2022年高考数学一轮复习 立体几何初步大题专项练习(解析版)

专题35立体几何初步大题专项练习(解析版)

一、解答题

1.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设

8C的中点为M,GH的中点为N.

(1)请将字母RG,笈标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);

(2)证明：直线MN//平面BDH.

【答案】(1)见解析(2)证明见解析

【分析】

(1)根据正方体的平面展开图与原图的对应关系，标出EG,//点的坐标.

(2)通过构造平行四边形，证得跖V与平面内的一条直线平行，由此证得直线

MN//平面BDH.

【详解】

(1)解：点E,G,27的位置如图所示.

(2)如图，连接设。为AD的中点，连接0笈，OM,MN,BH.

因为M,N分别是8C,G/f的中点，

1

所以(W//C。，且(W=Lc。，

2

HN//CD,nHN=LcD,

2

所以OM//HV,OM=HN.

所以四边形是平行四边形，仄而MN//0H.

又MNU平面BDH,CWu平面8£汨，

所以M///平面瓦用.

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查正方体的展开图，考查空间想象能力和逻辑推理

能力，属于基础题.

2.如图，圆柱的底面圆。在圆锥的底面上，上底面圆0'的圆周将圆锥的侧面积分成

相等的两部分，已知圆锥的底面半径为2,高为4

(1)求圆锥的侧面展开图所对的圆心角的弧度数

(2)求圆锥的体积

26万、16万

【答案】(1)------------;I幺)-------

【分析】

(1)由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图的弧长，再由弧长公式求解圆心角的弧

度数；

(2)直接由圆锥体积公式求圆锥体积即可.

【详解】

(1)由圆锥底面半径为2,高为4,可得母线长/=近4+16=2退，

圆锥底面周长为2〃x2=4〃，

所以侧面展开图所对的圆心角的弧度数为号=

2

(2)圆锥的体积为「=^x〃x22x4=%.

33

【点睛】

此题考查求圆锥侧面展开图扇形中相关量和锥体体积，要求对常见几何体的展开图十分

熟悉，熟记常用公式.

3.已知四面体48CD中48,面BCLDC,BE_LAD垂足为E,E,F

为40,CD中点，AB=BD=2,CD=\

(2)求点8到面/CO的距离.

【答案】(1)见解析；(2)2且

7

【分析】

(1)证明线面平行，需先证明线线平行，可从三角形的中位线定理证明线线平行，从而再

证线面平行.

(2)求点到面的距离用等体积法，由VA_BCD=VB_ACD，分别算出S2CD、S^ACD，建立体积

等式关系即可求B到面ACD的距离.

【详解】

、

(1)因为BE_LAD,4B=BD所以E为4D中点，又因为尸是3中点，所以

AC^EF,

而/C①面BEF,EFu面5E7"所以ZC〃面BEF.

(2)由已知得3C=G，/O=2亚，/C=J7,

所以三角形/CD为直角三角形其面积SA4co=?，

3

三角形BCD的面积S独CD=-y

设点B到面ACD的距离为〃，因为嗫.BCD=兀-CD，

即§S^CDx2=]S'CQX。

解得〃=哀11,

7

所以点8到面/CD的距离为2叵.

7

【点睛】

(1)线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条

a\\b

直线与这个平面平行，即a^a>^a\\a.

bea

(2)用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想,先用简单的方法求出四面体

的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式V=-Sh求出点到平面的距

离爪

4.如图，是正方形，直线PZ>_L底面/BCD,PD=DC,E是PC的中点.

(1)证明：直线上4//平面EZ>8；

(2)求直线尸3与平面/BCD所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析；(2)注；

2

【分析】

(1)连接/C,由三角形中位线可证得EO//PZ,根据线面平行判定定理可证得结论;

PD

(2)根据线面角定义可知所求角为NP8。，且tan/PAD=——，由长度关系可求得

BD

结果.

【详解】

4

（1）连接/C,交BD于0,连接£0

・：四边形48CD为正方形二。为ZC中点，又E为PC中点:.E0//PA

:EOu平面BDE,平面BDE:.P4//平面BDE

（2）•.•「£），平面45CD..•直线尸5与平面45CD所成角即为

PD

PD±BD：.tanZPBD=——

BD

设PD=DC=a,则80=，/+/=缶_tanNPBD=±==J?

