2024届河北省高三下学期省级联测考试数学试题及答案

2023—2024高三省级联测考试数学试卷班级__________姓名__________.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.､一选择题：本题共小题，每小题分，共8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.ABAx∣x2x1„0,B2,31.已知集合，则（）C.2,3D.A.3B.2,3，则1iz1i）zz（2.已知复数满足2222A.C.iiB.D.ii222222222222绕坐标原点O3.将向量逆时针旋转得到，则（）A.14.已知3B.-1C.2D.-2π15π6，则sin（）65323252325A.B.C.D.2525y24xF，准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点，过点P作l的垂线，垂足5.已知抛物线的焦点为为Q，若直线QF的倾斜角为150，则PF（）41A.2B.C.D.3336.甲､乙､丙､丁4位同学报名参加学校举办的数学建模､物理探究､英语演讲､劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，4位同学所报活动各不相同的概率为（）132989A.B.C.D.1832x22y227.已知双曲线C:ab0)的左右焦点分别为､F,FF的直线交双曲线C，过2P,Q的右支于12ab1PFFF，则双曲线C的离心率为（12两点，若，且）223A.2B.4C.6D.32a10.1,bc8.设，则下列大小关系正确的是（）21A.abcB.D.acbcbaC.cab､二多选题：本题共小题，每小题分，共3618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.满足，则下列选项正确的是（）a,ba1b119.已知正数11a1…5A.C.B.abba…42b…82D.a10.下列说法正确的是（A.若数据m）174m的极差和平均数相等，则B.数据7,7,9,12,16的第80百分位数为10.5PX„600.5，则XN52C.若D.若2XB，随机变量Y3X1，则EY73ABCDABCDM,NAB,ADCD的中点，为线段上的动1111.如图，在棱长为1的正方体中，分别是P1111点，则下列结论正确的是（）ADA.存在点P，使得直线PM与直线为异面直线1B.存在点P，使得MNPNC.若P为线段CD的中点，则三棱锥PMNC与三棱锥CMNB体积相等111133M,N,PD.过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为4､三填空题：本题共小题，每小题分，共3515分.12.已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，若am7mm，则__________.anPBPA的直线l交圆O于两点，且2，过点P1,3,B2，则满足上述条件的一条13.已知圆O:x2y2直线l的方程为__________.fxsinxxπ上有且仅有两个不相等的实数1,x0)14.已知函数，若在区间，满足2，则的取值范围为__________.f1f24､四解答题：本题共小题，共577分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤..､15.（本小题满分13分）记的内角（1）求A；的对边分别为，已知asinBbcosAb.,B,Ca,b,c（2）若a2，求b2c的范围.16.（本小题满分15分）2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021—2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料､采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进､具有新技术､新结构的汽车.为了了解消费者对不同种类汽车的购买情况，某车企调查了近期购车的100位车主的性别与购车种类的情况，得到如下数据：单位：人购车种类性别合计新能源汽车传统燃油汽车男20女50合计30100（1）补全上面的列联表，并根据小概率值0.001的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关；（2）已知该车企的A型号新能源汽车有红､白､黑､蓝四种颜色.现有三个家庭各计划购买一辆A型号新能源汽车，记购买的汽车颜色相同的家庭个数为，求的分布列与数学期望.n(adbc)22,nabcd附：.abcdacbd0.100.050.0106.6350.0012.7063.84110.82817.（本小题满分15分）ABCDABCDAABAAD60.如图，已知平行六面体的棱长均为111111BDAA（1）证明：；1（2）延长CC到E，使CECCAC，求直线与平面BDE所成角的正弦值.111118.（本小题满分17分）π2已知函数fxaexsinx1xaR,e为自然对数的底数.在区间内有唯一极值点，其中1a（1）求实数的取值范围；3π（2）证明：在区间fx内有唯一零点.219.