河北省衡水中学高考模拟押题卷数学试题含答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

文科数学(一)

考前须知：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。答卷前，考生务必将自己的

姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.答复第I卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3.答复第二卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

选择题：本大题共12小题,每题5分，在每题给出的四个选项中。只有一项为哪一项

符合题目要求的。

(1)集合A=<%∈Z-∣<x<3∣,B={0,l,2,3,4}-那么集合A∩B的子集个数为

(A)16(B)8(C)7(D)4

⑵假设复数Z满足z(l+i)=2卜n'+icos?,其中i为虚数单位，那么Z=

(A)2(B)i

(C)1-i(D)l+i

(3)向量α=(m,2),)=(-!,〃)(〃>0),且α∙0=0,点P(0在圆f+y2=5上,那

么∣2G+.=

(A)√34(B)6

(C)4√2(D)3√2

(4)甲，乙两同学在高三上学期的6次联考测试中的物理成绩的茎叶图如下所示，那么关

于甲，乙两同学的成绩分析正确的选项是

甲乙

86714

8744868

9I4

(A)甲，乙两同学测试成绩的中位数相同

(B)甲，乙两同学测试成绩的众数相同

(C)甲，乙两同学测试成绩的平均数不相同

(D)甲同学测试成绩的标准差比乙同学测试成绩的标准差大

(5)等差数列｛q｝满足4+α14=O7+4,那么IgS∣5=

(A)l+Ig6(B)6(C)I+lg3(D)Ig6

(6)一半径为R的半球挖去一圆柱后的几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为

80√5Λ-

(A)------16乃

3

160√5^-iz

(B)16乃

3

80√5Λ-C

(C)--------3π

3

俯视图

(7)将函数y=sinβx-∣j的图象向右平移］个单位，再将所得的图象所有点的横坐标

缩短为原来的L倍(纵坐标不变)，那么所得图象对应的函数的一个单调递增区间为

2

π13乃13725乃

(B)

12,-12^^^12^,12-

π13万1π∖9π

(C)(D)

^∖2,~∖2

(8)执行如下图的程序框图，输出的〃值是

(A)5(B)4(C)3(D)2

(9)在Z∖ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且CCoSA+acosC=2c,假设a=b,那么

SinB=

√51√3√3

(A)—(B)-(C)—(D)—

4442

(10)函数/(x)为偶函数，将/(x)的图象向右平移一个单位后得到一个奇函数，假设

f(2)=T,那么/(1)+/(2)+…虫2016)=

(A)I(B)O(C)-1003(D)1003

(11)在直角坐标系Xoy中，抛物线V=4x的焦点为F,准线为/,点P是准线上任一点,

直线PF交抛物线于A,B两点，FP=4FA,那么S“OB=

5√2^r-3√29

(A)--(B)3√2(C)--(D)-

o22

(12)定义域为R的函数/(x)满足/(x)=；/(%—6),当xe［0,6］时，

/(X)=λ∕3-∣x-3∣,假设关于Z的方程/(%)=m(x+6)在区间［-6,+oo)内恰有三个不

等实根，那么实数机的值为

(B)逅

(A)©且(D)以上均不正确

12129

第二卷

本卷包括必考题和选考题两局部。第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必

须做答。第22题〜第24题为选考题，考生根据要求做答。

二.填空题：本大题共4小题，每题5分。

-•1™,sιn<z-cosa,,..,

(13)Slna+cosα=-,αe(0,万)，那么-----------■的值λ为

3v,.7π

sin——

12

(14)曲线f=4X在点处的切线与直线2x+y-l=0垂直，那么m=

x+y+4≥0

(15)实数%,y满足约束条件・x+y—2≤0那么2'的最大值是.

y-2>0

3

(16)设函数/(x)=x+(l+α)χ2+αv有两个不同的极值点χ1,χ2,且对不等式

/(玉)+/(W)Wo恒成立，那么实数4的取值范围是

三.解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17)(本小题总分值12分)

数列｛α,,｝的前"项和为S,,且满足2S“=1—2。”.

(I)求数列｛4｝的通项公式；

(∏)设数列也｝满足b,l=n.an,求数列也｝的前"项和7；.

(18)(本小题总分值12分)

如下图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为。的菱形，ZDAB=60°,侧面PAD_L

底面ABCD,PA=PD.

