2023版高考数学一轮总复习9-1直线与圆习题

9.1直线与圆

基础篇固本夯基

考点一直线的方程

1.(2021陕西宝鸡重点高中第七次质检,2)设m∈R,则"m=-3”是“直线L:mx+3y=2-m与

l∕x+(m+2)y=l平行”的()

ʌ.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

2.(2022届山西怀仁一中月考,3)直线XSina-y+2=0的倾斜角的取值范围是()

A.[0,n]L[θ,ɪ]u[v»π)

c∙[0∙τ]D∙[0IT]U(TIΠ)

答案B

3.(2022届南京一中期中，6)已知a>0,b>0,直线l√x+(a-4)y+l=0,lz:bx+y-2=0,且11±12,则

家的最小值为()

24

A∙2B.46D.-

答案D

4.(2021黑龙江齐齐哈尔八中月考,6)已知点(-1,2)和俘，0)在直线kaχ-y+l=0(aW0)的同

侧,则直线1的倾斜角的取值范围为()

√÷-÷)B.(*)U”

ɛ-(v-v)D.缺书

答案D

5.(2022届江西景德镇一中10月月考,9)己知函数f(x)=asinωχ+bcosωχ(ω>0),若直线

x=x°是函数f(x)图象的一条对称轴，且tanaχ0=3,则点(a,b)所在的直线方程为()

A.x+3y=0B.x_3y=0C.3χ-y=0D.3x+y=0

答案B

6.(2021四川内江二诊,9)已知过点(0,2)的直线1与圆C:(χ-2)2+(y-l)2=10相交于A,B两点,

当aABC面积最大时,直线1的方程为()

A.2χ-y+2=0

B.2χ-y+2=0或2x+y-2=0

C.x=0

D.x=0或2x+y-2=0

答案A

7.(2021陕西渭南一中模拟，14)过点P(3,2)的直线1分别与直线χ-3y+10=0,2χ-y-8=0交于

Λ,B两点,且线段AB的中点为P,则直线1的方程为.

答案2x+y-8=0

8.(2022届江西10月大联考，15)已知直线经过点P(l,2),且与直线l∕2x+y+m=0平

ab

行,则a+b=.若这两条平行线之间的距离为遥,且k不经过第一象限,则

答案6;1

考点二圆的方程

1.(2020北京,5,4分)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为

()

A.4B.5C.6D.7

答案A

2.(2021吉林第三次调研,5)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4χ-3y=0和X轴都

相切,则该圆的标准方程是()

Λ.(χ-3)*12+3(y-l)2=lB.(χ-2)2+(y-3)2=l

C.(χ-2)2+(y-l)2=lD.(χ-3)'+(y-2)2=l答案C

3.(2022届河南开学考,7)己知圆C与倾斜角为等的直线相切于点N(3,-8),且与曲线

O

(χ-l)2+y5相外切,则圆C的方程为()

A.(χ-4)2+yM和x2+(y+2√3)2=12

B.(x+4)2+y2=4和x2+(y+2√3)2=12

C.(x+4)2+yMx2+(y-4√3)2=36

D.(χ-4)2+y2=4和x2+(y+4√3)2=36

2

答案D

4.(2022届陕西榆林第十中学月考,11)已知M(3,4)是半径为1的动圆C上一点,P为圆

0ιxz+y2=l上一动点,过点P作圆C的切线,切点分别为A,B,则当IABl取最大值时,ΔPAB的外

接圆的方程为()

Λ.x2+y2-3χ-4y-6=0B.x2+y2-3χ-4y+6=0

C.x2+y2-3x-4y-0D.x2+y2-4x_3y=0

答案A

5.(2021广西玉林、柳州重点中学联考,9)己知抛物线C:x?=4y的准线为1,记1与y轴交于

点M,过点M作直线1。与抛物线C相切,切点为N,则以MN为直径的圆的方程为()

A.(x+l)W=4或(X-I)2+y2=4

B.(x+l)”=16或(xT)2+y2=16

C.(x+h+y2=2或(X-I)Z+六2

D.(x+l)2+y2=8或(XT)*』

答案C

6.(2022届江西贵溪实验中学月考，13)已知直线AB的方程为4χ-3y-l=0,圆C的圆心坐标为

(-1,0),直线AB与圆C相切，则圆C的方程为.

答案(x+l)2+y2=l

7.(2021江西鄱阳一中调研，14)圆心在直线y=-2x上，并且经过点A(2,T),与直线x+y=l相

切的圆C的方程是.答案(χ-l)2+(y+2)⅛

8.(2017课标ΠI,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线1交C于A,B两点，圆M是

以线段AB为直径的圆.

