安徽省合肥市庐江第五中学2023-2024学年高一年级上册数学期中测试试题

高一年级第一学期第一次集中练习

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答

题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作

答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：必修第一册第一章〜第三章3.2.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.命题“*eR,X+120”的否定是()

A.VxeR,x+1<0B.VxeR,x+l>0C.3xeR,x+1<0D.3xeR,x+1>0

【答案】A

【解析】

【分析】存在量词命题的否定，存在变任意，否定结论即可.

【详解】因为命题“3xeR,x+120"，所以其否定为：VxeR,x+l<0.

故选：A

2.已知集合&={-2,-1,0,1,2},B={.X|X2-X-6>0},则A「3=()

A.{-2,-1,0}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【解析】

【分析】可以先求出集合民然后进行交集的运算即可.

【详解】5={x|xN3或xW-2},

A={-2,-1,0,1,2),

AIB={-2}.

故选：C

3.设xeR,则“x<3”是“x(x―2)<0”的()

A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式得到0<x<2,根据范围的大小关系得到答案.

【详解】x(x-2)<0,0<%<2,故"x<3”是“工(工一2)<0”的必要不充分条件.

故选：C.

4.若a>b,d>c,且(c-a)(c-Z?)<0,(d-a)(d-b)>G,则()

A.b<a<c<dB.b<c<a<d

C.c<d<b<aD.b<c<d<a

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式，求出Z?<c<a,d>a或d〈b,结合d>c,得到正确答案.

【详解】因为“>b,(c-a)(c-Z?)<0,所以

又因为(d—a)(d-〃)>0,所以d>a或d<b,

因为d>c,所以d<6不合要求，所以d>a,

综上：b<c<a<d.

故选：B

5.若正实数羽V满足尤+16y=孙，则()

A,x+y<25B,x+y>32

C.x+y<32D,x+y>25

【答案】D

【解析】

161,

【分析】将条件变形为一+—=L然后利用常数代换结合基本不等式求解即可.

xy

161,

【详解】由x+16y=孙，得一+—=1,又龙。为正实数，

%y

/

16.16yxc叵3=25,

所以x+y=(x+y)——+—=117+--+—>17+2

By)xy%y

当且仅当工=4丁=2。时，等号成立.

故选：D.

6.已知。>1,Z?>1,记〃=▲+工，1一

I—，则M与N的大小关系为()

abJab

A.M>NB.M=N

C.M<ND.不确定

【答案】A

【解析】

分析】利用基本不等式可得答案.

【详解】因为〃>1/>1,所以

M=-+-=巴士2>2叵，当且仅当L=J.取等号，

abababab

而2厢212

而-----=—j=>—j==N,

ab<abJab

故选：A.

112

7.已知%>0,y>。，且----H—=—,若x+y〉"/+3加恒成立，则实数加的取值范围是()

x+2y3-

A.(-4,6)B.(-3,0)C.(-4,1)D,(1,3)

【答案】c

【解析】

【分析】利用基本不等式求出X+2+y的最小值,即可得到x+y24,从而得到m2+3m<4,解得即可.

112

【详解】因为'，y”且不+1针

3

1+y+

2x+2y7

%+2、

2+2y二6,

4x+2y7

yx+2

当且仅当上；=——，即y=3,%=1时取等号,

x+2y

所以x+y24,因为x+y〉加之+3加恒成立，所以a2+3m<4,

即（加—1）（m+4）<0,解得T〈加<1,所以实数机的取值范围是

故选：C

8.函数〃x）=[（一]若对任意巧，x2eR（x^x2）,都有‘（为）—'（"）<。成

x+2^a-l）x-3a,x<2x1-x2

立，则实数。的取值范围为（）

A.[―4,—1]B.[―4,—2]C.（―5,—1]D.[―5,—4]

【答案】A

【解析】

【分析】确定函数单调递减，根据单调性得到不等式，解得答案.

【详解】因为对任意为，%eR（七力々），都有成立,所以了（%）是减函数，

国一％2

'4+4（a-l）-3a22（-a-5）-2

贝卜一。一5<0，解得TWaW—l.

l-a>2

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列各图中，可能是函数图象的是（）

A.