72a2

【点睛】

本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平行关

系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质证

得线面平行.

5.已知三棱锥P—45C中，ABLAC,AB1AP.若平面0分别与棱

PA.PB、BC、ZC相交于点E/,G,笈且平面a.

求证：（1）EH//FG；

（2）AB±FG.

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【分析】

（1）利用线面平行的性质定理可得线线平行，最后利用平行公理可以证明出身〃尸G；

（2）利用线面垂直的判定定理可以证明线面垂直，利用线面垂直的性质可以证明线线

垂直，利用平行线的性质，最后证明出45_L/G.

【详解】

5

证明(1)因为PCP平面戊，平面an平面R4C=£H,PCu平面R4C,所以有

PC11及九同理可证出PC11RG,根据平行公理，可得即〃FG；

(2)因为N5J_/C,AB1AP,/Pc/C=/,/P,ZCu平面口。，所以28,

平面上4C,而PCu平面上4C,所以/B_LPC,由(1)可知「C||EG||E打，所以

AB1FG.

【点睛】

本题考查了线面平行的性质定理，线面垂直的判定定理、以及平行公理的应用.

6.如图所示，在四棱锥P—48CD中，AD//BC,AD1AB,面48C。，面04s.

(2)平面P8C_L平面尸4g.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)由题可得ADIIBC,根据线面平行的判断定理可证/。//平面PBC-,

(2)由题，易得BC_L48,再利用面48。。_1面248可得8C_L面尸48,即得证.

【详解】

(1)-：AD//BC,8Cu面必C,/£)二面PBC,4。//平面PBC

(2),/AD//BC,AD±AB：.BC1AB

,：面PAB1面ABCD，面PABn面ABCD=Z8,BCu面ABCD，二，面PAB,

又BCu面PBC，，面面上43

【点睛】

本题主要考查了空间几何中平行以及垂直的判断定理和性质定理，熟悉定理是解题的关

键，属于较为基础题.

7.如图，在多面体N8CDEE中，底面/BCD为矩形，侧面ZQEF为梯形，AFIIDE,

DE1AD.

6

(1)求证：ADICE,

(2)求证：BF〃平面CDE.

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【分析】

(1)易证AD_L平面CDE,从而AD_LCE；(2)先证平面ABF〃平面CDE,可得BF〃

平面CDE.

【详解】

证明：(1)因为矩形ABCD

所以ADXCD

又因为DE_LAD,且CDp|DE=D,CD、DEu平面CDE

所以ADJ_平面CDE

又因为CEU平面CDE

所以ADXCE

(2)因为AB〃CD,CDu平面CDE,AB平面CDE

所以AB〃平面CDE

又因为AF〃DE,DEU平面CDE,AF<Z平面CDE

所以AF〃平面CDE

又因为AB「AF=A,AB、AFu平面ABF

所以平面ABF〃平面CDE

又因为BFU平面ABF

所以BF〃平面CDE

【点睛】

本题考查了异面直线垂直的证明和线面平行的证明，异面直线垂直常先证线面垂直，线

面平行证明可用其判定定理，也可先证面面平行再得线面平行.

8.在长方体N3CD-4HC1O1中，求证：

7

(1)48〃平面NLBC；

(2)平面平面45c.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)推导出AB/7A1B1，由此能证明AB〃平面AiBiC.(2)推导出BC±AB,BC±BBi,

从而BCJ_平面ABBiAi,由此能证明平面ABBiAi_L平面AiBC.

【详解】

证明：(1)在长方体中，

,:AB〃AB,且平面NbBC,2避解平面小旦C,

...48〃平面由31c.

(2)在长方体488-/181GA中,

,JBCLAB,BCLBBi，ABCBBi=B,

.*.3C_L平面ABBiAi,

8

■:BCu平面NLBC,平面4821/1，平面48。.

【点睛】

本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基

础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题.

9.如图，在三棱锥P-48C中，平面上4。，平面

ABC,PC±AC,BC±AC,AC=PC=2,C8=4,/是尸2的中点.

(2)设点N是心的中点，求三棱锥N-"SC的体积.

