2024年山东省济南市莱芜区中考数学模拟试卷（3月份）

2024年山东省济南市莱芜区中考数学模拟试卷（3月份）一．选择题（共10小题，每小题4分）1．（4分）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（4分）如图，俯视图是（）A． B． C． D．3．（4分）华为一部分Mate40手机将会搭载麒麟9000处理器，这是手机行业首批采用5nm工艺制式的芯片，1nm＝0.000000001m，其中5nm用科学记数法表示为（）A．5×109 B．5×10﹣10 C．5×10﹣8 D．5×10﹣94．（4分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．5．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，则∠2的度数为（）A．105° B．108° C．117° D．135°6．（4分）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（）A．a+b＞a﹣b B．ab＞0 C．|b﹣1|＜1 D．|a﹣b|＞17．（4分）下列运算正确的是（）A．3x2+2x2＝6x4 B．（﹣2x2）3＝﹣6x6 C．x3•x2＝x6 D．﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y8．（4分）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（）A． B． C． D．9．（4分）如图，在菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于CD为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN，若直线MN恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误的是（）A．∠BCD＝120° B．若AB＝3，则BE＝4 C．CE＝BC D．S△ADE＝S△ABE10．（4分）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（）A．﹣≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣≤c＜6 D．﹣4≤c＜5二．填空题（共6小题，每小题4分）11．（4分）分解因式：3x2﹣12＝．12．（4分）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是．13．（4分）代数式的值比代数式的值大4，则x＝．14．（4分）如图，在正六边形ABCDEF的外侧作正方形ABGH，连结AC，AG，则∠CAG的大小为度．15．（4分）小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为千米．16．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AD＝12，AB＝4，点E在线段BC上，将△ECD沿DE向上翻折，点C的对应点C'落在线段AD上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形ABNM沿MN向上翻折，点B恰好落在线段DE的中点B'处．则线段MN的长．三．解答题（共10小题）17．（6分）计算：（）﹣1+2tan60°+（π﹣3）0﹣．18．（6分）解不等式组，并求它的整数解．19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．求证：EG＝FH．20．（8分）小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用无人机采集一组航拍的资料．在航拍时，小王在C处测得无人机A的仰角为45°，同时小李登上斜坡CF的D处测得无人机A的仰角为31°．若小李所在斜坡CF的坡比为1：3，铅垂高度DG＝3米（点E，G，C，B在同一水平线上）．（1）小王和小李两人之间的距离CD；（2）此时无人机的高度AB．（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到1米）21．（8分）为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：方便筷使用数量在5≤x＜15范围内的数据：5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．不完整的统计图表：方便筷使用数量统计表组别使用数量（双）频数A0≤x＜514B5≤x＜10C10≤x＜15D15≤x＜20aEx≥2010合计50请结合以上信息回答下列问题：（1）统计表中的a＝；（2）统计图中E组对应扇形的圆心角为度；（3）C组数据的众数是；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是；（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的直径为5，cosC＝，求CF的长．23．（10分）某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．（1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？24．（10分）如图1，反比例函数与一次函数y＝x+b的图象交于A，B两点，已知B（2，3）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于点C，点D（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若S△OCD＝3，求点D的坐标；（3）若点M是坐标轴上一点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）（1）观察猜想：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，∠BAC＝∠DAE＝45°，DE＝AE，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接BD，交AC于点C，连接CE交BD于点F，则的值为，∠BFC的度数为．（2）类比探究：如图3，当∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°时，请求出的值及∠BFC的度数．（3）拓展应用：如图4，在四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠BDC＝45°．若CD＝8，BD＝6，请直接写出A，D两点之间的距离．26．（12分）抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，4），点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当△BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接BQ，过点B作直线l⊥BQ，连接QF并延长交直线l于点M，当BQ＝BM时，请直接写出点Q的坐标．