(I)证明:AD±PB;

(H)假设PB=求三棱锥B—PCD的体积.

2

(19)(本小题总分值12分)

2023年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红

包50个，产生的手气红包频数分布表如下：

金额分组C1.5)[5.9)[9.13)[13.17)[17,21)[21.25]

频数39171182

⑴求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；

(H)估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(IlI)在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率.

⑴假设红包金额在区间［21,25］内为最正确运气手，求抢得红包的某人恰好是最正确运气手

的概率；

(ii)随机抽取手气红包金额在［1,5)U［-21,25］内的两名幸运者，设其手气金额分别为根,〃，

求事件a∖m-^>∖6"的概率.

(20)(本小题总分值12分)

圆C一4χ+y2=0,过点PQi,0)作直线/与圆C相交于M,N两点.

⑴当直线/的倾斜角为30°时，求IMNl的长；

(H)设直线/的斜率为上当NMCN为钝角时，求攵的取值范围.

(21)(本小题总分值12分)

函数=InX+--^^"j(α∈R).

⑴假设函数/(x)存在极大值，试求α的取值范围；

(H)当α为何值时，对任意的x>0,且x≠l,均有也±———>0.

x-1x+1

请考生从第22、23、24题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应

的题号右侧方框涂黑。按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不

涂，按本选考题的首题进行评分。

(22)(本小题总分值10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，AD是aABC的角平分线，以AD为直径的圆

与BC相切于D点，与AB,AC交于点E,F.

(I)求证：BE∙AD=ED∙DC；

(∏)当点E为AB的中点时，假设圆的半径为r,求EC

的长.

(23)(本小题总分值10分)选修4一4：坐标系与参数方程

X=2+cosOc

在直角坐标系Xoy中，曲线Gi'(α为参数)，以坐标原点0为极点,

[y=3+sin1,

JT

X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：，=W(PeE)•

(I)求曲线Cl的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(H)设Cl与C2的交点为M,N,求同.

(24)体小题总分值10分)选修4—5：不等式选讲

设函数/(x)=∣x-∕n∣.

⑴当〃2=1时，解不等式/(x)+∕(2x)>l;;

-

(11)证明：当时，,∕(x)+ʃfJ~^2'

文科数学(一)

一、选择Ii移右个单位后所得图象对应的解析式为y=

1.B【解析】由题可知∙A={z∈Z卜∙∣V"V3}=

sin[⅛(x-f)-f]≈sin(⅛x^⅛),ffwttffl

(-1,0,1,2),所以AnB=<0,1,2),从而子集个数

为为=8,故选B.象所有点的横坐标缩短为原来的4倍(纵坐标不变)

2.C【解析】由z(l+i)=2(sin辛+icos})∙得Z=

对应的解析式为Iy=Sin(X—y∣),令一^∣∙+2*x≤

币=向"1二不一1一1’故选c∙∙

X-y^≤-j-+2tπ(4∈Z).即金+2AX≤H≤够+

3.A【解析】由α=(m,2),b=(-l,n),与a・b=0

故选

得，m—2"=0=*m=2n.又点P(m,n)在圆ɪ*+y=536Z),C.

8.D【解析】由程序框图可知，n=0,S=l+l=2.m=

上，所以m?+/=5,即5"=5="=1或n=-l

(舍)，所以m=2,α=(2,2),b=(-1.1),故2β÷h=6-1=5,5<皿运行第二步,"=1,5=2+/=景.

(4.4)+(-1,1)=(3.5),因此.|2。+5|=√3r+5r

=A，故选A.

91

4.Ct解析】甲的中位数为丐空=84,乙的中位数为8.m=4—1=3,S>m,输出n=2∙故选D.

殁理=87,选项A错误；甲的众数为84,乙的众数9.A【解析】由CCOSA+acosC=2c及正弦定理得，

sinCcosA÷sinAcosC=2sinC,即sin(A+C)=

不是84,选项B错误I甲的平均数为2sinC,从而SinB=2sinC,因此6=2，・所以a≈2c,

76+78+84+84+87+88497_6λa,*h-fc⅛a2+/—1

----------------6--------------------丁'乙的平均数为由余弦定理得，cosB=~-≈9VL√7≈÷*

LaC/X4CXC4

----------------θ----------------=-g-,即这项C正确；从从而SinB=空.故选A.