(1)证明：坐标原点0在圆M上；

(2)设圆M过点P(4,-2),求直线1与圆M的方程.

解析⑴证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),1:x=my+2.

Am+

由,2ζ2'可得y^-2my-4=0,则y,y2=-4.

(,K=2x

I

又故

×ι=7>χ2=y,χ∣χz"y-4.

因此OA的斜率与OB的斜率之积为"∙"=T,所以OAlOB.故坐标原点0在圆M上.

xl×24

2

⑵由⑴可得丐+丫2=2叫x1+x2=m(y1+y2)+4=2m+4.

3

故圆心M的坐标为(ι√+2,m),圆M的半径r=√(层+2)2+层.由于圆M过点P(4,-2),因此

AP-BP=O,故(X「4)(x2-4)+(y∣+2)(%+2)=0,

-

即xlx24(XJ+X2)+yιy2÷2(yj÷y2)÷20=0.

-2

由(1)可得y∣y2=4,xlx2=4.所以2m-m-l=0,

解得m=1或m=-ɪ

当m=l时,直线1的方程为χ-y-2=0,圆心M的坐标为⑶1),圆M的半径为√T5,圆M的方程为

(χ-3)2+(y-l)2=10.

当m=f时,直线1的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为(1-；),圆M的半径为手,圆M的方程

为(司+6步S

考点三直线与圆的位置关系

1.(2020课标∏,5,5分)若过点⑵1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2χ-y-3=0的距离

为()

Agβ,2√5C.至D.迪

5555

答案B

2.(2021四川宜宾二诊,6)已知直线2y=√5x+m与圆¢4+63)2=6相交于A,B两点,若

∕ACB=120°,则实数m的值为()

A.3+佃或3-√6B.3+2√S或3-2√6

C.9或-3D.8或-2

答案A

3.(2021安徽宣城质检,9)已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)在第一象限内的点，以点M为圆心

的圆M恰好经过抛物线C的焦点F,若圆M与直线X=-I相切于点N,且AMFN的面积为10,则

圆M的标准方程为()

A.(χ-4)2+(y-4)2=25

B.(χ-2)2+(y-2)2=9

C.(χ-4)2+(y-4)2=16

D.(χ-3)2+(y-3)2=16

答案A

4

4.(2020课标I,11,5分)已知。M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线1:2x+y+2=0,P为1上的动点.过点

P作OM的切线PA,PB,切点为A,B,当IPMl∙∣AB|最小时,直线AB的方程为()

A.2χ-y-l=0B.2x+y-l=0

C.2χ-y+l=0D.2x+y+l=0

答案D

5.(2022届甘肃兰大附中月考，11)在平面直角坐标系xθy中，已知点A(0,1),B(0,4),若直线

2χ-y+c=0上存在点P,使得PB=2PA,则实数C的取值范围是()

A.(-√5,√5)B.[-√5,√5]

C.(-2√5,2√5)D.[-2√5,2√5]

答案D

6.(2022届江西月考,1西已知点A(0,2),B(l,1),且点P在圆C:(χ-2)%yz=4上,C为圆心，则

下列说法错误的是()

AIPAl+1PBI的最小值为方

B.当/PAB最大时，ΔAPB的面积为2

ClPAHPC的最大值为22

D.IIPAl-IPBll的最大值为近

答案B

7.(2019浙江，12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2χ-y+3=0与圆C相

切于点A(-2,T),则m=,r=_.

答案-2;,

8.(2021湘豫名校3月联考,16)已知过点A(2,2)作直线AB,AC与圆x2+(y-2)2=l相切,且交抛

物线χ2=2y于B,C两点,则直线BC的方程为.

答案6x+3y+4=0

考点四圆与圆的位置关系

1.(2020合肥庐巢六校联盟期中，8)两圆x2+y2+4χ-4y=0与x2+y2+2χ-12=0的公共弦长等于

()

A.4B.2√3C,3√2ɪ),4√2

答案D

5

22

2.(2022届云南玉溪月考,8)已知圆O1:x+y-ax=0(a<0)截直线x+y=O所得线段的长度是2√2,

则圆0,与圆Oz：(x-2)2+y2=4的位置关系是()

A.内切B.相交C.外切D.相离

答案C

3.(2022届四川巴中月考,8)已知点A届0)和圆0:x2+y2=l,动点P在圆0上,点Q满足Q=闻,

记动点Q的轨迹为曲线C,则曲线C与圆0的位置关系为()

A.相交B.相离C.内切D.外切

答案C

综合篇知能转换

考法一对称问题的处理方法

1.(2020郑州二模,4)圆(x+2)今(y-12)2=4关于直线χ-y+8=0对称的圆的方程为()

A.(x+3)2+(y+2)M

B.(x+4)2+(y-6)2=4

C.(χ-4)2+(y-6)M

D.(x+6)2+(y+4)2=4

答案C

2.(2021豫西南五校3月联考,14)已知点P(2,1)在圆C:x2+y2+aχ-2y+b=0上,点P关于直线

x+y-l=O的对称点也在圆上，则圆C的半径为.

