吉林省长春市2024届高三质量监测（一）数学试题（解析版）

吉林省长春市2024届高三质量监测（一）数学试题

一、选择题

1.若集合A={x12x-3]<l},3={x[-2<x<5,xeN*},则4B=()

A.[1,2]B.{0,1,2}C.0D.{1,2}

【答案】D

【解析】由|2x—3区1可得—l〈2x—3Vl=xe[l,2],即A=[1,2],5={1,2,3,4},

故AB={1,2},

故选：D.

A.l-2iB.l+2iD.-l+2i

【答案】B

5i(2-i)

【解析】=l+2i

1T(2+i)(2-i)

故选：B.

3.已知单位向量a,b的夹角为60，则12a-*（）

A.1B.73C.若D.3

【答案】B

【解析】因为单位向量a,b的夹角为60。，

所以a-b=,Hqcos60=；,

I|22

所以|2a—=4q2—4a2+/=4—2+1=3,

所以忸_,=6.

故选：B

4.“4＞匕＞1”是“10802＜10882”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

1cic1g21g2

【解析】1呜2<10gz,20卢<当且lg2>0,

当Iga(0,1gA)0?时,则0<a<l<Z?,

当Iga<0,1g》<0时，则lg6<lga<0,

:.Q<b<a<\,

当lga>0,lgb>0时，则0<lgb<lga,

:.a>b>l是logfl2<log,2的充分不必要条件.

故选：A.

5.已知函数/(x)是定义域为R的奇函数，当为20时，/(x)=x+cosx-l,则x<0时,

f(x)=()

A.x-cosx+lB.-x+cosx-1

C.x+cosx-1D.-x-cosx+1

【答案】A

【解析】当龙<0时，-x>0,则/(%)=-/(-%)=-(-%+cos%-l)=x-cosx+l.

故选：A.

22

6.椭圆C：二+二=1(。>。>0)上有两点A、B,6、心分别为椭圆C的左、右焦点,

ab

耳是以工为中心的正三角形，则椭圆离心率为()

A.B.V2-1C.D.73-1

【答案】C

【解析】设A5边与x轴交于点。，且是以B为中心的正三角形，

则且工为的重心，

由重心定理可得，|仞|=|耳闻=2,则闺ZR3c,

\FD\

在口乳4月。中，NA耳。=30。，则cos30。=FtT，

所以仙司=2辰，由椭圆的定义可得,

\AFr\+\AF2\^2a,即2樨+2c=2a，

A/3—1

贝Ue，1

a6+12

故选：C.

7.已知数列｛4｝,q=2,%=°，且%+2=4+24-D"，则数列｛4｝的前30项之和为

（）

A.15B.30C.60D.120

【答案】B

【解析】已知数列｛4｝,4=2,%=°，且4+2=4+2<-D",

则〃为奇数时，4+2=-2,贝!!〃为偶数时，an+2=。“+2,

所以数列｛%｝的奇数项构成首项为2公差为-2的等差数列，偶数项构成首项为0公差为2

的等差数列，

15x1415x14

则S30=15x2+^—义（一2）+15义0+^—义2=30.

故选：B

8.将函数/（x）=cosx+M图象上所有点的横坐标变为原来的!（。>0）,纵坐标不变,

V3；co

2兀7T7T

所得图象在区间0,—上恰有两个零点，且在一二，二上单调递减，则。的取值范围

31212

为（)

114

A.?3c.

【答案】C

【解析】依题意可得y=cos[0x+g],

「、i八2「L।।2兀2兀2G2兀

因为OVxK—兀，所以——<a)x-\---<——7i-\----,

33333

Zjr/jr\

因为y=cos0x+o,y恰有2个零点，且cos[,+勺兀J=0,K£Z,

lli।5兀2兀7兀1117

所以一<——兀+—<—，解得一<co<—，

233244

..,2兀_,7r-r/D27c2左。兀7C2左°兀7r

令2k«coxH-----«兀+2k?7i,%?£Z，付------1--------Kx<-------1--------,,

33coe03coea

(2兀、「2兀7i

令％2=。，得>=8$OX+7-在—---上单调递减，

k3)3co3co

2兀<兀

71712兀713^)~12

所以，所以，又力>0,解得0〈0V4.

129123G’3G兀〉兀

^~12

综上所述,—<^<4,故外的取值范围是—,4.故选：C.

