高考复习A版数学考点考法（10年高考真题）：数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入

考点一复数的概念与几何意义

1.（2021浙江,2,4分）已知。£匕（1+0）1=3+式1为虚数单位），则4=（

A.-lB.lC.-3D.3

答案C解题指导:先将等式左边化成a+5i（〃*£R）的形式，然后利用复数相等的充要条件得出结果.

解析由（l+〃i）i=3+i,得-〃+i=3+i,所以-。=3,即。=-3.故选C.

方法总结设zi=a+bi,Z2=c+di（a,b,c,tZ£R）,则zi=Z2的充要条件是常_

2.（2022浙江,2,4分）已知£R,a+3i=0+i）i（i为虚数单位），贝U（

A.a=l,b=-3B.a=-1,b=3

C.a=-1,b=-3D.tz=l,b=3

答案B•:a+3i=历+i2=-l+Z?i,b=3.故选B.

3.（2022北京,2,4分）若复数z满足i-z=3-4i,贝lj|z|=（

A.lB.5C.7D.25

答案B由i-z=3-4i可知,z=^=--^---=-4-3i,故团=,(-4)2+(-3/=5.故选B.

2.(2022新高考I,2,5分)若i(l-z)=l,贝ljz+z=

A.-2B.-lC.lD.2

答案D由题意知l-z£=-i,所以z=l+i,贝吃=l-i,所以z+5=(l+i)+(l-i)=2,故选D.

4.（2022全国乙文,2,5分）设（l+2i）a+b=2if其中。，匕为实数,则

A.a=l,b=-lB.a=l,b=l

C.a=-1,b-\D.a=-1,b=-l

答案A由题意知（〃+b）+2ai=2i,

a+b=0,

所以•解得故选A.

2a=2,

5.（2022全国乙理,2,5分）已知z=l-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则

A.a=l,b=-2B.a=-1,b=2

C.a=l,b=2D.a=-lfb=-2

答案A由题意知5=l+2i,所以z+dz+b=l-2i+a(l+2i)+b=a+b+l+(2a-2)i,又z+dz+b=0,所以

既，解得｛:

a+b+l+(2Q-2)i=0,所以b=-Z故选A-

6.(2021全国乙理，1,5分)设2(z+刃+3(z-z)=4+6i,则z=

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A.l-2iB.l+2iC.l+iD.l-i

答案C设z=a+bi(a,b£R),贝!代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,得4。+6例=4+6i,所以a-1,b=l,故z=l+i.

故选C.

7.(2019课标II文,2,5分)设z=i(2+i),则，=()

A.l+2iB.-l+2i

C.l-2iD.-l-2i

答案D本题主要考查复数的有关概念及复数的运算;考查学生的运算求解能力;考查数学运算的核心素

养.

•/z=i(2+i)=2i+i2=-l+2i,.\z=-l-2i,故选D.

解题关键正确理解共辗复数的概念是求解的关键.

8.(2017课标ID文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案Cz=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-l-l-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(T,-2),位于第三象限.故选

C.

9(2017课标HI理,2,5分)设复数2满足(1+。2=2［贝(］反|二()

1V2/—

A.-B.C.y/2D.2

答案C本题考查复数的运算及复数的模.

、2i2i(l-i)2(1+0

.二(1+i)z=2i,”币=(1+[)(­)=丁一+1-

Iz|=y/l2+12=V2.

一题多解,.■(l+i)z=2i,11+i|•|zk=|2iI,即，1?+/•|z|=2,二.|z|=6.

10.(2017课标I文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是()

A.i(l+i)2B.i2(l-i)C.(1+i)2D.i(1+i)

答案C本题考查复数的运算和纯虚数的定义.

A.i(l+i)2=ix2i=-2;

B.i2(l-i)=-(l-i)=-l+i;

C.(l+i)=2i;

D.i(l+i)=T+i,故选C.

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11.(2016课标I理,2,5分)设(1+i)x=l+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()

A.1B.V2C.V3D.2

答案B-.-x,yGR,(l+i)x=l+yi,.,.x+xi=l+yi,

Y—［,

|x+yi|=|1+i|=>J12+12=V2.故选B.