4

茎叶图可知甲的数据更集中.乙的数据更分散，因此

10.B【解析】将函数/(“)向右平移一个单位得到

甲同学测试成绩的标准差比乙同学测试成绩的标准

/(彳一】)，由于八*一1)为奇函数,所以ʃ(-ɪ-l)

差小•选项D错误.故选C.

=一/(工一1),又/(公为偶函数,所以/(-χ-l)≡

5.A【解析】由α∣÷α∣≈a+4,^#α∣÷α=a÷a∙

41u7β/G+1),从而有∕Cr+l)=-∕a-D•即/Q+2)

,而C_(a+a,)×15^2××15

βffplsaβ-=一/(力且有函数/(”)为周期

所以G=4,而S15=---------2--------------------2------.∕Cr+4)=∕G),故

15析=60,从而IgSg=Ig60=Ig(10X6)=1+Ig6.函数且周期为4.在/Gr+D=—/(ɪ一1)中•令ɪɪ=

。得/(一即,从而

故选A.•/(D=-D=—/(1),/(D=O

/(3)=—/(1)=0,又在∕Q+D=-/(N-D中，

6.A【解析】由三视图可知.半球的半径R为2同,半

令Z=I得，/(0)=-/(2)=1,在∕G+4)=∕(G

球的体积为％=y×yxΛj=yx×(2√5)a=中，令工=0得，/(4)=/(0),因此，八D+f(2)+

故

典件,而圆柱的底面半径1∙为2,高为4,其体积为/(3)+/(4)=0-1+0+1=0,/(1)+/(2)+…

+/(2016)=504×[∕(l)+∕(2)+∕(3)÷∕(4)]=

%=*∕A=χX4X4=16”.故所求几何体的体积为V0,故选B.

=%一匕=/弃一161.故选A.11.C【解析】不妨设点P在“轴的上方，过点A作准

线/的垂线,垂足为点M,z轴负半轴与准线交于点

7.C【解析】函数y=sin(∙∣∙H-∙∣∙)的图象向右平K(如图所示).

1

2sinαcosσ=—=>2sinacosa...------—»X(sina-

Q17

COSσ)t=1—2sinαcosa—1+§=§,因为αG(O,

x).且2sinβcosaVO,所以aS(今■,n)，即有sinα>

O.cosaV0•从而sina-cosa>0∙因此sina—cosa

=Wɪ,又sin⅛=sin(ɪ÷ɪ)=sinɪeos-y-÷

3IZ'43,4o

x.X_72÷√6=Sina-CoSa_y/17

COS-τ-sιn-----------------∙从ll而---------------Q-^

4347π3

sn

T=f从而％=J4X∙∣∙=氏则A(^∙√∑),又'T2

4-√T7(√6-√2)

√2(√6÷√2)βɜ.

Fɑ.0),则kfp==-2√Z,则直线FP的方程为

T-114.1【解析】由x*=4y∙得y=+x2,所以y,

y=-2成'(∙r-l),即ZV?jr+y—2√Σ=0,联立方程

因此Q号,由II意得号X(-2)=7=m=l.

(2√Lr+k2√Σ=0.整理得出;_5工+2=0,所以

∣√=4x‘工一y+420,

15.64【解析】作出满足约束条件(工+y-2≤0∙的平

∙T"+HI)=∙∣∙.因JltIABl=∙∣∙+2=∙∣∙.又点O到直

2≥0

面区域,如图所示：

线PF的距离d=-J竺!_=第，因此SAMe

√(2√2),+li

=∕∣ABlXd=∙∣∙X∙∣∙X挈=挈,故选C.

12.C【解析】根据题意，“"=竹'°≤x≤3,

IJ飞一工∙3<x≤6,

/(H)=4/(工一6),在同一坐标系下,作出y=∕(x)

与y=m(z+6)的图象如下所示：^ly~2∖解得A(—2.2),又2,∙(ɪ)ɪ=

ILy+4=0,`4)

2，-%设z=y-2z,得y=2I+z,由图象得直线y=

2∙r+z过点A(-2,2)时，z取到最大值，故Z的最大

值是6,所以2,∙(ɪ)ʃ的最大值是2∙=64.