2

【答案】(1)证明见解析；(2)

3

【分析】

(1)由平面平面48C,可得平面R4C,从而得再由等腰

三角形三线合一的性质可得CM，24,则由线面垂直的判定定理可证得结论；

(2)由已知条件可得N到平面M3C的距离是,尸2=迪=Y2,再求出AMBC的

442

面积，可求出三棱锥N-"SC的体积

【详解】

(1)•.,平面R4C，平面48cBe

8C_L平面上4C,••,pzU平面R4C,

BC±PA,-.-AC=PC,M是P4的中点，

CM1PA,-.-CMr>BC=C,

.•.尸2,平面VSC

(2)由(1)知平面

QN是总的中点，，N到平面"SC的距离是工P4=2也=立，

442

•••BCLAC,BCLPC,BC1平面PAC,:.BC1MC,

9

•••MC=-PA=V2，

2

T,1O3夜2

V

■1-N-MBC=V“BC=§、5义4义＞/2x^=§.

10.如图，在三棱锥P—48C中，AC=BC,点。在45上，点E为/C的中点,

且8C//平面P£)£.

（1）求证：D为AB中点；

（2）若48J.PC,求证：平面尸45,平面PCD.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）利用线面平行的性质定理可得5C//QE,再由点E为/C的中点即可证出.

（2）由（1）可得45LCD,再由45,PC,利用线面垂直的判定定理即可证出.

【详解】

证明：（1）因为8C//平面BCu平面48C,

平面PDEn平面ABC=DE,

所以8C//QE

因为点E为NC的中点，

所以。为48中点.

（2）由（1）知。是45的中点.

因为ZC=5C,所以48J.CD,

因为CQ,PCu平面PCD,C£>nPC=C,

则48,平面PCD,

因为481平面尸45,

所以平面尸48，平面尸CD.

11.如图，三棱柱4BC-481G的各棱的长均为2，4在底面上的射影为AZBC的

重心。.

10

（1）若。为8C的中点，求证：4。〃平面幺。四；

（2）求四棱锥C-488/的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）晅.

3

【分析】

（1）连接43交4月于点E,连接。E,易知。E为A45C的中位线，再根据线面

平行的判定定理即可证明结果；

（2）由重心的性质可知，AO=-AD=^-，由勾股定理可得=再根据

3313

《“出3-i4jS|C1和柱体体本/、/、式，即可求I—口果,

【详解】

解：（1）连接48交481于点E,连接Z）E,则E为48的中点，

又•..。为8c的中点，为△48。的中位线，

DEHA^C,

又平面幺。片，。Eu平面幺。g,

/.4。〃平面&DB］；

11

(2)在A/BC中，。为重心，则/。=—40=,

33

2

在RtA/04中，Axo=^AA^-AO=

2^/6472

则限94=g〃ABC-ABGX---------二-----------

3433

12.如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面/BCD是矩形，尸2,平面/BC3,点E、M

=2,连接

(1)当2=1时，证明ME//平面R4。；

(2)当X为何值时，-PTBD=3JM.

【答案】(1)证明见解析；(2)2=；.

【分析】

(1)方法一：取PD中点N,连接MN,AN,证明四边形4ENN为平行四边形，再

利用线面平行的判定定理即可证明；方法二：在线段上取一点尸，使得尸是中

点，连接MF,EF,证明平面MEF//平面RLD，再利用面面平行的性质定理即可证

明.

(2)方法一：由=2可得Vp-BDM=.；Vp-BCD，再由腺-KB0=3/_80M即可求

解；方法二：根据匕=%—BCQ—%/-8CZ)=qS/cQ,尸/—?尸"，代入

33X+1

Vp-ABD=3Vp_BDM即可求解.

【详解】

解：(1)方法一：取尸。中点N,连接MN,AN

因为MM是△尸C。的中位线，椒MN14cD,且MN二工。。

22

12

又NE//gcD且/E=；CD,故四边形为平行四边形,

所以ME//AN.

又平面尸40,/Nq平面上4。，所以ME//平面E4Q.

方法二:

在线段C。上取一点R使得尸是中点，连接MF,EF

MF是APCD的中位线所以ME//0。,

MFu平面ME尸，尸平面ME户，所以放//平面Q4。,

在矩形/BCD中£尸//2。,

跖U平面儿困，40(2平面上困，所以£尸//平面240,

又MFCEF=F,

所以平面ME尸//平面PAD.

