高考数学（新高考版）一轮复习考点考法精练 第三章 第一讲 导数的概念及运算

第三章一元函数导数及其应用

第一讲导数的概念及运算

[2020成都市高三摸底测试]设函数f(x)的导函数为/0，若/(刈=则口号1,则/((1)=

[易错题]已知函数/(x)寸'⑴x2+2x+2/⑴，则/，⑵的值为()

A.2C.4D.6

[2020陕西省百校第一次联考偌/(x)=x3+。是定义在R上的奇函数厕曲线戸(x)在点(1/⑴)

处的切线方程是()

A.y=3x3B.y=3x2

C.y=3x3D.y=3x2

[2020广东七校联考旧知函数〃x)=xlnx+a的图象在点(1/⑴)处的切线经过原点，则实数。=

()

A.1B.OC-D.1

e

[2020洛阳市第一次联考]已知/(x)为偶函数，当x>0时/(x)=lnx3x,则曲线y=/(x)在点(1,

3)处的切线与两坐标轴围成的图形的面积等于()

[2020洛阳市第一次联考]已知/(x)=lnx,g(x)=%2+mx+1(m<0),直线/与函数/(x),g(x)的图象都

相切，且与/(x)图象的切点为(1)(1)),则m的值为()

[2020江西五校联考]已知曲线C：y=xe*过点厶(a,0)的切线有且仅有两条，则实数a的取值范

围是()

A.(8,4)U(0,+°°)B.(0,+°0)

C.(8,l)U(l,+°o)D.(8,1)

[2019安徽示范高中高三测试]设〃x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数/'(x),g'(x)

为其导函数，当x<0时/'(x)g(x)+

f(x)g，(x)>0且g(3)=0,则不等式/(x)g(x)<0的解集是()

A.(3,0)U(3,+8)B.(3,0)U(0,3)

C.(8,3)U(3,+8)D.(8,3)U(0,3)

[2019福建五校第二次联考]已知函数。'若〃x)(m+2)x20,则实数m的

取值范围是()

A.gl]B.[2,l]C,[0,3]D.[3,+8)

[2020四川五校联考]已知函数/(x)=e，+ax.

⑴若曲线片/(x)在x=l处的切线与直线x+(el)y1=0垂直,求实数a的值；

(2)若对于任意实数x>0,/(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.

[2020洛阳市第一次联考]已知函数/(x)是定义在R上的偶函数,设函数/(x)的导函数为了)

(x),若对任意x>0都有2/(x)+

xf，(x)>0成立，则()

/(2)<9/(3)/(2)>9f(3)

Z(3)>3/(2)/(3)<2/(2)

［2019开封市高三模拟］已知函数/(刈=依+》広*+号《引4,+8),曲线y=/(x)上总存在两点

/W(xi,yi)，Mx2,y2),使曲线y=/(x)在两点处的切线互相平行，则X1+X2的取值范围为()

A.(|,+8)B.(Y，+°°)C.g+8)D.［£,+8)

［2019辽宁五校联考］设函数/(x)=e?xt的图象与g(x)=oex+a2x(o>0)的图象有公共点，且在

公共点处的切线相同，则实数t的最大值是()

1丄12

A.e"B,e2C.-D.;

［2020武汉市部分学校质量监测］若直线y=kx+b是曲线片Inx的切线，也是曲线y=e*2的切

线，则k=.

［2020唐山市摸底考试］已知函数〃x)=axsinx+bcosx,且曲线y=/(x)与直线片］相切于点

⑴求/(x);

⑵若/(x)Smx2+l,求实数m的取值范围.

［2019江西红色七校第一次联考］已知函数f(x)=e，(x22x+a)(其中aGR,o为常数,e为自然

对数的底数).

⑴讨论函数/(x)的单调性；

⑵设曲线y=/(x)在(a/(a))处的切线为/,当ad［1,3］时，求直线/在y轴上的截距的取值范围.

［2020陕西省百校第一次联考］［新角度题］已知函数/(x)=lnx,g(x)=2|(x>0).

⑴试判断〃x)与g(x)的大小关系.

⑵试判断曲线y=/(x)和片g(x)是否存在公切线，若存在,求出公切线的方程;若不存在,说明理

由.

第一讲导数的概念及运算

1.C由题意，得/，(x)=(e*lnx)，夕e'lnxg-所以尸(l)=0+el=e1,故选C.

2.D由题意得/⑴寸，(1)+2+2/(1),化简得〃1)=f'(1)2,而/'(x)=2f，(l)x+2,所以/

,(1)=2/'⑴+2,解得/'⑴=2,故/⑴=0,所以〃x)=2x?+2x,所以/'(x)=4x+2,所以/'

(2)=6,故选D.

