整数部分为2，的小数部分为﹣2．解决问题：（1）填空：的小数部分是；（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求a+b﹣的立方根．【答案】（1）；（2）2【分析】（1）根据求＜＜的取值范围，进而得实数小数部分；（2）由9＜＜10得a的值，1＜＜2得b的值，再进行相应的计算．【详解】解：（1）∵16＜19＜25，∴∴的整数部分是4，∴小数部分是．故答案为：．（2）∵81＜90＜100，∴∴a=9∵∴∴∴a+b-=8，∴a+b-的立方根为2．【点睛】本题考查了实数的整数部分及小数部分，掌握无理数的取值范围，从而求出整数部分和小数部分，求出结果是求立方根的关键．5．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：（1）的小数部分是________，的小数部分是_______；（2）若是的整数部分，是的小数部分，求的立方根．【答案】（1），；（2）的立方根等于2．【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式的值，从而求得其立方根．【详解】（1）∵∴的整数部分为3∴的小数部分为∵∴∴的整数部分为2∴的小数部分为故答案为：，（2）∵∴a=9∵∴的整数部分为1∴∴∵=2∴的立方根等于2【点睛】本题考查了无理数的估算及求立方根，关键是掌握二次根式的大小估算方法．6．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：（1）的整数部分是，小数部分是；（2）如果5＋的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a(a＋b+1)的值．【答案】（1）5，﹣5；（2）【分析】（1）先判断出位于5和6两个整数之间，即可求解；（2）先分别根据题意求出a、b的值，再代入a(a＋b+1)即可求解．【详解】解：（1）∵＜＜，∴5＜＜6，∴的整数部分为5，小数部分为﹣5；故答案为：5，﹣5；（2）∵2＜＜3，∴7＜5＋＜8，∴5＋的小数部分a＝5＋﹣7＝﹣2，∵2＜＜3，∴﹣3＜﹣＜﹣2，∴2＜5﹣＜3，∴5﹣的整数部分为b＝2，∴a(a＋b+1)=(﹣2)(+1)=．【点睛】本题考查了无理数大小的估算，二次根式的混合运算等知识，正确估算出无理数的大小，并能正确进行二次根式的混合运算是解题关键．7．在数轴上点A表示a，点B表示b，且a，b满足．（1）a+b=；（2）x表示a+b的整数部分，y表示a+b的小数部分，则求y的值？（3）若点A与点C之间的距离表示AC，点B与点C之间的距离表示BC，请在数轴上找一点C，使得AC=2BC，求点C在数轴上表示的数？【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可求得a+b的值，（2）根据无理数的估算可求得a+b整数部分，a+b的小数部分；

（3）设C点表示的数为x，根据AC=2BC列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）故答案为：；（2）；（3）或设点C表示的数为m，当点C在A，B之间时，当点C在点B的左边时，，综上所述C点在数轴上表示的数为或．【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点间的距离可用右边的点表示的数减去左边的点表示的数．8．阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为2，请解答：（1）的整数部分是；（2）已知：8的小数部分是m，8小数部分是n，且（x﹣1）2＝m＋n，请求出满足条件的x的值．【答案】（1）3；（2）0或2．【分析】（1）首先估算出的大小，然后确定整数部分即可；（2）根据的整数部分即可求出8和8的整数部分，进而表示出小数部分m和n，最后代入（x﹣1）2＝m＋n求x的值即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴的整数部分是3；（2）∵的整数部分是3，∴8的的整数部分是4，∴8的小数部分，同理可得8的整数部分是11，∴8的小数部分，∴（x﹣1）2＝m＋n，解得：．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是正确得到m和n的值．9．阅读下面的文字，解答问题．例如：，即，的整数部分为，小数部分为．请解答：（1）的整数部分是；（2）已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值．【答案】（1）4；（2）0或2【分析】（1）先估算出的大小，然后确定整数部分；（2）根据的整数部分可求出9-和9+的整数部分，进而表示出小数部分m、n，最后代入（x-1）2=m+n求x的值即可．【详解】解：（1）∵∴＜＜，即4＜＜5，∴的整数部分为4，故答案为：4．（2）∵4＜＜5∴-5＜-＜-4∴4＜9-＜5，13＜9+＜14∴9-的整数部分为4，9+的整数部分为13，∴9-的小数部分m=（9-）-4=5-，9+的小数部分n=（9+）-13=-4，∴（x-1）2=5-+-4=1，∴x-1=±1，解得x=2或x=0．∴满足条件的的值是0或2【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，解题的关键是能够正确得到m、n的值．10．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因为，所以的整数部分是1，就是小数部分．请据此解答：（1）的整数部分是，小数部分是；（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；（3）若设的整数部分为x，小数部分为y，求的值．【答案】（1）3，；（2）4；（3）【分析】（1）根据被开方数在两个连续平方数之间，估值3＜＜4，即可得出的整数部分是3，小数部分是-3即可；（2）先估值，然后求出小数部分，估值，求出整数部分，再代入代数式求值；（3）先估值，再利用不等式性质可得，求出整数部分与小数部分，再代入代数式求值即可．【详解】解：（1）∵9＜11＜16，∴3＜＜4，∴的整数部分是3，小数部分是-3，故答案为3、；（2）∵4＜7＜9，∴，∴，∵36＜41＜49，∴，∴，∴；（3）∵1＜3＜4，∴，∴，∴的整数部分为，小数部分为，∴．【点睛】本题考查无理数的估值，整数部分与小数部分，代数式求值，掌握无理数估值的方法，会求整数部分与小数部分，根据代数式求值的步骤与计算法则准确代入计算是解题关键．考点6：创新题型方法点拨：这一类题型比较灵活，掌握实数的性质并且熟练掌握比较法、整体法、类比法、归纳出解题方法。1．用计算器计算：（1）；（2）；（3）；（4）．观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果：___________．【答案】（1）10；（2）100；（3）1000；（4）10000；【分析】利用计算器分别计算，根据计算所得结果即可得到规律：所得结果为被开方数算式中相乘的因数加1．【详解】解：用计算器计算得：（1）；（2）；（3）；（4），根据上述几题的结果可得：所得结果为被开方数算式中相乘的因数加1．．故答案为：．【点睛】本题考查了利用计算器求算术平方根，规律探究，主要是计算器的使用方法，需熟记，关键是总结规律．2．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，这样对72只需进行3次操作变为1．（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．【答案】（1）3；1；（2）；（3）的最大值为255【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴对10进行1次操作后变为3；同理可得，∴，同理可得，∴，同理可得，∴，∴对200进行3次作后变为1，故答案为：3；1；（2）设m进行第一次操作后的数为x，∵，∴．∴．∴．∵要经过两次操作．∴．∴．∴．故答案为：．（3）设m经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为x，∵，∴．∴．∴．．∴．∵要经过3次操作，故．∴．∵是整数．∴的最大值为255．【点睛】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键．3．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大算术平方根是6.（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．【答案】（1）见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；（2）81【分析】（1）根据“和谐组合”的定义求解即可；（2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可．【详解】解：（1）证明：∵，，∴2，18，8这三个数是“和谐组合”∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；（2）分三种情况：①当时，得：（舍去）②当时，，得：（舍去）③当时，．得：综上所述，a的值为81．【点睛】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是正确分析新定义的运算法则．4．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5=；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an==（n为正整数）；（3）已知|ab－3|与|a－1|互为相反数，试利用上面的规律求下式的值．【答案】（1）