奇函数的最值性质-2023年高考数学高效速解突破技巧含答案

专题03奇函数的最值性质-【二级结论速解】

备战2023年高考数学高效速解突破技巧

专题03奇函数的最值性质

一、结论

①已知函数,/'（X）是定义在区间D上的奇函数,则对任意的xe。，都有/（X）+/（-X）=0.

②特别地，若奇函数/（X）在D上有最值,则/（X）max+/（x）min=0；

③若0G。，则有/（O）=o.（若/（X）是奇函数，且0€。=>/（0）=0,特别提醒反之不成立）

二、典型例题（高考真题+高考模拟）

例题1.（2023•新疆•高一乌鲁木齐市第70中校考）已知函数/（x）=《^二+8（。>0,。二1）在区间［。力］

上的最小值为-10,则函数"X）在区间卜瓦-可上的最大值为（）

A.10B.26C.-10D.与。有关

例题2.（2023•河南洛阳•高一孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知关于x的函数

%）=5一+发：；丁门+.在12022,2022］上的最大值为M,最小值N,且M+N=2022,则实数f的

值是（）

A.674B.1011C.2022D.4044

例题3.（2023•山西运城•高三校考阶段练习）已知函数=•是奇函数，则。=.

例题4.（2023•上海闵行•高一校考）已知函数/（x）=l-一一是定义在R上的奇函数.

a+a

（1）求实数“的值；

三、针对训练举一反三

一、单选题

1.（2023•云南西双版纳•高一西双版纳州第一中学校考）设函数/（工）=》5+2》3+3工+1在区间卜2021,2021］

的最大值是最小值为5，则M+m=（）

A.0B.2C.1D.3

2.（2023•新疆乌鲁木齐•高一乌市八中校考）若奇函数/（x）在区间［-3,-1］上单调递减，且最小值为5,则

/(X)在区间［1，3］上()

A.单调递增且有最大值-5B.单调递增且有最小值-5

C.单调递减且有最大值-5D.单调递减且有最小值-5

3.(2023•云南楚雄•高三统考)已知奇函数在［-1,1］上的最大值为则。=()

A.；或3B.g或2C.2D.3

4.(2023•山东淄博•高三校联考阶段练习)函数"(心0)与函数gal；—，的图象交于不同的

S3-x

两点A,8.若点。(，",")满足=2,则切+”的最大值是()

A.72B.2V2C.旧D.2G

5.(2022秋♦广东珠海•高一珠海市第一中学校考期中)己知/(x)=一7+2(常数MwO)在(0,+e)上有最

ax+b

大值A/=3,若/(x)的最小值为N,则M+N=()

A.0B.3C.4D.5

6.(2022•上海•高三统考学业考试)已知函数/8)7+侬&717)-5(》4-2016,2016］)的最大值为跖

最小值为加，则〃+加=()

A.-10B.10C.5D.-5

7.(2022秋•北京•高一校考阶段练习)已知函数/(x)=ln(&77-x)-5,x€［-2020,2020］的最大值为"，

最小值为加，则Af+/n=()

A.-5B.-10C.5D.10

8.(2022秋・山东临沂•高一校考阶段练习)已知函数/(x)=1\+l在［-2022,2022］上的最大值和最小值

分别为M，N,则A/+N=()

A.-2B.-1C.0D.2

9.(2022秋♦河北石家庄•高一石家庄精英中学校考阶段练习)若函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，且

函数尸(x)=qf(x)+bx+5在(0,+8)上有最大值12,则函数y=P(x)在(-。,0)上有()

A.最小值-12B.最大值-12C.最小值-3D.最小值-2

二、填空题

10.(2022秋・河南周口•高三校考阶段练习)设/(x)为定义在R上的奇函数，当xNO时，

f(x)=2'+2x+m,则/(-1)=.

三、解答题

11.（2022秋•内蒙古呼和浩特•高一呼市二中校考期末）己知函数〃;0=二V~-'a是奇函数.

⑴求。的值，判断/（X）的单调性并说明理由；

12.（2022秋•云南西双版纳•高一西双版纳州第一中学校考期中）已知函数/（x）是定义在卜2,2］上的奇函

数，满足当-24x40时，有/（x）=£1.