Ox

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据函数的概念即可求解

【详解】对于B选项，x>0时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，故B错误,

其他选项均满足函数的概念，是函数的图象.

故选：ACD

10.下列命题为真命题的是(

...crt1m+1m

A.若3>5>0,则aH—>b+—B.右机>〃>0,则-<--—-

abn+1n

ahab

C.如果。>a>Z?>0,那么---->-----D.a》b>—l,则------>-------

c-ac-ba+1Z7+1

【答案】BCD

【解析】

m+1m

【分析】对于A,举反例证明其错误；对于B,证明---------<0即可；对于C,首先有

n+1n

若要-^>上成立，只需a(c—a)即可，只需ac>bc,这显然成立；对于D,首先有

c-ac-b

a^b>-l,若要一^22，只需a0+l)2/?(a+l)即可，只需。之匕，这显然成立.

a+1b+1

【详解】对于A,令a=2,b=-,则。+!=沙+工，故A错误.

2ab

m+1mn-m

对于B,因为<°，所以----<一，故B正确.

〃+lnn(n+n+1n

1

对于C,由于c>a>b>O^-a<-b<O^O<c-a<c-b,同乘以7\77\，

^c-a)^c-b)

1

得0<<一-一，又a>5>0,所以—,故c正确.

c-bc-ac-ac-b

对于D,若a,则。+12〃+1>0,所以。(1+5)=0+0匕之匕+0匕=匕(1+。)，所以5-214,

故D正确.

故选：BCD.

11.已知关于X的不等式依2+法+c<0的解集为4或X23},贝|J()

A.a>0

B.a+b+oO

C.不等式加;+c>0的解集为{x|x<12}

D.不等式c%2一公+4<0的解集为<X一!<%<!>

43

【答案】BC

【解析】

【分析】根据已知条件得-4和3是方程ad+云+c=。的两个实根，且.<0,根据韦达定理可得

b=a,c=-12a,根据人=。,。=一12。且0<0,对四个选项逐个求解或判断即可.

【详解】因为关于X的不等式ax2+bx+c<0解集为{x\xWT或x23},

所以-4和3是方程℃2+法+C=0的两个实根，对应的二次函数图像开口向下且q<0,故A错误；

hc

所以—4+3=—,—4x3=—,所以Z?=a,c=-12〃，

aa

因为a+〃+c=a+a—12^——10a,又〃<0,所以〃+Z?+c>0,故B正确；

不等式乐+c〉0可化为口—12。>0,因为〃<0,所以xvl2,故C正确；

不等式cd一区+々<0可化为-12加一依+〃<（）,又。<0,

所以12f+%—1<0,即（4x—l）（3x+l）<0,解得—故D错误.

故选：BC.

12.已知函数八％）的定义域为R,对任意实数x,y满足：/（x-y）=/（x）-/（y）+l.且

"1）=0,当x>0时，/（X）<1.则下列选项正确的是（）

A./（0）=1B./（2）=-2

C.7（x）T为奇函数D.为R上的减函数

【答案】ACD

【解析】

【分析】特殊值代入计算即可得到A正确，特殊值代入可得B错误，/（%—y）=/（x）—/（y）+l经过变

换可得到C正确，根据函数的单调性的定义得到D正确.

【详解】对于A,由题可知/（0）=/（0）—/（0）+1,故/（0）=1,故A正确；

对于B,由题可知=⑴+1=2,/(2)=/(1)-/(-1)+1=-1,故B错误；

对于C,/(O-x)=/(O)-/(x)+l=2-/(x),故=—[〃力―1],为奇函数，故

c正确;

对于D,当石>々时，/(^1)-/(%2)=y(jq-x2)-l<0,

•/>x2,.'.x1-x2>0,/./(X[-X2)-1<O

.•./(%)是R上的减函数，故D正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x—2

13.不等式—>2的解集为.

x-1

【答案】[0,1)

【解析】

【分析】根据移项，通分，将分式不等式化为x(x-l)W0且XW1,即可求解.