(y=L

评析本题考查复数相等的条件，属容易题.

12.(2016课标I文,2,5分)设(l+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()

A.-3B.-2C.2D.3

答案A'/(l+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+l)i,

「.a-2=2a+l,解得a=-3,故选A.

解后反思将复数化为x+yi(x,yeR)的形式,然后建立方程是解决问题的关键.

评析本题主要考查复数的运算及复数的有关概念,将复数化为x+yi(x,yeR)的形式是解题关键.

13.(2016课标II文,2,5分)设复数z满足z+i=3-i,则，二()

A.-l+2iB.l-2iC.3+2iD.3-2i

答案Cz=3-2i,所以，=3+2i,故选C.

z

14.(2016课标ID文,2,5分)若z=4+3i,则［二()

|z|

4343

A.1B.-lC.-+-iD.---i

答案D由z=4+3i得|z|=^32+42=5,z=4~3i,则有二-,故选D.

\z\55

15.(2015安徽理,1,5分)设i是虚数单位,则复数总在复平面内所对应的点位于()

1—1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案B•.•袅=等垃=-1+二.1复数兴在复平面内所对应的点是㈠,1),它位于第二象限.

1—121—1

1+7

16.(2015课标工理,1,5分)设复数z满足三与，则［z|=()

1—Z

A.1B.V2C.V3D.2

答案A由已知詈=i,可得z=，=W=i,zI=IiI=1,故选A.

1—z1+1£；)：1)、—2

17.(2015湖北理,1,5分)i为虚数单位,i'"的共朝复数为()

A.iB.-iC.1D.T

答案A-.■i607=i4xI5It3=(i4)ISI-i=-i,

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的共柜复数为i.

18.(2014课标n理,2,5分)设复数Zi,Z,在复平面内的对应点关于虚轴对称,Zi=2+i,则ziz2=()

A.-5B.5C.-4+iD.-4-i

答案A由题意得zz=-2+i,.,.ziZ2=(2+i)(-2+i)=-5,故选A.

19.(2014重庆理,1,5分)复平面内表示复数i(「2i)的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案A1(1-2。=-2/=2+。对应复平面上的点为(2,1),在第一象限.选A.

1

20.(2014课标I文,3,5分)设z=—+i,则|z|=()

1+1

1V2V3

A-2B-TC-TD.2

答案BzG^+i=9+i[+：i,因此Iz1=Jg)2+Q)2=故选B.

l+i222\\2/\2/722

21.(2013课标I理,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i,则z的虚部为()

A.-4B.TC.4D.

答案D•.14+3寸=7?7^=5,."=袅=^^=|+3，虚部为:，故选1

3—4125555

22.(2013课标H文,2,5分)|白卜()

A.2V2B.2C.V2D.1

答案c岛H片斗me.选十

2

23.(2012课标理,3,5分)下面是关于复数z二1工的四个命题：

-1+1

2

Pi：Iz|=2,p2:z=2i,

P3：z的共军厄复数为l+i,p4:z的虚部为-L

其中的真命题为()

A.p2,p3B.pi,p2C.p2,P4D,p3,p4

答案Cz=?7一1一二所以IzI=V2,Pi为假命题；z2=(-l-i)2=(l+i)2-2i,p2为真命

—1+1(^―H-ljQ—I-1)

题;，=T+i,P3为假命题;P4为真命题.故选C.

评析本题考查了复数的运算及复数的性质,考查了运算求解能力.

24.(2012课标文,2,5分)复数2=寺的共扼复数是()

2+1

A.2+iB.2-iC.-l+iD.-1-i

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—3+i(-3+i)(2—i)—5+5i

答案Dz1-i,故选D.

-2+i-(2+i)(2-i)~~5-

评析本题考查了复数的运算,易忽略共粗复数而错选.

25.(2。11课标理,1,5分)复数匚，勺共姬复数是()

33

A.-^iB.-iC.-iD.i

2+i(2+i)(l+2i)

答案Ci,其共轮复数为-i,故选C.

l-2i-(l-2i)(l+2i)-

评析本题考查复数的除法运算和共柜复数的概念，属容易题.

