第十二讲反比例函数讲义（原卷版）

第三章函数第十二讲第三章函数第十二讲反比例函数满分讲义知识梳理夯实基础知识点1：反比例函数的概念定义：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成或的形式．自变量x的取值范围是的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．知识点2：反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．表达式（k是常数，k≠0）kk>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称性1.反比例函数的图象是轴对称图形，其对称轴为直线y=x和y=x；2.反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点．反比例函数比例系数越大，图象离原点越远。注意：（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．知识点3：反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．知识点4：反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．知识点5：反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．知识点6：反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．典例解析呈现命题点命题点1反比例函数的图象与性质关于反比例函数的图象性质，下列说法正确的是（

）A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，（2023·山东济南·统考中考真题）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．（2024上·山西吕梁·九年级统考期末）已知反比例函数的图象经过点与），则的值为（

）A． B．4 C． D．8已知反比例函数，当时，，则m的值是（）A． B．1 C． D．2（2023上·山西晋中·九年级统考期末）若点，在反比例函数的图象上，且当时，，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为．命题点2反比例函数解析式的确定（2023·海南·统考中考真题）若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（

）A．2 B． C． D．（无锡中考）反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．（2023·山东青岛·统考中考真题）反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为．命题点3反比例函数系数k的几何意义（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（

）A．1 B．2 C．3 D．4（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为．命题点4反比例函数与一次函数结合（2023·湖北襄阳·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（

）A．B．C．D．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交y轴于点A，交x轴于点B，与双曲线在一，三象限分别交于C，D两点，，连接，．(1)求k的值；(2)求的面积．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；(3)请直接写出关于的不等式的解集．命题点5反比例函数与几何图形结合（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（

）A．3 B． C．4 D．6（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数（）的图象上，则的值是．（2022年江西省中考数学真题）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为．命题点6反比例函数的实际应用（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（

）A． B． C． D．数学是一切学科的基础，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示，当时，．(1)求密度关于体积的函数解析式；(2)当时，求的值；(3)若，求二氧化碳密度的变化范围．（2023·浙江衢州·统考中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．素材1

国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．探究1

检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”