2X1

【详解】有已知得忙2—220,£Z^_(~)>0,旦之0,上<0,

x-lx—1x—1x—1X—1

即Q—1)40且XW1,则不等式的解集为[0,1),

故答案：[0,1).

%2+%%<0

14.设函数〃x)=〈”若/(a)=6,则实数a=__________.

[x+3,x>0

【答案】3或一3

【解析】

【分析】根据给定分段函数，代值计算得解.

【详解】当a<0时，/(«)-a2+a-6,解得。=一3；

当时，/(a)=a+3=6,解得。=3.

故答案为：-3或3.

15.已知。：1<%<4,q:l<x<m-2,若q是p的必要不充分条件，则实数机的取值范围是

【答案】(6,+8)

【解析】

【分析】由题意可得{x[l<x<4}{%|1<%<771-2),从而可求出机的取值范围

【详解】因为4是P的必要不充分条件，所以{R1(尤<4}{x|l<x</n-2},

所以加一2>4,因此根>6.

故答案为：(6,+oo)

16.已知正实数％,>满足x+2y+孙一7=0,且3〃一2%2孙一九恒成立，贝”的取值范围是.

1

【答案】-00,--u[l,+oo

3

【解析】

【分析】先求得母一1的最大值，由此列不等式来求得/的取值范围.

7-v

【详解】依题意，x>0,y>0,x+2y+xy-7^0,y(x+2)=7—x,y=——>0,

x+2

.rml7—x-+5x-2x(x+2)+9(x+2)-18

z斛得0<x<7,贝汁孙一%=%-------x=----------

x+2x+2x+2

1Q18

=-2x------+9=—2(%+2)_+13

x+2()x+2

og

=-2(X+2)+----+13<-2x2J(x+2)-----+13=1,

JC+2yx+2

9

当且仅当x+2=——，％=1时等号成立.

x+2

所以3r—2f»l,3r—2f—l=(f—l)(3f+l)»0,

解得/4—g或r之1,即f的取值范围是1—8,一g

c[l,+co).

故答案为:

【点睛】利用基本不等式求最值，要注意一正、二定、三相等，正是说利用a+A22j拓时，必须是

正数，定是指定值，相等指的是等号成立的条件，三者缺一不可.另外，如果尤是负数，求x+工的最值，

X

可转化为-X+：］,再结合基本不等式来进行求解.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.己知命题P：HxeR,%2一2%+"=0,命题p为真命题时实数”的取值集合为A

(1)求集合A;

(2)设集合8={。|2m—3WaW/〃+l},且AgB,求实数机的取值范围.

【答案】(1)A={fl|-l<a<l}

(2)0<m<l

【解析】

【分析】(1)根据判别式求解可得结果；

(2)根据子集关系列式，解不等式组可得结果.

【小问1详解】

命题P为真命题时，则△=4—4〃20，得

/.A={fl|-l<a<l}.

【小问2详解】

由(1)知，A^{a\-l<a<l},

2m-3<-1

,：B,：.<l<m+l,解得0W加W1.

2m-3<m+l

18.(1)已知实数羽V满足—lWxW2,0WyWl,求x—2y的取值范围;

(2)已知一1<。+〃<3,2<a—b<4,求2a+3Z?的取值范围.

913

【答案】(1)[-3,2]；(2)——<2,a+3b<—

【解析】

【分析】(1)由—-2<-2y<0,结合可加性求解；

(2)由2a+3b=g(a+人)——3，结合不等式的性质求解.

【详解】(1)因为—l4x<2,-2<-2y<0,所以—3Kx—2yK2,

所以x—2y的取值范围是[-3,2].

(2)^2a+3b=m(a+Z?)+n(a-b)

m+n=2

m-n=3

51

：・m=—,n=—

2

2a+3b=+b)一一b)

,**—1<Q+Z?V3,2<a—Z?v4,

--<—(a+Z?)<—,-2<-—(a-b)<-1

22V722V7

95/113

——<-(a+bM)——(ra-bM)<——

22、)2、'2

913

即——<2。+3b〈一.