2024年山东省济南市莱芜区中考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题4分）1．（4分）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【分析】根据绝对值的意义解答即可．【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．2．（4分）如图，俯视图是（）A． B． C． D．【分析】先得到相应的几何体，找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上边看，可得选项C的图形．故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（4分）华为一部分Mate40手机将会搭载麒麟9000处理器，这是手机行业首批采用5nm工艺制式的芯片，1nm＝0.000000001m，其中5nm用科学记数法表示为（）A．5×109 B．5×10﹣10 C．5×10﹣8 D．5×10﹣9【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：5nm＝0.000000005m，0.000000005＝5×10﹣9．故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．（4分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．【解答】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．5．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，则∠2的度数为（）A．105° B．108° C．117° D．135°【分析】过点B作直线c∥a，则∠1+∠MBA＝180°，由此可得∠MBD＝72°，再证直线c∥b，则∠2+∠MBD＝180°，由此可得∠MBD的度数．【解答】解：过点B作直线c∥a，如图所示：∴∠1+∠MBA＝180°，即∠1+∠MBD+∠ABD＝180°，∵∠1＝63°，∠ABD＝45°，∴63°+∠MBD+45°＝180°，∴∠MBD＝72°，∵直线a∥b，直线c∥a，∴直线c∥b，∴∠2+∠MBD＝180°，∴∠MBD＝180°﹣∠2＝180°﹣72°＝108°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，正确的作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．6．（4分）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（）A．a+b＞a﹣b B．ab＞0 C．|b﹣1|＜1 D．|a﹣b|＞1【分析】根据数轴可以得到b＜﹣1＜0＜a＜1，从而可以判断各选项中式子是否正确．【解答】解：由数轴可得，b＜﹣1＜0＜a＜1，则a+b＜a﹣b，ab＜0，|b﹣1|＞1，|a﹣b|＞1，故选：D．【点评】本题考查数轴，解题的关键是利用数形结合的思想解答问题．7．（4分）下列运算正确的是（）A．3x2+2x2＝6x4 B．（﹣2x2）3＝﹣6x6 C．x3•x2＝x6 D．﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y【分析】根据整式中合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则逐项运算判断即可．【解答】解：A、3x2+2x2＝5x2，原选项计算错误，不符合题意；B、（﹣2x2）3＝﹣8x6，原选项计算错误，不符合题意；C、x3•x2＝x5，原选项计算错误，不符合题意；D、﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y，原选项计算正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了整式运算中的合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则，熟练这些法则是解该类题目的关键．8．（4分）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（）A． B． C． D．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有6种，∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是＝，故选：A．【点评】本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．9．（4分）如图，在菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于CD为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN，若直线MN恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误的是（）A．∠BCD＝120° B．若AB＝3，则BE＝4 C．CE＝BC D．S△ADE＝S△ABE【分析】利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可．【解答】解：连接AC．由作法得MN垂直平分CD，∴AD＝AC，CM＝DM，∠AED＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，即A选项的结论正确，不符合题意；当AB＝3，则CE＝DE＝，∵∠D＝60°，∴AE＝，∠DAE＝30°，∠BAD＝120°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝120°﹣30°＝90°，在Rt△ABE中，BE＝，所以B选项的结论错误，符合题意；∵四边形ABCD是菱形，∴．BC＝CD＝2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意；∵AB∥CD，AB＝2DE，∴，所以D选项的结论正确，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用菱形的性质和垂直平分线的性质是解答本题的关键．10．（4分）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（）A．﹣≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣≤c＜6 D．﹣4≤c＜5【分析】由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，根据二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”转化为y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，求Δ≥0，再根据x＝﹣3和x＝1时两个函数值大小即可求出．【解答】解：由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，∴﹣9＞﹣6+c，解得c＜﹣3；把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，∴3＞﹣2+c，解得c＜5，综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜5．故选：D．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．二．填空题（共6小题，每小题4分）11．（4分）分解因式：3x2﹣12＝3（x﹣2）（x+2）．【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2）．故答案为：3（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．12．（4分）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是．【分析】根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积，∴小球停在阴影部分的概率是，故答案为：．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．13．（4分）代数式的值比代数式的值大4，则x＝2．【分析】根据题意可得：﹣＝4，然后按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：﹣＝4，x+2＝4（2x﹣3），解得：x＝2，检验：当x＝2时，2x﹣3≠0，∴x＝2是原方程的根，故答案为：2．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．14．（4分）如图，在正六边形ABCDEF的外侧作正方形ABGH，连结AC，AG，则∠CAG的大小为75度．【分析】根据正多边形的性质及多边形的内角和公式求解即可．