44

二、选择题

9.小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1

米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据

制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法正确的是（）

A.平均数约为38.6B,中位数约为38.75

C.第40百分位数约为35.6D.上四分位数约为42.6

【答案】ABC

【解析】对于A,由饼图可知，平均数为：25x0.22+35x0.32+45x0.34+55x0.12=38.6

故A正确；

对于B,0.22<0.5,0.22+0.32>0.5,故中位数在［30,40］这一组，设中位数为x,

r-30

则0.22+0.32x-----=0.5,解得x=38.75,故B正确；

10

对于C,0.22<0.4,0.22+0.32>0.4,故第40百分位数在［30,40］这一组，

y—30

设第40百分位数为则0.22+0.32义^------=0.4,解得x=35.625笈35.6,故C正确；

10

对于D,上四分位数即第75百分位数，0.22+0.32<0.75,0.22+0.32+0.34>0.75,故

第75百分位数在［40,50］这一组,

7-40

设第75百分位数为z,则0.22+0.32+0.34义------=0.75,解得z=42.1,故D错误;

10

故选：ABC.

10.已知sin61+cos£=g,0©（0,兀）

则（）

八3

A.tan，=——B.cos26=---

425

0。（兀）行

C.tan—=2D.COS0H..-----

2I4J10

【答案】BC

【解析】由sin8+cose=S得，（sin8+cos6）2=（,则2sin8cose=-^^,

24

因为8w（0,兀），2sin6cose=---<0，

所以6£（T,兀），所以sin夕一cos0=2singeos8=/+冷

sin0+cos0=—sin夕二一

5解得（5

由<

7

sin0-cos9=一cos0=——

5［5

4

sin04

对于A,tan8=----=--=,故A错误;

cosO_33

-5

对于B,cos20=cos20-sin20=，故B正确;

对于c,因为de(四,兀)，所以2,贝|tan2〉0,

22422

2tang4，，

tan0—-------———,即(tan2)(2tan—F1)=0,

l-tan2-322

2

Qg]

解得tan—=2或tan—=—(舍去)，故C正确；

222

对于D,c°s[e+*8s4-sin衅=故D错误,

故选：BC.

H.已知正方体ABC。-4qGR的棱长为1，下列说法正确的是（）

A.若点尸为线段G。上的任意一点，则4DL5P

B.若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的表面积为3兀

C.异面直线4。与40所成角为45

D.若点。为体对角线上的动点，则NAQC的最大值为[I

【答案】ABD

【解析】连接BG，5n，4C,如下图所示:

1

对于A,由正方体性质可知G2平面BCCiB-又B£u平面BCC/i,所以CR±BtC,

又3G，4C,且BC[,CiD[U平面BCR,

所以用c,平面3GR，

显然AD//4C,所以可得A。，平面BCR.

又3Pu平面BGA，所以

即点P为线段GA上的任意一点时，总成立，即A正确；

对于B,易知该正方体的外接球直径即为该正方体的体对角线，

设该球半径为R，则1+1+1=(2&2,所以该球体的表面积为4冰2=3兀，即B正确;

对于C,连接30,43,如下图所示：

易知BDHBR,所以异面直线4。与A口所成角为即为或其补角,

在*460中，AB=BD=AD=B所以=,

即异面直线4。与耳A所成角为60，所以C错误；

对于D,连接AC,BD1,如下图所示:

易知AQ=CQ,当AQ,CQ最小时，可使NAQC最大;

当AQLB，时，AQ取得最小值为空g=",

V33

22

1Z7I

由余弦定理可知ZAQC=即可得NAQC=丁;

cos23

所以NAQC的最大值为.，即D正确.

故选：ABD

12.已知函数/(X)与g(x)的定义域均为R,f(x+l)+g(x-2)=3,f(x-l)-g(-x)=1,

且g(—1)=2,g(x—1)为偶函数，下列结论正确的是()

A.Ax)的周期为4B.g(3)=l

20242024

c.左)=4048D.Xg(左)=2024

k=lk=l

【答案】ACD

【解析】由于g(%—1)为偶函数，图象关于y轴对称，

所以g(x)图象关于x=-1对称，

所以g(x—2)=g(—l+(x—l))=g(—l_(x—l))=g(—x),

所以/(x+l)+g(x-2)=/(x+l)+g(-x)=3①，

而/(九-=l②，

两式相加得/(x-l)+/(x+l)=4,则/(力+/(%+2)=4③，

所以y(x+4)=/(x+2+2)=4——(x+2)=4—(4—/(x))=/(x),

所以4是7(x)的一个周期，A选项正确.

由③令％=1得/(1)+/(3)=4,

由①令尤=1得〃2)+g(-L)=/(2)+2=3J(2)=l,

由②令x=l得〃0)—g(—1)=〃。)—2=1，〃0)=3,则〃4)=/(0)=3,

所以/■⑴+/(2)+〃3)+/(4)=8,

警2024

所以2/(左)=—^x8=4048,C选项正确.