22

19.已知。，"ceR+，且a+》+c=l.

(1)证明：-^―+->4；

a+bc

(2)证明：a2+b~+c2>-.

3

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

一l,1I/,、/1.ca+b

【分析】⑴由Q+/7+C=1,-------\--={a+b+c)-\-----+--2d-------H-------，利用基本不等式求

a+bc\a+bc)a+bc

解即可.

(2)由Q+b+C=l,两边同时平方，结合基本不等式求4+〃+/的最小值.

【小问1详解】

1।1

---1----F—1=(,〃+/7?+C、)•

a+bca+bc

cc4+。Fca+b.

=2+------+------>2+2J--------------=4,

a+Z?cNa+bc

当且仅当Q+/?=C=工时取等号，

2

所以----+—>4.

a+bc

【小问2详解】

由Q+Z7+C=1,得(tz+b+c)2=a?+/++2ab+2cLe+2bc=1,

222

又由基本不等式可知当〃，b,。均为正数时，2QZ?</+/?2,2ac<a+c,2bc<b+c\

当且仅当Q=b=c=工时，上述不等式等号均成立，

3

所以Q?+/+/+2ab+2ac+2bc<3a2+3/?2+3c2，

即3+Z?2+）N1,

所以。2+〃+C22!，当且仅当a=b=c=!时等号成立.

33

20.LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长.经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成

本为4万元每生产x万件该产品，需另投入变动成本W（%）万元,在年产量不足6万件时，W（x）=gY+x,

在年产量不小于6万件时，W（x）=7x+—-39.每件产品售价为6元.假设该产品每年的销量等于当

年的产量.

（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量工（万件）的函数解析式.（注：年利润=年销售收入一固定成本

—变动成本）

（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？

1,/

——x+5%—4,0<x<6,

【答案】（1）L（x）=<

3513

,x>6.

（2）当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元.

【解析】

【分析】（1）根据“年利润=年销售收入一固定成本一变动成本”，分0〈尤<6和尤26即可求出L（x）的解

析式;

（2）根据二次函数和基本不等式分别求出“X）在0<x<6和时的最大值，比较即可得到答案.

【小问1详解】

:每件产品售价为6元，.万件产品销售收入为6x万元,

依题意得，当0<x<6时，£（x）=6x—[gj+x）—4=—g/+5x—4,

当x»6时，L（x）=6x-f7x+^^一39一4=35-x+T

1

——x9+5x—4,0<%<6,

35.x+一

,x>6.

【小问2详解】

当0<x<6时，I(x)=-1(x-5)2+y,当x=5时，L(x)取得最大值

当X26时，£(x)=35-^x+—^<35-2^7^=35-20=15,当且仅当》=m，即％=10时,

L(x)取得最大值15.

17

•；一<15,.•.当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元.

2

21.已知函数是定义在R上的奇函数，当x40时，/(x)=-x2+2ox+a+l.

(1)求了(%)的解析式；

(2)当+时，求/⑺的最小值.

—X"—2%,xK0

【答案】(1)/(力=,

x1-2x,x>Q

-r—2t,t<—2

t~+2t,—2«/<—1

⑵f(xL=<

-l,-l<r<l

t2-2t,t>l

【解析】

【分析】(1)由定义在R上的奇函数/(。)=。求出。，再根据奇函数的性质，当x>0时，—尤<0,

/(%)=-/(-%),即可求出解析式；

(2)画出函数图象，根据不同的/。)出"分类讨论/的范围即可.

【小问1详解】

因为“可是定义在R上的奇函数，所以"0)=。+1=0,解得a=-l,

则当xWO时，/(X)=-X2-2%；

当x>0时，_1<0,/(X)=_/(—x)=—[―(―x)__2x,

—X"—2%,x<0

所以/'(%)=<

%2-2%,%>0

【小问2详解】

函数7(%)的图象如图所示:

当/+2<0,即/<一2时，=/