【解答】解：∵四边形ABGH是正方形，∴∠GAB＝45°，在正六边形ABCDEF中∠ABC＝＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠CAG＝∠GAB+BAC＝45°+30°＝75°．故答案为：75．【点评】考查了多边形内角，熟记正多边形的性质及多边形的内角和公式是解决本题的关键．15．（4分）小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为20千米．【分析】设直线CD的解析式为：y1＝kx1+b（k≠0），直线AB的解析式为：y2＝kx2+b（k≠0）；得到直线CD和AB的解析式，求出当x＝2时，y2的值即可．【解答】解：由图象可知，点（1，8）和（2，24）在直线CD上，∴设直线CD的解析式为：y1＝kx1+b（k≠0），∴，解得：，∴直线CD的解析式为：y1＝16x1﹣8；当y1＝0时，，∴，∵点，点B（2.5，24）在直线AB上，∴直线AB的解析式为：y2＝kx2+b（k≠0），∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y2＝8x2+4；∴当x＝2时，y2＝20，∴小泽距甲地的距离为20千米．故答案为：20．【点评】本题考查函数的知识，解题的关键是理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式．16．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AD＝12，AB＝4，点E在线段BC上，将△ECD沿DE向上翻折，点C的对应点C'落在线段AD上，点M，N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形ABNM沿MN向上翻折，点B恰好落在线段DE的中点B'处．则线段MN的长．【分析】作B'F⊥BC于F，连接BB'交MN于G，连接BM，此时根据正方形的性质可得CF＝EF＝B'F＝＝2，BF＝10，应用勾股定理计算得出BB'＝2再根据由折叠的性质得BN＝B'N，在Rt△B'NF中根据勾股定理求得B'N长度，最后根据S△BMN＝＝，计算求得MN的长度即可．【解答】解：如图，作B'F⊥BC于F，连接BB'交MN于G，连接BM，由题意可知，四边形CDC'E，是正方形，△B'EF是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝B'F＝＝2，BF＝BC﹣CF＝12﹣2＝10，在Rt△BB'F中，BB'＝＝，设BN＝B'N＝x，则NF＝BC﹣BN﹣CF＝10﹣x，在Rt△B'NF中，B'N2＝NF2+B'F2，即x2＝（10﹣x）2+22，解得：x＝，∴BN＝，由折叠的性质可知：BG＝B'G＝＝，BB'⊥MN，∵S△BMN＝＝，∴MN＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换、正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共10小题）17．（6分）计算：（）﹣1+2tan60°+（π﹣3）0﹣．【分析】先算乘方、化简二次根式，再代入tan60°的值算乘法，最后加减．【解答】解：原式＝2+2+1﹣2＝3．【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的意义、二次根式的性质及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．18．（6分）解不等式组，并求它的整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x+5≤x+6，得：x≤1，解不等式＞x﹣1，得：x＞﹣，则不等式组的解集为﹣＜x≤1，则不等式组的整数解为0、1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．求证：EG＝FH．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，在△BEG与△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（ASA），∴EG＝FH．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．20．（8分）小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用无人机采集一组航拍的资料．在航拍时，小王在C处测得无人机A的仰角为45°，同时小李登上斜坡CF的D处测得无人机A的仰角为31°．若小李所在斜坡CF的坡比为1：3，铅垂高度DG＝3米（点E，G，C，B在同一水平线上）．（1）小王和小李两人之间的距离CD；（2）此时无人机的高度AB．（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到1米）【分析】（1）根据坡比的定义即可求解；（2）过点D作DH⊥AB于点H，解Rt△ADH即可求解．【解答】解：（1）∵小李所在斜坡CF的坡比为1：3，铅垂高度DG＝3米，∴GC＝3DG＝9（米），∴（米）；（2）解：设AB＝x米，如图所示，过点D作DH⊥AB于点H，∴DH＝GB，BH＝DG＝3，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）米，∵∠ACB＝45°，∴AB＝BC＝x米，∴DH＝GB＝（9+x）米，在Rt△ADH中，∠ADH＝31°，∴，解得：x≈21，∴AB≈21米．答：无人机的高度约为21米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡比问题，仰角俯角问题，掌握三角函数关系是解题的关键．21．（8分）为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：方便筷使用数量在5≤x＜15范围内的数据：5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．不完整的统计图表：方便筷使用数量统计表组别使用数量（双）频数A0≤x＜514B5≤x＜10C10≤x＜15D15≤x＜20aEx≥2010合计50请结合以上信息回答下列问题：（1）统计表中的a＝9；（2）统计图中E组对应扇形的圆心角为72度；（3）C组数据的众数是12；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是10；（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．【分析】（1）由总组人数减去其他组人数即可求解；（2）利用360°×E组所占的比例即可得E组对应扇形的圆心角度数；（3）根据众数，中位数的定义求解即可；（4）2000×5月份使用方便筷数量不少于15双的人数所占比例即可求解．【解答】解：（1）方便筷使用数量在5≤x＜15范围内的数据有17个，∴a＝50﹣14﹣17﹣10＝9，故答案为：9；（2）360°×＝72°，故答案为：72；（3）将方便筷使用数量在10≤x＜15范围内的数据按从小到大的顺序排列为10，10，11，12，12，12，13，由上述数据可得C组数据的众数是12，B组的频数是10，C组的频数为7，D组的频数为9，∴第25，26个数均为10，∴调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是＝10．故答案为：12，10；（4）2000×＝760（人），答：估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760人．【点评】本题考查统计表、用样本估计总体以及扇形统计图，应结合统计表和扇形统计图，利用部分与总体之间的关系进行求解．22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的直径为5，cosC＝，求CF的长．【分析】（1）根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AC，根据平行线的性质得到DE⊥AC；（2）连接AD，根据余弦的定义求出CD，进而求出CE，根据平行线分线段成比例定理得到FE＝CE，得到答案．