答案2

3.(2022届广西桂林全州第二中学月考，16)已知P是圆Cιx2+yMχ-2√5y+8=0上一动点,P关

于y轴的对称点为M,关于直线y=x的对称点为N,则IMNl的取值范围是.

答案[2√2,4√2]

考法二圆的切线问题

1.(2020课标ΠI,10,5分)若直线1与曲线y=Q和圆X?+/=都相切，则1的方程为()

A.y=2x+lB.y=2x+∣

C.y⅛+lD.YZς∣X+∣

答案D

6

2.(2022届广州四校联考,8)已知点Q在圆E:(x+3)2+(y-4)2=4上,椭圆(a>b>0)的右

焦点为F,点P在椭圆C上,且圆E上的所有点均在椭圆C外,若IPQHPFl的最小值为2√5-6,

且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,过点F作圆E的切线，则切线斜率为()

A.±2B.半C.芍渔D.+√3

答案B

3.(2022届全国月考,⑵已知椭圆C:1+^=l(a>b>0)的焦距为4,过C上一点P作圆x2+y2=l

的两条切线,切点分别是A,B,若弦长IABI的最大值为乎,则C的离心率为()

AɪB立C处D-

八.3h∙3J3υ-3

答案D

4.(2022届陕西西北工业大学附属中学月考，13)已知过点P(2,2)且与两坐标轴都有交点的

直线1与圆(xT)2+y2=l相切，则直线1的方程为.

答案3χ-4y+2=0

5.(2020浙江，15,6分)已知直线y=kx+b(k>O)与圆x2+y2=l和圆(χ-4)2+y2=l均相切，则

k=,b=.

答案*当

6.(2021四川天府名校诊断,15)直线1的倾斜角为锐角,且与圆Od+y』和圆Ad+(y-4)2=9

均相切,则直线1的斜率等于

答案√3

7.(2018课标∏,19,12分)设抛物线CiyMx的焦点为F,过F且斜率为k(k>O)的直线1与C

交于AB两点，IAB∣=8.

⑴求1的方程；

(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

A

解析⑴由题意得F(1,0),1的方程为y=k(χ-l)(k〉0),设A(x“y,),B(x2,y2).由巴=I(XT)'

2222

得kx-(2k+4)x+k=0,Δ=16Y+16>0,故x,+x2=^≠.所以IABl=IAFI+1BFI=(x,+l)+(x2+l)=^.

由题设知*8,解得k=T(舍去)或k=l,因此1的方程为y=χ-l.

(2)由⑴得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(χ-3),即y=-χ+5.

7

设所求圆的圆心坐标为Go,y0),则

中+16解得雷二或甯二二：

因此所求圆的方程为(x-3)?+(y-2)2=16或(XTl)?+(y+6)2=144.

8.(2021全国甲,20,12分)抛物线C的顶点为坐标原点0,焦点在X轴上,直线1:x=l交C于

P,Q两点，且OPLOQ∙已知点M(2,0),且QM与1相切.

(1)求C,GM的方程；

⑵设Al,A2,Aj是C上的三个点,直线A1A2,A岛均与OM相切.判断直线A人与OM的位置关系,

并说明理由.

解析(1)由题意可设抛物线C的方程为∕=2px(p>0),则P,Q的坐标为

(1,+y∕2p),VOPlOQ,：,7)P-磴l-2p=0,.∙.pg,.∙.抛物线C的方程为∕=x.

,/OM的圆心为(2,O),OM与直线x=l相切，；.OM的半径为1,ΛΘM的方程为(χ-2T+y2=l.