%-BCD

—P-BDM=2+1Vp-BCD

又底面/8CD为矩形，所以Vp_BCD=yP-ABD，

故心皿=普1/”

13

由题可知，VP_ABD=3VP_BDM,因此，4=:

方法二:

PM

因为&。=4'且尸/JL平面480，所以Vp_BDM=Pp-BCD—^M.BCD

MC

=-S„rn-PA--SRrn-^—PA

3AOCZJ3△oCU4+]

11

=-S^----PA

3CD2+1

又yp_ABD=；S.ABD.P4,代入yp_4BD=3Vp_BDM，可得a=J，

3,

13.如图，在四棱锥P-/BCD中，底面45C。是边长为2的正方形，N4DP=90。,

PD=AD,ZPDC=60°,E为PD中点.

(1)求证：PB〃平面4CE；

(2)求二面角P—3C—。的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)g.

2

【分析】

(1)设ZC与3。的交点为。，连接£。，根据中位线定理可得P3//E。，再根据线面

平行的判定定理即可证出；

(2)由题意易证4。_1_平面尸Z)C,MBCHAD,可得BC_L平面尸Z)C,根据二面角

的平面角的定义即可知，二面角P-8C-。的平面角为/尸CD,再解三角形即可求出.

【详解】

(1)设/C与的交点为。，连接£。，可知，£。为△PAD的中位线，PBIIEO,

14

又EOu平面/C£,平面/C£,所以？5〃平面/C£.

(2)因为ZDLPD,ADVDC,PDcDC=D,所以平面PZ»C,又因为

BCHAD,3c_L平面尸DC,所以二面角「一8C-Z)的平面角为NPCD.

PD=CD,ZPDC=60°,所以△PDC为等边三角形，所以/尸8=60°,且

cos60°=2，即二面角尸—8C—£＞的余弦值为上.

22

【点睛】

本题主要考查线面平行的判定定理的应用，以及二面角的求法，属于基础题.常用的二

面角的求法有：定义法，三垂线法，垂面法，向量法，面积射影法等.

14.如图，在三棱锥尸-48。中，平面尸45,平面45C,是等边三角形，

ACA.BC,且ZC=BC=2,0、。分别是48,四的中点.

P

(2)求三棱锥P-ABC的体积.

【答案】(1)证明过程见解析；(2)-V6.

3

【分析】

(1)根据三角形中位线的性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可；

(2)根据面面垂直的性质定理，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.

【详解】

(1)因为。、。分别是48，必的中点，所以OD//R4,而平面COD,

平面COD,所以R4//平面COD；

(2)连接P。，因为△248是等边三角形，。是Z8的中点，所以

15

而平面尸48_1_平面48。，平面「48c平面45C=48,所以P。_L平面48C,

因为/CL5C,且/C=5C=2,所以45=J/。？+502=522+22=20，

P0=J._（；诩）2=78^2=V6,

所以三棱锥的体积为：

P—45CVp4SC=--^SC-PO=-X-X2X2XV6=-V6.

15.如图，在四棱锥/—48CD中，四边形48CD为梯形，NABC=NBAD=90°，

BCHAD,AD=2AB=2BC

(1)若石为M4中点，证明：BEH面MCD

(2)若点M在面48C。上投影在线段/C上，48=1,证明：CD,面M4C.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)取中点为尸，连接所，CF,四边形8CFE为平行四边形，所以BE//CF,

利用线面平行的性质定理即可证明；

(2)利用勾股定理证明NCLCD,设点M在面/BCD上投影在线段/C上设为点

H,再利用已知条件证明LCD,利用线面垂直的判断定理即可证明.

16

【详解】

(1)取中点为连接EF,CF,

则即为中位线，，EF〃LADS.EF=LAD,

22

又•.•四边形48CD是直角梯形，AD=2AB=2BC

:.BC//-AD,BC=~AD

22

BC//EF且BC=EF,

••・四边形BCFE为平行四边形，所以BE//CF,

因为面"CD,CEu面MCD,所以〃面MCD.