【解答】（1）证明：∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴DE⊥AC；（2）解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∵AB＝5，∴AC＝AB＝5，在Rt△ADC中，cosC＝＝，∴CD＝4，在Rt△CED中，cosC＝＝，∴CE＝，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∵AB为⊙O的直径，∴∠BFA＝90°，∵DE⊥AC，∴DE∥BF，∴EF＝CE＝，∴CF＝．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及其推论、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．23．（10分）某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．（1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？【分析】（1）设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为（x+30）元，根据商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；（2）设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球（2m﹣10）个，根据乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量，列出关于m的一元一次不等式组，解之求出m的取值范围，再设商店共获利w元，利用总利润＝每个的利润×销售数量（购进数量），得出w关于m的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【解答】解：（1）设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为（x+30）元，根据题意得：＝×2，解得：x＝120，经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意，∴x+30＝120+30＝150，答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元；（2）设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球（2m﹣10）个，根据题意得：2m﹣10≤m，解得：m≤10，设商店共获利w元，则w＝30m+20（2m﹣10）＝70m﹣200，即w＝70m﹣200，∵70＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝10时，w取得最大值，答：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，列出一元一次不等式和一次函数关系式．24．（10分）如图1，反比例函数与一次函数y＝x+b的图象交于A，B两点，已知B（2，3）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）一次函数y＝x+b的图象与x轴交于点C，点D（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若S△OCD＝3，求点D的坐标；（3）若点M是坐标轴上一点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点B的坐标代入y＝，得出反比例函数解析式；把点B的坐标代入y＝x+b，求出b的值，得到一次函数的解析式；（2）求出点C（﹣1，0），设D（m，n），根据S△OCD＝3可得n＝±6，由点D是反比例函数图象上的一个动点，即可得点D的坐标；（3）分两种情况：①当点M在x轴上时，②当点M在y轴上时，根据矩形的性质分别求解即可．【解答】解：（1）∵点B（2，3）是反比例函数y＝与一次函数y＝x+b的交点，∴．k＝xy＝6，b＝y﹣x＝1，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：y＝，y＝x+1；（2）一次函数y＝x+1中，当y＝0时，x＝﹣1，∴C（﹣1，0），设D（m，n），∵S△OCD＝3，∴×|n|×1＝3，∴n＝±6，∵点D（m，n）在y＝上，∴m＝﹣1或1，∴D（﹣1，﹣6）或D（1，6）；（3）存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形，理由如下：①当点M在x轴上时，如图，设点M的坐标为（a，0），过点B作BG⊥x轴于点G，∵∠CGB＝∠CBM＝90°，∠BCG＝∠MCB，∴△CBG∽△CMB，∴，∵B（2，3），C（﹣1，0），∴CG＝3，CM＝a+1，∴CB＝＝3，∴，∴a＝5，∴点M的坐标为（5，0）；②当点M在y轴上时，过点B作BH⊥y轴于点H，如图，设点M的坐标为（0，b），∵y＝x+1，∴Q（0，1），∴HQ＝3﹣1＝2，∴BQ＝＝2，∵∠QBM＝∠BHQ＝90°，∠BQM＝∠HQB，∴△BQM∽△HQB，∴，∴，∴b＝5，∴点M的坐标为（0，5），∴存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形，点M的坐标分别为（5，0）或（0，5）．【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，会利用待定系数法确定函数解析式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25．（12分）（1）观察猜想：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，∠BAC＝∠DAE＝45°，DE＝AE，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接BD，交AC于点C，连接CE交BD于点F，则的值为，∠BFC的度数为45°．（2）类比探究：如图3，当∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°时，请求出的值及∠BFC的度数．（3）拓展应用：如图4，在四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠BDC＝45°．若CD＝8，BD＝6，请直接写出A，D两点之间的距离．【分析】（1）由题意得△ABC和△ADE为等腰直角三角形，则＝＝，证△BAD∽△CAE，得＝＝，∠ABD＝∠ACE，进而得出∠BFC＝∠BAC＝45°；（2）由直角三角形的性质得DE＝AD，BC＝AB，AE＝DE，AC＝BC，则＝＝，证△BAD∽△CAE，得＝＝，∠ABD＝∠ACE，证出∠BFC＝∠BAC＝30°；（3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，由等腰直角三角形的性质得∠BAC＝∠DAM＝45°，＝＝，证△BAD∽△CAM，得∠ABD＝∠ACM，＝＝，则CM＝3，证出∠DCM＝90°，由勾股定理得DM＝，则AD＝DM＝2．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠BAC＝∠DAE＝45°，DE＝AE，∴△ABC和△ADE为等腰直角三角形，∴＝＝，∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠CAE＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴＝＝，∠ABD＝∠ACE，又∵∠AGB＝∠FGC，∴∠BFC＝∠BAC＝45°；故答案为：，45°；（2）∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，∴DE＝AD，BC＝AB，AE＝DE，AC＝BC，∴＝＝，∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠CAE＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