16.(-∞,-l]∪[y,2]【解析]由∕G)=Y+(1+

a)jj+aar,得∕*(Jr)=3f+2(l+a)jr+a,令/ʃ(ɪ)

=O,得33+2(1+。)工+。=(^1),因为4=4(1+。)2

(12mf)f44M=0.解得/=吉.将/=去—12a=4(l-a÷a2)=4(a—γ)+3>0,故方程

代人①，解得JΓ=6G[0,3].若y=m(x+6)与y=①有两个不相等的实根与，I2,不妨设4Vq,因此

∕z(jτ)=3(jr-JΓι)(Jr-Λ⅛),易知当JrVJrI或JT>Z2

√7相切，则其不满足题意.故y=m(l+6)过点(3,

时，/(z)>0∙当©VZVJ⅛时，/(Z)Vo，即4是

畲)时满足题意，此时m=号.故选C.

极大值点,“2是极小值点，而/(x∣)+∕(x2)≤0等

二、填空国价于ɪ?+J⅛+(1+Q)(R+H)+a(JTi+Λ⅛)≤0,即

(ɪi+ɪt)ɛ(ɪi÷xt),~3x∣xt]÷(l÷a)t(xj+ɪɪ)t

13.々"一⑶【解析】由sin。+Coa=T•,得1+

S—2“iJ⅛]+a(JrI+J⅛)≤O,又因为x∣+Xz—

2

一生手”.∙r5=^f■'代人上式•当a+〉。时，2/因为PA=PD.所以PE±AD.

乂因为底面ABeD为菱形，且NDAB=60°,

一5α+2≤0∙解得∙∣∙≤α≤2.当α+l≤0时。铸-5α所以AABD为等边三角形•因此BE±AD.

从而AfLL平面PEB.因此ADJ_P8.（5分）

+220•解得α≤-l∙因此α的取值范围是（一8.

（∏）因为侧面PAD_L底面ABCD.

-I］U［y*2］.

且由（I）知，PE_LAD.从而PEJ_平面ABCD,

三、解答题即PE为以ABCD为底面的三棱锥P-BCD的福.

17.解：（I）由2S∙∙l-20..所以V"-N∙"=VrP-Hr/）=~^~SA.BT”∙PE∙

知29二1-2ɑ∣=4∙∙（1分）

由底面边长为α可知.S=SΔABD=^√.BE=

4

当”22时.由2S.=l-2α..1⅛2S.l=l-2u,-l.

分）

两式相减•得2α.=s-2α.+2ɑ.ι=2”.=α.7.g4,（7

（3分）

又PB=亨α∙且PE±BE.

因此数列｛%｝是以十为首项.十为公比的等比

数列.所以PE=J（£-（判=√P=1‰

故数列｛”.）的通项公式α.=mq∙τ=T∙x（∙∣∙）''

（9分）

（）＞分）

=y".（5所以VPιrι,ɪɪ-ɪ-sʌttn∙PE==；Xga

334Z

＜∏＞由（I＞可知也="∙α,=j⅛∙.（6分）=和.⑴分）

192

所以τ.=8+8+仇+…+6=w+可+广+…故所求的体积为够α’.（12分）

①（分）。徂。_

+j⅛T∙719.3解：（，IT）由题得，P=-1--7--+--1ʒ1ɑ-+--8--+---2-=21j9.

因此/7∖=∕+/+∕H----^氏=+/•②故产生的手气红包的金额不小于9元的频率为

（8分）（2分）

①一②得∙∙∣∙T.=/+/+/+/H------f^2^τ~（∏）手气红包在［1∙5）内的频率为4=0.06,

武7・（10分）手气红包在［5.9）内的频率为4=0.18；

手气红包在［9・13）内的频率为界=0.34,

HnIT1"`2/M

即2厂=了乂丁】——尹，

1^τ手气红包在口3,17）内的频率为痣=0.221

化简得丁・=1一卷一声，

手气红包在口7,2D内的频率为击=0.16；

即睚=1一岗.（12分）手气红包在［21.25］内的频率为系=0.04.（4分）

】8.解：（I）取AD的中点E•连接PE∙BE.则手气红包金额的平均数为

i=3X0.06÷7×0.18÷11X0.34÷15X0.22+19

×0.16+23×0.04≡12.44.（6分）

（∏I）（i）由题可知.红包金额在区间［21,25］内有

两人.