⑴求。，6的值；

2

13.（2022秋•广东茂名•高一校联考期末）已知函数

⑴是否存在实数。使函数〃x）为奇函数；

14.（2022秋•河北唐山・高一滦南县第一中学校考期中）已知函数/（万人事?是奇函数

⑴求实数。的值:

专题03奇函数的最值性质

一、结论

①已知函数,/'(X)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的xe。，都有/(X)+./(-X)=0.

②特别地，若奇函数/(X)在D上有最值,则/(X)max+/(X)min=。；

③若Ow。，则有/(O)=o.(若/(X)是奇函数，且06。=>/(0)=0,特别提醒反之不成立)

二、典型例题(高考真题+高考模拟)

例题1.(2023•新疆•高一乌鲁木齐市第70中校考)已知函数/(外=宅匚+8(〃>0,。工1)在区间［。力］

上的最小值为-10,则函数/(x)在区间卜瓦-可上的最大值为()

A.10B.26C.-10D.与。有关

【答案】B

【详解】Vf{x}=a—^-+8(a>0,a^l),y=优与y=-。一、单调性相同，

・・・/(X)在区间［。,可，区间［-6,一同上均为单调函数，

又8。)='三一(a>0,aXl)，满足g(r)=-g(x)，即g(x)为奇函数,

/(x)="*_a、+8(a>0,aR1)在区间［凡可上的最小值为-10,

g(x)=°(a>0,ax1)在区间”上的最小值为-10-8=-18，

••・8(冷在区间［-4-4］上的最大值为18,

・•・函数/(x)在区间［-6,-可上的最大值为18+8=26.

故选：B

【反思】本题中/。)=吐+8(。>0,awl)的奇偶性未知，但是通过观察，可以发现，可以进行构造函

数，即构造g(x)=/(x)-8,这样，g(x)为奇函数,从而可以得到g(x)3x+g(x)mM=0,将g(x)=f(x)-8

代入奇函数性质，得到/(X)m,x-8+/(x)min-8=0,进而将/'(X)=^y^+8(«>0,4W1)的最小值为70

代入，得到/(X)max-8-10-8=0=/(》)_=26.

例题2.(2023•河南洛阳•高一孟津县第一高级中学校考阶段练习)已知关于x的函数

/(x)=5一+二：：广”+二在12022,2022］上的最大值为池,最小值N,且M+N=2022,则实数f的

值是()

A.674B.1011C.2022D.4044

【答案】B

【详解】〃X)=5/+>+3x+sinx+产=，，+/)+5x3+3x+sinx=？+5x、3x+sinx,xe[_2022,2022],

v7x2+rx2+tx2^t

...令g(x)#"+：x+sinx,xe卜2022,2022],则/(x)=g(x)+f,

g(X)定义域关于原点对称，且g(-x)=-；■sg)=-5x：：[nx=_g(x),

所以g(x)为奇函数，

•••g(xLu+g(xL=°(奇函数的性质)，

X+2022

:・M+N=/(x)1rax+/(x)min=g(x)g+，+^()min，=，

••2=2022,即f=1011.

故选：B

【反思】本题中/(x)的奇偶性未知，需要对函数〃x)="+七：1sinx+：进行化简,通过化简f(x)

为：/(x)=,+生土牡皿，从而发现/(x)是非奇非偶函数，但是通过观察，可以发现，可以进行构造

X+1

函数，即构造g(x)=〃x)-f,这样，g(x)为奇函数，从而可以得到gOOg+gOOmin：。，将

g(X)=〃X)T代入奇函数性质，得到/(。叱一+/(4松T=0,进而将河+N=2022代入，得到

2Q22=M+N=2t,从而得到f=

例题3.(2023•山西运城•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=丁二是奇函数，则。=.

e+tz-e

【答案】-1

【详解】因为〃X)=,1r，故〃-x)=j.，

7e+tz-e'ex+a-ex

因为/(x)为奇函数，

故7•(x)+〃-x)=77、7+77M

=e'+ae+e'+y=(a+/e'+ef)=0

一(e*+q•e-)(e-+a•e")一(e'+a-)(e^+4e')一'

即S+D(e-'+e，)=0,故a=_L

故答案为：-L

【反思】在本例中，由于/(X)是奇函数，但定义域未知，也就无法确定定义域中是否含0,所以无法直接

利用奇函数性质/(0)=0求解，这样可能造成错解，所以本题需利用奇函数性质/(x)+/(-x)=O来求解.