（本小题满分17分）信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量X所有可能的取值为，且,nnN*nniP(Xi)ii,ni1H(X)pp.2i，定义X的信息熵i1i1（1）当n1时，计算；HX1pi,nn，判断并证明当增大时，HX的变化趋势；（2）若（3）若PYinn2mmN*,m，随机变量Y所有可能的取值为，且，证明：.2mjj,mjpHXHYj2023—2024高三省级联测考试数学参考答案题号答案1234567891011AABCBCDCACDCDBCDB3，所以AB3Ax∣x2x1„00,11.A解析：因为，又.故选A.[命题意图]本题考查知识点为集合的运算､解不等式，考查了学生的数学运算素养.221i1i1i1i21i22221i2zi2.A解析：因为故选A.，所以，所以zi.22222[命题意图]本题考查知识点为复数的运算､共轭复数的概念，考查了学生的数学运算素养.OA1212223.B解析：因为，且，所以12OAABOAOA2221.故选B.2[命题意图]本题考查知识点为平面向量的线性运算，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.5π6π6π2π6π6解析：因为sinsin2cos221，所以4.C5π612325sin21.故选C.25[命题意图]本题考查知识点为三角函数公式，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.QFH602，所以x5.B解析：过点F作的垂线，垂足为H，则，设，因为2123P,14233tan60,PF1.故选B.，所以x，所以x3333[命题意图]本题考查知识点为抛物线的定义，直线的倾斜角，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.6.C解析：设A“甲同学报的活动其他同学不报”，B“4位同学所报活动各不相同”，由题得nABnA4321433329，所以P∣A.故选C.nA433nAB4321[命题意图]本题考查知识点为条件概率，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.PF2a2c4c13PFFF2c7.D解析：因为，所以，又，所以，所以212122(2c)2(2c)2(2a2c)24c28ac4a22a4c，在1PF，在2cosFFP中，2112c222c2c(4c)2(2c)2(2a4c)24c216ac4a2cosFFPcosFFQ0，因为1212中，FFQ，1216c224c2c4c28ac4a24c216ac4a20，整理得caca，故ca，故离心率0所以c216c2ce3.故选D.[命题意图]本题考查知识点为双曲线的离心率，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.aπ21x18.C解析：令fx1xsinx0xfxcosx，令，则1π20xgx时，单调递增，gxfx,gxsinx.当(x2π1πg010gsin2π222tgt0xt时，π，所以存在，使得，且当12π2gxgxfxxt,gxgxfx单调递减；当时，单调递增.又π1f0fπ，所以存在m，使得2π202fm0x,，且当π时，12xmfxfx，单调递减.又fxfx0单调递增；当时，ππ2πf0f，所以当时，，即.当x0.1时，1100xfx01xsinx222x1x114(x2则10.1sin0.1，即abhxx.令0，所(xhxx(x2x(x22以hxh0x1.1时，则ac，当，即cab，故.故选C.21[命题意图]本题考查知识点为利用导数比较大小，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.119.ACD解析：对于A，由题可得abab，即1，故A正确；对于abab1b12b2b12222…，当且仅当b1时，等号成立，故B不正确；对于C，211abbaabab…2242，当且仅当ab2时，等号成立，故C正确；对于D，ab(ab)242a2b……8，当且仅当ab2时，等号成立，故正确故选ACD.D.22[命题意图]本题考查知识点为基本不等式，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.12m17412m…4m1m，当„m441时，10.CD解析：对于A，当时，，解得，解得5512mm3，当m1时，4m，无解，故A不正确；对于B，由于780%5.6，所以数据5PX„600.5，则，7,7,9,12XN52，16的第80百分位数为12，故B不正确；对于C，2328XB，所以随机变量YEx的期望，则4故C正确；对于D，若33，故D正确.