26.(2016课标口，1,5分)已知z=(m+3)+(m-l)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是

)

A.(-3,1)B.(-1,3)

C.(1,+oo)D.(-oo,-3)

-W+3>0,(m>—3,

苔案A由已知可得｛故选A.

方法总结复数的实部、虚部分别是其在复平面内对应点的横坐标、纵坐标，所以研究复数在复平面内的对

应点的位置时,关键是确定复数的实部和虚部.

27.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()

A.l+2iB.l-2i

C.-l+2iD.-l-2i

答案B设z=a+bi(a、bWR),则2z+5=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,b=-2,「.z=l-2i,故选B.

28.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.

答案2

解析本题考查了复数的概念及运算,考查了学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.

・••(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0,

「.a-2=0,解得a=2.

解题关键掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是解题的关键.

29.(2017江苏,2,5分)已知复数z二(1+i)(l+2i),其中i是虚数单位，则z的模是.

答案V10

解析本题考查复数的运算.

,/z=(l+i)(l+2i)=l+2i+i+2i=3i-l,

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IZ|=+(—1)2=710.

30.(2016江苏,2,5分)复数z=(l+2i)(3-i),其中i为虚数单位，则z的实部是.

答案5

解析(l+2i)(3-i)=3+5i-2/=5+5i,所以z的实部为5.

31.(2016北京理,9,5分)设aCR.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.

答案T

解析(1+i)(a+i)=(a-l)+(a+l)i,'.'aGR,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,；.a+l=0,.,=-1.

32.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(L2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.

答案-2

解析---(l-2i)(a+i)=2+a+(l-2a)i为纯虚数，

fl一2a丰0,

­•)„斛得a=-2.

129+a=0,

33.(2015重庆理,11,5分)设复数a+bi(a,beR)的模为旧,贝!J(a+bi)(a-bi)=.

答案3

解析复数a+bi(a,bGR)的模为A/CI?+b?=正,贝！］a2+b2=3,jjllj(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2•i2=a2+b2=3.

考点二复数的运算

1.(2021新高考I,2,5分)已知z=2-i,贝I」z(z+i)=(

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

答案C••,z=2-i,.-.z=2+i,

，z(2+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故选C.

2.(2022新高考II,2,5分)(2+2i)(l-2i)=(

A,-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

答案D(2+2i)(l-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故选D.

3.(2022全国甲文,3,5分)若z=l+i,贝U|iz+32|=(

A.4V5B.4V2C.2V5D.2V2

答案DVz=l+i,35=3(l-i)=3-3i,

.•.iz+3z=2-2i,：.\iz+3z\=2VI故选D.

4.(2021全国甲理,3,5分)已知(l-i)2z=3+2i,则z=(

A.-l-|iB.-l+|i

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C.-|+iD.-j-i

答案B解法一：由题意得2=券=号=馈^=言@=一1+|1

解法二：设z=a+bi（a,Z?£R）.

由（1-i）?z=3+2i得（1-i）2（a+bi）=3+2i,

：.-2i（a+bi）=2b-2ai=3+2i,

.,.Q=-l,b=|,...zu-l+li•故选B.

5.（2022全国甲理，1,5分）若z=-l+V3i,则-7=

zz-l

A.-1+V3iB.-l-V3iC.--+—iD.---—i

3333

答案c因为z=-l+遮,所z以z—1等（―14-7亮31）（-学1-V同31J、—；1=三1+3当-1=一3+当3故选C.

6.（2021全国乙文,2,5分）设iz=4+3i,则z=

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

答案C解题指导:解法一:直接用复数的除法运算求解；

解法二（待定系数法）：利用方程思想求解.

解析解法一：由题意得z=—==干=34,故选C.

1iz-1

解法二：由题意，设z=a+bi（a,b《R）,贝（jiz二i（a+历）=-6+ai,又iz=4+3i,所以a=3,Z?=-4,贝!jz=3-4i,故选C.

易错警示学生不熟悉复数的除法法则，在运算中出错.

7.（2021北京,2,4分）若复数z满足（1-i）-z=2,则z=（

A.-l-iB.-l+i

C.l-iD.l+i

答案D解法一:设z=a+历（a,Z?£R）,因为（l-i）・z=2,即a+b+（b-a）i=2,所以-小解得a=b=l,所以

z=l+i.故选D.