例题4.(2023•上海闵行•高一校考)已知函数〃x)=l-一一是定义在R上的奇函数.

Q+Q

(1)求实数“的值；

【答案】⑴3

【详解】(1)因为函数=是定义在R上的奇函数，所以/(0)=0，

a+a

即1—=0,解得：。=3,此时〃X)=1-需二=1一右二，

a+a3+33X+1

7?2

故对于任意的xeR,有〃x)+/(r)=2-

3+13+13+13+1

即函数〃x)是R上的奇函数，所以实数。的值为3.

【反思】在本例中，由于/(x)是奇函数，并且定义域为火，所以可以直接利用奇函数性质/(0)=0求解

三、针对训练举一反三

一、单选题

1.(2023•云南西双版纳•高一西双版纳州第一中学校考)设函数/(》)=/+2》3+3》+1在区间卜2021,2021］

的最大值是加，最小值为切，则M+m=()

A.0B.2C.1D.3

【答案】B

【详解】^g(x)=/(x)-l=x5+2x3+3x,则函数g(x)为奇函数，

•・g(x)在区间［-2021,2021］上的最大值与最小值之和为0,

即M-1+机一1=0,

A/+帆=2.

故选：B.

2.(2023•新疆乌鲁木齐・高一乌市八中校考)若奇函数/(》)在区间上单调递减，且最小值为5,则

/(x)在区间［1，3］上()

A.单调递增且有最大值-5B.单调递增且有最小值-5

C.单调递减且有最大值-5D.单调递减且有最小值-5

【答案】C

【详解】因为函数/(x)在区间［-3,-1］上单调递减，且最小值为5,

所以〃-1)=5,

因为/(x)为奇函数，

所以/(x)在［1,3］上单调递减，

所以/(x)在［1,3］上的最大值为/。)=-〃-1)=-5,

故选：c

3.(2023•云南楚雄•高三统考)已知奇函数/(x)=。'+6"-'在［-1,1］上的最大值为则。=()

A.，或3B.5或2C.2D.3

32

【答案】B

【详解】由已知可得，/(-1)=「+从优,

因为/(X)是奇函数,所以f(-x)=_/(x),所以/(-x)+/(x)=0,

即他+D(a'+a-，)=0,解得b=-l,BPf［x}=ax-ax.

当a>l时，则0<：<1,所以函数歹=就在［-1』上单调递增，函数在［-1』上单调递减，所

以函数y=-尸在［-1』上单调递增，所以函数/(，=优-「在［-1,1］上单调递增.所以在

11

X=1处有最大值，所以整理可得2/-3°-2=0,解得。=2或。=一］(舍去)，所以。=2；

同理，当0<°<1时，函数/(x)=a'-a7在上单调递减，所以/(》)=就-。-'在x=—1处有最大值，所

以/(-l)="T-a=］,整理可得2/+3a-2=0,解得。=耳或。=-2(舍去)，所以

综上所述，。=2或“=

2

故选：B.

4.(2023•山东淄博•高三校联考阶段练习)函数C。)=kx(kW0)与函数g(.=凿'的图象交于不同的

S3-x

两点A,8.若点。(，",")满足陀+词=2,则加+”的最大值是()

A.41B.2五C.丛D.2G

【答案】A

【详解】因为/(x)=Ax(*wO)是一次函数，且函数图象过原点，所以/(力=&(左=0)的图象关于原点对称,

为奇函数，

,」、八_cos2x+3

函数只町二工1王"的定义域为(-3,O)U(O,3),关于原点对称，

卜3r

/\cos(-2x)+3cos2x+3cos2x+3/\

b—183-》—_1(3+x『一一-Ig3+x—g㈤,所以函数y=g(x)为奇函数,函数N=g(x)的图

3+xg\3-x/3-x

象关于原点对称.

乂因为函数/")二区(ZwO)与函数的图象交于不同的两点A和3,

83-工

所以A和B关于原点对称,设/(%,%),贝”(一飞,一比),

因为。(加/),所以£>4=(%DB=(-x0-m,-y0-n),

所以刀+丽=(-2加,-2〃)，

因为|方+而卜2,所以，(-2加)+(-2〃)2=2,即加+/=1,

因为(加+〃)=加2+〃2+2mn=1+2tnn<I+/«2+A?2=2,所以4亚,

当且仅当加="=也时等号成立.