故选CD.EYE3X13EX1817[命题意图]本题考查知识点为数据的平均数､极差､百分位数以及正态分布､二项分布的计算，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.AD1,1D,B,1,D，所以四点111.BCD解析：对于A，如图，连接，由正方体的性质知，∥11PM,AD11D，故A不正确；1共面，平面对于B，如图，设CD的中点为Q，连接MQ,PQ,NQ，若P为CD的中点，则1PQABCD平面，又122112平面ABCD，所以PQ，在NMQ中，NQ,1，所以2222NQ22MNNQPQNQQ,PQ,NQ，所以平面，，故，又平面又PN平面，所以MNPN，故B正确；BC,ONO,MO,，连接，则几何体1对于C，如图，取的中点F，连接，设1111111111FNOM为斜三棱柱，从而P1V，又1FNOM332222411111V1，故C正确；1MNB322224对于D，如图，因为正方体中心对称（类比为球体，MN看作弦），故过MN的截面经过正方体的对称中心,,BC于中点，也为中点，取PDDE,C的中点的中点1时所得截面面积最大，此时截面交棱11111F,1的中点GNE,EP,PF,FG,M,N,P三点的平面截正方体所得截面面积最大，连接，所以过33133时，截面形状为正六边形，面积为6NM26，故正确故选BCD.D.4424[命题意图]本题考查知识点为立体几何中线面位置关系，截面面积､锥体体积计算，考查了学生的直观想象､数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.a12m1m7m8.12.8解析：由题意得，解得m[命题意图]本题考查知识点为等差数列的定义，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.453（或yx13.x1）解析：由题意得圆心O0，半径r2,PO102，故点在圆P3PBPA232，得PAAB，即2r22|PO2d2，即O外，设点O到直线l的距离为d，由dd1，当直线l的斜率不存在时，即x1，此时d1，符合题意；当直线l32d10d2，解得23k43ykx131，解得k的斜率存在时，设直线l的方程为，则，故直线l的方程为2k145345yxx1或yx.综上，直线的方程为l.333[命题意图]本题考查知识点为直线与圆的位置关系，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.132566π3π,xx，令，因为tx„„π14.解析：，所以fxsinx，所以3ππ5π9132561325„„π„ππ„，故,，解得的取值范围为.33232666[命题意图]本题考查知识点为三角函数图象的性质，考查了学生的直观想象､謾辑推理与数学运算素养.15.解：（1）由正弦定理得，AsinBsinBcosAsinB，π162Bπ，所以sinB0sinA因为，所以AcosA1，则，ππ5πA,Aπ，所以因为所以，666πππAA，所以.663bca4433433sinBC，（2）因为，则b2csinBsinCsinA3π331因为sinBsinCcosCsinC.2243333π所以b2ccosCsinCC.6222πCπππC,π162sinC,1因为所以.所以.所以，3662πb2cC2.6[命题意图]本题考查知识点为解三角形中的求角和取值范围问题，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.16.解：（1）单位：人购车种类性别合计新能源汽车传统燃油汽车男20507020103040女60合计100H零假设：购车种类与性别无关，0100(20105020)280063212.69810.8280,001，40607030根据小概率值0.001的独立性检验，我们推断概率不大于0.001.H不成立，即购车种类与性别有关，此推断犯错误的0（2）由题得的可能取值为2,3，A34338C14C342C139C1431P0,P2,P3，4316416所以的分布列为0233891P161639121E023因此，.8161616[命题意图]本题考查知识点为独立性检验､离散型随机变量的分布列及期望，考查了学生的数学抽象､逻辑推理与数学运算素养.17.解：（1）证明：如图，连接AC，与交于点O，连接AB,AD,AO，111ABCDABCDABADBDO，所以，由题意可得，在平行六面体中，111111BD，所以平面因为是等边三角形，所以BDAO，又因为AOAOOAAO.11AA1AAO1BDAA，所以1因为平面.A1AAACABDAAO平面.1（2）过点作，垂足为，由（1）可知，122AAAAO11A.2因为平面，所以12因为O，所以AA平面ABCD，12A1A因为三棱锥为正四面体，所以为的重心，23323则23,2O,1232(3)26.232以O为原点，,的空间直角坐标系.x所在直线分别为轴，y轴，过点O垂直于底面ABCDz的直线为轴，建立如图所示332333233A,0,0,A,0,6,C,0,0,B,0,D,0AA3,6则，则，11222CECCCECC2AA23,0,26因为所以，所以，1111732E,0,26，733,,26，AC23,0,6,0,3,0,所以122na,b,c，设平面BDE的法向量为bnn724所以令a2，则，则7332nab26c2AC与平面BDE所成角为1设直线，nAC53sinn,AC1则，19nAC1539AC1所以直线与平面BDE所成角的正弦值为.[命题意图]本题考查知识点为立体几何中的线面关系和利用空间向量解决空间角，考查了学生的直观想象､逻辑推理与数学运算素养.π时，x0,1，18.解：（1）fxaexcosxx，当2π2在…0fxfx①当时，上单调递减，没有极值点，不合题意；π2π2ycosxfx②当a0时，yaex与在上分别单调递增，显然在上单调递增，ππf0afae0因为22，π2所以f0a10，得a1，此时fx在x，1内有唯一零点π2xx时，fx0xx,1fx0，时，所以当；当1π2所以在fxx