念4

由①令X=_l得y(o)+g(l)=3+g(l)=3,g(l)=o,

由/(%+1)+8(1—2)=3"(%_1)_且(_%)=1,

得y(x)+g(x-3)=3J(x)-g(—尤-1)=1,

两式相减得g(x—3)+g(—%—1)=2,即g(x—3)+g(x—1)=2,

且g(x)关于对称,g(-2)=l,

所以g(x)+g(x+2)=2@,

所以g(x+4)=g(x+2+2)=2-g(x+2)=2-(2-g(x))=g(x),

所以g(x)是周期为4的周期函数，所以g(3)=g(-1)=2,所以B选项错误.

由④令x=2得g(2)+g(4)=2,所以g(l)+g(2)+g⑶+g(4)=4,

20242024

所以(左)=—^x4=2024,所以D选项正确.

念4

故选：ACD.

三、填空题

1

13.曲线在点(4,2)处切线的方程为__________.

〉一人

【答案】x-4y+4=0

【解析】求导得了=二=,则当犬=4时，y=|,

2jx4

i1

所以曲线》=妙在点(4,2)处切线的方程为丁—2=^(z%-4),即x—4y+4=0.

故答案为：x-4y+4=0.

14.某学校有A,8两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A

餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8,如果第一天去8餐厅，那么第2天去8餐厅的概

率为0.4,则该同学第2天去8餐厅的概率为.

【答案】0.3

【解析】设4="第1天去A餐厅用餐”，用="第1天去B餐厅用餐”,

4="第2天去A餐厅用餐”，B2="第2天去3餐厅用餐”,

根据题意得P（A）=P（用）=05P（因4）=1—0.8=0.2,P（B2|B,）=0.4,

由全概率公式，

得尸（四）=p（A）P（B2|A）+P（4）「（不）=0.5X0.2+0.5x0,4=0.3,

因此该同学第2天去8餐厅用餐的概率为0.3.

故答案为：0.3.

15.已知双曲线C：---y2=1,。为坐标原点，尸为C的右焦点，过尸的直线与C的两

3

条渐近线的交点分别为M,N.若AO脑V为直角三角形，则|AW|=.

【答案】3

【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为±"

,且右焦点为尸（2,0）,

3

从而得到NFON=30°,所以直线MN的倾斜角为60°或120。，

根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60。，可以得出直线的方程为y=6（尤-2）,

分别与两条渐近线、=且％和丫=—且工联立，

•33

故答案为：3.

16.如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根

据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于尤轴，相邻两根弦

间的距离为1,雁柱所在曲线的方程为y=1.1）第八根弦（”GN,从左数首根弦在y轴

上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线/：>=工+1交于点4（%,%）和纥卜二,％],

20

则X%%'=■

n=0

（参考数据：取1」22=8.14.）

【解析】由题意可知:%="+1,%'=1.1",

2020

则=X（“+1）L1"=1XL1°+2X11+L+20x1.119+21x1.120,

n=0n=0

20

可得=lxl.r+2xl.f+L+20x1.120+21x1.121,

n=0

201_1l21

两式相减可得：一0.1xZyj：=l1°+ll+L+l.l20-21xl.l21=：——21x1.121

“=o1-1.1

1-1.121+0.1x21x1.1211+1.1221+8.14…

--------------------=-------=-------=-91.4,

-0.1-0.1-0.1

20

所以E>J〃'=914.

n=0

故答案为：914.

四、解答题

17.在一A5C中，AD为5C边上中线，BD=6AD=击，tanZBAD=—

2

（1）求qABC的面积；

（2）若AE=WA。，求NBEC.

7

同乖）

解：（1）在△ABD中，由=6,AD=J7,tanZBAD=可得sin/BAD=

2万

BDAD

由正弦定理得,?ABD90?,从而AB=2.

sinZBADsinZABD

在中，AB=2,BC=26，ZABC=9Q°,所以二ABC的面积

S=；x2x2石=26.

（2）以8为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴，建立坐标系,

则5（0,0）,A（0,2）,C（2A/3,0）,由AE=：AD得，E

84

从而E5=-3/66491

,EC=,所以cos(E5,EC亘N所

[336

%

闲'A49

以/BEC=120。.

18.已知首项为1的数列｛%｝,其前〃项利为S“，且数列］｝1是公差为1的等差数列

N*）.

（1）求｛〃/的通项公式；

457、

（2）若——求数列｛。〃｝的前〃项和

an'an+l

2

解：（1）数列［工4是公差为1的等差数列，且2=幺=1,即2=Sn=n,

LnJ11n

当九22时,a„=Sn-Sn_^2n-l,

当〃=1时，q=l,满足4=2〃-1,

综上，｛4｝的通项公式为=2〃-1.