(2)•••在四棱锥M—N8CD中，四边形/BCD是直角梯形，AD=2AB=2BC=2,

ZABC=NBAD=90°，

AC=CD=712+12=V2

AC2+CD'=AD2，：.ACLCD,

设点M在面/BCD上投影在线段/C上，设为点H,

MH1面ABCD,CD<z面ABCD,

:.MHVCD,

又Q/CJ_CD,ACcMH=H,

\CD*面版4c.

【点睛】

方法点睛：证明直线与平面平行的常用方法

(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明；

(2)判定定理：在利用判断定理时，关键找到平面内与已知直线平行的直线，常考虑

利用三角形中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明;

16.点E,尸分别是正方形也8。的边N3,5C的中点，点M在边48上，且48=3ZM,

17

沿图1中的虚线0E,EF,FD将“DEQBEF,&CDF,折起使4,B,C三点重合,

重合后的点记为点P,如图2.

图1图2

(1)证明：PF1DM;

(2)若正方形N3CD的边长为6,求点M到平面ZJE尸的距离.

2

【答案】(I)证明见解析；(2)

3

【分析】

(1)根据折起后有PQLPE,PE1PF,利用线面垂直的判定定理证明即可；

(2)设点P到平面DEF的距离为h,根据48=3AM,得到点M到平面DEF的距

h

离为然后由%尸，利用等体积法求解.

【详解】

(1)因为45CD是正方形，

所以折起后有PQLPR,PEVPF.

又PD,PE交于点、p,

所以PE,平面

又ZWu平面P£)£,

所以PF工DM.

(2)设点尸到平面DEE的距离为〃，

因为48=3/",所以尸E=3血化，

h

所以点“到平面DEF的距离为-.

又尸尸两两垂直，

所以平面PEE.

9

因为S®EF=a，PD=6,

19

所以*所=丁”=9.

_9_27

而S&DEF~SABCD_S&BEF~CDE~ACDF~36———9—9=,

18

一1127

所以VP_DEF=-'S^DEF-h=-x—xh=VD_PEF=9,

解得〃=2,

h2

所以点M到平面DEF的距离为j=y.

【点睛】

本题考查了图形翻折问题，考查了线线垂直的证明，同时考查了等体积法求距离，需要

一定的逻辑思维能力，属于中档题.解决此类立体几何的关键有：

(1)理解空间线线以及线面之间的垂直关系，并能简单应用；

(2)等体积法的应用，等体积法是解决体积问题以及距离问题的重要方法.

17.如图，已知三棱柱4BC-481G的底面是边长为2的正三角形，侧面8CG片为

菱形，G为其两对角线的交点，BC\=2M，4。=2亚，D,E分别为4G，BBI

的中点，顶点用在底面45C的射影。为底面中心.

(1)求证：DEH平面ABCX,且耳C_L平面ABCX；

(2)求三棱锥4-N8G的体积.

【答案】(1)见解析；(2)生2.

3

【分析】

取幺4的中点尸，连接。尸，EF,易证£尸//平面4BG，。尸//平面4BG，再利

用面面垂直的判定定理证明；根据侧面5cC/i为菱形，得到耳CLBCi，再由

4c2=442+,得到4用±B.C,利用线面垂直的判定定理证明；

(2)由(1)知平面4BG，所以gC是三棱锥的高，再由4C；+4B?=BC：,

得到AB±AC,,然后由「=；S^ABCBXC求解.

【详解】

如图所示：

19

取441的中点E,连接£>E,EF，

因为E为的中点，

所以EF//4B,又481平面4S。，£厂.平面48。，

所以斯//平面46G；

同理DF//平面ABC一

又DFCEF=F,

所以平面DEFH平面ABC,,

又DEu平面DEF,

所以。£〃平面4BG.

因为侧面BCC}Bl为菱形，BBX=CCj=BXCX-BC=2,ByC_LBCX,

所以Bq=2G，BG=6则==1，BXC=2Bfi=2,

又4c=2后，

所以在AA^C中，4c2=4g2+BC2,

所以4片，片。，因为4瓦///8,

所以4。，48,

又B】C且481g=8,

所以4c，平面48G.

(2)由(1)知4。，平面4BG，所以81c是三棱锥的高，

又AA^+AB2=4c2,则"±AC,

所以平行四边形幺/