3.B依题意得"0)=0,即0+a=0,a=0,所以〃x)=K,则f()=3x2,所以/，⑴=3,又/⑴=1,因此

曲线片/仇)在点(1,/⑴)处的切线方程是V=3x2,故选B.

4.A,:f,(x)=lnx+l,.V，⑴=1,又/⑴=a,."(x)的图象在点处的切线方程为y=x

1+。,又该切线过原点，故0=01+a,解得a=l,故选A.

5.C当x>0时/'(x)W3,因为〃x)是偶函数,所以/'(x)是奇函数,故曲线y=/(x)在点(1,

3)处的切线的斜率k=/'(1)=/，(1)=2,所以切线方程为y+3=2(x+l),该切线与x轴,y轴的

交点分别为60),(0,1),所以该切线与两坐标轴围成的图形的面积等于;x；xl=：,故选C.

6.D解法一,:f'(x)=；.,.直线/的斜率k=/'⑴=1,又/⑴=0,...切线/的方程为y=xl.g'

{xQ+m=1,

7解得m=2.

yo=4君+mxo+3m<0,

故选D.

解法二-：f'(x)q.•.直线/的斜率k寸’⑴=1,又/⑴=0,.•.切线/的方程为片x1.又直线

I与g(x)的图象相切，则方程组”_力亠…丄2只有一组解,即关于x的方程"+(mi)Ao

Iy人i-ilLJi,"T"N乙x

1丿22

只有一个解，则4=(ml)24x1xg=0,结合m<0,解得m=2.故选D.

7.A对函数片xe*求导得/=ex+x・e*=(l+x)e*.设切点坐标为(xoKoe*。),则曲线y=xe*过点4(a,0)

的切线的斜率k=(l+xo)e*。=嗚，化简得君ax0a=0.依题意知，上述关于X。的二次方程有两

个不相等的实数根，所以4=(a)24x1x(。)>0,解得a<4或a>0.故选A.

8.D令h(x)=〃x)g(x),当x<0时力'(x)=f，(x)g(x)+/(x)g，(x)>0,则钢在(8,o)上单调递增，又

/(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)为奇函数，所以h(x)在(0,+8)上单调递

増.由g(3)=0,可得h(3)=h⑶=0,所以当x<3或0<x<3时力(x)<0,故选D.

【教你审题】由已知条件，，(x)g(x)+f(x)g，(x)>0想到构造函数h(x)=/(x)g(x).

9.B令g(x)=x2+3x(x2O),则g，(x)=2x+3,所以g，(0)=3,所以函数g(x)的图象在原点处的切线方程

为y=3x,故函数/(x)的图象在原点处的切线方程为y=3x.如图D311,画出函数f(x)的图象,

切线y=3x,以及直线y=(m+2)x,分析可知,为满足f(x)(m+2)x20,即/(x)“m+2)x,则0<m+2<3,

解得24m。故选B.

图D311

【解后反思】本题具有一定的综合性，求解的关键有两点:一是借助数形结合思想灵活处理

不等关系;二是借助"旋转分析”灵活构建关于参数的不等式.

10.⑴因为/1(x)=ex+a,

所以曲线y=/(x)在点(1/(1))处的切线的斜率为了，(l)=e+a,

因为直线x+(el)y1=0的斜率为丄，

1-e

所以(e+a)x丄=1,解得。二1.

l-e

⑵若x=0,贝ija为任意实数时/(x)=e*+GX>0恒成立.

若x>0/(x)=e'+ax>。恒成立，即当x>0时亍恒成立，

设H(x)=%>0),则屮(x)=要=喑，

当xG(0,l)时，屮(x)>0,则H(x)在(0,1)上单调递增，

当xS(1,+8)时,屮(x)<0,则H(x)在(1,+8)上单调递减，

所以当x=l时,H(x)取得最大值.

H(X)max=Ml)=e,所以。>e.

所以要使当x>0时,/(x)>0恒成立,a的取值范围为(e,+8).

11.A令g(x)=x2/(x),则g，(x)=2Af(x)+x2/，(x).因为对任意x>0都有2/(x)+Af，(x)>0成立，则

当x>0时,g，(x)=x[2/(x)+疗，(x)]>0成立,即函数g(x)=x2/(x)在x>0时单调递增,由函数/(x)是

定义在R上的偶函数，得/(x)=/(x),所以式x)=(x)2f(x)=x2/(x)=g(x),即g(x)=x2/(x)为偶

函数，则有g(2)=g(2),且g(2)<g(3),所以g(2Kg(3),即4/(2)<9/(3),故选A.