4/2w1+1

⑵由题意。=上=—刎一=-=i+1

〃an'an+i(2n-l)-(2n+l)(2n-l)-(2n+l)(2〃-1)・(2〃+1)

1+2{2n-l~2n+l)

所以看=。+。2+。3+…+c”

=1+-(1--)+1+-(---)+1+-(---)+---+1+-(^—

2323525722〃—12n+l

1,111111

—n-\—(1----1------1-----1---1-----

2335572〃—12n+l

"i一，3+上

2(2n+l)2«+1

因此，数列｛c,｝的前〃项和7；

2n+\

19.如图，在三棱锥6—ACD中，AB=BC,DAYAC,G为点8在平面ACD的射影,

M为5c的中点.

B

(1)证明MG〃平面至£)；

(2)若A5=5,BG=3,ZACG=--,求平面A&0与平面D4"夹角的余弦值.

6

(1)证明：取AC中点N,连结NM、GN,可知脑V〃AB,

因为G为3在平面ACD的射影，

6GL平面AC。，

AGu平面ACD,CGu平面AC。，

所以BGLAG,BG±CG,

因为A3=6C,BG为公共边，

所以BCG=BAG,所以AG=CG,

因为N为AC的中点，所以GNLAC,

因为ZMLAC,所以GN〃AD,

因为MN口AB,ABu平面A3£),ACV<Z平面A5£),

所以跖V〃平面A5£),

因为GN〃AD,A£>u平面AB。，GN(Z平面ABD,

所以GN〃平面A3£),

因为MNcGN=N&MN、GNu平面MNG,

所以平面MNG//平面ABD,

MGu平面ACVG,

所以MG〃平面A5£).

(2)解：过点A作AE〃BG,以A为原点，AC,AD,A尸所在直线分别为x轴、y轴、

z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由于3G=3,AB=5,则由(1)知GC=G4=4,

又NACG=J,所以AC=4百.

6

则A(0,0,0),B,C,M

设A£>=/,则。（0/0）,设平面AA/C的法向量为〃=（尤,y,z）,

z心力・AC=4/x=0,

又AC=(4月,0,0),3A/3,1，4,则厂3可取

、\2Jn.AM=3A/3X+y+—z=0,

a=(0,3,-2).

设平面AMD的法向量为rn=（a,b,c）,

m-AD=tb=0,

，AM=(3^3,1,^],则＜

又AD=(0/,0)厂3可取

m-AM=3y/3a+Z?+—c=0,

\m-n\_4百

设平面ACM与平面n4M角为e,贝11cose=gs优砌=

|m||n|13

即平面ACM与平面DAM夹角的余弦值为逑.

13

20.过抛物线£:丁=2/5〉0）焦点口，斜率为-1的直线/与抛物线交于4、8两点,

IAfi|=8.

（1）求抛物线后的方程；

（2）过焦点歹的直线交抛物线E于C、。两点，直线AC与5。的交点是否在一条直

线上.若是，求出该直线的方程；否则，说明理由.

解：（1）由题意设直线/:y=—x+],A（%1,y1）,B（x2,y2）,

y=_x+P.2

联立方程组2,消犬得，――3〃%+2=0,

y2=20px4

所以玉+%2=3p,|+々+p=4p=8,解得p=2,

即指物线E的方程为V=4x.

（2）由（1）可知%+%=4,%.为=—4,F（l,0）.

设直线/'：X="y+l,C（%3，%），。（%4，%），

x=my+l

联立方程组《消不得y2_Amy-4=0,

y2=4%

所以%+%=4加，％•%=-4.

%-为二-4

直线AC的斜率为再—x3y；yj弘+%

T-T

4(%-&),即一+%%

所以直线AC:y-%=-----y=4

f4x+yy4x+y%以+乂为

同理可得直线3D：丁=——区9』4，从而——3

%+%%+%%+%

即4（%--%卜=乂%（%-%）+%%（X-%）=-4（乂--％,

解得x=—1,所以直线AC与直线的交点都在x=—l上.

21.树人中学某班同学看到有关产品抽检的资料后，自己设计了一个模拟抽检方案的摸球实

验.在一个不透明的箱子中放入10个小球代表从一批产品中抽取出的样本（小球除颜色外

均相同），其中有。个红球（5WaW9,aeN）,代表合格品，其余为黑球，代表不合格

品，从箱中逐一摸出加个小球，方案一为不放回摸取，方案二为放回后再摸下一个，规定：

若摸出的加个小球中有黑色球，则该批产品未通过抽检.

（1）若采用方案一，a=9,m=2