(2)直线A2A3与G)M相切.理由如下:

设Ai(%,y0),A2(片,y1),A3必,y2),

：直线A岛,AA均与G)M相切，

y0≠±l,y,≠±l,y2≠±l,

,整理,得

由A“&的坐标可得直线A岛的方程为y-y0=(X-/)X-(yo+y.)y+yoyl=θ.由于直线

A岛与ΘM相切,

.∙.M至值线A3的距离11,整理得(/τ)•片+2y°y∣+3-耳=0,①

同理可得，(/T)g+2yoy2+3M=O,②

观察①②,得y1,y2是关于X的一元二次方程(耳T)χ2+2y°x+3-∕R的两根,

’._2y

力+及一R0，

3_史°(*)同理,得直线A1Λ的方程为x-(y,+y2)y+y1y2=0,

则点M⑵。)到直线AA的距离d,Wg4把(*)代入得

i25-D+3∕∣_氏+11」疥1

d'=二L・•・直线A2A3与。M相切.

8

解后反思本题第（1）问较为基础,熟练掌握抛物线和圆的标准方程是关键;第（2）问涉及的

条件较多,其中直线AAZ与圆相切，是最重要的一个条件，由此条件可求出直线A向的方程,进

而直线A4,AA的方程就可同理求得,可大大简化运算过程,而由①②归纳出y,,小是方程

2

（^-l）x+2yox+3-^=O的两根,则需要有较深的数学功底和知识储备,需要同学们平时不断积

累.

考法三圆的弦长问题

L（2022届江西景德镇一中10月月考,4）直线hmχ-y-5m+l=O（m∈R）被圆

N:x2+y2-10χ-2y+25=0截得的线段的长是（）

Λ.1B.2C.4D.不确定

答案B

2.（2022届贵阳一中月考,9）若直线mχ-ny+3=0（m>0,n>0）被圆C:x2+y^+6χ-4y+5=0截得的弦长

为4班,则%1的最小值为（）

mn

A.8-fB.乎C.8-4√3D.8+4毒答案B

3.（2021贵阳适应性测试一，10）过点M（-3,-3）且互相垂直的两条直线与圆x2+y2+4y-21=0分

别交于A,B与C,D,若IABI=ICDI,则四边形ACBD的面积等于（）

A.20B.30

C.401）.60

答案C

4.（2020天津，12,5分）已知直线χ-√3y+8=0和圆/+/=/60）相交于Λ,B两点.若IABl=6,

则r的值为.

答案5

考法四与圆有关的最值问题

1.（2022届河南省实验中学月考,7）已知实数X,y满足条件［（尸（y-2"≤1,则Zf的

（『厂1•0,尸2

最小值为（）

Λ.JB.2+√2ClD.3+√2

答案A

2.（2022届陕西西北工业大学附属中学月考,9）己知圆M:（χ-l）2÷（y-l）M,设P是直线

1:3x+4y+8=0上的动点,PA是圆M的切线,A为切点，则以•闻的最小值为（）

9

Λ.√3B.√5C.3D.5

答案D

3.（2018课标IΠ,6,5分）直线x+y+2=0分别与X轴,y轴交于A,B两点,点P在圆（χ-2）2+y⅛

上,则aABP面积的取值范围是（）

Λ.[2,6]B.[4,8]

C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]

答案A

4.（2021河南安阳二模,9）已知曲线y=√-Λ2+河-3与直线kχ-y+k-l=O有两个不同的交点,则

实数k的取值范围是（）

答案A

5.（2021四川南充二模,9）阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题:平面内

到两定点距离之比为常数k（k>O且k六1）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面

内两定点ʌ,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比为近,当P,A,B不共线时，ΔPΛB面积的

最大值是（）

A.2√2B.√2C.小D.γ

答案A

6.（2021云南第一次适应性测试,9）已知OM的圆心在曲线y=（x>0）上,且OM与直线

X

2x+y+l=0相切，则OM的面积的最小值为（）

9JT

A.⅛-B.4πC.5πD.9π

5

答案C

7.（2017江苏，13,5分）在平面直角坐标系XOy中,A（-12,0）,B（0,6）,点P在圆0ιx2+y2=50上.

若⑸•9≤20,则点P的横坐标的取值范围是.

答案[-5近，1]

8.（2022届江西景德镇一中月考，16）已知点P（2,0）,动点Q满足以PQ为直径的圆与y轴相切,

过点P作直线x+（m-l）y+2m-5=0的垂线,垂足为R,则∣QP∣+QRl的最小值为.

10

9.(2022届云南大理模拟，16)设mCR,直线1∣:mx-y-3m+l=0与直线l2:x+my-3m-l=0相交于点

P线段AB是圆C:(x+l)z+(y+l)z=4的一条动弦,且IABI=2近,则同+丽的最小值

为.

答案2段

应用篇知行合一

应用一构建直线、圆模型解决运动实践问题

1.(2021四川大学附中模拟,15)如图，在直角梯形ABCDΦ,AB±AD,AD=DC=2,AB=6,动