解法二：因为（1-i）-z=2,所以z片=因+i，故选D.

1-1（i-i）（i+i）

8.（2020新高考/,2,5分）总：=（

A.lB.-lC.iD.-i

2-i

答案D，瑞=故选D.

l+2i

9.（2019课标I文,1,5分）设片益加,=（）

A.2B.V3C.V2D.1

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答案C本题考查复数的四则运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.

..二3一i二(3—i)(l—2i)

,Z-l+2i-(l+2i)(l-2i)

_3-7i+2i2_l-7i_l7.

二1—(2i)2二亏二鼠3

・・・•=*¥+(-『8,故选。

易错警示易将『误算为1,导致计算出错.

10.(2019北京,理1,文2,5分)已知复数2=2+二贝!]2・2=()

A.V3B.V5C.3D.5

答案D本题主要考查复数的运算，共花复数的概念，考查学生运算求解的能力，考查的核心素养是数学运

算.

'.'z=2+i,.,.z=2~i,.,.z,z=(2+i),(2-i)=4+1=5,故选D.

11.(2018课标H文,1,5分)i(2+3i)=()

A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i

答案D本题主要考查复数的四则运算.

i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故选D.

12.(2018课标IH,理2,文2,5分)(1+i)(2-i)=()

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

答案D本题考查复数的运算.

(1+i)(2-i)=2-i+2i-i=3+i,故选D.

13.(2018北京理,2,5分)在复平面内,复数上的共柜复数对应的点位于()

1—1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D本题主要考查复数的概念、运算和几何意义.

1-1(1—，1)(二1+1)岩232,•.其共辗复数2为2"二又22*i在复平面内对应的点\G22/在第四象限,故选D.

14.(2017课标n文,2,5分)(1+i)(2+i)=()

A.1-iB.l+3iC.3+iD.3+3i

答案B本题考查复数的基本运算.

(1+i)(2+i)=2+i+2i+i=l+3i.故选B.

15.(2017山东文,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=l+i,则z2=()

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A.-2iB.2iC.-2D.2

答案A本题考查复数的运算.

由zi=l+i得z=—

所以z2=(l-i)2=-2i,故选A.

4i

16.(2016课标HI理,2,5分)若z=l+2i,则=~；二()

zz—1

A.1B.-lC.iD.-i

4i4i

答案C,.,z：=(l+2i)(l-2i)=5,「._广;二i，故选C.

zz—14

17.(2016北京文,2,5分)复数詈)

A.iB.1+iC.-iD.1-i

2

l+2i(l+2i)(2+i)2+i+4i+2i号二i,故选A.

A

答案2^r-(2-i)(2+i)--W

18.(2015课标H理,2,5分)若a为实数，且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()

A.-lB.0C.1D.2

答案B-/(2+ai)(a-2i)=-4i=^4a+(a2-4)i=-4i,

(4a=0,j,

24解得a=0.

la-A4=-4,

19.(2015课标I文,3,5分)已知复数z满足(z-l)i=l+i,则z=()

A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i

答案C由已知得z=——+l=2-i,故选C.

i

20.(2015课标n文,2,5分)若a为实数且警=3+i,则a=()

A.-4B.-3C.3D.4

答案D由已知得2+ai=(l+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故选D.

21.(2015安徽文,1,5分)设i是虚数单位,则复数(1-i)(l+2i)=()

A.3+3iB.-l+3iC.3+iD.-l+i

答案C(1-i)(l+2i)=l+2i-i-2i=3+i.

22.(2015湖南文,1,5分)已知Stl+i(i为虚数单位)，则复数z=()

z

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-l-i

,,.,.(1—i)2—2i—2i(l—i),,.,,

答案Dz=——^=—7=——――i(l-i)=-l-i.D.

l+il+i(l+i)(l-i)

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23.(2014课标I理,2,5分)出2=()

(1-D

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

322

%答~案D寻(1+i)号(1+》i).(/1+、1)l=+i/方+2i.(/1+1、)=-1“故选3口

24.(2。14课标11文