2

故选：A.

5.(2022秋•广东珠海•高一珠海市第一中学校考期中)已知/(x)=—S+2(常数m#0)在(0,+8)上有最

ax+b

大值”=3,若/(x)的最小值为N,则M+N=()

A.0B.3C.4D.5

【答案】C

【详解】令g(x)=〃x)-2=Ty(xeR),g(0)=〃0)-2=0,

ax-\-b

所以g(-x)=/(-x)-2=总了=-g(x),所以g(x)为奇函数，

因为/(X)在(o,+8)上有最大值M=3,所以g(x)在(0,+8)上有最大值1,

所以g(x)在(-8,0)上有最小值T,即/(力-2在(-8,0)上有最小值T,

所以/(X)在(-8,0)上有最小值1,即N=l,则M+N=4.

故选：C.

6.(2022•上海•高三统考学业考试)己知函数/(x)=x+ln(>/?IT-x)-5(xe[-2016,2016])的最大值为

最小值为加，则〃+加=()

A.-10B.10C.5D.-5

【答案】A

【详解】设g(x)=/'(x)+5=x+ln(Jx2+1-x),则

g(x)+g(-x)=x+-x)-x+\n(4x^+l+x)

=In[(J/+i_x)(\lx2+1+%)]=In1=0

・・・g(T)=-g(X)，g(X)是奇函数,因此g(X)min+g(》)max=°，

又g(X)min=/('*in+5=加+5，g(X)max=/(X)max+5=M+5,

・•・ga)min+ga)max="+5+加+5=0,"+加=—10.

故选：A.

7.(2022秋•北京•高一校考阶段练习)已知函数/(丫)=111(&777)-5/4-2020,2020］的最大值为收，

最小值为m,则Af+机=()

A.-5B.-10C.5D.10

【答案】B

【详解】设g(x)=/(x)+5=ln(而，-x),

则

g(x)+g(-%)=In^Vl+x2-xj+In\J\+x2+x)=ln(Jl+x。+x，+x)］=Ini=0,

・•・g(-x)=-g(x),g(x)是奇函数，

又g(x)mi„=/(xL,+5=机+5,g(x)M=/(X)m"+5=M+5，

・••g(x)mM+g(x)max=A/+5+〃7+5=O，M+W=-10.

故选：B.

8.(2022秋•山东临沂•高一校考阶段练习)已知函数/卜)=扁+1在［-2022,2022］上的最大值和最小值

分别为M,N,则A/+N=()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】D

【详解】/(X)=-A7+1,则/(力一1=一.

X+1X+1

令g(X)=/(X)-1=扁，定义域为［-2022,2022］,

则g(一力=+］=-pTT="(x)，故g(x)为奇函数，

所以g(x)g+g(x)min=°，

即+Jl=。，故M+N=2.

故选：D

9.(2022秋•河北石家庄•高一石家庄精英中学校考阶段练习)若函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，且

函数/(x)=4(x)+bx+5在(0,+巧上有最大值12,则函数y=F(x)在(-8,0)上有()

A.最小值-12B.最大值-12C.最小值-3D.最小值-2

【答案】D

【详解】〃x)为奇函数，则F(x)-5=q〃x)+6x也为奇函数，

*x)在(0,+司上有最大值12,则外力-5="&)+近在(0,+8)上有最大值7,

"（x）-5在（-8,0）匕有最小值-7,

可得F（x）在（-吗0）上有最小值-2.

故选：D.

二、填空题

10.（2022秋•河南周口•高三校考阶段练习）设/（x）为定义在R上的奇函数，当X20时，

/（x）=2'+2x+加，贝=.

【答案】-3

【详解】因为“X）为定义在R上的奇函数，

所以/（0）=0,

又当x20时，/（^）=2'+2x+m,所以/（0）=1+机=0,则,”=-1；

则=⑴=-（2+2-1）=-3.

故答案为：-3.

三、解答题

11.（2022秋•内蒙古呼和浩特•高一呼市二中校考期末）己知函数/&）=宗V吟-Z7是奇函数.

⑴求a的值，判断/（x）的单调性并说明理由；

【答案】（l）a=l,〃x）是R上的递增函数，证明见解析；

【详解】（1）函数〃外=与二