12.Bf'(x)=—卫—Jl(x>0,k24),由题意知/,(Xi)=/，(X2)(X1,X2>O且X1HX2),即一忆—三

XAX\X.

1=^-41,化简得4(Xi+X2)=(kE)XiX2,而乂的<(中产,所以4(X1+X2)<(k+仅等产，即XI+X2>A

*24k2k2k+%

对上[4,+8)恒成立,令9伙)=4，则9，伙)=：1/="等込>0对卜引4,+8)恒成立,故9团在[4,+8)

上单调递增，所以g(k)2g(4)=5,所以三4凸所以X1+X2#.

55

故X1+X2的取值范围为住,+8).故选B.

13.C设函数/(x)=e"t的图象与g(x)=ae*+a2x(a>o)的图象的公共点为(xo,yo),因为了

(x)=2e",g'(*)=02，+。2,所以ZeZxxaeXo+M,所以(e，。G)(2e*o+a)=O,因为2e3+a>0,所以e&=a,所

以xo=lno.又oe”o+a2xo=e2"。aelno+a2lna=e2lnot,化简得t=a2lna,KJt1=2alna

a2xi=a(l+2lna).令t'>0得0<o<e2令f<0得a>eW所以t=a2lna在(0,e可上单调递增，在

(eW+8)上单调递减,所以当°=e彳时,t=a21n0取得最大值，最大值为-(ej21ne4=三故选c.

14.1或二解法一设直线y=kx+b与曲线y=lnx相切于点(xi,lnx)则曲线y=lnx在点(xi,lnXi)

e

处的切线方程为yInxi=—(xxi),即y」x1+1nxi①.

xixi

设直线y=kx+b与曲线片e*2相切于点的俨-2),则曲线y=e*?在点的距乜)处的切线方程为y

四々=e*2-2(xX2),即y=eX2'2x+(lX2)eX2'2②.

由题意知①②表示同一直线，所以丄=龈-2,且i+|nxi=(lX2)e和2.

X1

所以l+lnxi=y=9辿=必三解得刈=1或xi=e.

与M

所以k=i或L

e

解法二直线y=kx+b与曲线y=lnx相切,则存在xi,使得卜=丄，且Inx产kx、+b,

消去xi,得Ink=l+b①.

直线y=kx+b与曲线y=ex2相切,则存在X2,使得k二已由三且e》2-2二版2+八

消去X2,得k=k(lnk+2)+b(2).

由①②得k=k\nk+2kInk1,即(kl)(lnk+l)=0,解得k=l或=.

15.⑴由小)杵皂得a=L

则f'(x)=xcosx+(lb)sinx,

由/()=1b=0得氏1.

所以/(x)=xsinx+cosx.

(2)令g(x)=mx2+lf(x)=mx2xsinxcosx+1,

由g(x)>0得g(2n)=4n：2m20,所以m>0.

易知g(x)为偶函数，所以只需满足当x>0时,g(x)20即可.

g'(x)=2mxxcosx=x(2mcosx),下面只讨论x20时的情形.

当时,g，(x)20,即g(x)在［0,+8)上单调递增，

所以g(x)>g(0)=0,

从而当mzg时/(x)4mx2+i恒成立.

当OVmg时，因为y=2mcosx在［0,；］上单调递增，

且当x=0时，片2m1<0,当x=：时，*2m20,

所以存在x()£(0,；］,使得2mcosxo=0,

因此当x£(O,xo)时,2mcosx<0,g，(x)<0,即g(x)在(0同上单调递减,

所以当x£(O,xo)时,g(x)<g(0)=0,与g(x)>0矛盾.

因此当0Vm<［时/(x)4mx2+l不恒成立.

综上，满足题意的m的取值范围是后+8).

16.(1)/1(x)=ex(x22x+a)+ex(2x2)=ex(x2+a2),

当相2时J«)20恒成立，函数〃x)在区间(巴+河上单调递增；

当a<2时，令/，(x)20,解得x<石或令f，(x)<0,解得y/2^a<x<y/2^a,

所以函数/(x)在区间(巴在司，［⑸,+8)上单调递增，在区间(后，尺)上单调递减.

(2)因为/(0)=葭(。2a)/1(a)=e°(a2+a2),

所以直线/的方程为ye°(a2a)=e0(a2+a2)(xa).

3

令x=0,得直线/在y轴上的截距为e°(〃+0),记g(0)=e0(a+a)(l<a<3),

则g'(G)=e"(歩3。2+0+1),记力(0)=a33a2+a+l(l<a<3),

则"(o)=3a26a+k0(l"43),所以6(a)在［1,3］上单调递减，

所以6(a)处⑴=2<0,所以g，(a)<0,即g(o)在区间［1,