所以抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率P=

52δ≡1⅛（8分）

•3

(ii)由频率分布表可知∙红包金额在口65)内有3人、方法二：若NMCN为钝角•

设红包金额分别为a・6八在［21.25］内有2人.设红则NMCQ>45°,圆心C到直线/的距离dV√Σ.

包金Si分别为(8分)

若m∙〃均在［∣,5)内,有3种情况：(a,力，(ɑ∙c).(6∙

即留音V√Σ∙解得7必<2=>一空<上〈空，

c)；若m.〃均症［21,25］内只有一种情况：(工0);若

√Γ÷⅛r77

m∙〃分别在口・5)和［21,25］内时•有6种情况,即且6≠0,

(4,/),(α∙y),(6,工)∙(6,y),(c,∙r)∙(c,y).因此基本

故A的取值范围为(一"算,0)U(O,空).

事件的总数为10种•而事件“|，〃一”|>16”所包含

的基本事件个数有6种,(12分)

所以P(∣m-n∣>16)=^=y.(12分)21.解：(I)定义域为(0∙+8).

为一公

1_/+2(11+1(0∈R).

?2

20.解：(I)圆Cx√-4α∙+y=0的圆心坐标为C(2.jc(J÷1)ɪ(ɪ+1)

03半径为2.设g(ɪ)=J2÷2(1—α)∙r+l,

当直线/的倾斜角为300时•过圆心C作直线/的垂则A=4(l-a)?—4=4α(α-2).

线，垂足为Q∙①当αV0时,对称轴x≈a-l<0t

故小工)在区间()内单调递增.

在RtZXPQC中，sin30°=髭=CQ=∙∣V2.(3分)0,+8

则g(x)>g(0)≡U

从而IMNI=2-4-(［)，≡√7.(5分)所以∕Z(J∙)>0在区间《0・+8)内恒成立，

所以/(/)在区间(0.+8)内单调递增，不存在

(口)根据题意,直线/的斜率存在且不为0・极大值；(2分)

故可设直线/的方程为V=鼠∙r+D.“声0)(6分)②当0≤α≤2时∙A≤0,

(y=A(jr+1)«则2恒成立.

方法一，联立方程：，g(ʃ)=X+2(1—α)x÷l≥0

2,2C

∣X-4J÷√=0.故，(z)》0在区间(0.+8)内恒成立•

整理并化简得.《】+严)/+工+必=

(2^—4)0・所以/(/)在区间(0∙+8)内单调递增,不存在

(7分)

极大值；(4分)

设M(Nl,y),N(∙Γ2，›2)，③当a>2时.令g(ι)=0∙

lt,

W∆≡(2⅛-4)-4(l÷F)∙*>0,-z-2

得J1=al-y∕a—2a.ɪz=a^1+y∕a—2a♦

即OV^V春.(8分)其中OVjrIVJr2，

令/J得OVJrVjj或NJ

∆-2kik2(∙)>0,>⅛,

由韦达定理得+々=了不后・工,=

,∙r∣1ɪ:ɪ+^2∙所以八外在区间(0.不)内单调递增•在区间(M.

当NMCN为钝角时,即说・CN<O,(9分)12)内单调递减,在区间(工2，+8)内单调递增，

而.西=(不一

5G=(q—2∙*)2,χ)∙所以/(彳)在∙τ=a-1-，>一2a时取得极大值•在

CM∙CN=(JrI—2,yι)・(4—2,3)z=a-l+—2a处取得极小值.

=x∣x2-2(x1+J⅛)+4+Myt综上所述,若函数人工)存在极大值•则a的取值范

22围为分)

=(l÷^)x∣x2+(*-2)(xj÷jr2)+Λ+4(2∙+8).(6

2

=(l+*)τ‰+(*≈-2)⅛^+*≈+1(∏)-^-ʒvτ>θ可化为(∣nJ÷⅛T-a)

ɪ-1ɪ+1ɪ-1'a"十1,

>0(*),(8分)

设A(j∙)=∕")-a,由(D知，

由6G•否5vo,得】4公V4=/V∙⅛=-4^VA①当a≤2时济(-在区间(0・+8)内为增函数，

141

当“€(0・1)时∕G)VA(1)=O∙

且满足告.

VHa∙A≠0,OVAY所以占MI)>0:

故A的取值范围为(一享.θ)u(θ,左ɪ).当“£(1,+8)时,人(i)>*1)=0.